Lý thuyết hệ thống tuyến tính thời gian bất biến

Nó nghiên cứu đáp ứng của một hệ thống tuyến tínhvàthời gian bất biếnđối với một tín hiệu đầu vào tùy ý.. • Tuyến tính có nghĩa là mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống là mộtb

Lý thuyết hệ thống tuyến tính thời gian bất

biến

Mục lục

1.1 Tổng quan 1

1.2 Các hệ thống thời gian liên tục 2

1.2.1 Đáp ứng xung và tích chập 2

1.2.2 Các hàm mũ là hàm đặc trưng 2

1.2.3 Biến đổi Fourier và Laplace 3

1.2.4 Các ví dụ 3

1.2.5 Các thuộc tính quan trọng của hệ thống 3

1.3 Các hệ thống thời gian rời rạc 4

1.3.1 Các hệ thống thời gian rời rạc từ các hệ thống thời gian liên tục 4

1.3.2 Đáp ứng xung và tích chập 4

1.3.3 Hàm mũ là hàm đặc trưng 4

1.3.4 Biếu đổi Z và biến đổi Fourier thời gian rời rạc 4

1.3.5 Các ví dụ 5

1.3.6 Ví dụ 5

1.3.7 Các thuộc tính quan trọng của hệ thống 5

1.4 Ghi chú 5

1.5 Xem thêm 6

1.6 am khảo 6

1.7 Đọc thêm 6

2 Vẻ đẹp của toán học 7 2.1 Nét đẹp qua các con số 7

2.2 Nét đẹp qua các công thức 7

2.3 Nét đẹp trong các phương pháp chứng minh 7

2.4 Nét đẹp trong các kết quả tìm ra 8

2.5 Nét đẹp trong sự bí ẩn 8

2.6 Bức tranh nghệ thuật của toán học 8

2.7 Xem thêm 8

2.8 am khảo 8

2.9 Liên kết ngoài 8

2.10 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh 9

2.10.1 Văn bản 9

i

ii MỤC LỤC

2.10.2 Hình ảnh 9

2.10.3 Giấy phép nội dung 9

Chương 1

Lý thuyết hệ thống tuyến tính thời gian

bất biến

Lý thuyết thời gian bất biến tuyến tính, thường được

gọi là lý thuyết hệ thống LTI, xuất phát từ toán ứng

dụng và có các ứng dụng trực tiếp trongquang phổ

học cộng hưởng từ hạt nhân,địa chấn học,mạch điện,

xử lý tín hiệu,lý thuyết điều khiển, và các lĩnh vực kỹ

thuật khác Nó nghiên cứu đáp ứng của một hệ thống

tuyến tínhvàthời gian bất biếnđối với một tín hiệu

đầu vào tùy ý ỹ đạo của các hệ thống này thường

được đo lường và theo dõi khi chúng di chuyển theo

thời gian (ví dụ như, một dạng sóng âm), nhưng trong

các ứng dụng nhưxử lý hình ảnhvàlý thuyết trường,

các hệ thống LTI cũng có quỹ đạo theo chiều không

gian Do đó, các hệ thống này cũng được gọi là tuyến

tính dịch chuyển bất biến để tạo cho lý thuyết này tính

tổng quát nhất có thể Trong trường hợp các hệ thống

thời gian rời rạcnói chung (tức là,lấy mẫu), tuyến tính

dịch chuyển bất biến là một thuật ngữ tương ứng Một ví

dụ tốt về hệ thống LTI là mạch điện mà được tạo thành

từ điện trở, tụ điện và cuộn cảm.[1]

1.1 Tổng quan

Các tính chất xác định của bất kỳ hệ thống LTI nào là

tuyến tính và thời gian bất biến

• Tuyến tính có nghĩa là mối quan hệ giữa đầu vào

và đầu ra của hệ thống là mộtbiến đổi tuyến tính:

Nếu đầu vào x1(t) tạo ra đáp ứng y1(t), và đầu

vào x2(t) tạo ra đáp ứng y2(t), sau đó nhân hệ

số và cộng lại đầu vào a1x1(t) + a2x2(t) tạo ra

đáp ứng tích và tổng a1y1(t) + a2y2(t) trong đó

a1và a2là cácđại lượng vô hướng thực Điều này

có thể được mở rộng đến bất kỳ số lượng các đáp

ứng đầu vào, và các số thực c1, c2, , c k,

Đầu vào∑

k c k x k (t)tạo ra đầu ra

∑

k c k y k (t).

