Ban học tập và NCKH LCĐ Viện Toán ứng dụng và Tin học Nguyễn Trung Nghĩa Lương Tùng Dương CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC § 1 ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC 1 1 Tiếp tuyến của một đường tại[.]
Ban học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa-Lương Tùng Dương CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC § ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC 1.1 Tiếp tuyến đường điểm 1.1.1 Điểm quy, điểm kì dị - Cho f (x, y) = có đồ thị L Điểm MO (xo , yo ) ∈ L gọi là: + Điểm quy nếu: fx0 (xo , yo )2 + fy0 (xo , yo )2 6= + Điểm kì dị nếu: ( fx0 (xo , yo ) = fy0 (xo , yo ) = x = x(t) xt (to ) - Cho (L) dạng tham số: MO (xo (to ), yo (to )) điểm quy tồn y = y(t) yt0 (to ) 1.1.2 Các công thức * Tiếp tuyến điểm MO (xo , yo ) điểm quy (d1 ) : fx0 (x − xo ) + fy0 (y − yo ) = (d2 ) : x − x(to ) y − y(to ) = xt (to ) yt0 (to ) (d3 ) : Nếu y = f (x) y = yo + f (xo ).(x − xo ) * Pháp tuyến MO (xo , yo ) quy x − xo y − yo (n1 ) : = fx (MO ) fy (MO ) (n2 ) : x0 (to )(x − x(to )) + y (to )(y − y(to )) = 1.2 Độ cong đường cong 1.2.1 Khái niệm Cho L là: - Đường cong không tự giao (Jordan) - Có tiếp tuyến điểm - Chọn chiều chạy L làm chiều dương - Trên tiếp tuyến L chọn hướng tương ứng hướng dương L ⇒ " tiếp tuyến dương" 1.2.2 Công thức tính Dạng: y = f (x) thì: C(M ) = Dạng tham số: |y 00 | (1 + y 02 )3/2 x 00 x y y 00 x = x(t) thì: C(M ) = 3/2 y = y(t) (x2 + y ) LATEX Nguyễn Quang Huy, Trần Anh Tuấn, Đỗ Thị Thanh Châu Trang Ban học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa-Lương Tùng Dương Dạng tọa độ cực r = r(ϕ) x = r(ϕ) cos ϕ x0 = r0 (ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ Có: ⇒ y = r(ϕ) sin ϕ y = r(ϕ) sin ϕ + r0 (ϕ) cos ϕ Khi đó: C(M ) = |r2 + 2r02 − r.r00 | (r2 + r02 ) Bài tập: Tính độ cong hàm sau: x = a(t − sin t) Bài tập 1.1 (a > 0) điểm y = a(1 − cos t) Bài tập 1.2 y = −x3 x = Bài tập 1.3 r = a.eba (a, b > 0) điểm x = t2 − Bài tập 1.4 (2015-2) M (0, 1) y = t3 Giải x0 = a(t − cos t) ⇒ y = a sin t |x0 y 00 − x00 y | ⇒C= = (x02 + y ) x00 = a sin t y = a cos t | cos t − 1| √ = t 2 2a(1 − cos t) |4a sin | Xác định điểm ứng với t 6= y = −x3 có y = −3x2 ; y” = −6x 00 32 y |−3| 192 C(M ) = = 32 = 125 1+ + y0 16 r0 = a.b.ebq ; r00 = ab2 ebq ⇒ C = √ 1 + b2 r 00 x0 = 2t x =2 ⇒ ⇒ M (0, 1) ⇔ to = y = 3t2 y 00 = 6t |2.6 − 3.2| |x0 y 00 − y x00 | = =√ C= + 32 )t f rac32 02 02 (2 13 (x + y ) 1.3 Hình bao họ đường cong phụ thuộc tham số 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho đường cong L phụ thuộc hay nhiều tham số Nếu đường cong họ (L) tiếp xúc đường cong (E) điểm E ngược lại, điểm thuộc E tồn đường cong họ (L) tiếp xúc (E) điểm (E) gọi hình bao họ đường cong (L) 1.3.2 Quy tắc tìm Định lý 1.1 Cho họ đường cong F (x, y, c) = với c tham số Nếu họ đường cong khơng có điểm kì dị đường bao xác định hệ sau: F (x, y, c) = Fc0 (x, y, c) = LATEX Nguyễn Quang Huy, Trần Anh Tuấn, Đỗ Thị Thanh Châu Trang Ban học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa-Lương Tùng Dương Chú ý 1.1 Nếu đường thẳng F (x, y, c) = có điểm kì dị hệ bao gồm phương trình (E) - hình bao quỹ tích điểm kì dị Ví dụ 1.1 (L) : (y − c)2 = (x − c)3 F (x, y, c) = (x − c)3 − (y − c)2 = ⇔ Fc0 (x, y, c) = 3(x − c)2 − 2(y − c) = (2) ⇔ (y − c) = (x − c)2 thay vào (1) ta có: 9 (x − c) − (x − c) = ⇔ (x − c) − (x − c) = 4 x=c+ x=c ⇔ y=c y =c+ 27 Mà y = x quỹ tích điểm kỳ dị họ (L) Vậy phương trình hình bao là: x − y = 27 Ví + c2 y = (Nhận xét: c 6= 0) dụ 1.2 (L) : c.x F (x, y, c) = c.x + c y − = ⇔ x2 = −2cy Fc0 (x, y, c) = x2 + 2c.y = Fx (x, y, c) = 2cx = ⇔ ⇒ c = x = điểm kì dị x = c = ∈ / (L) ⇒ (L) không chứa Xét Fy0 (x, y, c) = c2 = điểm kì dị x =2 F (x, y, c) = c ⇒ y = −x ⇔ Giải hệ −1 Fc (x, y, c) = y = c2 −x2 trừ điểm O (0, 0) Vậy đường bao y = Bài tập 1.5 (20152 - 1) Tìm hình bao họ đường cong (Lc ) y= x + + c2 c c (tham số c) Bài tập 1.6 (20162 - 1) Tìm hình bao họ đường cong x2 + y − x cos α − y sin α − = Bài tập 1.7 (20142 - 3) Tìm hình bao họ đường cong 2x cos α + y sin α = Bài tập 1.8 (20142 - 5) Tìm tập điểm kì dị họ (Lc ) (x + c) = (y − c) Bài tập 1.9 Xét họ quỹ đạo viên đạn bắn từ pháo với vận tốc vo , phụ thuộc góc bắn α Hãy tìm phương trình hình bao họ quỹ đạo viên đạn Giải x + + c2 (c 6= 0) c c x F (x, y, c) = − y + + c2 c c F = 6= x Xét hệ ⇒ Khơng có điểm kì dị c F = −1 6= y (Lc ) : y= LATEX Nguyễn Quang Huy, Trần Anh Tuấn, Đỗ Thị Thanh Châu Trang Ban học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học ( Fc0 (x, y, c) = F (x, y, c) = r ⇒ x − r −x + 2c = ⇔ xc − y + + c2 = c c Nguyễn Trung Nghĩa-Lương Tùng Dương ( x = 2c3 ⇔ y = 3c2 + y−1 = phương trình đường bao x2 + y − x cos α − y sin α − = Fα0 (a, y, α) = x sin α − y cos α ( ( (2) ⇒ x = y tan α F (x, y, α) = (1) ⇔ (1) ⇒ x2 + x2 tan2 α − x cos α − x tan αsinα − = Fα0 (a, y, α) = (2) ⇔ x2 (1 + tan α) − x cos α − x − cos2 α −2=0 cos α x − −2=0 cos α cos α " x x x = cos α ⇔ +1 −2 =0⇔ cos α cos α x = cos α x + y2 = ⇔ phương trình hình bao x2 + y = ( ( x = 2x − cos α = Fx0 (a, y, α) = ⇔ ⇔ 2y − sin α = Fy0 (a, y, α) = y = ⇔ x2 hay x2 + y = y = − sin α y = sin α cos α sin α tập điểm kì dị ( F (x, y, α) = 2x cos α + y sin α − (1) Fα0 (x, y, α) = −2x sin α + y cos α (2) ( (2) y = 2x tan α F (x, y, α) = ⇔ Xét Fα0 (x, y, α) = (1) ⇒ 2x cos α + 2x tan α sin α − = Ta có ⇔ 2x cos2 α + 2x sin2 α − cos α = x = cos α ⇔ 2x = cos α ⇔ y = sin α ⇒ (2x) + y = phương trình hình bao F (x, y, c) = (x + c) − (y − c) ( ( ( Fx0 (x, y, c) = (x + c) = x = −c ⇔ ⇔ ⇒ y = −x quỹ tích điểm kì dị Fy0 (x, y, c) = −3 (x + c) = y=c x = vo t cos α g ⇒ y = x tan α − .x2 2 y = − gt + vo t sin α 2.vo cos2 α g Đặt c = tan α ⇒ y = c.x − + c2 x2 2.vo Lấy đạo hàm hai vế theo c suy c = Thay vào phương trình: y = vo2 gx g vo2 − x Đây phương trình bao quỹ đạo viên đạn 2g 2vo2 LATEX Nguyễn Quang Huy, Trần Anh Tuấn, Đỗ Thị Thanh Châu Trang Ban học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa-Lương Tùng Dương § ỨNG DỤNG TRONG KHÔNG GIAN 2.1 Hàm vectơ Cho I khoảng R Ánh xạ → → I t R3 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 gọi hàm vectơ với biến t → − → − → − → − r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k Giới hạn hàm vectơ → − − a gọi giới hạn → r (t) t → to − − r (t) − → a =0 lim → t→to − − kí hiệu lim → r (t) = → a t→to Đạo hàm hàm vectơ − d→ r (t) − Kí hiệu → r (t) hay dt → − − r (t) − → r (to ) → − = (x0 (to ) , y (to ) , z (to )) r (to ) = lim t→to t − to x = x(t) → − Ý nghĩa: r (to ) vectơ phương tiếp tuyến đường tốc đồ hàm y = y(t) z = z(t) t = to − Nếu x(t), y(t), z(t) khả vi to → r (t) khả vi to − − Ví dụ 2.1 Cho → p = (x1 (t), y1 (t), z1 (t)) → q = (x2 (t), y2 (t), z2 (t)) Ta có → − − p → q → − − p ∧→ q = = x 1 x2 + y1 y 2 + z1 z2 y1 z1 z1 x1 y2 z2 , z2 x2 x1 , x2 y1 y2 Chứng minh: Ta có: d → dp − dq − − [− p → q]=→ p +→ q dt dt dt d → dq dp − − − [− p ∧→ q]=→ p ∧ + ∧→ p dt dt dt 2.2 Phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong x = x(t) Cho đường cong : y = y(t) z = z(t) MO (x0 , y0 , z0 ) điểm quy Phương trình tiếp tuyến M: x − x0 y − y0 z − z0 (d): = = x (t0 ) y (t0 ) z (t0 ) Pháp diện M mặt phẳng vng góc với tiếp tuyến d M0 chứa pháp tuyến L M0 (P) x0 (t0 )(x − x0 ) + y (t0 )(y − y0 ) + z (t0 )(z − z0 ) = LATEX Nguyễn Quang Huy, Trần Anh Tuấn, Đỗ Thị Thanh Châu Trang Ban học tập NCKH - LCĐ Viện Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa-Lương Tùng Dương Độ cong: C= x 00 x y y 00 + 00 y y z z 00 + 00 z z ! 21 x0 x00 [(x00 )2 + (y 00 )2 + (z 00 )2 ] 2.3 Pháp tuyến tiếp diện mặt cong Cho mặt cong S: f (x, y, z) = M (x0 ; y0 ; z0 ) Mặt phẳng tiếp diện: chứa tiếp tuyến S M0 − Pháp tuyến: đường thẳng qua M0 hướng → n = (fx0 , fy0 , fz0 ) Phương trình pháp tuyến M y − y0 z − z0 x − x0 = = (d0 ) : fx (M ) fy (M ) fz (M ) Phương trình tiếp diện M (P ) : fx0 (M )(x − x0 ) + fy0 (M )(y − y0 ) + fz0 (M )(z − z0 ) = Chú ý 2.1 Nếu mặt S: z = z(x, y) mặt phẳng pháp diện có phương trình là: fx0 (M )(x − x0 ) + fy0 (M )(y − y0 ) = z − z0 2.4 Tiếp tuyến pháp diện cho đường cong giao hai mặt phẳng ( f (x, y, z) = − − → Cho L; n→ f : pháp tuyến mặt phẳng pháp diện f ng : pháp tuyến mặt phẳng g(x, y, z) = − → − → pháp diện ( g nf ∧ ng : vectơ phương L fx0 (M )(x − x0 ) + fy0 (M )(y − y0 ) + fz0 (M )(z − z0 ) = PTTQ: gx0 (M )(x − x0 ) + gy0 (M )(y − y0 ) + gz0 (M )(z − z0 ) = x − x0 x − x0 x − x0 = PTCT : fz (M ) fx0 (M ) = fx0 (M ) fy0 (M ) fy (M ) fz0 (M ) gz (M ) gx0 (M ) gy (M ) gz0 (M ) gx0 (M ) gy0 (M ) Bài tập 2.1 (20152-1) Viết phương trình tiếp diện mặt cong (S) : x2 + 2y − yz = M (1, 1, 3) x = t Bài tập 2.2 (20152-3) Tìm pháp diện đường cong y = t2 + A(1; 1; −1) z = 2t + ( Bài tập 2.3 (20152-3) Tìm tiếp tuyến đường cong (L) : x2 + y + z = x + y2 − z2 = M (1, 1, 1) Bài tập 2.4 (20124-1) Tìm tiếp tuyến pháp diện đường cong (L) x = cos t t = π y = sin t z = sin t + Bài tập 2.5 (20142-3) Tính độ cong (L) : x = cos t y = sin t z = 3t + LATEX Nguyễn Quang Huy, Trần Anh Tuấn, Đỗ Thị Thanh Châu t = Trang ... quỹ đạo vi? ?n đạn 2g 2vo2 LATEX Nguyễn Quang Huy, Trần Anh Tuấn, Đỗ Thị Thanh Châu Trang Ban học tập NCKH - LCĐ Vi? ??n Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa-Lương Tùng Dương § ỨNG DỤNG TRONG KHƠNG... Châu Trang Ban học tập NCKH - LCĐ Vi? ??n Toán ứng dụng Tin học Nguyễn Trung Nghĩa-Lương Tùng Dương Chú ý 1.1 Nếu đường thẳng F (x, y, c) = có điểm kì dị hệ bao gồm phương trình (E) - hình bao quỹ... ) : y= LATEX Nguyễn Quang Huy, Trần Anh Tuấn, Đỗ Thị Thanh Châu Trang Ban học tập NCKH - LCĐ Vi? ??n Toán ứng dụng Tin học ( Fc0 (x, y, c) = F (x, y, c) = r ⇒ x − r −x + 2c = ⇔ xc − y + +