bài tập he PT thuan nhat

§2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT Các nội dung chính: Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm... Hệ quả: Hệ thuần nhất với số PT bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi =..  Hệ t

§2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT Các nội dung chính:

 Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm

⋯

⋯

⋯

⋯

++

⋯+

Như vậy, đối với hệ thuần nhất câu hỏi đặt ra là: “Khi nào hệ có nghiệm không tầm thường?”

1 Điều kiện có nghiệm không tầm thường.

Chú ý: Ta luôn có: = , nên chỉ

có hai khả năng:

Hệ quả:

 Hệ thuần nhất với số PT bằng số ẩn

có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi =

 Hệ thuần nhất với số PT nhỏ hơn số

ẩn luôn có nghiệm không tầm thường.

Hãy chứng minh các kết quả này?

Hệ véc tơ cột của ma trận hệ số A độc lập tuyến tính thì = (n: số véc tơ cột = số cột = số ẩn) Vậy hệ không có nghiệm không tầm thường ∎

Ví dụ 2: (Bài 12 - Trang 200 - SGTr)

CMR: Nếu ma trận hệ số của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hai cột tỷ lệ thì hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường.

Nếu ma trận hệ số có hai cột tỷ lệ thì

hệ véc tơ cột sẽ PTTT, nên <

⟹ hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường ∎

Ví dụ 3: (Bài 13 - Trang 200 - SGTr)

Ma trận hệ số của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 9 ẩn số có

ma trận chuyển vị bằng ma trận đối của nó Hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường hay không? Tại sao?

2 Cấu trúc tập hợp nghiệm

 Mỗi nghiệm của hệ pttt thuần nhất n

ẩn số cũng là một bộ gồm n số có thứ tự, nên có thể xem mỗi nghiệm

đó như một véc tơ n chiều, hoặc một ma trận cột.

 Gọi L là tập nghiệm của hệ thuần

nhất, thì:

Định lý: Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ thuần nhất n ẩn số là một không gian con của

Chứng minh.

Hãy nhắc lại khái niệm và cách chứng minh một tập con là KGC?

3 Hệ nghiệm cơ bản

Xét không gian nghiệm của hệ thuần nhất khi nó có vô số nghiệm ( < )

Định nghĩa: Hệ nghiệm cơ bản của một

hệ thuần nhất là một cơ sở của không gian nghiệm của hệ thuần nhất đó.

Nhận xét:

 Một hệ thuần nhất có nhiều hệ nghiệm

 Nếu , , … , là một hệ nghiệm cơ

bản của hệ thuần nhất thì nghiệm tổng quát của hệ đó là:

( , , … , là các số bất kỳ)

Câu hỏi đặt ra là:

cơ bản như thế nào?

Định lý: Khi r(A) = r < n thì không gian nghiệm của hệ thuần nhất n ẩn AX = 0 là một KGC n – r chiều của

Nhận xét:

Số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản = n – r

= số ẩn – hạng của ma trận hệ số = số ẩn

tự do.

+ Khi đó, mỗi bộ n – r số

, … , bất kỳ gán cho các ẩn

tự do , , … , cho tương ứng một nghiệm của hệ Mỗi bộ đó có thể xem như một véc tơ n – r chiều Nếu dùng các véc tơ đơn vị n – r chiều

, , … , làm các bộ số gán cho các

ẩn tự do thì ta có n – r nghiệm sau:

⋮10

⋮

⋮

⋮, … , =

⋮

⋮

Ta sẽ chứng minh , , … , là một

hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

∘ Trước hết ta thấy rằng các nghiệm

, , … , ĐLTT.

Thật vậy,

G Điều này chứng tỏ nghiệm nghiệm bất

kỳ G của hệ biểu diễn tuyến tính qua.

Vậy , , … , là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất đã cho Định lý được chứng minh.

Nhận xét:

 Phép chứng minh định lý trên đồng

thời chỉ ra cách tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

 Trong chứng minh trên thay vì chọn

hệ véc tơ đơn vị gán cho các ẩn tự do,

ta có thể chọn hệ véc tơ n – r chiều ĐLTT (Thường lấy các dòng của một định thức khác 0, cấp n – r )

Các bước tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất AX = 0

 Tìm hạng của ma trận hệ số: =

 Chọn một định thức con cơ sở D của

ma trận hệ số A Theo D ta lập hệ phương trình cơ sở và chỉ định các ẩn chính, các ẩn tự do.

(Khi = < thì hệ phương trình cơ

sở có r phương trình và có n – r ẩn tự do)

 Biểu diễn các ẩn chính qua ẩn tự do

(gần như giải hệ)

 Chọn n – r véc tơ n – r chiều ĐLTT làm

các bộ số gán cho các ẩn tự do

(thường chọn hệ véc tơ đơn vị n – r chiều: , , … , ∈ ).

Mỗi bộ số đó cho ta một nghiệm của hệ nghiệm cơ bản.

Ví dụ: Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ:

=

=

=

Giải:

∎ Tìm được =

∎ Chọn một định thức con cơ sở của A (cấp 2 khác 0): = = ≠

∎ Từ định thức con cơ sở này ta lập hệ

PT cơ sở (giữ lại 2 PT đầu của hệ đã

∎ Chuyển các số hạng chứa ẩn tự do sang vế phải:

∎ , = , ⟹ nghiệm:

= , − , ,, = , ⟹ nghiệm:

= − , , ,

∎ Hệ nghiệm cơ bản là: ,

Chú ý 1: Ta có thể chọn các dòng của một định thức khác 0 để gán cho các ẩn tự do

để được các hệ nghiệm cơ bản khác nhau, Chẳng hạn:

, = , ⟹ nghiệm: = − , , ,

⟹Hệ nghiệm cơ bản là: ,

Chú ý 2: Nếu ta đã giải được hệ thuần nhất, tức là đã tìm được nghiệm tổng quát thì từ nghiệm tổng quát ta dễ dàng suy ra được hệ nghiệm cơ bản:

=

−

− +

Giải Từ giả thiết ta suy ra:

Như vậy, câu hỏi trở thành tìm k để

=

Xét A: = = = ≠ Có hai định thức con cấp 3 bao quanh D:

Ví dụ 3: Tìm một hệ nghiệm cơ bản của

Đáp số:

−

4 Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất

Định nghĩa: Hệ (2) được gọi là hệ thuân nhất liên kết của hệ (1).

Cùng vế trái

Định lý:

 Tổng một nghiệm của (1) với mọt

nghiệm của (2) là một nghiệm của (1).

 Hiệu hai nghiệm của (1) là một

nghiệm của (2).

 Từ đây, suy ra: Nghiệm TQ của (1) =

nghiệm riêng của (1) + Nghiệm TQ của (2).

Ví dụ 1: Cho hệ

+

− + +

− +

−

−

− +

Tìm nghiệm tổng quát của hệ trên, từ đó tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm

cơ bản của hệ phương trình thuần nhất liên kết của nó.

Giải:

 Tìm nghiệm tổng quát của hệ không

thuần nhất:

+ Ta có, = = , chọn định thức con cơ sở: = − ≠

+ Lập hệ PT cơ sở:

+

−

− +

− +

 Lấy hiệu của 2 nghiệm: − ta được nghiệm TQ của hệ thuần nhất liên kết:

bằng số ẩn tự do:

+ Ta có:

= + + −

52