đặc biệt,

trong đó c ω và x ωlà các hệ số và đầu vào khác

nhau trong mộtmiền liên tụctheo ω Vì vậy

nếu một hàm đầu vào có thể được đại diện bởi một chuỗi các hàm đầu vào, kết hợp “tuyến tính”, như ta thấy, thì tương ứng với hàm đầu

ra có thể được đại diện bởi chuỗi các hàm đầu

ra tương ứng, thang và tổng cũng như vậy.

• ời gian bất biến có nghĩa rằng cho dù chúng ta

áp dụng một đầu vào cho hệ thống ngay bây giờ

hoặc T giây từ bây giờ, thì đầu ra sẽ giống hệt nhau ngoại trừ một thời gian trễ T giây DO đó, nếu đầu

ra theo đầu vào x(t) là y(t) , thì đầu ra theo đầu vào x(t − T ) là y(t − T ) Do đó, hệ thống này là

thời gian bất biến vì đầu ra không phụ thuộc vào thời gian cụ thể đưa vào đầu vào

Kết quả cơ bản trong lý thuyết hệ thống LTI là bất kỳ

hệ thống LTI nào đều cũng có thể được miêu tả hoàn toàn bởi một hàm duy nhất được gọi làđáp ứng xung

của hệ thống Đầu ra của hệ thống chỉ đơn giản làtích chậpcủa đầu vào của hệ thống với đáp ứng xung của hệ thống Phương pháp phân tích này thường được gọi là quan điểmmiền thời gian Kết quả tương tự cũng đúng với các hệ thống thời gian rời rạc tuyến tính thay đổi bất biến, trong đó các tín hiệu được lấy mẫu theo thời gian rời rạc, và tích chập được xác định theo trình tự Một cách tương đương, bất kỳ hệ thống LTI nào cũng

có thể được miêu tả trongmiền tần sốbởihàm truyền

của hệ thống đó, đó làbiến đổi Laplacecủa đáp ứng xung của hệ thống (hoặc biến đổi Z trong trường hợp của các hệ thống thời gian rời rạc) Do tính chất của các phép biến đổi này, đầu ra của hệ thống trong miền tần số là tích của hàm truyền và biến đổi của đầu vào

hệ thống đó Nói cách khác, tích chập trong miền thời gian là tương đương với phép nhân trong miền tần số Đối với tất cả các hệ thống LTI, cáchàm đặc trưngvà các hàm cơ bản của các bộ biến đổi, là cáchàm mũ phức

Do đó, nếu đầu vào của một hệ thống có dạng sóng

phức Ae st với biên độ phức A và tần số phức s , thì

đầu ra sẽ là hằng số phức nào đó nhân với đầu vào,

đó là Be st với biên độ phức mới B TỈ số B/A là hàm truyền tại tần số s

1

2 CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH THỜI GIAN BẤT BIẾN

Bởi vì sóng sin là một tổng của các hàm mũ phức tạp

với các tần số phức liên hợp, nếu đầu vào của hệ thống

là một hình sin, thì đầu ra của hệ thống cũng sẽ là một

hình sin, có lẽ với mộtbiên độkhác và mộtphakhác,

nhưng luôn luôn cùng tần số khi đạt đến trạng thái ổn

định Các hệ thống LTI không thể tạo ra các thành phần

tần số mà không có trong đầu vào

Lý thuyết hệ thống LTI mô tả nhiều hệ thống quan

trọng rất tốt Hầu hết các hệ thống LTI được coi là “dễ"

