QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN Bài giảng QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH GV Thái Trần Phương Thảo 1/2015 MỤC LỤC Chương 1: Bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.1 Vấn đề thực tiễn dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính 1.2 Các dạng toán quy hoạch tuyến tính 1.3 Phương pháp hình học giải tốn quy hoạch tuyến tính 11 1.4 Phương pháp đơn hình .15 1.5 Hiện tượng suy biến 28 Chương 2: Bài toán đối ngẫu 2.1 Định nghĩa toán đối ngẫu .39 2.2 Các định lý .42 2.3 Một số ứng dụng toán đối ngẫu 43 Chương 3: Bài toán vận tải 3.1 Phát biểu toán vận tải 52 3.2 Một số tính chất bảng 54 3.3 Các phương pháp phân phối thuật toán vị 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính CHƢƠNG 1: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Vấn đề thực tiễn dẫn đến lập mơ hình tốn tối ƣu tuyến tính Ví dụ Bài Tốn lập kế hoạch sản xuất Một xí nghiệp gỗ dự định sản xuất bàn, ghế tủ Biết định mức tiêu hao yếu tố sản xuất làm sản phẩm cho bảng sau: Sản phẩm Yếu tố sản xuất Bàn Ghế Tủ Gỗ loại 0.5 Gỗ loại 2 0.5 3.5 Ngoài biết giá bán sản phẩm bàn, ghế, tủ 4; triệu đồng Xí nghiệp có 100 tạ gỗ loại 1, 120 tạ gỗ loại Hỏi xí nghiệp cần sản xuất sản phẩm bàn, ghế tủ cho thỏa mãn yêu cầu: gỗ loại không vượt 100 tạ, gỗ loại không vượt 120 tạ đồng thời tổng doanh thu lớn Giải Gọi x1 , x2 , x3 số sản phẩm bàn, ghế tủ cần sản xuất Điều kiện biến gọi (số sản phẩm phải số thực không âm): x1 0, x2 0, x3 Điều kiện gỗ loại không vượt 100 tạ: x1 0.5 x2 3x3 100 Điều kiện gỗ loại không vượt 120 tạ: x1 0.5 x2 3.5x3 120 Tổng doanh thu thu được: z x1 x2 x3 max Vậy ta thiết lập mơ hình tốn sau: tìm x1 , x2 , x3 cho max z đồng thời thỏa điều kiện sau x1 x2 x3 x1 0.5 x2 3x3 100 x1 0.5 x2 3.5 x3 120 x1 0, x2 0, x3 Ví dụ Bài tốn phần thức ăn Biết yêu cầu chất dinh dưỡng Protit, Lipit ngày loại gia súc Tỉ lệ 0 theo khối lượng chất dinh dưỡng có loại thức ăn A,B,C giá thức ăn cho bảng sau: Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Chất dinh Khối lƣợng Khối lƣợng tối dƣỡng tối thiểu(g) đa(g) Protit 40 Lipit 20 Tỉ lệ % loại thức ăn A B C Không hạn chế 60 50 30 40 30 40 20 32 40 25 Giá(đồng/g) Ngoài ra, yêu cầu chế biến thức ăn tỉ lệ loại thức ăn A B phải 2:3 Hãy lập mơ hình tìm khối lượng thức ăn cần mua ngày cho tổng chi phí nhỏ Giải Gọi x1 , x2 , x3 số g thức ăn loại A,B,C cần mua ngày Điều kiện biến gọi (số g thức ăn phải số thực không âm): x1 0, x2 0, x3 3x1 x2 Điều kiện chất dinh dưỡng - Protit: 0.6 x1 0.5 x2 0.3x3 40 - Lipit: - Tỉ lệ loại thức ăn A:B=2:3 có nghĩa là: 0.3 x1 0.4 x2 0.2 x3 40 0.3 x1 0.4 x2 0.2 x3 20 Tổng chi phí là: z 32 x1 40 x2 25 x3 x1 x2 3x1 x2 Vậy ta thiết lập mơ hình tốn sau: tìm x1 , x2 , x3 cho z đồng thời thỏa điều kiện sau: 32 x1 40 x2 25 x3 0.6 x1 0.5 x2 0.3x3 40 0.3x1 0.4 x2 0, x3 40 0.3x1 0.4 x2 0.2 x3 20 3x1 x2 x1 0, x3 0, x2 Ví dụ Bài tốn pha cắt vật liệu Một xí nghiệp may mặc cần sản xuất 2000 quần 1000 áo Mỗi vải có cách cắt sau: Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Cách cắt Quần Áo 90 35 80 55 70 70 60 90 120 100 Hãy tìm phương án cắt quần áo cho tổng số vải Giải Gọi x j ( j 1, 2, ,6) số vải cắt theo cách thứ j Điều kiện biến gọi: x j Điều kiện sản xuất quần xí 90 x1 80 x2 70 x3 60 x4 120 x5 (0 x6 ) nghiệp phải sản xuất 2000 quần: 2000 Điều kiện sản xuất áo: 35 x1 55 x2 70 x3 90 x4 (0 x5 ) 100 x6 1000 Tổng số vải cần là: z x1 x2 x3 x4 x5 x6 Vậy ta thiết lập mơ hình tốn sau: tìm x j ( j 1, 2, ,6) cho z x1 x2 x3 x4 x5 x6 90 x1 80 x2 70 x3 60 x4 120 x5 2000 đồng thời thỏa điều kiện sau: 35 x1 55 x2 70 x3 90 x4 100 x6 1000 xj 0( j 1, 2, , 6) Ví dụ Bài tốn vận tải Cần vận chuyển xi măng từ kho K1 , K , K tới công trường xây dựng T1 , T2 , T3 , T4 Biết xi măng có cơng trường xây dựng giá cước vận chuyển (ngàn đồng) xi măng từ kho tới công trường sau: Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Kho xi măng K1 : 170 Công trƣờng xây dựng T1 : 130 20 (ngàn đồng/tấn) T2 : 160 T3 : 120 T4 : 140 18 22 25 K : 200 15 25 30 15 K : 180 45 30 40 35 Tìm kế hoạch vận chuyển xi măng từ kho tới công trường cho kho giao hết lượng xi măng có , cơng trường nhận đủ lượng xi măng cần tổng chi phí vận chuyển nhỏ Hãy lập mơ hình tốn Giải Gọi xij (tấn) lượng xi măng cần vận chuyển từ kho Ki (i 1, 2,3) tới công trường Tj ( j 1, 2,3, 4) Điều kiện biến gọi (lượng xi măng số thực không âm): xij 0, i 1, 2,3; j 1, 2,3, Điều kiện kho giao hết lượng xi măng có: Kho K1 giao hết lượng xi măng có: x11 x12 x13 x14 170 Kho K giao hết lượng xi măng có: x21 x22 x23 x24 Kho K giao hết lượng xi măng có: x31 x32 x33 x34 180 200 Điều kiện công trường nhận đủ xi măng cần: Công trường T1 nhận đủ lượng xi măng cần: x11 x21 x31 130 Công trường T2 nhận đủ lượng xi măng cần: x12 x22 x32 160 Công trường T3 nhận đủ lượng xi măng cần: x13 x23 x33 120 Công trường T4 nhận đủ lượng xi măng cần: x14 x24 x34 140 Tổng chi phí vận chuyển: z 20 x11 18 x12 22 x13 25 x14 15 x21 25 x22 30 x23 15 x24 45 x31 30 x32 40 x33 35 x34 Vậy ta có mơ hình tốn là: Tìm xij , i 1, 2,3; j 1, 2,3, cho Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính z 20 x11 18 x12 22 x13 25 x14 15 x21 25 x22 30 x23 15 x24 45 x31 30 x32 40 x33 35 x34 thỏa điều kiện sau: x11 x12 x13 x14 170 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34 180 200 x11 x21 x31 130 x12 x22 x32 160 x13 x23 x33 120 x14 x24 x34 140 xij 0, i 1, 2,3; j 1, 2,3, 1.2 Các dạng tốn tối ƣu tuyến tính (quy hoạch tuyến tính) 1.2.1 Dạng tổng quát I Phát biểu tốn Từ ví dụ ta có tốn qui hoạch tuyến tính tổng quát cụ thể sau: tìm x ( x1 , x2 , , xn ) cho: min(max) z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn thỏa mãn điều kiện ràng buộc sau: a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( , , ) b1 , ( , , ) b2 , am1 x1 am x2 amn xn ( , , ) bm , x j (≥ 0,≤ 