Lý thuyết ứng đáp câu hỏi

Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi Mục lục Sốe 1.1 Lịch sử 1.2 Ứng dụng 1.2.1 Bài toán lãi suất kép 1.2.2 Phép thử Bernoulli 1.2.3 Derangement Số e giải tích 1.3.1 1.3 1.4 Các đặc điểm khác Tính chất 1.4.1 Hàm tựa-mũ 1.4.2 Lý thuyết số 1.4.3 Số phức Biểu diễn số e 1.5.1 Biểu diễn số e dạng liên phân số 1.5.2 Số chữ số thập phân biết 1.6 Số e văn hóa máy tính 1.7 Xem thêm 1.8 Ghi 1.9 am khảo 1.10 Liên kết Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi 2.1 Việc ứng đáp câu hỏi nhị phân mô hình đơn chiều 2.2 Về mô hình Rasch vai trò 2.3 Điểm thực đường cong đặc trưng đề trắc nghiệm 2.4 Hàm thông tin câu hỏi đề trắc nghiệm 2.5 Về việc ước lượng lực thí sinh tham số câu hỏi 2.6 So kết nối đề trắc nghiệm 2.7 Về trắc nghiệm đa phân trắc nghiệm đa chiều 10 2.8 Tài liệu dẫn 11 2.9 Liên kết 12 2.10 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 13 2.10.1 Văn 13 1.5 i ii MỤC LỤC 2.10.2 Hình ảnh 13 2.10.3 Giấy phép nội dung 13 Chương Sốe Hằng số toán học e số logarit tự nhiên ỉnh thoảng gọi số Euler, đặt theo tên nhà toán học ụy Sĩ Leonhard Euler, số Napier để ghi công nhà toán học Scotland John Napier người phát minh logarit (e không nhầm lẫn với γ số Euler-Mascheroni, gọi đơn giản số Euler) Số e số quan trọng toán học [1] Nó có số định nghĩa tương đương, số chúng đưa Lý xác cho việc sử dụng chữ e chưa biết, chữ từ exponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường tăng nhanh chóng, nghĩa toán học hàm mũ) Một khả khác Euler sử dụng nguyên âm sau a, chữ mà ông sử dụng cho số khác, ông lại sử dụng nguyên âm chưa rõ Dường Euler sử dụng chữ chữ đầu tên ông, ông người khiêm tốn, cố gắng tuyên dương đắn công trình người khác.[2] Số có tham gia vào đẳng thức Euler Do e số siêu việt, số vô tỉ, giá trị đưa cách xác dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn phân 1.2 Ứng dụng số liên tục hữu hạn hay tuần hoàn Nó số thực biểu diễn phân số liên tục vô hạn không tuần hoàn Giá trị số e tới 20 chữ số 1.2.1 Bài toán lãi suất kép thập phân là: Jacob Bernoulli khám phá số nghiên cứu vấn đề lãi suất kép 2,71828 18284 59045 23536… Một ví dụ đơn giản tài khoản bắt đầu với $1.00 trả 100% lợi nhuận năm Nếu lãi suất trả lần, đến cuối năm giá trị $2.00; nều lãi 1.1 Lịch sử suất tính cộng hai lần năm, $1 = $2.25 Lãi kép Chỉ dẫn tham khảo tới số xuất nhân với 1.5 hai lần, ta $1.00×1.5 hàng quý ta $1.00×1.25 = $2.4414…, lãi kép vào 1618 bảng phụ lục công trình 12 hàng tháng ta $1.00×(1.0833…) = $2.613035… logarit John Napier ế nhưng, công trình không chứa số e, mà đơn giản danh Bernoulli để ý thấy dãy tiến tới giới hạn với sách logarit tự nhiên tính toán từ số e kì lãi kép ngày nhỏ dần Lãi kép hàng