để phân tích, ít nhất so với các trường hợp thời gian

biến đổi và/hoặcphi tuyến Bất kỳ hệ thống nào có

thể được mô hình hóa bằng mộtphương trình vi phân

tuyến tính thuần nhất với các hệ số không đổi là một hệ

thống LTI Ví dụ về các hệ thống như vậy là mạch điện

gồm cácđiện trở,cuộn cảm, vàtụ điện(mạch RLC) Các

hệ thống giảm xóc bằng lò xo lý tưởng cũng là những

hệ thống LTI, và tương đương toán học với các mạch

RLC

Hầu hết các khái niệm hệ thống LTI là tương tự nhau

giữa các trường hợp thời gian liên tục và thời gian rời

rạc (dịch chuyển bất biến tuyến tính) Trong xử lý ảnh,

các biến thời gian được thay thế bằng hai biến không

gian, và khái niệm thời gian bất biến được thay thế bởi

dịch chuyển bất biến hai chiều Khi phân tích cácgiàn

bộ lọcvà các hệ thốngMIMO, thường rất hữu ích để

xem xét cácvectơcủa tín hiệu

Một hệ thống tuyến tính mà không phải là thời gian

bất biến có thể được giải bằng cách sử dụng các phương

pháp khác như phương pháphàm Green Phương pháp

tương tự cũng phải được sử dụng khi các điều kiện ban

đầu của bài toán không phải là rỗng

1.2 Các hệ thống thời gian liên tục

1.2.1 Đáp ứng xung và tích chập

Hành vi của một hệ thống tuyến tính, thời gian liên tục,

thời gian bất biến với tín hiệu đầu vào x(t) và tín hiệu

đầu ra y(t) được mô tả bởi tích phân tích chập:[2]

trong đó h(t) là đáp ứng của hệ thống đối với mộtxung:

x(τ ) = δ(τ ) y(t)do đó tỷ lệ với một trọng số trung

bình của hàm đầu vào x(τ) Hàm trọng số là h( −τ),

dịch chuyển đơn giản một lượng t Khi t thay đổi, hàm

trọng số làm nổi bật các phần khác nhau trong hàm

đầu vào Khi h(τ) bằng không cho tất cả τ, âm, y(t)

chỉ phụ thuộc vào các giá trị củaf x hơn là thời gian t,

và hệ thống được xem lànhân quả

Để hiểu lý do tại sao tích chập tạo ra ở đầu ra của một

hệ thống LTI, ta ký hiệu{x(u − τ); u} để biểu diễn

hàm x(u − τ) với biến u và hằng số τ Và ký hiệu ngắn

hơn{x} để biểu diễn {x(u); u} Sau đó một hệ thống

thời gian liên tục chuyển đổi một hàm đầu vào,{x},

thành một hàm đầu ra,{y} Và nói chung, mỗi giá trị

của đầu ra có thể phụ thuộc vào tất cả giá trị của đầu vào Khái niệm này được biểu diễn bởi:

trong đó O t là toán tử biến đổi theo thời gian t Trong một hệ thống điển hình, y(t) phụ thuộc nhiều nhất vào các giá trị của x xảy ra gần thời gian t Trừ phi tự biến đổi chính nó theo t, hàm đầ ra là hằng số, và hệ thống

này chả có gì để chú ý

Đối với một hệ thống tuyến tính, O phải thỏa mãnEq.1 :

Và yêu cầu thời gian bất biến là:

Chúng ta có thể viết đáp ứng xung này theo ký hiệu

trên như sau h(t)def= O t {δ(u); u}.

Tương tự:

ay kết quả này vào tích chập:

which has the form of the right side ofEq.2for the case

c τ = x(τ ) and x τ (u) = δ(u −τ).Eq.2then allows this

continuation:

Tóm lại, hàm đầu vào,{x}, có thể được mô tả bởi một

continuum của các hàm xung dịch chuyển theo thời gian, liên kết “tuyến tính”, như phương trình Eq.1 ở trên uộc tính tuyến tính của hệ thống cho phép đáp ứng của hệ thống được thể hiện bởi continuum của các đáp ứng xung tương ứng, liên kết cùng cách thức tương

tự Và thuộc tính thời gian bất biến cho phép liên kết

đó được mô tả bởi tích phân tích chập

Các phép toán trên có một mô phỏng đồ họa đơn giản.[2]

1.2.2 Các hàm mũ là hàm đặc trưng

Mộthàm đặc trưnglà một hàm mà đầu ra của phép toán là một bản đồng dạng tỷ lệ của cùng hàm số Đó là,

