Lý thuyết ứng đáp câu hỏi

Tiếp đến, chọn một thuộc tính của CH để đối sánh với năng lực: tham số biểu diễn thuộc tính quan trọng nhất đó là độ khó b của CH cần lưu ý là đại lượng độ khó ở đây sẽ được xác định khá

Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi

Mục lục

1.1 Lịch sử 1

1.2 Ứng dụng 1

1.2.1 Bài toán lãi suất kép 1

1.2.2 Phép thử Bernoulli 1

1.2.3 Derangement 2

1.3 Số e trong giải tích 2

1.3.1 Các đặc điểm khác 2

1.4 Tính chất 3

1.4.1 Hàm tựa-mũ 3

1.4.2 Lý thuyết số 3

1.4.3 Số phức 3

1.5 Biểu diễn của số e 3

1.5.1 Biểu diễn số e dưới dạng liên phân số 3

1.5.2 Số chữ số thập phân đã biết 3

1.6 Số e trong văn hóa máy tính 3

1.7 Xem thêm 3

1.8 Ghi chú 3

1.9 am khảo 3

1.10 Liên kết ngoài 3

2 Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi 4 2.1 Việc ứng đáp câu hỏi nhị phân đối với mô hình đơn chiều 4

2.2 Về mô hình Rasch và vai trò của nó 6

2.3 Điểm thực và đường cong đặc trưng đề trắc nghiệm 6

2.4 Hàm thông tin của câu hỏi và của đề trắc nghiệm 7

2.5 Về việc ước lượng năng lực thí sinh và tham số câu hỏi 8

2.6 So bằng và kết nối các đề trắc nghiệm 9

2.7 Về trắc nghiệm đa phân và trắc nghiệm đa chiều 10

2.8 Tài liệu dẫn 11

2.9 Liên kết ngoài 12

2.10 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh 13

2.10.1 Văn bản 13

i

ii MỤC LỤC

2.10.2 Hình ảnh 13 2.10.3 Giấy phép nội dung 13

Chương 1

Sốe

Hằng số toán họce làcơ sốcủalogarit tự nhiên ỉnh

thoảng nó được gọi là số Euler, đặt theo tênnhà toán

học ụy Sĩ Leonhard Euler, hoặc hằng số Napier để

ghi công nhà toán họcScotland John Napierngười đã

phát minh ralogarit (e không được nhầm lẫn với γ

-hằng số Euler-Mascheroni, đôi khi được gọi đơn giản là

hằng số Euler) Số e là một trong những số quan trọng

nhất trong toán học[1] Nó có một số định nghĩa tương

đương, một số trong chúng sẽ được đưa ra dưới đây

Số này có tham gia vàođẳng thức Euler

Do e làsố siêu việt, và do đó làsố vô tỉ, giá trị của nó

không thể được đưa ra một cách chính xác dưới dạngsố

thập phân hữu hạnhoặc vô hạn tuần hoàn hoặcphân

số liên tục hữu hạnhay tuần hoàn Nó là mộtsố thực

và do đó có thể được biểu diễn bởi một phân số liên tục

vô hạn không tuần hoàn Giá trị số của e tới 20chữ số

thập phânlà:

2,71828 18284 59045 23536…

1.1 Lịch sử

Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất

bản vào 1618 trong bảng phụ lục của một công trình

về logarit củaJohn Napier ế nhưng, công trình này

không chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh

sách các logarit tự nhiên được tính toán từ hằng số e.

Có thể là bảng này được soạn bởiWilliam Oughtred

Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện

bởiJacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức:

lim

n →∞

(

1 + 1

n

)n

Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu

diễn bởi chữ cái b, là trong liên lạc thư từ giữaGofried

Leibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và 1691

Leonhard Eulerbắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số

vào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn

bản là cuốn Mechanica của Euler (1736) Trong những

năm sau đó một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ cái c,

e trở nên phổ biến và cuối cùng trở thành tiêu chuẩn.