0, tùy ý), j 1, 2, , n (2) (3) đó: n z c1 x1 c2 x2 cn xn ci xi :hàm mục tiêu i n Hệ ràng buộc (2) gọi ràng buộc chung bao gồm aij x j ( , ) bi , i 1, 2, , m : ràng buộc j n bất đẳng thức aij x j bi , i 1, 2, , m : ràng buộc đẳng thức j Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Hệ ràng buộc (3) gọi ràng buộc dấu (ràng buộc biến) x j (≥ 0,≤ 0, tùy ý), j 1, 2, , n : ràng buộc dấu Bài tốn qui hoạch tuyến tính tốn tìm cực tiểu (hoặc cực đại) hàm mục tiêu tuyến tính với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức tuyến tính (bậc theo biến x j ) II Các định nghĩa x ( x1 , x2 , , xn ) thoả mãn điều kiện (2) (3) gọi phương án toán QHTT Tập phương án tốn QHTT gọi miền ràng buộc Kí hiệu D x* x* x ( x1* , x2* , , xn* ) gọi phương án tối ưu (hay nghiệm tối ưu) toán x D, c T x * (c1 , c , , c n )T cT x , với c T ( x1* , x2* , , xn* ) gọi phương án tối ưu (hay nghiệm tối ưu) toán max D, c T x * (c1 , c , , c n )T cT x , với c T Một ràng buộc gọi chặt phương án x ta thay x vào ràng buộc dấu “=” xảy ra, ví dụ n aij x j bi x j j Một ràng buộc gọi lỏng phương án x ta thay x vào ràng buộc n dấu bất đẳng thức xảy ra, ví dụ n aij x j bi j aij x j bi j Phương án x ( x1 , x2 , , xn ) toán QHTT phương án cực biên x thỏa chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính Phương án x ( x1 , x2 , , xn ) toán QHTT phương án cực biên suy biến số ràng buộc thỏa chặt nhiều số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính Ví dụ Xét tốn QHTT sau: z x1 Hỏi X x1 x2 x2 x3 x1 x2 x3 18 x1 , x2, x3 (0,8, 2); Y x3 (1,8,1) có phải phương án cực biên toán? Giải Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Xét X (0,8, 2) , thay X vào hệ ràng buộc ta được: -2(0) + 1(8) - 2(2) = (rbc) 1(0) +2(8) +1(2) =18 (rbc) x1 (rbc) x2 (rbl) x3 (rbl) Ta trích hệ số ràng buộc chặt, ta được: 2 , định thức ma trận nên ràng buộc thỏa chặt độc lập tuyến tính Vậy số rbc = 3= rbcdltt = số biến nên X (0,8, 2) phương án cực biên toán Xét Y (1,8,1) , thay Y vào hệ ràng buộc ta được: -2(1) + 1(8) – 2(1) = (rbc) + 2(8) + = 18 18 (rbc) x1 (rbl) x2 (rbl) x3 (rbl) Vậy số rbcdltt = < số biến nên Y (1,8,1) không phương án cực biên tốn Ví dụ Xét tốn QHTT sau: z x1 x2 x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 x1 , x2 Chứng minh X (1, 2) phương án cực biên suy biến Giải Xét X (1, 2) thay X vào hệ ràng buộc ta 2(1) + 1(2) = (rbc) -1(1) + 2(2) = (rbc) 3(1) – 1(2) = (rbc) Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính x1 (rbl) x2 (rbl) Vậy X phương án toán Ta chứng minh X phương án cực biên suy biến Ma trận hệ số ràng buộc thỏa chặt A rank (A ) , nên ràng buộc thỏa chặt có ràng buộc độc lập tuyến tính Nên X phương án cực biên suy biến Chú ý: Ta chuyển tốn max tốn nhờ mối quan hệ max z = - min(-z) 1.2.2 Dạng chuẩn Xét tốn có dạng z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am x2 amn xn xj bm 0, j 1, , m Chú ý: Bài tốn dạng chuẩn tốn có