Hf = λf

trong đó f là hàm đặc trưng và λ làvectơ riêng, một hằng số

Cáchàm mũAe st , trong đó A, s ∈ C , là các hàm đặc

trưng của một toán tửthời gian bất biến, tuyến tính Một ví dụ minh họa đơn giản khái niệm này Giả sử

đầu vào là is x(t) = Ae st Đầu ra của hệ thống với đáp

ứng xung h(t) sẽ là

trong đó, với thuộc tính giao hoán củatích chập, tương đương với

Trong đó đại lượng vô hướng chỉ phụ thuộc vào tham số s

1.2 CÁC HỆ THỐNG THỜI GIAN LIÊN TỤC 3

Vì vậy đáp ứng của hệ thống là tỉ lệ đồng dạng với đầu

vào Đặc biệt, đối với bất kỳ A, s ∈ C , đầu ra của hệ

thống là tích của đầu vào Ae st và hằng số H(s) Trong

đó, Ae stlà mộthàm đặc trưngcủa một hệ thống LTI,

vàvectơ riêngtương ứng là H(s)

Direct proof

1.2.3 Biến đổi Fourier và Laplace

Tính chất hàm mũ của hàm đặc trưng rất hữu ích cho

việc phân tích và tìm hiểu các hệ thống LTI Cácbiến

đổi Laplace

chính la cách để có được các giá trị riêng từ đáp ứng

xung Đăch biệt là các tín hiệu theo hình sin chuẩn

(nghĩa là các hàm mũ có dạng e jωt trong đó ω ∈ R

và jdef=√

−1 ) Chúng thường được gọi là các hàm mũ

phức ngay cả khi argument chỉ có phần ảo.Biến đổi

FourierH(jω) = F{h(t)} cho ta các giá trị riêng cho

các tín hiệu thuần sin phức Cả H(s) và H(jω) đều

được gọi là hàm hệ thống, đáp ứng hệ thống, hoặc hàm

truyền.

Biến đổi Laplace thường được sử dụng trong bối cảnh

của các tín hiệu một chiều, tức là tín hiệu là zero cho

tất cả các giá trị của t ít hơn so với một số giá trị khác.

ông thường, “thời gian bắt đầu” này được thiết lập

bằng zero, để thuận tiện và không mất tính tổng quát,

với biến đổi tích phân được lấy từ zero đến vô cùng (các

biến đổi chỉ ra ở trên cùng với giới hạn dưới của tích

phân âm vô cùng được chính thức biết đến làbiến đổi

Laplace song phương)

1.2.4 Các ví dụ

• Một ví dụ đơn giản của một toán tử LTI làđạo hàm

• d

d t (c1x1(t) + c2x2(t)) = c1x ′

1(t) + c2x ′

2(t)

(nghĩa là nó là tuyến tính)

• d

d t x(t − τ) = x ′ (t − τ) (nghĩa là nó là thời

gian bất biến)

Khi biến đổi Laplace của đạo hàm này được

thực hiện, nó sẽ biến đổi thành một phép

nhân đơn giản bởi biến Laplace s

Đạo hàm này là một biến đổi Laplace đơn

giản giải thích phần nào sự tiện lợi của phép

biến đổi này

• Một toán tử LTI đơn giản khác là toán tử lấy trị

trung bình

Dùng tính chất tuyến tính của tích phân

nó là tuyến tính Ngoài ra, bởi vì

nó là thời gian bất biến ực tế, A có thể

được viết dưới dạng tích chập với can be

wrien as a convolution with the boxcar

function Π(t) at is,

where the boxcar function

1.2.5 Các thuộc tính quan trọng của hệ

thống

Hai tính chất quan trọng nhất của một hệ thống là tính nhân quả và tính ổn định Tính nhân quả là một điều cần thiết nếu biến độc lập là thời gian, nhưng không phải tất cả các hệ thống đều lấy thời gian là một biến độc lập Ví dụ, một hệ thống xử lý hình ảnh tĩnh không cần phải có tính nhân quả Các hệ thống phi nhân quả

có thể được xây dựng và có thể hữu ích trong nhiều tình huống Ngay cả các hệ thốngkhông thựccó thể được xây dựng và rất hữu ích trong nhiều trường hợp

