Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 9: Lý thuyết hệ thống tuyến tính

[r]

PHẦN HAI Chương 9

LÝ THUYẾT HỆ THỐNG

TUYẾN TÍNH

9.1.GIỚI THIỆU

Trong chương trước, nghiên cứu vài tác dụng phép toán

xử lý ảnh ảnh Những kết có thểđược giải thích phép

tốn đơn giản Vì thế, khơng đề cập đến kết lấy mẫu, độ phân giải

không gian hay phép tốn phổ biến nói đến tăng cường ảnh (image

enhancement) Trong phần 2, đưa câu hỏi vấn đề lấy mẫu, độ

phân giải lọc tuyến tính, phương pháp tiếp cận phổ biến sử dụng cho việc tăng

cường ảnh Trong chương chương tiếp theo, trình bày cơng cụ

phân tích u cầu cho cơng tác tiếp cận vấn đề

Lý thuyết hệ thống tuyến tính lĩnh vực phát triển tồn diện thường sử dụng để mô tả hoạt động mạch điện hệ thống quang học Nó cung cấp sở toán học vững để nghiên cứu kết lấy mẫu, lọc độ phân giải không gian Lý thuyết hệ thống lấy mẫu hữu dụng nhiều ứng dụng khác

9.1.1.Định nghĩa

Trong nội dung sách này, coi hệ thống đảm

nhận đầu vào tạo đầu tương ứng Bởi quan tâm tới mối

quan hệ đầu vào đầu ra, nên phải để ý chút đến nằm bên

trong hệ thống Đầu vào đầu chiều, hai chiều hay nhiều chiều

Tuy nhiên, việc phát triển ban đầu, hạn chế ví dụở hai trường hợp:

các hàm chiều thời gian hàm hai chiều biến không gian Điều

giữ cho ký hiệu đơn giản làm cho phép phân tích có phần dễ hiểu hơn,

phát triển bị trình vật lý thực ràng buộc Phép phân tích có thểđược tổng qt

hố cách dễ dàng với số chiều cao cần thiết Trong phần đầu chương

này, trình bày thực cho hàm chiều theo thời gian tổng quát hóa

đối với ảnh hai chiều

Hình 9-1 9-2 cho thấy ký hiệu quy ước cho hệ thống tuyến tính hai

HÌNH 9-1

Hình 9-1 Ký hiệu hệ thống tuyến tính

HÌNH 9-2

Hình 9-2 Hệ thống tuyến tính hai chiều

Tính tuyến tính. Các hệ thống tuyến tính có đặc điểm mà đặc điểm tạo tên gọi chúng Giả sử rằng, hệ thống riêng lẻ, đầu vào x1(t) tạo đầu y1(t):

) ( )

( 1

1 t y t

x  (1)

(Mũi tên đọc “gây ra”) Cũng giả thiết đầu vào thứ hai x2(t) tạo đầu y2(t): )

( )

( 2

2 t y t

x  (2)

Hệ thống tuyến tính có đặc tính )

( ) ( ) ( )

( 2 1 2

1 t x t y t y t

x    (3)

Tức là, tín hiệu đầu vào thứ ba tổng hai tín hiệu đầu tạo tín hiệu đầu

là tổng hai tín hiệu ban đầu Bất kỳ hệ thống mà không tuân theo quy tắc

này phi tuyến Phân tích hệ thống phi tuyến tạo nhiều kết lĩnh

vực khác Tuy nhiên, phân tích hệ thống phi tuyến phức tạp nhiều so với

phân tích hệ thống tuyến tính mục đích khơng đòi hỏi phức tạp

thêm nhiên, giới hạn vấn đề phân tích hệ thống tuyến tính

Định nghĩa hệ thống tuyến tính rõ đầu vào tổng hai tín hiệu tạo đầu tổng hai đầu ra, mà hai đầu tạo tín hiệu đầu vào hoạt động riêng lẻ Từđó, tín hiệu đầu vào nhân với số hữu tỷ

(rational) đầu tăng hay giảm hệ số, tức là, )