dạng tổng quát, thỏa điều kiện sau: - Các ràng buộc “ ” - Các biến không âm Ràng buộc: ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi bi , ta đưa ràng buộc “ ” ai1 x1 ai2 x2 ain xn ràng buộc “ ” cách nhân hai vế bất đẳng thức với -1 đổi dấu bất đẳng thức 1.2.3 Dạng tắc I Phát biểu tốn Xét tốn QHTT có dạng sau: z thỏa mãn điều kiện ràng buộc sau: c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am x2 amn xn xj 0, j 1, , n Ta biểu diễn lại toán dạng ma trận: bm Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Thu Phát  b1 c11 a1  bj cij    ci1   cij    c m1 am xij   x1n  xi1  c1n xij x11  bn  cin  xin  cmj  cmn  xmj xm1 xmn Ơ giao dịng i cột j kí hiệu (i,j) Các thành phần , b j , cij thành phần biết xij chưa biết 3.2 Một số tính chất bảng Định nghĩa a) Dây chuyền bảng vận tải dãy ô thỏa điều kiện: i) Hai ô cạnh nằm hàng cột ii) Khơng có ba ô nằm hàng cột Dãy có dạng (i1 , j1 )(i1 , j2 )(i2 , j2 )(i3 , j3 ) gọi dây chuyền b) Một dây chuyền khép kín gọi chu trình Dãy có dạng (i1 , j1 )(i1 , j2 )(i2 , j2 )(i3 , j3 ) (ik , jk )(ik , j1 ) chu trình m c) Bài tốn vận tải cân thu-phát toán thỏa điều kiện n i bj j d) Với phương án cực biên tốn vận tải ô (i,j) gọi ô chọn ô chứa biến xij biến sở 54 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Ví dụ Bảng X X X X X X Bảng ô (1,1)(1,4)(2,4)(2,3)(3,3)(3,1) lập thành chu trình Bảng X X X X X X Bảng ô (1,4)(1,2)(2,2)(2,3)(3,3)(3,1) dây chuyền Bảng Bảng ta xác định hai chu trình cách Xóa bỏ cột 1,3,5,6,7,9,25,16,11 13 Xóa hàng Xóa cột Định lý Bài toán vận tải cân thu phát ln có phương án tối ưu Định lý Hệ ràng buộc chung toán vận tải có hạng m n Hệ Cho bảng vận tải gồm mn ô số ô chọn phương án cực biên toán vận tải m n phương án cực biên có m n thành phần dương phương án cực biên không suy biến 3.3 Các phƣơng pháp phân phối thuật toán vị 55 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Bài tốn vận tải tốn QHTT ta giải tốn thuật tốn đơn hình Tuy nhiên việc giải tốn phương pháp đơn hình phức tạp số lượng biến lớn Do đó, dựa vào cấu trúc đặc biệt tốn vận tải người ta chuyển toán vận tải dạng bảng tìm phương án cực biên ban đầu áp dụng thuật toán vị để giải Một số phương pháp thơng dụng để tìm phương án cực biên ban đầu là: - Phương pháp cực tiểu cước phí - Phương pháp gốc Tây-Bắc - Phương pháp cực tiểu cước phí theo dịng - Phương pháp cực tiểu cước phí theo cột - Phương pháp Fogels - … Trong nội dung giảng trình bày phương pháp: phương pháp cực tiểu cước phí phương pháp gốc Tây-Bắc Các phƣơng pháp phân phối Phương pháp cực tiểu cước phí: - Bước 1: Trong bảng vận tải ta tìm có chi phí bé Phân phối cho ô lượng hàng tối đa - Bước 2: Phân phối vào lượng hàng tối đa xij min{ai , b j } a) Nếu b j (phát thu) x ij Xố dịng i, b'j b) Nếu b j (phát thu) x ij b j Xố cột j, ai' c) Nếu b j (phát thu) x ij bj b j xố dịng i, x ij b j xố cột j , khơng xố đồng thời - Bước 3: Ghi kết quả, ô