bài tập he PT tuyen tinh tong quat

§2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT Các dạng biểu diễn hệ phương trình  Dạng khai triển (dạng tổng qt): Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số , ,…, có dạng: ⋯ + + ⋯ + ⋯ + ⋯ + + ⋯ + ⋯ ⋯ ⋯ + ⋯ +  Dạng ma trận =  =  = × : ma trận hệ số : cột ẩn số ⋮ × ⋯ = = ⋯ ⋯ =  Nhận xét: Hệ có nghiệm ⟺ Cột = hạng tự B: cột số hạng tự số biểu diễn tuyến ⋮ tính qua cột ma trận hệ số ×, , … ,  Dạng véc tơ: +  + ⋯+ = :cột hệ số ẩn thứ j(cột j ma trận hệ số) Điều kiện có nghiệm Định lý (Cronecker - Capelli) “Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng: = ” Chứng minh(gồm hai phần)  Giả sử hệ có nghiệm, ta cần chứng = minh: + Thật vậy, theo định nghĩa hạng ta có: = , ,…, = ( , ,…, ; ) + Vì hệ có nghiệm nên: B bdtt qua , ⟶ ,…, , ⟶ ,…, = , = ,…, ;  Giả sử : = Ta cần chứng minh hệ có nghiệm = + Thật vậy, Giả sử: = , Lấy sở hệ véc tơ cột A: , ,…, Dễ thấy , (hệ ĐLTT có số véc tơ hạng) ,…, sở hệ véc tơ cột Suy ra, B bdtt qua , ,…, ⟶ ⟶B bdtt qua , ,…, lại gán hệ số 0) Như (mỗi véc tơ vậy, cột số hạng tự B bdtt qua cột ma trận hệ số, hệ có nghiệm Định lý chứng minh Khảo sát tổng quát hệ pttt Xét hệ pttt n ẩn số: , ,…, Trước tiên ta tìm hạng ma trận hệ số ma trận mở rộng: , ( )  Nếu ≠ ( ) ⟹ Hệ vô nghiệm  Nếu = = : Hệ có nghiệm Để tìm nghiệm, ta chọn định thức sở A Không tổng quát ta giả sử: = … … = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ≠ ⋯ ⋯ ⋯ Là định thức sở A Do = , nên D đồng thời định thức sở Từ suy ra, r dòng đầu sở hệ véc tơ dòng Suy ra, dòng từ dòng thứ r+1 đến dòng m bdtt qua r dòng đầu Từ ta biến đổi dòng r+1,…,m thành dòng Điều chứng tỏ hệ ban đầu tương đương với hệ sau (giữ lại PT có số dòng với định thức sở): ⟶ ⟶ ⟹ − Vậy hệ vô − − − nghiệm − − − − − − = ≠ = Ví dụ 3: Giải hệ sau + − + + − Giải: ∎ Tìm , + + − − = = − = = − = + − + + − + + − − − = = − = = − − Biến đổi sơ cấp − = − − − ⟶ − − − − − − − − − − ⟶ − − − ⟶ − − − − − − − − − − − ⟶ − ⟶ − − − − − − − − − ⟶ − − − ⟶ − − − − − − − − − − − − ⟶ − − − Hệ có nghiệm − − − − − − ⟶ ⟹ = − − − − = = Để lập hệ sở, ta − chọn định thức = − − sở A − = =− − − − Nên hệ sở gồm PT đầu: ≠ − + − + + + − = = − = Đây hệ Cramer, nên theo quy tắc Cramer ta tìm nghiệm nhất: ,− ,− Ví dụ 4: Cho hệ + + + − + + = = = a) Với giá trị k hệ có nghiệm b) Biện luận theo k số nghiệm hệ Giải + =+ + −− = + = = + = ( ) Hệ có nghiệm − = − = = ( =− ≠ chung cho A ) Có định thức cấp bao quanh , − = − = = = − = ∎ Nếu = ⟹ ∎ Nếu ≠ = ⟹ = = = Như vậy, với k hệ ln có nghiệm Kết luận số nghiệm: ∎ Nếu k = ⟹ = =