( )

( 1

1 t ay t

ax  (4)

Tính chất định nghĩa biểu thức (1), (2), (3) kết suy biểu thức (4), phục vụ cho việc định nghĩa hệ thống tuyến tính Khi sử dụng lý thuyết hệ thống tuyến tính để phân tích q trình, điều cần thiết để q trình sẽđược mơ hình hố, phải xấp xỉ, tuyến tính Nếu hệ thống nghiên cứu

không đáp ứng tiêu chẩn tuyến tính, phi tuyến lý thuyết hệ thống tuyến tính

sẽ tạo kết sai làm cho sai lệch Nếu hệ thống phi tuyến chút

thì có thểđược giả thiết tuyến tính để phục vụ cho mục đích phân tích,

kết phân tích gần với giả thiết

Thường thường, hệ thống gần phi tuyến nghiên cứu lý thuyết hệ thống

tuyến tính cách tiếp cận dễđiều khiển cách xác Tuy nhiên, người

ta thường phải cẩn thận giải hệ thống phi tuyến lớp bảo vệ lý

thuyết hệ thống tuyến tính tan rã giả thiết tính tuyến tính Nhà phân tích có trách

nhiệm khơng tốn học mà cịn giá trị giả thiết bên

Bất biến dịch. Một đặc điểm quan trọng mà hệ thống đưa gọi bất biến dịch (shift invariance) Nó minh hoạ Giả sử, hệ thống tuyến tính đặc biệt mà

) ( )

(t y t

x  (5)

Giả sử dịch chuyển tín hiệu đầu vào theo thời gian lượng T Hệ thống bất biến dịch

) ( )

(t T y t T

x    (6)

Tức là, đầu dịch chuyển lượng giống đầu vào, mặt khác khơng bị thay đổi Vì thế, hệ thống bất biến dịch, việc dịch chuuển đầu vào

đơn dịch chuyển lượng đầu Điểm quan trọng chất đầu khơng bị thay đổi bước dịch chuyển tín hiệu đầu vào Bất biến dịch không

gian bất biến dịch thời gian tương tự hai chiều (two dimensional analog): ảnh đầu

vào dịch chuyển liên quan đến ảnh gốc ảnh đầu tương tự nhưảnh trước Hầu hết phân tích vài chương hướng hệ thống tuyến tính bất biến dịch Các giả thiết tính tuyến tính bất biến dịch có giá trị gần mạng điện (electrical networks), mạng điện tử tuyến tính thiết kế hồn hảo hệ thống quang học-các thành phần hệ thống xử lý ảnh

9.2.TÍN HIỆUĐIỀU HỒ VÀ PHÂN TÍCH TÍN HIỆU PHỨC TẠP

Theo cách sử dụng bình thường, tín hiệu ảnh có thểđược biểu diễn

các hàm thực hai biến tương ứng Giá trị hàm biểu diễn độ lớn tham số

vật lý đó, chẳng hạn điện áp hàm thời gian hay cường độ ánh sáng

một hàm hai toạ độ không gian Tuy nhiên, phát triển đặc điểm hệ thống tuyến

tính tiến hành cách trôi chảy nhiều, cho phép đầu vào đầu

các hàm phức Bởi hàm thực xem trường hợp đặc biệt hàm phức,

mà không tính tỏng quát thuận lợi trở nên rõ ràng suốt q trình phát triển

9.2.1.Tín hiệu điều hồ

Xem xét tín hiệu điều hồ có dạng ) sin( )

cos( )

(t e t j t

x j t

 



 

 (7)

Trong f2 = -1 Gọi tín hiệu điều hồ Nó hàm phức theo thời gian mà

số góc , đơn vị radian/giây, quan hệ với f, tần suất số vòng quay hay số chu kỳ giây (Herzt)  = 2f.

