Giáo án Giải tích 12 chương 3 bài 2: Tích phân

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ ĐẠI SỐ LỚP 12 Tiết 41: TÍCH PHÂN I Mục tiêu: Về kiến thức : -Biết khái niệm diện tích hình thang cong; Biết định nghĩa tích phân hàm số liên tục Về kỹ năng: Tính tích phân số hàm số tương đối đơn giản định nghĩa Về tư thái độ : -Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trình tiếp cận tri thức - Tư duy: hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, linh hoạt trình suy nghĩ II Chuẩn bị: Chuẩn bị giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ Chuẩn bị học sinh :Hoàn thành nhiệm vụ nhà; Đọc qua nội dung nhà III Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm hỏi đáp - Phương tiện dạy học: SGK IV Tiến trình tiết dạy 1.Kiểm tra cũ : -Viết cơng thức tính ngun hàm số hàm số hàm số thường gặp Tính : ∫ ( x + 1)dx -GV nhắc lại công thức : f ' ( x0 ) = lim x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 Bài Hoạt động Giáo viên Hoạt động Học sinh Nội dung ghi bảng Ký hiệu T hình thang vng Thảo luận nhóm để: I- Khái niệm tích phân giới hạn đường thẳng y = 2x + + Tính diện tích S hình T Diện tích hình thang cong 1, trục hoành hai đường thẳng t = (H46, SGK, trang 102) (SGK) y x = 1; x = t (1 ≤ t ≤ 5) (H45, SGK, trang 102) Hãy tính diện tích S hình T t = (H46, SGK, trang 102) Hãy tính diện tích S(t) hình T t ∈ [1; 5] + Chứng minh S(t) nguyên hàm a f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] diện tích S = S(5) – S(1) “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a ; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a ; x = b gọi hình thang cong (H47a, SGK, trang 102)” GV dẫn dắt đưa tới đẳng thức: S(x) − S(x0) = f (x0) x→ x0 x − x0 lim+ Tương tự với x ∈ [a; x0), ta có: A f(x) x O a b f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] diện tích Sy = S(5) – S(1) Hãy chứng minh S(t) nguyên hàm Câu hỏi: So sánh đại lượng SMNPQ , SMNQE , SMNEF B + Tính diện tích S(t) hình T t ∈ [1; 5] b x Định nghĩa tích phân : A “Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b]) hàm số f(x), ký hiệu: S(x) − S(x0) = f (x0) x→ x0 x − x0 Thảo luận nhóm để chứng minh lim− F(b) – F(a) = G(b) – G(a) Em rút kết luận S(x) − S(x0) = f (x0) x − x0 b ∫ f ( x) dx a Ta ký hiệu: b Ta có : xlim →x F ( x) a = F (b) − F ( a) Vậy: Dẫn dắt đưa S(x) = F(x) + C S(x) có đạo hàm x0 S’(x0) = f(x0) ( Với F(x) ng/hàm h/s f(x)) S = S(a)- S(b)= F(b)+ C– (F(a) +C) = F(b) – F(a) S(x) − S(x0) =? x→ x0 x − x0 lim Em tính S = S(a)- S(b)=? Qui ước: a = b a > b: ta qui ước : ∫ f ( x)dx = F ( x) b a a = F (b) − F (a ) “Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Hiệu số Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa : Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa b + Nếu hàm số f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] b ∫ f ( x) dx diện tích S F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b]) hàm số f(x), ký hiệu: a a b a a a b ∫ f ( x) dx = 0; ∫ f ( x) dx = −∫ f ( x) dx Gv giới thiệu cho Hs vd (SGK, trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa nêu hình thang giới hạn đồ thị f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a; x = b (H 47 a, trang 