tuần ta Có thể bảng soạn William Oughtred $2.692597… lãi kép hàng ngày ta Chỉ dẫn cho biết số e phát $2.714567…, thêm hai cent Gọi n số kì lãi Jacob Bernoulli, tìm giá trị biểu thức: kép, với lãi suất 1/n kì, giới hạn n lớn số mà ta gọi số e; với lãi kép liên tục, giá trị tài khoản tiến tới $2.7182818… Tổng quát )n ( hơn, tài khoản mà bắt đầu $1, nhận lim + (1+R) đô-la lãi đơn, nhận eR đô-la với lãi kép n→∞ n liên tục Việc sử dụng ta biết số, biểu diễn chữ b, liên lạc thư từ Gofried Leibniz Christiaan Huygens 1690 1691 1.2.2 Phép thử Bernoulli Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ e cho số vào 1727, việc sử dụng e lần ấn Số e có ứng dụng lý thuyết xác suất, Mechanica Euler (1736) Trong phát triển theo cách mà không hiển nhiên liên năm sau số nhà nghiên cứu sử dụng chữ c, quan đến độ tăng hàm mũ Giả sử bạc e trở nên phổ biến cuối trở thành tiêu chuẩn chơi slot machine, triệu lần, kỳ vọng thắng CHƯƠNG SỐE lần Khi xác suất mà bạc không thắng (xấp xỉ) 1/e d Đây ví dụ phép thử Bernoulli Mỗi lần dx loge x = x bạc chơi lượt, có thêm triệu hội thắng Việc chơi triệu lần mô hình hóa qua Logarit trường hợp đặc biệt gọi phân phối nhị thức, có liên hệ mật thiết với định lý nhị logarit tự nhiên (thường ký hiệu “ln”), dễ dàng lấy vi phân giới hạn chưa thức Xác suất thằng k lần thua lần lại xác định phải thực tính toán ( 6) 10 ( −6 )k 10 (1 − 10−6 )10 −k k Do có hai cách để chọn số đặc biệt a=e Một cách đặt cho đạo hàm hàm số ax ax Một cách khác đặt cho đạo hàm logarit số a 1/x Mỗi trường hợp đến lựa chọn thuận tiện để làm giải tích ực tế là, hai số khác lại một, số e Đặc biệt, xác suất không thắng lần (k=0) ( )106 1− 10 1.3.1 Các đặc điểm khác Số gần với giới hạn sau ho 1/e Một số đặc điểm khác số e: giới hạn dãy, khác chuỗi vô hạn, số khác tích phân Trên ta giới thiệu hai tính chất: ( )n 1 = lim − e n→∞ n 1.2.3 Số e số thực dương mà Derangement = et : Đạo hàm hàm số mũ số e hàm số d t dt e 1.3 Số e giải tích Lý để đưa số e, đặc biệt giải tích, để lấy vi phân tích phân hàm mũ logarit.[3] Một hàm mũ tổng quát y=ax có đạo hàm dạng giới hạn: d x ax+h − ax ax ah − ax a = lim = lim = ax h→0 h→0 dx h h ( Số e số thực dương mà d loge t = dt t Các tính ) chất khác sau chứng minh h atương − 1đương: lim h→0 h e giới hạn Số Giới hạn bên phải độc lập với biến x: phụ thuộc vào số a Khi số e, giới hạn tiến tới một, e định nghĩa phương trình: ( e = lim n→∞ d x e = ex dx 1+ n )n Số e tổng chuỗi vô hạn Do đó, hàm mũ với số e số trường hợp ∞ ∑ phù hợp để làm giải tích Chọn e, không số số 1 1 1 = + + + + + ··· khác, số hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu e = n! 0! 1! 2! 3! 4! n=0 đạo hàm đơn giản nhiều Một lý khác đến từ việc xét số logarit a.