HÌNH 9-3

Hình 9-3 Vec tơ tạo tín hiệu điều hồ

9.2.2.Đáp ứng đầu vào điều hoà

Giả sử hệ thống tuyến tính bất biến dịch cho với đầu vào điều hoà

t j

e t

x1( )  (8)

Chúng ta biểu diễn đáp ứng hệ thống sau

t j

e t K t

y1( ) (, )  (9)

Trong

t j

e t y t

K(, ) 1()

 (10)

Là hàm phức  t chọn cho nhân với ejt, y1(t) Vì vậy, ln có K(,t)

Bây giả sử tạo tín hiệu đầu vào thứ hai cách dịch x1(t) Sau đó, có

) ( )

( ( ) 1

2 t e e e e x t

x  j tT  jT jt  jT (11)

Lưu ý x2(t) đơn x1(t) nhân với số phức Điều có x1(t) tín hiệu điều hồ

Đáp ứng hệ thống tuyến tính với x2(t) )

(

2( ) ( , )

T t j

e T t K t

y      (12)

biến đổi

t j T j

e e T t K t

y2( ) (,  )    (13)

hay

) ( )

, ( )

( 1

2 t K t T e x t

y  jT



 (14)

t j T

j T

j

e t K e t y e t x e t

x jT    

) , ( )

( )

( )

( 1

2

  

  

(15)

Từ biểu thức (8), xem hệ số mũ bên phải nhưx1(t) Ngoài ra, biết

rằng đáp ứng biểu thức (15) phải y2(t), đáp ứng hệ thống với x2(t) Vì viết

) ( ) , ( )

( 1

2 t e K t x t

y jtT 

 (16)

Là biểu thức thứ hai đáp ứng hệ thống với đầu vào điều hoà dịch chuyển

Biểu thức (14) thu cách chèn độ dịch chuyển thời gian vào biểu thức

(9) Biểu thức (16) có từđặc điểm tuyến tính biểu thức (4) Tuy nhiên, hai biểu thức đáp ứng hệ thống đầu vào điều hoà chuyển dịch theo thời gian: thế, chúng phải Kết hợp biểu thức (14) biểu thức (16) ta

) ( )

, ( ) ( )

,

( t T e x1 t K t e x1 t

K  jtT  jtT



 (17)

và rõ ràng

) , ( ) ,

( t T K t

K     (18)

Phải cho lượng chuyển dịch T Tuy nhiên, biểu thức (18) K(,t)độc lập với t Vì vậy, biểu thức (9) viết lại dạng tổng quát sau

) ( ) ( )

(t K x t

y   (19)

Hàm tổng quát có dạng giả thiết biểu thức (10) thành hàm

biến tần số,  Biểu thức (19) rõ đặc điểm quan trọng mà đáp ứng hệ thống tuyến tính bất biến dịch với đầu vào điều hoà nhân với số phức phụ thuộc tần số Chú ý đầu vào điều hồ ln tạo đầu đơn giản tần số

9.2.3.Tín hiệu điều hồ đường sin (sinusoid)

Khi sử dụng hệ thống tuyến tính để mơ hoạt động hệ

thống vật lý đầu vào đầu biểu diễn thuận tiện hàm thực Vì thế, thêm hạn chế khác vào hệ thống tuyến tính bất biến dịch cho chúng bảo tồn tính thực tế Theo định nghĩa, điều có nghĩa đầu thực

có thể tạo đầu thực Từđó, có thểđược xem hệ thống bảo tồn tính chất ảo điều loại bỏ phần ảo đầu vào phức đơn loại bỏ phần

ảo đầu ảo tương ứng; tức là,

)} ( { )}

( { )

( )

(t y t e x t e y t

x    (20)

Về ý nghĩa đó, phần thực phần ảo đầu vào điều hoà thực phần khác hệ thống cách độc lập