102) b Vậy : S = ∫ f ( x) dx a b ∫ f ( x) dx a Ta ký hiệu: b F ( x) a = F (b) − F ( a) b f ( x)dx = F ( x) Vậy: ∫ a = F (b) − F (a) Nhận xét:SGK Củng cố : Nhắc lại định nghĩa tích phân cho HS làm VD sau: b a VD1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thò hàm số y = x3 trục hoành hai đường thẳng x = 1; x = VD2:Một ô tô c/đ có vận tốc thay đổi theo thời gian, v = 2t + 3t2 Tính quãng đường ô tô khoảng thời gian từ thời điểm t = đến thời điểm t = 5 Hướng dẫn nhà : Yêu cầu HS xem trước phần tính chất tích phân Làm tập SGK trang 52 - - Ngày / / Tiết 42: Tích phân (tt) I Mục tiêu: Về kiến thức : Biết tính chất tích phân Về kỹ -Tính tích phân số hàm số tương đối đơn giản cách sử dụng tính chất -Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân Về tư thái độ : -Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trình tiếp cận tri thức - Tư duy: hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, linh hoạt trình suy nghĩ II Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm hỏi đáp - Phương tiện dạy học: SGK III Chuẩn bị: Chuẩn bị giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ Chuẩn bị học sinh :Hoàn thành nhiệm vụ nhà; Đọc qua nội dung nhà IV Tiến trình tiết dạy : 1.Kiểm tra cũ : Trình bày tính chất ngun hàm Tính tích phân sau: I= ∫ x dx e ; J= ∫ dx e = ln x = ln e − ln = x Bài Hoạt động Giáo viên Hoạt động Học sinh Nội dung ghi bảng GV: Nhắc lại a ∫ f(x)dx = a b II Các tính chất tích phân + Tính chất 1: ∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx b J = ∫ 5 − f ( x )  dx a b b b a a a ∫ [f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx + Tính chất 3: ∫ sin xdx − ∫ cos xdx = - I = ∫ 3 f ( x ) − g ( x )  dx a + Tính chất 2: b Gv cho học sinh họp 3 nhóm chứng minh = ∫ 5dx − 4∫ f ( x ) dx 1 tính chất lại Sau đó, nhóm = x + = 23 cử đại diện lên bảng chứng minh tính HS:I= π chất π /2 GV: Ta có b ∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx HS: Ta có a a Chứng minh: tính chất 1;2 (saùch giaùo khoa) cos2x | π0 / - sinx | π0 / 2 b c b a a c ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx ( a < c < b) Ví dụ: Cho 3 1 = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx =0 3 Hs: Ta có = 3∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −9 Ta có ∫ g ( x ) dx = Hãy tính: 2x K= ∫ e − 2e + 1dx = => J= ∫ (− x + 2)dx + ∫ ( x − 2)dx ( e − 1) x ∫ -1 = x2 x2 = [- + x ] 12 +[ − x 2 ] =1 ∫ 5 − f ( x )  dx dx π /2 ex − 1dx ∫ -1 ∫ (sin x − cos x)dx I= = − ∫ (ex − 1)dx + ∫ (ex − 1)dx ( Ví dụ :Tính tích phân sau: -1 ∫ 3 f ( x ) − g ( x )  dx x -1  x − 2, nÕu x ≥ x− =  2 - x, nÕu x ≤ ∫ f ( x ) dx = −2 vaø 1 ) ( J= ∫ ) x = − ex − x −1 + e − x 1  =  + 2÷+ ( e− 2) = e+ e e  ∫ ( x − 2)dx 2 x − dx = ∫ (− x + 2)dx + = [- x2 x2 + x ] 12 +[ − x ] 32 = 2 Củng cố : Nhắc lại cho Hs tính chất tích phân sau cho Hs làm ví dụ sau Cho biết 5 1 ∫ f ( x)dx =-4, ∫ f ( x)dx =6, ∫ g ( x)dx =8.Tính a) ∫ f ( x)dx b) ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx Ta có: Hướng dẫn nhà Chú ý xem lại tính chất tích phân Chuẩn bò tập sgk T 152-153 để học tiết sau - - Ngày / / Tiết 43: Tích phân (tt) I Mục tiêu: Về kiến thức : Biết phương pháp đổi biến số để tính tích phân Về kỹ năng: Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân Về tư thái độ : -Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trình tiếp cận tri thức - Tư duy: hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, linh hoạt trình suy nghĩ II Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm hỏi đáp - Phương tiện dạy học: SGK III Chuẩn bị: Chuẩn bị giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ Chuẩn bị học sinh :Hoàn thành nhiệm vụ nhà; Đọc qua nội dung nhà IV Tiến trình tiết dạy : Kiểm tra cũ:Trình bày tính chất tích phân Bài Hoạt động Giáo viờn Hot ng ca Hc sinh Qui tắc đổi biến số dạng 1) Đặt x = u(t) cho u(t) hàm số có đạo hàm liên tục [; ], f(u(t)) xác định [; ] u() = a; u(β) =b 2) BiÕn ®ỉi f(x)dx = Nội dung ghi bảng III-Phương pháp tính tích phân Do ®ã: I1 = ∫ =∫ π Phương pháp đổi biến số: π 1− x2 dx = ∫ cos2 t.dt 1+ cos2t dt “Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục đoạn [α; β] cho ϕ(α) = a; ϕ(β) = b a ≤ ϕ(t) ≤ b với t thuộc [α; β] f(u(t).u’(t)dt 1 π π =  t + sin2t ÷ 02 = 2 = g(t)dt 3) Tìm nguyên hµm G(t) cđa g(t) 4) KÕt ln ∫ b a f(x)dx = G(t) βα I 2=∫ π =t  Đặt x = sint t  − ;  ÷   2  π π (1+ tan2 t) ( ) 1+ tan t dt dx = cost.dt b) Đổi biến số dạng Lấy t = v(x) làm biến số mới, ta biến đổi đợc f(x) thành biểu thức dạng g(v(t)).v(t) Đặt t = v(x) dt=v(x)dx vµ ta cã: ∫ f ( x) dx u (b ) b ∫ f ( x) dx = a ( ⇒ x2dx = ) du 15 Khi ®ã ∫ g (u ) du u (a ) VÝ dô TÝnh I = ∫0 1− x2 dx 18 u6 I = ∫ u du = 15 90 => KQ VÝ dô Tính I = (HD: Đặt x + = tgt ) I = ∫ x2 ( 5x3 + 3) dx 2π du u = 3x − => dx = 3 4π 13 ∫ cosudu 3π = sinu dx x + x+1 Ví dụ Tính HS: Đặt => I = ta chọn hàm Khi ta cú: Ta Đ ặt u= 5x3 + v× t ∈  0;   2 [a; b] Để tính số u = u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục [a; b] u(x) thuộc [α; β] Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x) π = b a Ta đặt x = sint víi t ∈  0;   2 cos2 t = cost α Cho hàm số f(x) liên tục đoạn HS: 1− x2 = 1− sin2 t = a Chú ý: Khi x=0 ⇒ t=0; x =1⇒ t=1/2 Ta cã: β ' Khi đó:” ∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ (t ) dt Hs: Ta cã π b 4π π 2π VÝ dô I = ∫π 2π   cos 3x − ÷dx 3  VÝ dô 5: TÝnh π => KQ 3 a) I = ∫π cotgxdx; b)I = ∫ VÝ dô 6: dx − x2 ∫ b a b f (x)dx = ∫ g( v(x)) v'(x)dx a = v(b) v(a) b) Đặt x = 2sint, t ∈  − ;   2 g(t)dt x = 0⇒ t = 0; x=1 t = Qui tắc đổi biến số dạng 1) Đặt t = v(x), v(x) hàm số có đạo hàm liên tục 2) Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt 3) Tính nguyên hàm G(t) g(t) 4) Tính v(b) v(a) v(b) g(t)dt = G(t) v(a) Híng dÉn gi¶i vÝ dơ 5: Đặt x = 2sint với t π ⇒ dx = 2costdt π (V× ≤ t ≤ ⇒ cost > ) π ⇒ I = ∫0 π 2costdt = ∫ dt 2cost π cosx I = ∫π cotgxdx = dx 6 sinx b)Đặt §Ỉt sinx = t ⇒ dt = cosxdx t = e x ⇒ dt = π x = π ⇒ t = 12; x = π ⇒ t = 2 ⇒ I1 = = ln t 2 2 ∫ e Híng dẫn giải Ví dụ 6: x a) Đặt t = 1+lnx ⇒ dt = dx ; x = ⇒ t = 1;x=e⇒ t = Híng dÉn gi¶i (A + B)x + B − 6A A = A + B =  ⇒ ⇔ B − 6A = B = 20  1 20dx dx ⇒ J1 = ∫ +∫ 7(x + 1) 7(x − 6) e2 ⇒ I = ∫ 2dt = 2t e = 2e2 − 2e 1 = ln − ln = ln2 2 2xdx 3x + dx;b)J = ∫0 x2 − x2 − 5x − a)J = ∫ 20 1  =  lnx + + lnx −  7 0 e x dx; x x = 1→ t = e,x = → t = e2 e2 dt t VÝ dô7: TÝnh a.G/s: π π 3x + A B = + ⇒ 3x + = x − 5x − x + x − 2 − x = − 4sin t = 4cos