Tính nhân quả

Một hệ thống là nhân quả nếu đầu ra chỉ phụ thuộc vào hiện tại và quá khứ, mà không phụ thuọc đầu vào tương lai Một điều kiện cần và đủ của quan hệ nhân quả là(đoạn này khó hiểu thế)

trong đó h(t) là đáp ứng xung Nói chung không thể

xác định tính nhân quả từ biến đổi Laplace, vì biến đổi nghịch đảo là không duy nhất Khi một vùng hội tụ

được xác định, thì tính nhân quả có thể được xác định

Tính ôn định

Một hệ thống là ổn định giới hạn đầu vào, giới hạn

đầu ra (ổn định BIBO) nếu, với mỗi đầu vào bị chặn,

đầu ra là hữu hạn Về mặt toán học, nếu mỗi đầu vào đáp ứng

sẽ dẫn tới một đầu ra thỏa mãn (do đó, mộtgiá trị tuyệt đối cực đạicủa x(t) bao hàm giá trị tuyệt đối cực đại của y(t) ), thì hệ thống đó là

ổn định Một điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung h(t)

phải nằm trong L1(có một chuẩn mực L1hữu hạn): Trong miền tần số,vùng hội tụphải chứa trục ảo s =

jω

As an example, the ideal low-pass filter with impulse response equal to asinc function is not BIBO stable, because the sinc function does not have a finite L1

norm us, for some bounded input, the output of the ideal low-pass filter is unbounded In particular, if the

input is zero for t < 0 and equal to a sinusoid at the cut-off frequency for t > 0 , then the output will be

unbounded for all times other than the zero crossings

4 CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH THỜI GIAN BẤT BIẾN

1.3 Các hệ thống thời gian rời rạc

Hầu hết tất cả mọi thứ trong các hệ thống thời gian liên

tục đều có một bản sao trong các hệ thống thời gian rời

rạc

1.3.1 Các hệ thống thời gian rời rạc từ các

hệ thống thời gian liên tục

Trong nhiều trường hợp, một hệ thống thời gian rời

rạc (DT-discrete time) thực sự là một phần của một hệ

thống thời gian liên tục (CT-continuous time) lớn hơn

Ví dụ, một hệ thống ghi âm kỹ thuật số có một âm

thanh analog, số hóa nó, có thể xử lý tín hiệu kỹ thuật

số này, và phát lại một âm thanh analog tương tự cho

mọi người nghe

Về mặt hình thức, các tín hiệu DT được nghiên cứu hầu

như luôn luôn là các phiên bản lấy mẫu đồng đều của

tín hiệu CT Nếu x(t) là một tín hiệu CT, thì mộtbộ

chuyển đổi từ analog sang kỹ thuật sốsẽ chuyển đổi

nó thành tín hiệu DT:

Trong đó T làchu kỳ lấy mẫuperiod Việc giới hạn dải

tần số trong tín hiệu đầu vào để thể hiện chính xác

trong tín hiệu DT là rất quan trọng, vìđịnh lý lấy mẫu

đảm bảo rằng không có thông tin về tín hiệu CT bị mất

Một tín hiệu DT có thể chỉ chứa một dải tần số bằng

1/(2T ); các tần số khác bịlàm méo(qui) về dải lấy mẫu

1.3.2 Đáp ứng xung và tích chập

Cho{x[m − k]; m} thể hiện chuỗi {x[m-k]; đối với tất

cả các giá trị nguyên của m}

And let the shorter notation{x} represent {x[m]; m}.

Một hệ thống rời rạc biến đổi một chuỗi đầu vào,{x}

thành một chuỗi đầu ra, {y} Tổng quát, mọi thành

phần của đầu ra có thể phụ thuộc vào mọi thành phần

của đầu vào Biểu diễn phép toán biến đổi này bởi O ,

chúng ta có thể viết:

Lưu lý rằng trừ phi biến đổi này tư nó thay đổi theo n,

chuổi đầu ra chỉ là hằng số, và hệ thống là đơn điệu

(Do đó chỉ số dưới, n.) Trong một hệ thống điển hình,

y[n] hầu như phụ thuộc phần lớn vào thành phần x,

thành phần có chỉ số gần như n.