Sự giới hạn phần thực hệ thống tuyến tính cho phép định rõ phép

phân tích Ví dụ, đầu vào hàm cosin, thêm thành phần hàm sin ảo

để tạo thành tín hiệu điều hồ (Xem lại biểu thức (7)), xác định đáp ứng hệ thống với đầu vào điều hồ, sau loại bỏ phần ảo đầu phức Cách tiếp cận gián tiếp

này chứng minh trình đơn giản hố trực tiếp phép phân tích

Một tín hiệu sin có thểđược xem phần thực tín hiệu điều hồ

nhất Cách tiếp cận cho phép xuất phát từđáp ứng hệ thống tuyến tính với

phát từđáp ứng hệ thống tuyến tính với đầu vào điều hoà, (3) thực phần thực

để mang lại đầu thực Theo cách thực vậy, sử dụng phương pháp biến đổi để giải quyết; là, biến đổi từ tín hiệu sin sang tín hiệu điều hồ, giải tốn dạng điều hồ, sau biến đổi đầu điều hoà trở lại dạng sin

Kỹ thuật sử dụng logarit cho phép nhân giống nhau: người ta biến đổi số nhân

số bị nhân sang logarit, cộng chúng vào kết phép nhân sau biến đổi kết từ

dạng logarit thành số thập phân để có tích số mong muốn Giống phép lấy

logarit, phép biến đổi sang tín hiệu điều hồ làm đơn giản hố cách đáng kể phép

phân tích hệ thống tuyến tính

9.2.4.Hàm truyền đạt

Hàm K() gọi hàm truyền đạt hệ thống tuyến tính hồn tồn có khả

xác định rõ hệ thống Đối với hệ thống tuyến tính bất biến dịch, hàm truyền đạt bao gồm tất thơng tin hệ thống có

Chúng ta chuyển đổi K() dạng cực đểđược )

( ) ( )

(  j

e A

K  (21)

Trong A() hàm giá trị thực tần số số mũ phức véc tơđơn vị mặt phẳng phức – tức là, số phức có độ lớn đơn vị

Kết hàm truyền đạt minh hoạ Giả sửđầu vào hàm cosin,

biến đổi đểđược phần thực tín hiệu điều hồ: }

{ ) cos( )

( j tt

e e t t

x     (22)

Đáp ứng hệ thống đầu vào điều hoà ) ( ) ( )

( )

(      



 j j tt j t

tt j

e A e

e A e

K (23)

Cuối cùng, tín hiệu đầu thực

) cos(

) (

)]} sin(

) )[cos(

( { } )

( { )

( ( )

  

  

 

  

 

 

 

 

 

t A

t j t

A e e

A e t

y j t

(24)

A() hệ số tăng bội biểu diễn mức độ mà hệ thống khuếch đại hay làm suy giảm tín hiệu vào () góc dịch pha Kết để dịch gốc thời gian

hàm vào điều hồ

Trong phần cịn lại sách việc phân tích thực dạng

các tín hiệu điều hồ, với chuyển đổi thành tín hiệu sin bước thể

Theo giả thiết, trình bày ba đặc điểm quan trọng hệ thống tuyến tính bất biến dịch: (1) Một đầu vào điều hồ ln ln tạo đầu điều hoà

tần số (2) Hệ thống hoàn toàn xác định hàm truyền đạt nó, hàm giá trị phức

của tần sốđơn lẻ (3) Hàm truyền đạt tạo hai kết đầu vào điều hoà-một biến đổi theo biên độ độ dịch chuyển pha (dịch chuyển theo gốc thời gian)

9.3.PHÉP TOÁN NHÂN CHẬP (CONVOLUTION OPERATION)

Xét lại hệ thống cho hình 9-1 Nó có ích tạo biểu thức quan hệ

tổng quát tín hiệu đầu ra, y(t), với tín hiệu đầu vào x(t) Chúng ta nhận



 f t x d

t

y( ) ( , ) ( ) (25)

Là đủ tổng quát để biểu diễn mối quan hệ x(t) y(t)đối với hệ thống tuyến tính Hàm hai biến f(t,) có thểđược chọn để khiến cho biểu thức (25) có hiệu lực hệ thống tuyến tính nào; thích biểu thịđặc điểm hệ thống tuyến tính với hàm biến

Bây lợi dụng bắt buộc bất biến dịch kết cuối để đơn giản hoá biểu thức (25) Thay biểu thức (6) vào biểu thức (25) ta

 