bị chưa có giá trị qui ước giá trị Cuối ta nhận phương án cực biên ban đầu ma trận X Ví dụ 2a Tìm phương án cực biên ban đầu toán vận tải sau theo phƣơng pháp cực tiểu cƣớc phí 56 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Thu 20(0) 50(10)(0) 30(0) 10 30 Phát 40(30) 60(40)(0) 20 Vậy phương án X 40 10 30 phương án cực biên ban đầu có số thành phần 20 40 0 m n Vậy X phương án cực biên không suy biến Phương pháp gốc Tây-Bắc: - Bước 1: Trong bảng vận tải ta tìm bảng,ơ(1,1) , phân phối cho ô lượng hàng tối đa - Bước 2: Phân phối vào ô(1, 1) lượng hàng tối đa xij min{ai , b j } a) Nếu b j (phát thu) x ij Xố dịng i, b'j b) Nếu b j (phát thu) x ij b j Xoá cột j, ai' b j - Nếu - Bước 3: Ghi kết quả, chưa có giá trị qui ước giá trị b j (phát thu) x xố dịng i, x bj ij ij b j xố cột j Ví dụ 2b Tìm phương án cực biên ban đầu toán vận tải sau theo phƣơng pháp gốc TâyBắc Thu 20(0) 50(30)(0) 30 Phát 40(20)(0) 20 60(30)(0) Vậy phương án X 4 20 30 30 20 20 phương án cực biên ban đầu có số thành phần 30 30 m n Vậy X phương án cực biên khơng suy biến Thuật tốn vị 57 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính - Bƣớc 1: Kiểm tra điều kiện áp dụng m Nếu thỏa điều kiện tổng phát = tổng thu: n i - b j sang bước j Bƣớc 2: Tìm phƣơng án cực biên ban đầu Nếu phương án cực biên ban đầu không suy biến sang bước Ngược lại, thêm khơng phải ô chọn cho đủ m n ô với điều kiện ô thêm vào không tạo thành chu trình với chọn (Lưu ý ô thêm thêm vào ) có xij - Bƣớc 3: Tìm hệ thống vị (pi,qj) ( xij ) phương án cực biên không suy biến, có đủ m n chọn X0 Ta xây dựng hệ thống vị (pi,qj) theo công thức: pi qj cij , với ô chọn (i,j) Qui ước chọn p1=0 Ví dụ Tính thế vị dòng vị cột bảng sau: Thu Phát 40 60 qj 20 50 30 10 30 20 40 q1 q2 c12 p1 q2 q2 c13 p1 q3 q3 c21 p2 q1 c22 p2 q2 Thế p2 p2 q3 1 vào phương trình c21 p1 p2 Cách tính chọn bảng ô: (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) p1 pi p2 q1 q1 Ví dụ Tính vị dòng vị cột bảng sau: 58 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Thu Phát 40 60 qj - 20 50 30 20 20 30 30 q1 q2 q3 pi p1 p2 Bƣớc 4: Kiểm tra tính tối ƣu Tính hệ số ước lượng q j cij ô khơng chứa biến sở Ta có trường hợp ij pi ij 0, i, j : Bài toán vận tải có phương án tối ưu sau xảy ra: Trường hợp 1: a) Nếu 0, i, j : Bài tốn có phương án tối ưu Tính z ij ô chọn b) Nếu ij ô chọn dừng : Bài tốn có vơ số phương án tối ưu Tính z xij cij , dừng Trường hợp 2: - xij cij , : Bài tốn chưa có phương án tối ưu sang bước ij Bƣớc 5: Cải thiện phƣơng án tối ƣu Bước 5.1: Chọn vào Ơ vào có ij lớn (nếu có nhiều thỏa ta chọn tuỳ ý số đó) Bước 5.2: Xác định chu trình - Xố bỏ dịng cột chứa chọn - Xác định chu trình: xuất phát từ ô vào đến ô chọn theo qui tắc: ngang lấy ô, dọc lấy ô ô kết thúc trùng với ô vào đánh số theo thứ tự (1) (2)… Bƣớc 5.3: Cập nhật phương án tối ưu 59 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính d min{xij