Trong trường hợp đặc biệt củahàm delta Kronecker,

x[m] = δ[m],chuỗi đầu ra là đáp ứng xung:

Đối với một hệ thống tuyến tính, O phải thỏa mãn:

Và thời gian bất biến yêu cầu là:

Trong một hệ thống như vậy, đáp ứng xung,{h}, mô tả

đặc điểm của hệ thống hoàn toàn Tức là, đối với bất kỳ

chuỗi đầu vào nào, chuỗi đầu ra có thể được tính toán

trong điều kiện của đầu vào và đáp ứng xung Để xem

điều này được thực hiện như thế nào hãy xem đồng

nhất thức sau:

trong đó biểu thức {x} theo tổng các hàm trọng số

delta

Do đó:

trong đó chúng ta viện dẫn phương trìnhEq.4 trong

trường hợp c k = x[k] và x k [m] = δ[m − k].

VÀ bởi vì phương trìnhEq.5, chúng ta có thể viết:

Do đó:

đó là công thức chập rời rạc quen thuộc Toán tử O_n\,

có thể được hiểu là tỷ lệ thuận với trung bình trọng số

của hàm x[k] Hàm trọng số này là h[k], chỉ đơn giản

là thay đổi bởi lượng n Khi n thay đổi, hàm trọng số

nhấn mạnh các phần khác nhau của hàm đầu vào Một cách tương đương, đáp ứng của hệ thống đối với một

xung tại n = 0 là một bản sao đảo ngược “thời gian” của hàm trọng số không dịch chuyển Khi h[k] là zero cho tất cả số âm k, hệ thống được gọi là nhân quả.

1.3.3 Hàm mũ là hàm đặc trưng

Một hàm đặc trưng là một hàm mà đầu ra của các toán hạng có hàm tương đương, chỉ thay đổi bởi một lượng

tỉ lệ Trong các biểu tượng,

Hf = λf

trong đó f là hàm đặc trưng và λ là isvéc tơ riêng, một hằng số

Hàm mũz n = e sT n , trong đó n ∈ Z , là hàm đặc

trưng của toán tử tuyến tính, thời gian bất biến T ∈ R

khoảng thời gian lấy mẫu, và z = e sT , z, s ∈ C Một

ví dụ đơn giản minh họa khái niệm này

Cho đầu vào là x[n] = z n Đầu ra của hệ thống với

đáp ứng xung h[n] sẽ là

là tương đương với tính chất giao hoán sau của tích chập

chỉ phụ thuộc vào tham số z

Do đó z nlà một hàm đặc trưng của một hệ thống LTI bởi vì đáp ứng của hệ thống đó là tương đương với đầu

vào nhân với hằng số H(z)

1.3.4 Biếu đổi Z và biến đổi Fourier thời

gian rời rạc

uộc tính riêng của hàm mũ là rất hữu ích cho cả việc phân tích và nghiên cứu sâu vào các hệ thống LTI.Biến đổi Z

chính là cách để lấy véc tơ riêng từ đáp ứng xung Đặc biệt là đối với các tín hiệu thuần sin, nghĩa là hàm mũ có

1.4 GHI CHÚ 5

dạng e jωn , trong đó ω ∈ R Biểu thức này cũng có thể

viết lại theo z n với z = e jω Điều này thường được gọi

là hàm mũ phức ngay cả khi argument chỉ toàn là phần

ảo Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) H(e jω) =

F{h[n]} cho các véc tơ rieng của hàm sin chuẩn Cả

H(z) và H(e jω)đều được gọi là hàm hệ thống, đáp ứng

hệ thống, hoặc hàm truyền.

Biến đổi Z thường được sử dụng trong bối cảnh của các

tín hiệu một chiều, tức là tín hiệu mà zero cho tất cả

các giá trị của t nhỏ hơn so với một số giá trị ông

thường, “thời gian bắt đầu” này được thiết lập bằng

không, để thuận tiện và không mất tính tổng quát Biến

đổi Fourier được sử dụng để phân tích các tín hiệu trong

phạm vi vô tận

Do tính chất tích chập của cả hai biến đổi này, tích

chập cung cấp đầu ra của hệ thống có thể được biến

đổi thành một phép nhân trong miền biến đổi Đó là,

Cũng như với biến đổi Laplace của hàm truyền trong

phân tích hệ thống thời gian liên tục, biến đổi Z làm

cho việc phân tích các hệ thống dễ dang hơn và hiểu

sâu hơn về hành vi của chúng Người ta có thể nhìn

vào các mô đun hàm hệ thống |H(z)| để xem liệu đầu

vào z^n được thông qua (cho qua) bởi hệ thống, hoặc

bị từ chối hoặc bị suy giảm bởi hệ thống (không cho

qua)

