he PT tuyen tinh tong quat1

Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT) Ta biết phương pháp sơ cấp để giải hệ pttt (pp Gauss) Chương đưa thêm phương pháp khác để khảo sát hệ pttt cách tổng quát nhờ vào công cụ ma trận định thức Các vấn đề định tính định lượng, chẳng hạn: Khi hệ có nghiệm? Có nghiệm? Mơ tả tập hợp nghiệm? Tìm nghiệm? Sẽ giải đáp chương quan trọng Tât nhiên thực hành ta kết hợp nhiều phương pháp kết nhanh chóng gọn gàng nhất!! Trước tiên ta xét hai phương pháp phương pháp ma trận phương pháp định thức để giải loại hệ đặc biệt là: Hệ Cramer § 1: Phương pháp ma trận định thức Hệ Cramer: Định nghĩa: Hệ Cramer hệ pttt thỏa mãn điều kiện:  Số phương trình số ẩn  Ma trận hệ số không suy biến ( ( )≠ ) Ví dụ: Hãy cho biết hệ sau có hệ Cramer? − − + + + + = = − = Giải:  Hiển nhiên: số PT = số ẩn (= )  = = − − = Vậy hệ cho hệ Cramer ≠ Phương pháp ma trận Một hệ pttt viết dạng ma trận: AX = B (1) Nếu hệ (1) hệ Cramer ( )≠ ⟶∃ = ⟺ Từ đó, ⟺ = = ⟺ = = Như vậy, Hệ Cramer ln có nghiệm nhất: = Phương pháp giải hệ nhờ công thức gọi phương pháp ma trận Ví dụ: Giải hệ sau phương pháp ma trận (phương pháp ma trận nghịch đảo): − − + + + + = = − = Giải:  = = − − = ≠  Hệ hệ Cramer nên có nghiệm nhất: = − − =   = ∗ − = − − − = − − − − −  = = = Vậy nghiệm là: Phương pháp định thức (Quy tắc Cramer) = − − − , ,− GABRIEL CRAMER ( 1704 – 1752) Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 Geneva, Thụy Sĩ 4/1/1752 Bangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có nhiều cố gắng việc học tập Năm 1722, 18 tuổi ông đạt học vị tiến sĩ cho luận án dựa lý thuyết âm Cramer tiếng người biên soạn thiên tài Cuốn sách tiếng ông “ Introduction l’analyse des lignes courbes algébraique”, có qui tắc Cramer tiếng Định lý sau gọi Quy tắc Cramer: Định lý: Hệ Cramer n ẩn số , , … , ln có nghiệm xác định cơng thức: = Trong đó, , = = ,…, = ( ), A - ma trận hệ số Cột thứ j = ⋮ Các cột lại giống hệt d Chứng minh: Hệ Cramer ln có nghiệm nhất: = ⋮ ⟶ = ⋯ ⋯ ⋯ = = ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯ + ⋮ ⋮ +⋯+ Chính ⟶ = ∎ Ví dụ: Giải hệ sau quy tắc Cramer − − + + + + = = − = Giải:  = = − − = ≠  Hệ hệ Cramer nên có nghiệm nhất: = , Cột số hạng tự = − = , = − − = = = − − − − − Vậy nghiệm là: = =− , ,− Ví dụ: Tìm m để hệ sau hệ Cramer, giải hệ quy tắc Cramer − + + + − − + = − − − = = − = Giải:  = = +  Hệ cho hệ Cramer ⟺ ⟺ + ≠ ⟺ ≠ ≠−  Khi đó, hệ có nghiệm nhất: = = − , = , = − − = − = − − − − = − = − = − Vậy nghiệm là: = − + , = − + , = ………….21 ………… +