có vị trí chẵn vịng x ij (cũ ) - d tạ i nhữ ng ô chẵ n vòng x ij (cũ ) + d tạ i nhữ ng ô lẻ vò ng xij (mới) x ij (cũ ) tạ i nhữ ng ô cò n lạ i - Bƣớc 6: Quay lại bƣớc Ví dụ Cực tiểu hố cước phí toán vận tải sau: T (15,10,17,18), P 4 10 (20,30,10), C Giải Lập bảng vận tải sau: Thu 15 10 17 18 20 30 10 10 Phát Lặp Bƣớc 1: Bài toán thoả điều kiện áp dụng tổng thu = tổng phát Bƣớc 2: Tìm phương án cực biên ban đầu phương pháp cực tiểu cước phí ta bảng sau: Thu Phát 20(5)(0) 30(20)(2)(0) 10(0) 15(0) 10(0) 17(12)(2) 18(0) 15 5 10 18 10 10 60 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Vậy phương án X 15 0 10 18 phương án cực biên ban đầu có số thành phần 0 10 0 m n Vậy X phương án cực biên không suy biến Bƣớc 3: Tìm hệ thống vị (pi,qj) Thu Phát 20 15 10 17 18 15 30 10 pi 10 18 10 10 qj q1 q2 q3 q4 p1 p2 p3 Bƣớc 4: Kiểm tra tính tối ƣu 12 p1 q2 c12 0 4 14 p1 q4 c14 21 p2 q1 c21 31 p3 q1 c31 32 p3 q2 c32 0 8 34 p3 q4 c34 10 11 Bƣớc 5: Chọn ô vào (2,1) Xố bỏ dịng cột chứa ô chọn Xác định chu trình: vào (2,1) theo hàng ngang qua (2,3) đánh số (2) (vì (2,2) bị xố) Đi theo hàng dọc đến (1,3) đánh số (3), theo hàng ngang đến ô (1,1) đánh số (4) cuối trở ô xuất phát (2,1) ta chu trình khép kín 61 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính d min{2,15} x11 x11 d 15 13 x13 x13 d x21 x21 d 2 x23 x23 d 2 Các vị trí xij cịn lại giữ ngun Vậy ta có phương án cực biên X 13 10 18 0 10 Lặp - Bƣớc 3: Tìm hệ thống vị (pi,qj) Thu Phát 20 30 10 qj pi 15 10 17 18 p1 p2 p3 13 7 10 18 10 10 q1 q2 Bƣớc 4: Kiểm tra tính tối ƣu 62 q3 q4 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính 12 p1 q2 c12 4 14 p1 q4 c14 3 23 p2 q3 c23 31 p3 q1 c31 32 p3 q2 c32 34 p3 q4 c34 10 4 Vậy tốn có vơ số phương án tối ưu phương án X 13 10 18 phương án tối ưu 0 10 toán với z 13.1 7.2 2.4 10.7 18.6 10.2 233 Lưu ý: Trong trường hợp tốn có vơ số phương án tối ưu ta chọn phương án tối ưu khác cách chọn ô có ij làm vào bước 3.4 Các trƣờng hợp đặc biệt toán vận tải Bài tốn vận tải khơng cân thu-phát Phương pháp chung: tìm cách chuyển tốn vận tải cân Trường hợp tổng phát tổng thu: m n i m bn với lượng hàng j n b j : ta thêm ô “điểm thu giả” bn i b j chi phí ci ,n 0, i j Lúc toán trở toán cân thu phát Áp dụng thuật toán vị để giải phương án tối ưu ta bỏ cột điểm thu giả thu phương án tối ưu cho toán ban đầu m Trường hợp tổng phát tổng thu: n i n am j 1 với lượng hàng j m bj b j : ta thêm ô “điểm phát giả” am ai chi phí cm 1, j 0, j i Lúc toán trở toán cân thu phát Áp dụng thuật toán vị để giải phương án tối ưu ta bỏ dịng điểm phát giả thu phương án tối ưu cho tốn ban đầu Lưu ý: Khi tìm phương án cực biên ban đầu ta ưu tiên cho ô không ô “điểm thu giả” “điểm phát giả” trước Bài tốn vận tải có cấm 63 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính Giả sử ta vận chuyển hàng từ đến b j tương ứng với ô (i,j) bảng vận tải, nên ô (i,j) phân phối hàng vào