1.3.5 Các ví dụ

• Một ví dụ đơn giản của một toán tử LTI là toán tử

trễ D {x[n]}def= x[n − 1]

• D (c1.x1[n] + c2.x2[n]) = c1.x1[n − 1] +

c2.x2[n −1] = c1.Dx1[n]+c2.Dx2[n](nghĩa

là nó là tuyến tính)

• D{x[n−m]} = x[n−m−1] = x[(n−1)−

m] = D {x}[n − m] (nghĩa là nó là thời gian

bất biến)

Biến đổi Z của toán tử trễ là một phép nhân

đơn giản bởi z−1 Đó là,

• Một toán tử LTI đơn giản khác là toán tử trung

bình

1.3.6 Ví dụ

1.3.7 Các thuộc tính quan trọng của hệ

thống

Các đặc tính đầu vào-đầu ra của hệ thống thời gian rời

rạc LTI hoàn toàn được mô tả bởi đáp xung h[n] Một

số thuộc tính quan trọng nhất của một hệ thống là tính

nhân quả và ổn định Không giống như các hệ thống

CT, các hệ thống phi nhân quả DT có thể được thực

hiện Làm cho một hệ thống FIR phi nhân quả thành

nhân quả bằng cách thêm các trễ thì không quan trọng

Ta thậm chí có thể làm cho các hệ thống IIR phi nhân quả.[3] Các hệ thống không ổn định có thể được xây dựng và có thể hữu ích trong nhiều tình huống Ngay

cả hệ thốngkhông thựccũng có thể được xây dựng và rất hữu ích trong nhiều trường hợp

Tính nhân quả

Một hệ thống LTI thời gian rời rạc là nhân quả nếu giá trị hiện tại của đầu ra chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại

và giá trị quá khứ của đầu vào.,[4]Một điều kiện cần và

đủ cho tính nhân quả là

trong đó h[n] là đáp ứng xung Không thể tổng quát

khi xác định quan hệ nhân quả từ biến đổi Z, vì biến đổi nghịch đảo là không duy nhất Khi mộtvùng hội tụ

được xác định, thì quan hệ nhân quả có thể được xác định

Tính ổn định

Một hệ thống là giới hạn đầu vào, ổn định giới hạn

đầu ra (ổn định BIBO) nếu, với mỗi đầu vào bị chặn,

đầu ra là hữu hạn Về mặt toán học, nếu

có nghĩa là (nghĩa là, nếu đầu vào bị chặn bao gồm cả đầu ra bị chặn, nghĩa là cácgiá trị tuyệt đối lớn nhấtcủa x[n]

và y[n] là có giới hạn), thì hệ thống đó là ổn định Một điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung h[n] , thỏa mãn

• Một ví dụ đơn giản của một bộ điều khiển LTI là

hàm trễ D {x[n]}def= x[n − 1]

• D (c1x1[n] + c2x2[n]) = c1x1[n − 1] +

c2x2[n − 1] = c1Dx1[n] + c2Dx2[n] (có nghĩa là tuyến tính)

• D{x[n−m]} = x[n−m−1] = x[(n−1)− m] = D {x}[n − m] (có nghĩa là thời gian

bất biến)

Độ ổn định

Trong miền tần số,vùng hội tụphải chứavòng tròn đơn

vị (nghĩa là, quỹ đạo nghiệm số phải thỏa mãn|z| = 1

với z là số phức).

1.4 Ghi chú

[1] Hespanha 2009, p 78

[2] Crutchfield, p 1

[3] Vaidyanathan,1995 [4] Phillips 2007, p 508

6 CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH THỜI GIAN BẤT BIẾN

1.5 Xem thêm

• Ma trận luân hoàn

• Đáp ứng tần số

• Đáp ứng xung

• Phân tích hệ thống

• Hàm xanh

• Đồ thị dòng tín hiệu

1.6 Tham khảo

• Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A (2007).