Lý do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa

được biết, nhưng có thể đó là chữ cái đầu tiên của từ

exponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường là tăng nhanh chóng, nghĩa trong toán học làhàm mũ) Một khả năng khác đó là Euler sử dụng nó bởi vì nó là nguyên âmđầu tiên sau a, chữ cái mà ông đã sử dụng

cho một số khác, nhưng tại sao ông lại sử dụng nguyên

âm thì vẫn chưa rõ Dường như không phải Euler sử dụng chữ cái đó bởi vì nó là chữ cái đầu trong tên của ông, do ông là một người rất khiêm tốn, luôn cố gắng tuyên dương đúng đắn công trình của người khác.[2]

1.2 Ứng dụng

1.2.1 Bài toán lãi suất kép

Jacob Bernoulliđã khám phá ra hằng số này khi nghiên cứu vấn đề vềlãi suất kép

Một ví dụ đơn giản là một tài khoản bắt đầu với $1.00

và trả 100% lợi nhuận mỗi năm Nếu lãi suất được trả một lần, thì đến cuối năm giá trị là $2.00; nhưng nều lãi suất được tính và cộng hai lần trong năm, thì $1 được nhân với 1.5 hai lần, ta được $1.00×1.52= $2.25 Lãi kép hàng quý ta được $1.00×1.254 = $2.4414…, và lãi kép hàng tháng ta được $1.00×(1.0833…)12= $2.613035… Bernoulli để ý thấy dãy này tiến tới một giới hạn với

kì lãi kép càng ngày nhỏ dần Lãi kép hàng tuần ta được $2.692597… trong khi lãi kép hàng ngày ta được

$2.714567…, chỉ thêm được hai cent Gọi n là số kì lãi kép, với lãi suất 1/n trong mỗi kì, giới hạn của n rất lớn là một số mà bây giờ ta gọi là số e; với lãi kép liên

tục, giá trị tài khoản sẽ tiến tới $2.7182818… Tổng quát

hơn, một tài khoản mà bắt đầu bằng $1, và nhận được

(1+R) đô-la lãi đơn, sẽ nhận được e R đô-la với lãi kép liên tục

1.2.2 Phép thử Bernoulli

Số e cũng có ứng dụng tronglý thuyết xác suất, trong

đó nó phát triển theo cách mà không hiển nhiên liên quan đến độ tăng hàm mũ Giả sử rằng một con bạc chơi slot machine, một triệu lần,kỳ vọngđược thắng 1

2 CHƯƠNG 1 SỐE

một lần Khi đóxác suấtmà con bạc không thắng được

gì là (xấp xỉ) 1/e.

Đây là một ví dụ vềphép thử Bernoulli Mỗi lần con

bạc chơi một lượt, có thêm một trong một triệu cơ hội

thắng Việc chơi một triệu lần được mô hình hóa qua

phân phối nhị thức, có liên hệ mật thiết vớiđịnh lý nhị

thức Xác suất thằng k lần và thua các lần còn lại là

(

106

k

) (

10−6)k

(1− 10 −6)10 6−k . Đặc biệt, xác suất không thắng lần nào (k=0) là

(

106

)106

.

Số này rất gần với giới hạn sau ho 1/e

1

e = lim

n →∞

(

1− 1

n

)n

.

1.2.3 Derangement

1.3 Số e trong giải tích

Lý do chính để đưa ra số e, đặc biệt tronggiải tích, là

để lấyvi phânvàtích phâncủahàm mũvàlogarit.[3]

Một hàm mũ tổng quát y=a xcó đạo hàm dưới dạnggiới

hạn:

d

dx a

x= lim

h →0

a x+h − a x

h →0

a x a h − a x

x

( lim

h →0

a h − 1 h

)

.

Giới hạn ở bên phải độc lập với biến x: nó chỉ phụ thuộc

vào cơ số a Khi cơ số là e, giới hạn này tiến tới một, và

do đó e được định nghĩa bởi phương trình:

d

dx e

x = e x

Do đó, hàm mũ với cơ số e trong một số trường hợp

phù hợp để làm giải tích Chọn e, không như một số số

khác, là cơ số của hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu

về đạo hàm đơn giản hơn rất nhiều

Một lý do khác đến từ việc xét cơ sốlogarita.[4] Xét

định nghĩa của đạo hàm của logₐx bởi giới hạn:

d

dxloga x = lim

h →0

loga (x + h) − log a (x)

1

x

( lim

u →0

1

uloga (1 + u)

)

.

Một lần nữa, có một giới hạn chưa xác định mà chỉ phụ

thuộc vào cơ số a, và nếu cơ số đó là e, giới hạn là một.