được, cấm Tại cấm ta đặt cước phí cij M ( M số lớn) Dùng thuật toán vị để giải toán M ta phương án tối ưu X * ( M ) - Nếu X * ( M ) có thành phần ứng với cấm tốn vận tải ban đầu có phương án tối ưu - Nếu X * ( M ) có thành phần ứng với ô cấm phương án tối ưu 64 tốn vận tải ban đầu khơng có Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính BÀI TẬP CHƢƠNG Giải toán vận tải với vectơ phát A , vectơ thu B ma trận cước phí C cho sau đây: a) A (50,80, 20), B b) A (13,3,10), B (20, 40, 60,30), C 2 (3, 6,5,12), C c) A (25, 20, 45), B (10,30,50), C d) A (9,5,11), B e) A (4, 6, 6,3), B (5,8, 4,8), C (6,8, 4), C 7 f) A (100,80, 20), B (60, 70, 40,30), C g) A (38, 45, 66, 45), B h) A (105, 65,55, 45), B (52, 45,38,59), C (85, 75, 60,50), C 14 10 15 10 10 13 14 16 10 14 10 18 12 20 14 18 8 12 65 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính i) A (50,80,30), B (60, 40, 20, 40), C j) A (100,300,150, 250), B k) A (5,15, 20,30), B (120, 280,130, 270), C (10,10,10, 20, 20), C l) A (120,150,150, 25), B (20,100,145,30,150), C ĐS a) X * b) X * c) X * 20 0 30 20 60 , z 20 0 260 0 12 0 , z 34 0 10 15 20 , z 10 35 255 d) vô số phương án tối ưu z 96 f) vô số phương án tối ưu z e) X * 0 0 , z 460 54 66 10 11 10 12 13 4 7 9 11 3 1 4 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính g) X * 31 38 0 , z 1192 0 59 45 0 h) vô số phương án tối ưu z i) X * 0 10 40 60 10 10 , z 30 0 2080 280 j) vô số phương án tối ưu z 5590 k) vô số phương án tối ưu z l) X * 435 0 120 0 0 0 150 , z 1040 20 75 25 30 0 25 0 67 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương, Quy hoạch tuyến tính, NXBGD, 2002 [2] Phan Quốc Khánh, Vận Trù Học, NXBGD, 2002 [3] Phạm Trí Cao, Tối Ưu Hóa Ứng Dụng, NXB Thống Kê, 2009 [4] Ngơ Thành Phong, Đại Số Tuyến Tính & Quy Hoạch Tuyến Tính, NXB ĐHKHTN TPHCM, 2000 [5] Nguyễn Thành Cả, Tối Ưu Hố Tuyến Tính, NXB Lao Động, 2011 [6] Nguyễn Quốc Huy, Đinh Ngọc Thanh, Trần Thị Ngọc Tuyết, Giáo Trình Toán Kinh Tế, Vĩnh Long, 2007 [7] Nguyễn Hải Nam, Tốn Ứng Dụng(Giáo Trình Sau Đại Học), NXB ĐHSP Hà Nội, 2005 [8] Bùi Phước Trung, Giáo trình tối ưu hóa, NXB Thống Kê 2010 [9] Christopher Grin, Linear Programming: Penn State Math 484 Notes, Ver 1.8 [10] Matthias Ehrgott , Muticriteria Optimization, Springer, Berlin, 2000 68 ... Bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.1 Vấn đề thực tiễn dẫn đến toán quy hoạch tuyến tính 1.2 Các dạng tốn quy hoạch tuyến tính 1.3 Phương pháp hình học giải tốn quy hoạch tuyến tính ... Một số tính chất bảng 54 3.3 Các phương pháp phân phối thuật toán vị 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 Bài Giảng Quy Hoạch Tuyến Tính CHƢƠNG 1: BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH... 1, 2,3; j 1, 2,3, 1.2 Các dạng toán tối ƣu tuyến tính (quy hoạch tuyến tính) 1.2.1 Dạng tổng quát I Phát biểu tốn Từ ví dụ ta có tốn qui hoạch tuyến tính tổng qt cụ thể sau: tìm x ( x1 , x2 ,