[4] Xét n! giai thừa n định nghĩa đạo hàm logₐx giới hạn: Số e số thực dương mà ) ∫ e lim loga (11+ u) u→0 u dt = 1 t Một lần nữa, có giới hạn chưa xác định mà phụ thuộc vào số a, số e, giới hạn (nghĩa là, số e số mà diện tích hyperbol f (t) = 1/t từ tới e một) Vậy loga (x + h) − loga (x) d loga x = lim = h→0 dx h x ( 1.7 XEM THÊM 1.4 Tính chất 1.7 Xem thêm 1.4.1 Hàm tựa-mũ Số Pi 1.4.2 Lý thuyết số 1.8 Ghi Chứng minh e số vô tỉ Giả sử e số hữu tỉ, suy [1] Howard Whitley Eves (1969) An Introduction to the History of Mathematics Holt, Rinehart & Winston p e= q [2] O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; e MacTutor History of Mathematics archive: “e number e"; University of St Andrews Scotland (2001) Dựa vào công thức: e= [3] See, for instance, Kline, M (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, Dover, section 12.3 “e Derived Functions of Logarithmic Functions.” ∞ ∑ 1 1 1 = + + + + + ··· n! 0! 1! 2! 3! 4! n=0 [4] is is the approach taken by Klein (1998) [5] New Scientist, 21-7-2007, tr 40 1 1 1 1 1 e.q! = ( + + +· · · ).q! = ( + + +· · ·+ ).q!+[6] Byte + Magazine, yển+6, số (tháng năm 1981) tr +·392) ·· 0! 1! 2! 0! 1! 2! q! q +“e (q + 1)(q + 2) (q + 1)(q +e 2)(q + 3) places Impossible Dream: Computing to 116,000 1 + (q+1)(q+2) + e.q! số nguyên dương, suy ra: q+1 (q+1)(q+2)(q+3) + · · · số nguyên dương 1 Mặt khác: q+1 + (q+1)(q+2) + (q+1)(q+2)(q+3) +··· < 1 1 + − + − + ≤ ≤ q+1 q+1 q+2 q+2 q+3 q+1 Suy điều mâu thuẫn Vậy e số vô tỉ 1.4.3 1.9 Tham khảo Số phức Biểu diễn số e dạng liên phân số e = [[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, , 1, 2n, 1, ]], e=2+ 2+ 1+ 1+ 1.10 Liên kết • Số e tới triệu chữ số thập phân và triệu chữ số thập phân • Những cách sử dụng ban đầu cho ký hiệu số • e the EXPONENTIAL - the Magic Number of GROWTH - Keith Tognei, University of Wollongong, NSW, Australia 1+ • An Intuitive Guide To Exponential Functions & e 4+ Như vây e số vô tỉ biểu diễn liên phân số lại phân phối theo quy luật tuyến tính: 2;1-21;1-4-1;1-6-1;1-8-1;… 1.5.2 [7] Notable Large Computations: E Alexander J Yee Cập nhật 7/3/2011 • Maor, Eli; e: e Story of a Number, ISBN 0-69105854-7 1.5 Biểu diễn số e 1.5.1 with a Personal Computer” Số chữ số thập phân biết 1.6 Số e văn hóa máy tính • Euler’s constant PlanetMath • E MathWorld • e Approximations: giá trị gần số e Chương Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi (Item Response eory IRT) lý thuyết khoa học đo lường giáo dục, đời từ nửa sau kỷ 20 phát triển mạnh mẽ Trước đó, Lý thuyết Trắc nghiệm cổ điển (Clasical Test eory – CTT), đời từ khoảng cuối kỷ 19 hoàn thiện vào khoảng thập niên 1970, có nhiều đóng góp quan trọng cho hoạt động đánh giá giáo dục, thể số hạn