Vậy

d

dxloge x = 1

x .

Logarit trong trường hợp đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên(thường được ký hiệu là “ln”), và nó cũng dễ dàng lấy vi phân vì không có giới hạn chưa xác định nào phải thực hiện trong khi tính toán

Do đó có hai cách để chọn một số đặc biệt a=e Một cách là đặt sao cho đạo hàm của hàm số axlà ax Một

cách khác là đặt sao cho đạo hàm của logarit cơ số a

là 1/x Mỗi trường hợp đều đi đến một lựa chọn thuận

tiện để làm giải tích ực tế là, hai cơ số có vẻ rất khác

nhau này lại chỉ là một, số e.

1.3.1 Các đặc điểm khác

Một số đặc điểm khác của số e: một là vềgiới hạn dãy, một cái khác là vềchuỗi vô hạn, và vẫn còn một số khác

vềtích phân Trên đây ta đã giới thiệu hai tính chất:

1 Số e làsố thựcdương duy nhất mà

d

dt e t = e t :Đạo hàmcủahàm số mũcơ số e chính là hàm số đó

2 Số e là số thực dương duy nhất mà

d

dtloge t = 1

t .

Các tính chất khác sau đây cũng được chứng minh là tương đương:

3 Số e làgiới hạn

e = lim

n →∞

(

1 + 1

n

)n

4 Số e là tổng củachuỗi vô hạn

e =

∞

∑

n=0

1

n! =

1 0!+

1 1!+

1 2!+

1 3!+

1 4!+· · ·

trong đó n! làgiai thừacủa n.

5 Số e là số thực dương duy nhất mà

∫ e

1

1

t dt = 1

(nghĩa là, số e là số mà diện tích dướihyperbolf (t) =

1/t từ 1 tới e là bằng một)

1.7 XEM THÊM 3

1.4 Tính chất

1.4.1 Hàm tựa-mũ

1.4.2 Lý thuyết số

Chứng minh e là số vô tỉ

Giả sử e là số hữu tỉ, suy ra

e = p

q

Dựa vào công thức:

e =

∞

∑

n=0

1

n! =

1

0!+

1 1!+

1 2!+

1 3!+

1 4!+· · ·

e.q! = (1

0!+

1

1!+

1 2!+· · · ).q! = (1

0!+

1 1!+

1 2!+· · ·+1

q! ).q!+

1

q + 1+

1

(q + 1)(q + 2)+

1

(q + 1)(q + 2)(q + 3)+· · ·

e.q! là số nguyên dương, suy ra: 1

q+1 + (q+1)(q+2)1 +

1

(q+1)(q+2)(q+3)+· · · là số nguyên dương.

Mặt khác: 1

q+1+(q+1)(q+2)1 +(q+1)(q+2)(q+3)1 +· · · <

1

q+1+q+11 − 1

q+2 +q+21 − 1

q+3 + ≤ 2

q+1 ≤ 1

Suy ra điều mâu thuẫn

Vậy e là số vô tỉ

1.4.3 Số phức

1.5 Biểu diễn của số e

1.5.1 Biểu diễn số e dưới dạng liên phân số

e = [[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, , 1, 2n, 1, ]],

4 + 1

Như vây mặc dù e là số vô tỉ nhưng trong biểu diễnliên

phân sốlại phân phối theo quy luật tuyến tính:

2;1-2-1;1-4-1;1-6-1;1-8-1;…

1.5.2 Số chữ số thập phân đã biết

1.6 Số e trong văn hóa máy tính

1.7 Xem thêm

Số Pi

1.8 Ghi chú

[1] Howard Whitley Eves (1969) An Introduction to the History of Mathematics Holt, Rinehart & Winston [2] O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; e MacTutor History

of Mathematics archive: “e number e"; University of

St Andrews Scotland (2001)

[3] See, for instance, Kline, M (1998) Calculus: An intuitive

and physical approach, Dover, section 12.3 “e Derived

Functions of Logarithmic Functions.”

