bài tập he PT thuan nhat

§2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT Các nội dung chính:  Điều kiện tồn nghiệm không tầm thường  Cấu trúc tập hợp nghiệm  Hệ nghiệm  Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính khơng Chú ý: Hệ viết dạng ma trận: + + ⋯ + = = + + ⋯ + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = + + ⋯ + ⟺ = 0 Hệ ln có nghiệm Như vậy, hệ câu hỏi đặt là: “Khi hệ có nghiệm khơng tầm thường?” Điều kiện có nghiệm khơng tầm thường Chú ý: Ta ln có: có hai khả năng: = , nên  = = : Hệ có nghiệm (chính nghiệm tầm thường)  = < : Hệ có vơ số nghiệm Từ đó, ta có định lý: Định lý: Hệ (n ẩn số) có nghiệm không tầm thường < Hệ quả: Hãy chứng minh kết này?  Hệ với số PT số ẩn có nghiệm không tầm thường =  Hệ với số PT nhỏ số ẩn ln có nghiệm khơng tầm thường Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Bài 11 - Trang 200 - SGTr) Nếu hệ phương trình tuyến tính có hệ véc tơ cột ma trận hệ số độc lập tuyến tính có nghiệm khơng tầm thường hay không? Tại sao? Giải Hệ véc tơ cột ma trận hệ số A độc lập tuyến tính = (n: số véc tơ cột = số cột = số ẩn) Vậy hệ khơng có nghiệm khơng tầm thường ∎ Ví dụ 2: (Bài 12 - Trang 200 - SGTr) CMR: Nếu ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính có hai cột tỷ lệ hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường Giải Nếu ma trận hệ số có hai cột tỷ lệ hệ véc tơ cột PTTT, nên < ⟹ hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường ∎ Ví dụ 3: (Bài 13 - Trang 200 - SGTr) Ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính ẩn số có ma trận chuyển vị ma trận đối Hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường hay khơng? Tại sao? Ví dụ 2: Cho hệ có ma trận hệ số là: − − − − − Tìm k để khơng gian nghiệm khơng gian chiều Khi tìm hệ nghiệm hệ Giải Từ giả thiết ta suy ra: − = ⟹ = − = − = Như vậy, câu hỏi trở thành tìm k để = Xét A: = = = ≠ Có hai định thức cấp bao quanh D: = − ; = • Nếu = ⟹ = • Nếu ≠ ⟹ = Kết luận: k = 13 + Tìm hệ nghiệm k = 13: − Đáp số: = ; = − Ví dụ 3: Tìm hệ nghiệm hệ (coi BTVN) + + + − − − − + + + − − = = = Đáp số: − = − ; = ; = − Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính không = ⟶ = Cùng vế trái Định nghĩa: Hệ (2) gọi hệ thuân liên kết hệ (1) Định lý:  Tổng nghiệm (1) với mọt nghiệm (2) nghiệm (1)  Hiệu hai nghiệm (1) nghiệm (2)  Từ đây, suy ra: Nghiệm TQ (1) = nghiệm riêng (1) + Nghiệm TQ (2) Nhận xét: Nếu giải hệ (1) ta suy nghiệm TQ hệ (2): Nghiệm TQ (2) = Nghiệm TQ (1) – nghiệm riêng (1) Ví dụ 1: Cho hệ + − + + − + − − − + − − + − + + = = = = Tìm nghiệm tổng qt hệ trên, từ tìm nghiệm tổng qt hệ nghiệm hệ phương trình liên kết Giải:  Tìm nghiệm tổng quát hệ không nhất: = + Ta có, = , chọn định thức =− ≠ sở: + Lập hệ PT sở: + − Ẩn chính: , − + − + = = + − ; ẩn tự do: , , + Gán cho ẩn tự số tùy ý: = , = , = Ta được: = + + − = − − + + − Giải hệ ta được: = + ; = + + − Nghiệm tổng quát hệ cho là: = + = , ; = , = + = + − , =  Tìm nghiệm riêng hệ khơng + Từ nghiệm TQ, chọn: có nghiệm riêng: = ; = , = , = = , = = = : ta =  Lấy hiệu nghiệm: − ta nghiệm TQ hệ liên kết: = = , ; = + − , = , =  Tìm hệ nghiệm hệ liên kết: + Số nghiệm hệ nghiệm số ẩn tự do: + Ta có: = + − = + + − = + + Hệ nghiệm cần tìm là: − , 52 ,