chế Các nhà tâm trắc học (psychometricians) cố gắng xây dựng lý thuyết đại cho khắc phục hạn chế Lý thuyết trắc nghiệm đại xây dựng dựa mô hình toán học, đòi hỏi nhiều tính toán, nhờ tiến vượt bậc công nghệ tính toán máy tính điện tử vào cuối kỷ 20 – đầu kỷ 21 nên phát triển nhanh chóng đạt thành tựu quan trọng biến không quan sát (năng lực TS) biến quan sát (việc trả lời CH) Đồ thị biểu diễn hàm gọi đường cong đặc trưng câu hỏi (Đường cong ĐTCH - Item Characteristic Curve) Đối với cặp TS – CH, cần xây dựng thang chung để biểu diễn mối tương tác chúng Trước hết giả sử ta biểu diễn lực tiềm ẩn TS biến liên tục θ dọc theo trục, từ –∞ đến +∞ Khi xét phân bố lực tập hợp TS đó, ta gán giá trị trung bình phân bố lực tập hợp TS không (0), làm gốc thang đo lực, độ lệch tiêu chuẩn phân bố lực Tiếp đến, chọn thuộc tính CH để đối sánh với lực: tham số biểu diễn thuộc tính quan trọng độ khó b CH (cần lưu ý đại lượng độ khó xác định khác với CTT) Cũng theo cách tương tự biểu diễn độ khó CH biến liên tục dọc theo trục, từ –∞ đến +∞ Khi xét phân bố độ khó tập hợp CH đó, ta chọn giá trị trung bình phân bố độ khó không (0), làm gốc thang đo độ khó, độ lệch tiêu chuẩn phân bố độ khó CH Để đánh giá đối tượng CTT tiếp cận cấp độ đề kiểm tra, lý thuyết trắc nghiệm đại tiếp cận cấp độ câu hỏi, lý thuyết thường gọi Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi Trong số nhà nghiên cứu có nhiều đóng góp ban đầu cho IRT kể tên Lord, F.M.[1] ; Rasch, G.[2] , Wright, B.D.[3] v.v Chúng ta bắt đầu cách xây dựng hàm đáp ứng CH cho CH nhị phân, tức CH mà câu trả lời có mức: (sai) (đúng) Giả thiết sau George Rasch, nhà toán học Đan Mạch, đưa làm sở để xây dựng mô hình hàm đáp ứng CH tham số: 2.1 Việc ứng đáp câu hỏi nhị phân mô hình đơn chiều Chúng ta quy ước gọi người có thuộc tính cần đo lường thí sinh (person -TS) đơn vị công cụ để đo lường (test) câu hỏi (item –CH) Để đơn giản hóa cho mô hình nghiên cứu xuất phát đưa giả thiết sau đây: Một người có lực cao người khác xác suất để người trả lời câu hỏi phải lớn xác suất người sau; tương tự vậy, câu hỏi khó câu hỏi khác có nghĩa xác suất để người trả lời câu hỏi phải bé xác [2] - Năng lực tiềm ẩn (latent trait) cần đo có chiều suất để trả lời câu hỏi sau (Rasch, 1960, tr 117) (unidimensionality), ta đo chiều Với giả thiết nêu trên, thấy xác suất để TS lực trả lời CH phụ thuộc vào tương quan - Các CH độc lập địa phương (local independence), lực TS độ khó CH Chọn Θ để biểu tức việc trả lời CH không ảnh hưởng đến diễn lực TS, β để biểu diễn độ khó CH Gọi P xác suất trả lời CH, xác suất phụ CH khác thuộc vào tương quan Θ β theo cách Khi thỏa mãn hai giả thiết nêu không gian đó, ta biểu diễn: lực tiềm ẩn đầy đủ chứa lực Khi