[4] is is the approach taken by Klein (1998)

[5] New Scientist, 21-7-2007, tr 40

[6] Byte Magazine, yển 6, số 6 (tháng 6 năm 1981) tr 392)

“e Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer”

[7] Notable Large Computations: EAlexander J Yee Cập nhật 7/3/2011

1.9 Tham khảo

• Maor, Eli; e: e Story of a Number,ISBN 0-691-05854-7

1.10 Liên kết ngoài

• Số e tới 1 triệu chữ số thập phânvà2 và 5 triệu chữ số thập phân

• Những cách sử dụng ban đầu cho ký hiệu của các hằng số

• e the EXPONENTIAL - the Magic Number

of GROWTH - Keith Tognei, University of Wollongong, NSW, Australia

• An Intuitive Guide To Exponential Functions & e

• Euler’s constanttrên PlanetMath

• E trên MathWorld

• e Approximations: giá trị gần đúng của số e

Chương 2

Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi

Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi (Item Response eory

-IRT) là một lý thuyết của khoa học vềđo lường trong

giáo dục, ra đời từ nửa sau của thế kỷ 20 và phát

triển mạnh mẽ cho đến nay Trước đó,Lý thuyết Trắc

nghiệm cổ điển(Clasical Test eory – CTT), ra đời từ

khoảng cuối thế kỷ 19 và hoàn thiện vào khoảng thập

niên 1970, đã có nhiều đóng góp quan trọng cho hoạt

động đánh giá trong giáo dục, nhưng cũng thể hiện một

số hạn chế Các nhàtâm trắc học(psychometricians)

cố gắng xây dựng một lý thuyết hiện đại sao cho khắc

phục được các hạn chế đó Lý thuyết trắc nghiệm hiện

đại được xây dựng dựa trên mô hình toán học, đòi hỏi

nhiều tính toán, nhưng nhờ sự tiến bộ vượt bậc của

công nghệ tính toán bằng máy tính điện tử vào cuối

thế kỷ 20 – đầu thế kỷ 21 nên nó đã phát triển nhanh

chóng và đạt được những thành tựu quan trọng

Để đánh giá đối tượng nào đó CTT tiếp cận ở cấp độ

một đề kiểm tra, còn lý thuyết trắc nghiệm hiện đại tiếp

cận ở cấp độ từng câu hỏi, do đó lý thuyết này thường

được gọi là Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi Trong số các nhà

nghiên cứu có nhiều đóng góp ban đầu cho IRT có thể

kể các tên Lord, F.M.[1]; Rasch, G.[2], Wright, B.D.[3].v.v

2.1 Việc ứng đáp câu hỏi nhị phân

đối với mô hình đơn chiều

Chúng ta sẽ quy ước gọi một con người có thuộc tính

cần đo lường là thí sinh (person -TS) và một đơn vị của

công cụ để đo lường (test) là câu hỏi (item –CH) Để

đơn giản hóa cho mô hình nghiên cứu xuất phát có thể

đưa ra các giả thiết sau đây:

- Năng lực tiềm ẩn (latent trait) cần đo chỉ có một chiều

(unidimensionality), hoặc ta chỉ đo một chiều của năng

lực đó

- Các CH là độc lập địa phương (local independence),

tức là việc trả lời một CH không ảnh hưởng đến các

CH khác

Khi thỏa mãn hai giả thiết nêu trên thì không gian năng

lực tiềm ẩn đầy đủ chỉ chứa một năng lực Khi ấy, người

ta giả định là có một hàm đặc trưng câu hỏi (Hàm ĐTCH

- Item Characteristic Function) phản ánh mối quan hệ

giữa các biến không quan sát được (năng lực của TS)

và các biến quan sát được (việc trả lời CH) Đồ thị biểu

diễn hàm đó được gọi là đường cong đặc trưng câu hỏi

(Đường cong ĐTCH - Item Characteristic Curve) Đối với các cặp TS – CH, cần xây dựng một cái thang chung để biểu diễn các mối tương tác giữa chúng Trước hết giả sử ta có thể biểu diễn năng lực tiềm ẩn của các

TS bằng một biến liên tục θ dọc theo một trục, từ –∞ đến +∞ Khi xét phân bố năng lực của một tập hợp TS nào đó, ta gán giá trị trung bình của phân bố năng lực của tập hợp TS đó bằng không (0), làm gốc của thang