t = 2cost Cã = t 06 = a) Cã π a) I = ∫ x 4e 1+ lnx dx; b) I = ∫ dx x x e = 20 10 ln2+ ln5 − ln6 7 b) Tơng tự ta phân tích đợc: 2x 1 = + Do ®ã: x − x+ x− 2 dx dx +∫ = x+ x− J2 = ∫ ( lnx + ) + ( lnx − ) = ln3 ⇒ I1 = ∫ e ( ) 2 1+ lnx dx = ∫ tdt = ∫ t 2dt = t = 2 − 1 x 3 Cñng cè: Nhắc lại cho hs phương pháp tính tích phân π TÝnh tích phân sau: J = (1 cos3 x) sin xdx K = ∫ ∫ − x dx ; L= I = ∫ π x.cosxdx Híng dÉn vỊ nhµ : Làm tập SGK SBT - Ngày / / Tiết 44: Tích phân (tt) I Mục tiêu: Về kiến thức : Biết phương pháp tích phân phần Về kỹ năng:-Sử dụng phương pháp đổi biến số, tích phân phần để tính tích phân Về tư thái độ : -Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trình tiếp cận tri thức - Tư duy: hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, linh hoạt trình suy nghĩ II Chuẩn bị: Chuẩn bị giáo viên :Phiếu học tập, bảng phụ Chuẩn bị học sinh :Hoàn thành nhiệm vụ nhà; Đọc qua nội dung nhà III Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm hỏi đáp - Phương tiện dạy học: SGK IV Tiến trình tiết dạy : Kiểm tra cũ : Nêu phương pháp đổi biến số Bài mới: Hoạt động Giáo viên GV: Chøng minh Ta cã:[ u(x).v(x)] ' = u'(x).v(x) + u(x).v'(x) Hoạt động Học sinh => ∫ [ u(x).v(x)] 'dx = a ∫ b a b u'(x)v(x)dx + ∫ v'(x).u(x)dx a =>∫ u(x).v'(x)dx a = [ u(x).v(x)] a − ∫ v(x).u'(x)dx b b a V× du = u’.dx; dv = v’.dx nªn ta cã: ∫ b a b udv = uv a − ∫ vdu b “Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] Khi ®ã e e x3 e3 x I3 = ln x − ∫ x dx = − 31 1 e3 e3 − 2e3 + = = 9 3.Đặt b Phương pháp tính tích phân phần: dx  du =  u = ln x   x 2.Đặt dv = x dx v = x  e b Nội dung ghi bảng ∫ u( x)v ( x) dx = (u( x)v( x)) ' a b − ∫ u ' ( x)v( x) dx Khi ®ã b b Hay ∫ u dv = uv − ∫ v du ” b a a a Ví dụ1: Tính tích phân sau: 1 x x I3= x e − ∫ xe dx = e − J π I1= (2 x − 1) cos xdx ∫ víi J = ∫ xe dx x GV: Híng dÉn vµ lµm mÉu cho HS e 2 I2= x ln xdx 1.Đặt u = x du = dx Đặt x x  dv = e dx v = e Khi ®ã: Khi ®ã u = x − du = 2dx ⇒  dv = cos xdx v = sin x 1 x I3= ∫ x e dx e2 π π I1 = (2 x − 1) sin x − ∫ sin xdx = π π − + cos x = π − GV: Đặt u=lnx, dv=x-1/2dx ta có: du= dx/x; v= 2.x1/2   I = e −  xe x − ∫ e x dx ÷ 0   1 = −e + e x = e Đặt b a a u = x  du = xdx ⇒   x x  dv = e dx v = e a b ∫ ln x x dx lnx dx x3 I = ∫ e I = ∫ lnxdx VÝ dô TÝnh e2 ln x ∫ x dx = x e2 ln x | − ∫ x −1 / dx e2 1/ 2 =4e-4x1/2| 1e =4   u = lnx du = dx x Đặt  dv = dx  v = x  e => I = (xlnx) − ∫ dx e π dx  du = u = lnx    x  dx ⇒  dv = x3 v = − 2x2  Do ®ã:I = ∫ 1 e = (xlnx) − x = e− (e− 1) = GV: híng dÉn HS lên bảng làm chữa b) Đặt 2lnxdx  u = ( lnx) du = ⇒ x   v = x  dv = dx 2 Gi¶i: lnx dx x3  u = ex du = exdx a) Đặt dv = cosxdx  v = sinx ( ) ⇒ I = ex sinx ln2   ln2 + − ÷ = −  2x 16 c) Đặt − ∫ ex sinxdx 0 π π = e − ∫ ex sinxdx x  du = exdx u1 = e Đặt  dv1 = sinxdx  v = − cosx dx   u = ln(x − 1)  du = ⇒ x−1   dv = 2xdx  v = x ⇒ I = (x2 − 1)ln(x − 1) c) I = ∫ 2xln(x − 1)dx; dx  lnx  = − ÷ + ∫  2x  x =− e e b) I = ∫ ( lnx) dx a) I = ∫ exdx; π ( ) ⇒ ∫ ex sinxdx = − ex cosx π π + ∫ ex cosxdx = 1+ I 5 ( ) ⇒ I = xln2 x e e − 2∫ lnxdx e = e− 2∫ lnxdx Ta tính đợc e lnxdx = 1⇒ I = e−  x2  − ∫ (x + 1)dx = 48ln2 −  + x÷ ⇒ Ta cã:  2 = 48ln2− 27 π e −1 I = e − ( 1+ I ) ⇒ I = π