ấy, người ta giả định có hàm đặc trưng câu hỏi (Hàm ĐTCH (1) f (P ) = Θ - Item Characteristic Function) phản ánh mối quan hệ β 2.1 VIỆC ỨNG ĐÁP CÂU HỎI NHỊ PHÂN ĐỐI VỚI MÔ HÌNH ĐƠN CHIỀU f hàm xác suất trả lời Lấy logarit tự nhiên (1): (5) hàm ĐTCH tham số Hệ số a biểu diễn độ dốc đường cong ĐTCH điểm có hoành độ θ= b tung độ P(θ) = 0,5 Hàm ĐTCH tham số trình bày hàm ĐTCH tham số theo mô hình Rasch có dạng thức, khác giá trị tham số a (đối với mô hình tham số a = 1) Hình biểu diễn đường cong ĐTCH theo Tiếp đến, để đơn giản, xét mô hình trắc nghiệm nhị mô hình tham số với b=0, a 0,5; 1,0; phân, Rasch chọn hàm f mức thua (odds) 1,5; 2,0; 3,0 nên độ dốc đường cong đoạn O, khả thực (likelyhood ratio), tức tăng dần P O = (1−P ) , biểu diễn tỉ số khả trả lời khả trả lời sai ln f (P ) = ln( Θ β ) = ln Θ − ln β = (θ − b) (2) Như vậy: P ln (1−P ) =θ−b (3) , P ln (1−P ) gọi logit (log odds unit) Từ đó: ln P = e(θ−b) (1 − P ) Hình Các đường cong ĐTCH hai tham số với giá trị a khác (b = 0) và: P (θ) = e(θ−b) 1+e(θ−b) (4) Có thể thấy tung độ tiệm cận trái đường Biểu thức (4) hàm đặc trưng mô hình ứng cong ĐTCH tham số có giá trị 0, điều đáp CH tham số, hay gọi mô hình Rasch, có nghĩa TS có lực thấp, tức Θ → θ = ln Θ → -∞, xác suất P(θ) trả lời CH biểu diễn đồ thị (khi cho b = 0): Tuy nhiên, thực tế triển khai trắc nghiệm, biết có lực TS thấp đoán mò trả lời hú hoạ CH nên TS có khả trả lời CH Trong trường hợp nêu tung độ tiệm cận trái đường cong mà giá trị xác định c đó, với < c < Từ thực tế nêu trên, người ta đưa thêm tham số c phản ánh tượng đoán mò vào hàm ứng đáp CH để tung độ tiệm cận trái đường cong khác Kết thu biểu thức: a(θ−b) e P (θ) = c + (1 − c) 1+e a(θ−b) (6) Hình Đường cong ĐTCH tham số Tuy nhiên, biết, CTT, người ta sử dụng tham số quan trọng thứ hai đặc trưng cho CH độ phân biệt, từ nhiều nhà nghiên cứu mong muốn đưa đặc trưng vào mô hình đường cong ĐTCH Muốn vậy, đưa thêm tham số a liên quan đến đặc trưng phân biệt CH vào hệ số số mũ hàm e, kết có biểu thức: P (θ) = ea(θ−b) 1+ea(θ−b) (5) (6) hàm ĐTCH tham số Rõ ràng θ → -∞, hàm P(θ)→ c Trong trường hợp hàm ĐTCH tham số θ = b có P(θ) = (1+c)/2 Hình biểu diễn đường cong ĐTCH theo mô hình tham số với a = tham số c có giá trị 0,1 0,2 Mô hình đường cong ĐTCH tham số Allan Birnbaum đề xuất [4] , nên gọi mô hình Birnbaum 6 CHƯƠNG LÝ THUYẾT ỨNG ĐÁP CÂU HỎI nhiều thập niên, nhiều nhà tâm trắc học từ nghiên cứu khẳng định có độ khó ước lượng cách ổn định đầy đủ qua số liệu quan sát loại CH trắc nghiệm nhị phân Do đó, nay, mô hình ĐTCH đơn giản mô hình IRT, có lẽ tính đơn giản đầy đủ nó, mô hình Rasch sử dụng nhiều nghiên cứu tâm lý giáo dục Cũng theo Wright, mô hình Rasch mô hình thoả mãn yêu cầu để xây