đo năng lực, và độ lệch tiêu chuẩn của phân bố năng lực bằng 1 Tiếp đến, chọn một thuộc tính của CH để đối sánh với năng lực: tham số biểu diễn thuộc tính

quan trọng nhất đó là độ khó b của CH (cần lưu ý là

đại lượng độ khó ở đây sẽ được xác định khác với trong CTT) Cũng theo cách tương tự có thể biểu diễn độ khó của các CH bằng một biến liên tục dọc theo một trục,

từ –∞ đến +∞ Khi xét phân bố độ khó của một tập hợp

CH nào đó, ta chọn giá trị trung bình của phân bố độ khó đó bằng không (0), làm gốc của thang đo độ khó,

và độ lệch tiêu chuẩn của phân bố độ khó CH bằng 1 Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách xây dựng một hàm đáp ứng CH cho một CH nhị phân, tức là CH mà câu trả lời chỉ có 2 mức: 0 (sai) và 1 (đúng) Giả thiết cơ bản sau đây của George Rasch, nhà toán học Đan Mạch, được đưa ra làm cơ sở để xây dựng mô hình hàm đáp ứng CH một tham số:

Một người có năng lực cao hơn một người khác thì xác suất để người đó trả lời đúng một câu hỏi bất kì phải lớn hơn xác suất của người sau; cũng tương tự như vậy, một câu hỏi khó hơn một câu hỏi khác có nghĩa là xác suất để một người bất kì trả lời đúng câu hỏi đó phải bé hơn xác suất để trả lời đúng câu hỏi sau (Rasch, 1960, tr 117)[2] Với giả thiết nêu trên, có thể thấy xác suất để một TS trả lời đúng một CH nào đó phụ thuộc vào tương quan giữa năng lực của TS và độ khó của CH Chọn Θ để biểu diễn năng lực của TS, và β để biểu diễn độ khó của CH Gọi P là xác suất trả lời đúng CH, xác suất đó sẽ phụ thuộc vào tương quan giữa Θ và β theo một cách nào

đó, do vậy ta có thể biểu diễn:

f (P ) = Θ

4

2.1 VIỆC ỨNG ĐÁP CÂU HỎI NHỊ PHÂN ĐỐI VỚI MÔ HÌNH ĐƠN CHIỀU 5

trong đó f là một hàm nào đó của xác suất trả lời đúng.

Lấy logarit tự nhiên của (1):

ln f (P ) = ln(Θ

β) = ln Θ− ln β = (θ − b)

(2)

Tiếp đến, để đơn giản, khi xét mô hình trắc nghiệm nhị

phân, Rasch chọn hàm f chính là mức được thua (odds)

O, hoặc khả năng thực hiện đúng (likelyhood ratio), tức

O = (1−P ) P , biểu diễn tỉ số của khả năng trả lời đúng

và khả năng trả lời sai

Như vậy:

(1−P ) = θ − b (3),

(1−P ) được gọi là logit (log odds unit).

Từ đó:

(1− P ) = e (θ −b)

và:

P (θ) = 1+e e (θ (θ −b) −b) (4)

Biểu thức (4) chính là hàm đặc trưng của mô hình ứng

đáp CH 1 tham số, hay còn gọi là mô hình Rasch, có thể

biểu diễn bằng đồ thị dưới đây (khi cho b = 0):

Hình 1 Đường cong ĐTCH một tham số

Tuy nhiên, như đã biết, trong CTT, người ta còn sử

dụng một tham số quan trọng thứ hai đặc trưng cho CH

là độ phân biệt, từ đó nhiều nhà nghiên cứu mong muốn

đưa đặc trưng đó vào mô hình đường cong ĐTCH

Muốn vậy, có thể đưa thêm tham số a liên quan đến

đặc trưng phân biệt của CH vào hệ số ở số mũ của hàm

e, kết quả sẽ có biểu thức:

P (θ) = e a(θ−b)

1+e a(θ−b) (5)

(5) chính là hàm ĐTCH 2 tham số Hệ số a biểu diễn độ

dốc của đường cong ĐTCH tại điểm có hoành độ θ= b

và tung độ P(θ) = 0,5

Hàm ĐTCH 2 tham số trình bày trên đây và hàm ĐTCH

1 tham số theo mô hình Rasch có cùng dạng thức, chỉ

khác nhau ở giá trị tham số a (đối với mô hình 1 tham

số a = 1) Hình 2 biểu diễn các đường cong ĐTCH theo

mô hình 2 tham số với b=0, và a lần lượt bằng 0,5; 1,0;