Signals, systems and Transforms Prentice Hall.

ISBN0-13-041207-4

• Hespanha,J.P (2009) Linear System eory.

Princeton university press.ISBN0-691-14021-9

• Crutchfield, Steve (ngày 12 tháng 10 năm

2010), “e Joy of Convolution”, Johns Hopkins

University, retrieved November 21, 2010

• Vaidyanathan, P P.; Chen, T (May 1995).

“Role of anticausal inverses in multirate

filter banks — Part I: system theoretic

fundamentals” IEEE Trans Signal Proc.

43 (6): 1090 Bibcode:1995ITSP…43.1090V

doi:10.1109/78.382395

1.7 Đọc thêm

Chương 2

Vẻ đẹp của toán học

2.1 Nét đẹp qua các con số

1 Phép nhân

12345679 x 09 = 111.111.111

12345679 x 18 = 222.222.222

12345679 x 27 = 333.333.333

12345679 x 36 = 444.444.444

12345679 x 45 = 555.555.555

12345679 x 54 = 666.666.666

12345679 x 63 = 777.777.777

12345679 x 72 = 888.888.888

12345679 x 81 = 999.999.999

2 Bình phương

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

2.2 Nét đẹp qua các công thức

2.3 Nét đẹp trong các phương pháp

chứng minh

Cácnhà toán họcmiêu tả cácphương pháp chứng minh

của mình một cách thanh nhã Phụ thuộc vào nội dung

của bài toán, họ có thể:

• Chứng minhbằng việc sử dụng một cách ít nhất

cácgiả thiếthaykết quảban đầu

• Chứng minh bằng cách biến đổimột cách ngạc nhiên một kết quả từ nhữngđịnh lýtưởng chừng như không có mốiliên hệgì vớibài toán

• Chứng minh bằng mộtphương pháphay hướng đi hoàn toàn mới mẻ

• Chứng minh theo mộtphương pháp tổng quát, từ

đó có thể giải quyết được nhiềubài toán tương tự

khác

Trong công việc nghiên cứu một cách chứng minh thanh nhã, các nhà toán học đi theo nhiều con đường chứng minh khác nhau để dẫn tới kết quả, cách chứng minh đầu tiên chưa chắc đã là cách chứng minh hoàn hảo nhất.Định lý Pytago, a2 = b2+ c2, là một ví dụ điển hình vì nó có rất nhiều các cách chứng minh được đưa ra

Một ví dụ khác làĐịnh lý tương hỗ bậc II (quadratic

reciprocity), riêngCarl Friedrich Gaussđã đưa ra trên

10 cách chứng minh khác nhau cho định lý này Định

lý tương hỗ phát biểu:

Nếu tồn tại một số nguyên x và cácsố nguyên dương

n, p, q sao cho x n = q (mod p) , q được gọi làphần dư bậc ''n''của pkhi và chỉ khix n = q (mod p)có khả năng tìm đượcnghiệmx.

Định lý tương hỗ (hay định lý nghịch đảo) là sự liên hệ

giữa "q là phần dư bậc n của p" và "p là phần dư bậc

n của q" Viết theo ký hiệu củaLâm Đức Chunglà: q

p

và p

q Với trường hợp n = 2, gọi là Định lý tương hỗ

bậc II, được Gauss đưa ra chứng minh hoàn thiện lần đầu tiên Gauss đồng thời cũng giải quyết với trường

hợp n = 3, gọi làĐịnh lý tương hỗ bậc III, sử dụng dạng

nguyên a + bβ , trong đó β là nghiệm của phương trình

x2+ x + 1 = 0 và a', b là các số nguyên hữu tỉ Gauss có gợi ý với trường hợp n = 4 (Định lý tương hỗ bậc IV), sử dụngsố nguyên Gaussian(một số nguyên

Gaussian là một số phức có dạng a + bi, trong đó a và

b là các số nguyên)

Phần chứng minh tổng quát, với bậc n làsố nguyên

tố, được đưa ra bởiFerdinand Eisensteintrong những năm1844–1850, vàErnst Eduard Kummertrong những năm1850–1861 Và định lý tương hỗ dạng tổng quát với

7