dựng phép đo lường khách quan khoa học xã hội nói chung, Wright có ý kiến cực đoan không nên sử dụng mô hình khác phép đo lường khách quan Hình 3: Các đường cong ĐTCH tham số với a = 2, c = 0,1 0,2 2.2 Về mô hình Rasch vai trò Chúng ta chọn mô hình tham số, mô hình Rasch, làm mô hình trình bày mô hình đường cong ĐTCH mô hình đơn giản phản ánh tường minh mối quan hệ TS CH Tuy nhiên, nói đây, tiến trình lịch sử hình thành IRT, mô hình Rasch xuất trước mô hình khác Nhà toán học tâm lý học người Đan Mạch, George Rasch, có ý tưởng xây dựng “một mô hình cấu trúc cho CH đề trắc nghiệm” từ thập niên 1950, đề xuất mô hình xác suất logistic từ 1953, Mỹ, người ta biết đến công trình ông từ ông công bố thức sách xuất năm 1960 [2] Động Rasch muốn thể qua mô hình hạn chế việc dựa vào tổng thể TS phân tích đề trắc nghiệm (ĐTN) eo ông, phân tích trắc nghiệm đáng giá dựa vào cá nhân TS, với thuộc tính TS CH tách riêng Để biện minh cho quan điểm mình, ông thường dẫn lời nhà tâm lý học Skinner, người ghét việc vào thống kê dựa tổng thể để kết luận thường triển khai nghiên cứu thực nghiệm cá thể an điểm Rasch đánh dấu chuyển tiếp từ CTT, dựa tổng thể với việc nhấn mạnh đến biện pháp tiêu chuẩn hoá ngẫu nhiên hoá, sang IRT với mô hình xác suất tương tác TS CH Sự tồn số liệu thống kê đầy đủ tham số CH mô hình Rasch sử dụng vào việc điều chỉnh ước lượng tham số lực theo cách thức đặc biệt Một ưu điểm lớn mô hình Rasch tách biệt lực TS đặc trưng CH (độ khó) phép đo lường ật vậy, có hai TS có lực θ1 θ2 ứng đáp CH từ biểu thức (3) thu ln (O1 /O2 ) = (θ1 – θ2 ), tức xác định lực TS không phụ thuộc độ khó CH Vì tính đối xứng biểu thức, dễ thấy rằng, ngược lại, xác định độ khó CH không phụ thuộc lực TS Chính tính chất nên đặt lực TS độ khó CH thang đo để so sánh chúng với Tuy nhiên, số nhà nghiên cứu khác cho lý thuyết dạng toán học mô hình Rasch có nhiều lợi thế, nói đến mô hình toán học, tức nói đến giả định, tiêu chuẩn để đánh giá hiệu mô hình phù hợp chúng với số liệu thực nghiệm không túy dạng toán học Người ta thường gọi quan điểm Wright quan điểm “dựa mô hình” (model–based), quan điểm ngược lại quan điểm “dựa liệu” (data–based) 2.3 Điểm thực đường cong đặc trưng đề trắc nghiệm Trong phép đo lường, để xác định xác giá trị đo sai số phép đo người ta thường thực phép đo nhiều lần Trong trắc nghiệm, thực tế không làm vậy, quy ước định nghĩa điểm trung bình TS qua hàng loạt phép đo ĐTN Điểm quan sát X ĐTN qua hàng loạt phép đo xem biến ngẫu nhiên với phân bố tần suất thường Giá trị trung bình (kì vọng toán học) phân bố gọi điểm thực τ TS, có quan hệ sau với điểm quan sát X sai số ε: Cùng khoảng thời gian công bố công trình mình, Rasch mời sang cộng tác nghiên cứu ε = X – τ (7) tháng Viện Đại học Chicago Tại đây, B Wright có nhiều đóng góp để nâng cao phát triển mô hình Rasch eo Wright, ý tưởng Rasch Trong CTT, điểm thực định nghĩa việc chọn mô hình logistic với tham số độ trừu tượng toán học, quy trình để xác khó giải phóng bế tắc việc phát triển IRT định Cũng đó, sai số phép đo ε đại lượng 2.4 HÀM THÔNG TIN CỦA CÂU HỎI VÀ CỦA ĐỀ TRẮC NGHIỆM có tính chất trung bình toàn dải lực TS Tuy nhiên IRT, chứng minh điểm thực xác định ĐTN gồm n CH tính theo biểu thức sau đây: τ= ∑n j=1 P (θj ) (8) Tức là: điểm thực TS có lực θ tổng xác suất trả lời CH ĐTN giá trị θ Như vậy, giá trị θ, tiến hành cộng tất đường cong ĐTCH ĐTN, thu đường cong đặc trưng ĐTN, gọi đường cong điểm thực Đường cong đặc trưng ĐTN quan hệ hàm số điểm thực thang lực: cho trước mức lực tìm điểm thực tương ứng qua đường cong đặc trưng ĐTN Minh họa Hình cho thấy đường cong đặc trưng ĐTN thu cách cộng đường cong ĐTCH Vì chồng chất đường cong ĐTCH nên đường cong đặc trưng ĐTN có dạng hàm đồng biến Tiệm cận phải đường cong θ → +∞ điểm thực tối đa, n, tức tổng số CH ĐTN Tung độ tiệm cận trái đường cong θ tiến đến θ → -∞ mô hình tham số, giá trị tổng cộng tham số đoán mò Σc toàn n CH ĐTN mô hình tham số Độ nghiêng phần đường cong đặc trưng ĐTN liên quan đến độ phân biệt ĐTN Mức lực ứng với trung điểm thang điểm thực (n/2) xác định vị trí ĐTN thang lực Hoành độ điểm xác định độ khó ĐTN Hai yếu tố độ dốc mức lực trung điểm thang điểm thực mô tả rõ đặc tính ĐTN 2.4 Hàm thông tin câu hỏi đề trắc nghiệm Mỗi CH trắc nghiệm cung cấp lượng thông tin lực cần đo TS Birnbaum A đề xuất biểu thức hàm hàm thông tin CH (item information function) biểu diễn sau: Ii (θ) = [Pi′ (θ)]2 Pi (θ)Qi (θ) (9) I(θ) thông tin cung cấp CH thứ i mức lực θ, Q(θ)=1- P(θ), P'(θ)là đạo hàm P(θ) theo θ Từ biểu thức (9) suy biểu thức hàm thông tin tương ứng với mô hình ứng đáp CH khác Đối với mô hình tổng quát tham số, ta có: i (θ)−ci ) Ii (θ) = a2i (P(1−c i) Qi (θ) Pi (θ) (10) Vì tính độc lập địa phương CH trắc nghiệm, 'hàm thông tin ĐTN' (Test information Function) tổng hàm thông tin CH có ĐTN: I(θ) = ∑n i=1 Ii (θ) (11) Ở Hình 5, đường cong nét đậm biểu diễn hàm thông tin ĐTN, đường cong nét nhạt hàm thông tin CH trắc nghiệm Mức thông tin chung ĐTN cao nhiều so với mức thông tin CH riêng rẽ, tức ĐTN đo lực xác nhiều so với CH trắc nghiệm Từ định nghĩa hàm thông tin theo công thức (11) thấy rõ: ĐTN có nhiều CH giá trị hàm thông tin cao, tức ĐTN dài thường đo lực xác ĐTN ngắn Hình Đường cong đặc trưng ĐTN gồm CH đường cong ĐTCH tương ứng Một điều lý thú là, biết lực θ TS, nhờ đường cong điểm thực ĐTN cụ thể xác định điểm thực TS thu từ ĐTN mà TS không cần phải làm ĐTN Từ tiên đoán điểm thực TS tình