1,5; 2,0; 3,0 nên độ dốc của các đường cong ở đoạn giữa tăng dần

Hình 2 Các đường cong ĐTCH hai tham số với các giá trị a khác nhau (b = 0)

Có thể thấy rằng tung độ tiệm cận trái của các đường cong ĐTCH 1 và 2 tham số đều có giá trị bằng 0, điều

đó có nghĩa là nếu TS có năng lực rất thấp, tức là Θ →

0 và θ = ln Θ → -∞, thì xác suất P(θ) trả lời đúng CH cũng bằng 0 Tuy nhiên, trong thực tế triển khai trắc nghiệm, chúng ta đều biết có khi năng lực của TS rất thấp nhưng do đoán mò hoặc trả lời hú hoạ một CH nên TS vẫn có một khả năng nào đó trả lời đúng CH Trong trường hợp đã nêu thì tung độ tiệm cận trái của đường cong không phải bằng 0 mà bằng một giá trị xác

định c nào đó, với 0 < c < 1 Từ thực tế nêu trên, người

ta có thể đưa thêm tham số c phản ánh hiện tượng đoán

mò vào hàm ứng đáp CH để tung độ tiệm cận trái của đường cong khác 0 Kết quả sẽ thu được biểu thức:

P (θ) = c + (1 − c) e a(θ −b)

1+e a(θ−b) (6)

(6) chính là hàm ĐTCH 3 tham số Rõ ràng khi θ → -∞, hàm P(θ)→ c Trong trường hợp hàm ĐTCH 3 tham số

khi θ = b sẽ có P(θ) = (1+c)/2

Hình 3 biểu diễn các đường cong ĐTCH theo mô hình

3 tham số với a = 2 và các tham số c có giá trị bằng 0,1

và 0,2

Mô hình đường cong ĐTCH 2 và 3 tham số do Allan Birnbaum đề xuất đầu tiên[4], nên đôi khi được gọi là các mô hình Birnbaum

6 CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT ỨNG ĐÁP CÂU HỎI

Hình 3: Các đường cong ĐTCH 3 tham số với a = 2, c = 0,1 và

0,2.

2.2 Về mô hình Rasch và vai trò

của nó

Chúng ta đã chọn mô hình một tham số, mô hình

Rasch, làm mô hình trình bày đầu tiên trong các mô

hình đường cong ĐTCH vì mô hình này đơn giản nhất

và phản ánh tường minh nhất mối quan hệ giữa TS và

CH Tuy nhiên, như đã nói trên đây, trong tiến trình

lịch sử hình thành IRT, không phải mô hình Rasch xuất

hiện trước các mô hình khác Nhà toán học và tâm lý

học người Đan Mạch, George Rasch, đã có ý tưởng xây

dựng “một mô hình cấu trúc cho các CH trong một

đề trắc nghiệm” từ thập niên 1950, đề xuất mô hình

xác suất logistic đó từ 1953, nhưng ở Mỹ, người ta biết

đến công trình của ông từ khi ông công bố chính thức

trong một cuốn sách xuất bản năm 1960[2] Động cơ

của Rasch muốn thể hiện qua mô hình của mình là hạn

chế việc dựa vào tổng thể TS khi phân tích các đề trắc

nghiệm (ĐTN) eo ông, phân tích trắc nghiệm chỉ

đáng giá khi dựa vào từng cá nhân TS, với các thuộc

tính của TS và CH được tách riêng Để biện minh cho

quan điểm của mình, ông thường dẫn lời nhà tâm lý học

Skinner, người rất ghét việc căn cứ vào thống kê dựa

trên tổng thể để kết luận và thường triển khai nghiên

cứu thực nghiệm trên từng cá thể an điểm của Rasch

đã đánh dấu sự chuyển tiếp từ CTT, dựa trên tổng thể

với việc nhấn mạnh đến biện pháp tiêu chuẩn hoá và

ngẫu nhiên hoá, sang IRT với mô hình xác suất tương

tác giữa một TS và một CH Sự tồn tại của các số liệu

thống kê đầy đủ của các tham số của CH trong mô

hình Rasch có thể được sử dụng vào việc điều chỉnh

ước lượng các tham số năng lực theo một cách thức đặc

biệt

Cùng trong khoảng thời gian công bố công trình của

mình, Rasch được mời sang cộng tác nghiên cứu 3

tháng tại Viện Đại học Chicago Tại đây, B Wright

đã có rất nhiều đóng góp để nâng cao và phát triển

mô hình Rasch eo Wright, ý tưởng của Rasch về

việc chọn mô hình logistic với chỉ một tham số là độ

khó đã giải phóng được bế tắc của việc phát triển IRT

trong nhiều thập niên, vì nhiều nhà tâm trắc học từ các nghiên cứu của mình đã khẳng định rằng chỉ có độ khó