T f t x T d

t

y( ) (, ) ( ) (26)

Đổi biến cách cộng thêm T vào cảt  Kết

  

 f t T  T x d

t

y( ) ( , ) ( ) (27)

Nếu đem biểu thức (25) so sánh với biểu thức (27), ta thấy )

, ( ) ,

(t f t T T

f     (28)

Phải với T Nghĩa f(t,) không thay đổi ta thêm lượng vào hai đối số Nói cách khác, f(t,) số miễn hiệu số t  số Vì có thểđịnh nghĩa hàm cho hiệu số

) , ( )

(t  f t 

g   (29)

Và biểu thức (25) trở thành

 

 g t  x d

t

y( ) ( ) ( ) (30)

Biểu thức tương tự nhưtích phân chập (convolution integral) Nó biểu diễn

ký hiệu mà đầu hệ thống tuyến tính bất biến dịch cho nhân chập tín hiệu vào với hàm g(t)đặc trưng hệ thống (hình 9-4) Hàm đặc trưng gọi

đáp ứng xung (impulse response) hệ thống Chú ý hệ thống bảo tồn tính thực tế g(t) hàm giá trị thực

Bây có hai cách để xác định rõ mối quan hệ đầu vào đầu

hệ thống tuyến tính bất biến dịch: (1) Mỗi hiển thị có hàm truyền đạt phức mà nhân với đầu vào điều hoà, tạo thành đầu điều hoà; (2) hệ

thống cóa đáp ứng xung thực mà nhân chập với tín hiệu đầu vào, tạo

thành tín hiệu đầu

Hình 9-4 Hệ thống tuyến tính

Bởi hàm truyền đạt đáp ứng xung hệ thống tuyến tính bất biến dịch đầy đủ để xác định hệ thống cách hoàn toàn, nghi ngờ hai

hàm có liên quan với Mối quan hệ trình bày chương tiếp

theo

9.3.1.Nhân chập chiều

Tích phân chập biểu thức (30) rút gọn ký hiệu tắt sau

x g

y   (31)

ởđây  dùng để ký hiệu cho phép nhân chập hai hàm Hình 9-5 đưa đồ thị minh

hoạ phép toán nhân chập Một điểm đồ thịy(t) thu theo cách sau Một hàm

gđược phản ánh xung quanh gốc dịch sang phải khoảng t Tích số

từng điểm x g phản ánh dịch thực hiện, tích số lấy tích phân để tạo giá trịđầu t Quá trình lặp lại tất gía trị

của tđể tạo điểm khác đồ thị Khi tđược biến đổi, hàm phản ánh dịch

thông qua hàm ổn định giá trị y(t) phụ thuộc vào lượng gối lên hai hàm

Phép tốn nhân chập có vài đặc điểm quan trọng Thứ nhất, phép nhân chập có

tính giao hoán; tức là,

f g g

f    (32)

Và phản ánh hàm khác rút kết tương tự Có thể viết sau

 



g f  g t  d

f ( ) ( ) (33)

Thay đổi biến

 

 t x dx d

t

x     (34)

Và xếp lại để tạo

   



g f t x g x dx g f

f ( ) ( ) (35)

Trong biểu thức (35), cận phải đổi chỗ cho bù dấu trừ

trên d

Phép toán nhân chập có tính phân phối,

h f g f h g

f (  )    (36)

Có thể viết lại

  

 

 g h f t x g  h d

f ( ) ( )[ ( ) ( )] (37)

Sắp xếp lại để tạo thành

h f g f

d h t f d

g t f h

g f

   

 

 



  

  

 

   



) ( ) ( ) ( ) (

) (

HÌNH 9-5

Hình 9-5 Nhân chập

Phép nhân chập có tính kết hợp, nghĩa

h g f h g

f (  )(  ) (39)

Biểu thức dành đểđộc giả tự kiểm tra Phép đạo hàm bên dưới,

' '

]

[f g f g f g dt

d

   

 (40)