là có thể ước lượng được một cách ổn định và đầy đủ qua số liệu quan sát đối với loại CH trắc nghiệm nhị phân Do đó, hiện nay, tuy là mô hình ĐTCH đơn giản nhất trong các mô hình IRT, và có lẽ cũng chính vì tính đơn giản nhưng đầy đủ của nó, mô hình Rasch đã được

sử dụng nhiều nhất trong các nghiên cứu tâm lý và giáo dục Cũng theo Wright, mô hình Rasch là mô hình duy nhất thoả mãn các yêu cầu để xây dựng các phép đo lường khách quan trong khoa học xã hội nói chung, và Wright có ý kiến khá cực đoan rằng không nên sử dụng các mô hình khác trong các phép đo lường khách quan Một trong những ưu điểm lớn của mô hình Rasch là tách biệt được năng lực của TS và đặc trưng của CH (độ khó) trong phép đo lường ật vậy, nếu có hai TS

có năng lực θ1 và θ2 cùng ứng đáp một CH thì từ biểu thức (3) có thể thu được ln (O1/O2) = (θ1– θ2), tức là

có thể xác định các năng lực của TS không phụ thuộc

độ khó CH Vì tính đối xứng của biểu thức, cũng dễ thấy rằng, ngược lại, có thể xác định các độ khó của

CH không phụ thuộc năng lực TS Chính vì tính chất

cơ bản này nên có thể đặt năng lực của các TS và độ khó của các CH trên cùng một thang đo để so sánh chúng với nhau

Tuy nhiên, một số nhà nghiên cứu khác cho rằng về lý thuyết thì dạng toán học của mô hình Rasch có nhiều lợi thế, nhưng khi nói đến mô hình toán học, tức là nói đến một sự giả định, tiêu chuẩn để đánh giá hiệu quả của mô hình là sự phù hợp của chúng với số liệu thực nghiệm chứ không chỉ thuần túy ở dạng toán học Người ta thường gọi quan điểm của Wright là quan

điểm “dựa trên mô hình” (model–based), còn quan điểm ngược lại là quan điểm “dựa trên dữ liệu” (data–based).

2.3 Điểm thực và đường cong đặc trưng đề trắc nghiệm

Trong các phép đo lường, để xác định chính xác giá trị được đo và sai số của một phép đo người ta thường thực hiện phép đo đó nhiều lần Trong trắc nghiệm, thực tế không làm được như vậy, nhưng có thể quy ước định nghĩa về điểm trung bình của một TS qua hàng loạt phép đo bằng một ĐTN Điểm quan sát X của một ĐTN qua hàng loạt phép đo được xem là một biến ngẫu nhiên với một phân bố tần suất nào đó thường là không biết Giá trị trung bình (kì vọng toán học) của phân bố

đó được gọi là điểm thực τ của TS, có quan hệ như sau với các điểm quan sát X và sai số ε:

ε = X – τ. (7)

Trong CTT, điểm thực được định nghĩa trên đây là một

sự trừu tượng toán học, không có quy trình nào để xác định Cũng do đó, sai số của phép đo ε là một đại lượng

2.4 HÀM THÔNG TIN CỦA CÂU HỎI VÀ CỦA ĐỀ TRẮC NGHIỆM 7

có tính chất trung bình đối với toàn bộ dải năng lực của

TS Tuy nhiên trong IRT, có thể chứng minh được rằng

điểm thực được xác định bởi một ĐTN gồm n CH có

thể tính theo biểu thức sau đây:

τ =∑n

j=1 P (θ j) (8)

Tức là: điểm thực của một TS có năng lực θ là tổng của

các xác suất trả lời đúng của mọi CH của ĐTN tại giá

trị θ Như vậy, đối với mọi giá trị θ, nếu chúng ta tiến

hành cộng tất cả mọi đường cong ĐTCH trong ĐTN,

sẽ thu được đường cong đặc trưng của ĐTN, hoặc cũng

gọi là đường cong điểm thực Đường cong đặc trưng

của ĐTN là quan hệ hàm số giữa điểm thực và thang

năng lực: cho trước một mức năng lực bất kì có thể tìm

điểm thực tương ứng qua đường cong đặc trưng ĐTN

Minh họa trên Hình 4 cho thấy một đường cong đặc

trưng ĐTN thu được bằng cách cộng 5 đường cong

ĐTCH Vì là chồng chất của các đường cong ĐTCH

nên đường cong đặc trưng ĐTN cũng có dạng một hàm

đồng biến Tiệm cận phải của đường cong khi θ → +∞

bằng điểm thực tối đa, n, tức là bằng tổng số CH trong

ĐTN Tung độ tiệm cận trái của đường cong khi θ tiến

đến θ → -∞ bằng 0 đối với các mô hình 1 và 2 tham số,

và bằng giá trị tổng cộng các tham số đoán mò Σc của

toàn bộ n CH trong ĐTN đối với mô hình 3 tham số.

Độ nghiêng của phần giữa đường cong đặc trưng ĐTN

liên quan đến độ phân biệt của ĐTN Mức năng lực ứng

với trung điểm của thang điểm thực (n/2) xác định vị

trí của ĐTN trên thang năng lực Hoành độ của điểm

đó xác định độ khó của ĐTN Hai yếu tố độ dốc và mức

năng lực ở trung điểm thang điểm thực mô tả khá rõ

đặc tính của một ĐTN

Hình 4 Đường cong đặc trưng của ĐTN gồm 5 CH và 5 đường

cong ĐTCH tương ứng.

Một điều khá lý thú là, khi biết năng lực θ của một TS,

nhờ đường cong điểm thực của một ĐTN cụ thể có thể

xác định được điểm thực của TS thu được từ ĐTN đó

mà TS không cần phải làm ĐTN Từ đó có thể tiên đoán

điểm thực của TS hoặc tình trạng TS đạt hay không đạt

điểm cần thiết đối với một ĐTN mới

2.4 Hàm thông tin của câu hỏi và của đề trắc nghiệm

Mỗi một CH trắc nghiệm cung cấp một lượng thông tin nào đó về năng lực cần đo của các TS Birnbaum A

đã đề xuất biểu thức hàm hàm thông tin của CH (item

information function) được biểu diễn như sau:

I i (θ) = [P i ′ (θ)]2

P i (θ)Q i (θ) (9)

trong đó I(θ) là thông tin cung cấp bởi CH thứ i ở mức

năng lực θ, Q(θ)=1- P(θ), P'(θ)là đạo hàm của P(θ) theo θ

Từ biểu thức (9) có thể suy ra các biểu thức hàm thông tin tương ứng với các mô hình ứng đáp CH khác nhau Đối với mô hình tổng quát 3 tham số, ta có:

I i (θ) = a2i (P i (θ) −c i)2

(1−c i) 2

Q i (θ)

P i (θ) (10)

Vì tính độc lập địa phương của các CH trắc nghiệm, 'hàm thông tin của ĐTN' (Test information Function)

là tổng các hàm thông tin của các CH có trong ĐTN:

I(θ) =∑n

i=1 I i (θ) (11)

Ở Hình 5, đường cong nét đậm biểu diễn hàm thông tin của ĐTN, còn các đường cong nét nhạt là các hàm thông tin của các CH trắc nghiệm Mức thông tin chung của ĐTN cao hơn nhiều so với mức thông tin của từng

CH riêng rẽ, tức là một ĐTN sẽ đo năng lực chính xác hơn nhiều so với chỉ một CH trắc nghiệm Từ định nghĩa hàm thông tin theo công thức (11) có thể thấy rõ: ĐTN càng có nhiều CH thì giá trị của hàm thông tin càng cao, tức là một ĐTN dài thường đo năng lực chính xác hơn một ĐTN ngắn

Hình 5: Các đồ thị hàm thông tin của 5 CH trắc nghiệm và của ĐTN do 5 CH đó hợp thành

Tùy theo tính chất của các CH tạo nên ĐTN mà hàm thông tin sẽ có giá trị lớn (tức là đo chính xác) ở các