9.3.2.Phép nhân chập chiều rời rạc

Chuỗi rời rạc có thểđược nhân chập theo cách tương tự phép nhân chập hàm liên

tục Biến độc lập trở thành số phép tích phân thay phép cộng Bởi vậy, hai chuỗi f(i) g(i) có độ dài m n, biểu thức tương đương với biểu thức (33)

 

  

j

j i g j f i

g i f i

h( ) () () ( ) ( ) (41)

Tạo chuỗi đầu có độ dài N = m + n - 1

Mặc dù nhân chập rời rạc liên tục khác nhau, chúng có nhiều đặc điểm

chung Thật may mắn, với phép nhân chập rời rạc, thực ảnh

số khơng khó khăn, song song với phép nhân chập liên tục, mà mơ tả nhiều

sự việc xảy ảnh trước (hoặc sau) chúng dạng số Điều giải thích việc khơi phục ảnh, công việc nhằm để đảo ngược lại kết ảnh hưởng suy biến tác động lên ảnh

9.3.2.1.Công thức ma trận

Đây cách tiện lợi để biểu diễn chuỗi rời rạc véc tơ ký hiệu súc tích đặc điểm phát triển cho đại số tuyến tính Mặc dù biểu thức (4) tổng kết quả, phép nhân chập hai chuỗi thực phép

nhân véc tơđơn giản Tuy nhiên, có thểđược mơ tả phép nhân ma trận

trạng thái thiết lập cách hoàn chỉnh

Đầu tiên giả sử f(i) thực phần chia chuỗi có độ dài vơ hạn tuần hồn với chu kỳN, độ dài chuỗi phép nhân chập biểu thức (4) Bởi

f(i) nhỏ N nên cần phải điền thêm phần tử có giá trị khơng (zero) Từthêm (pad)

được chọn để mơ tả q trình q trình tương tự chắp vá thêm vào quần áo

người ta khiến cho trơng rộng Một chu kỳ chuỗi vô hạn cho

  

 

  

N i m

m i i

f i fp

0

1 ) ( )

Chúng ta lặp lại cấu trúc cho g(i) h(i) Bây ba chuỗi có độ dài Trong lợi ích phức tạp chưa rõ ràng,

có thể thực mà khơng tính tổng quát

Tiếp theo cho f véc tơ cột N  1 mà phần tử fp(i), chu kỳ

của chuỗi vơ hạn hình thành từf(i) Chúng ta cho G ma trận mà hàng thứ

nhất chuỗi gp(i) thêm khơng lưu trữ theo thứ tựđảo ngược Các hàng sau G tạo thành cách dịch phải phần tử hàng trước theo

vòng tròn Bây viết

                                ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( N f f f g N g N g g g g g N g g f G h p p p p p p p p p p p p         (43)

Trong h véc tơN  1 chứa chuỗi đầu Bây phép nhân chập rời rạc

biểu diễn kết phép nhân ma trận N  N với véc tơN  1 Nhớ lại N

độ dài chuỗi thu từ biểu thức (4)

Ma trận G biểu thức (43) gọi ma trận vòng trịn (circulant) hàng

một vịng trịn, dạng dịch phải hàng trước Đây cấu trúc cho phép viết

phép nhân chập ma trận tích Mỗi hàng G sử dụng để tạo phần tử chuỗi đầu

9.3.3.Phép nhân chập hai chiều

Phép nhân chập hàm liên tục hai biến tương tự phép nhân chập chiều Chú ý

rằng nhưđã đề cập để mở rộng cho trường hợp hai chiều, sử dụng x y

hai biến độc lập Biểu thức nhân chập hai chiều

        

 f g f u v g x u y v dudv y

x

h( , ) ( , ) ( , ) (44)

HÌNH 9-6

Hình 9-6 Phép nhân chập hai chiều

được minh hoạ đồ thị hình 9-6 Lưu ý g(0-u,0-v)đơn g(u,v)

quay 1800 quanh gốc g(x-u,y-u) tịnh tiến để di chuyển gốc quay g đến

điểm x,y Sau hàm nhân theo điểm tích phân hàm tích theo hai chiều Ví