trạng TS đạt hay không đạt điểm cần thiết ĐTN Hình 5: Các đồ thị hàm thông tin CH trắc nghiệm ĐTN CH hợp thành Tùy theo tính chất CH tạo nên ĐTN mà hàm thông tin có giá trị lớn (tức đo xác) CHƯƠNG LÝ THUYẾT ỨNG ĐÁP CÂU HỎI khoảng lực xác định giá trị bé (tức đo xác) khoảng lực khác Do đặc điểm nêu trên, hàm thông tin công cụ quan trọng IRT, giúp thiết kế ĐTN cho phép đo theo mục tiêu xác định Hàm thông tin lý tưởng ĐTN đường nằm ngang, tức phép đo có độ xác khoảng lực Tuy nhiên, ĐTN tốt mục tiêu cụ thể Chẳng hạn, muốn thiết kế ĐTN để cấp học bổng, cần ĐTN đo xác khoảng hẹp mức lực ranh giới TS không học bổng, tức hàm thông tin có đỉnh cực đại điểm cắt (cut–off score), sai số lớn phép đo khoảng lực chuyển TS từ loại sang loại không học bổng ngược lại Hàm thông tin ĐTN có số ứng dụng quan trọng Trước hết, qua hàm thông tin biết mức độ xác phép đo ĐTN: Giá trị hàm thông tin lớn khoảng lực độ xác phép đo khoảng lực cao, ngược lại Một ứng dụng khác quan trọng hàm thông tin giúp thiết kế ĐTN có mức tương đương cao eo IRT, ĐTN tương đương phải thoả mãn hai điều kiện: 1) điều kiện nội dung mục tiêu, thể trùng hợp ma trận đặc trưng ĐTN (số lượng câu hỏi ô ứng với nội dung mục tiêu học tập cụ thể phải trùng nhau); 2) điều kiện thống kê: đường cong hàm thông tin ĐTN phải trùng khớp phạm vi sai số chấp nhận Sai số tiêu chuẩn ĐTN 2.5 Về việc ước lượng lực thí sinh tham số câu hỏi Sai số tiêu chuẩn việc ước lượng lực vị trí θ bằng: σ(θ) = √ I(θ) (12) Biểu thức (12) cho thấy hai đường cong hàm thông tin sai số tiêu chuẩn ĐTN có hình dạng gần đối xứng với qua đường nằm ngang Sự phụ thuộc sai số tiêu chuẩn vào lực θ có ý nghĩa quan trọng, rõ khác biệt CTT IRT Biểu thức (7) cho thấy CTT sai số ε phép đo đại lượng không đổi chung cho ĐTN TS có lực khác Trong đó, IRT, sai số phép đo ĐTN thay đổi theo mức lực Đây biểu việc “cá thể hoá" phép đo lường IRT mà đề cập bàn mô hình Rasch Sai số tiêu chuẩn (θ) việc ước lượng lực θ độ lệch tiêu chuẩn phân bố gần chuẩn ước lượng giá trị lực theo biến cố hợp lý cực đại giá trị lực θ Phân bố tiến đến dạng chuẩn ĐTN đủ dài Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu cho thấy chí ĐTN ngắn cỡ 10 – 20 CH, phân bố gần chuẩn thoả mãn số mục đích Biên độ hàm sai số tiêu chuẩn nói chung phụ thuộc vào: 1) số CH ĐTN (số CH lớn sai số tiêu chuẩn bé); 2) chất lượng CH ĐTN (nói chung CH có độ phân biệt cao khả đoán mò thấp tạo sai số tiêu chuẩn bé); 3) độ khó CH gần với giá trị lực đo (tức ĐTN không khó không dễ) Việc tăng số CH ĐTN chọn CH với giá trị hàm thông tin lớn làm tăng giá trị thông tin ĐTN giảm sai số tiêu chuẩn; nhiên hàm thông tin vượt giá trị sai số tiêu chuẩn trở nên ổn định tăng tiếp tục hàm thông tin có tác động không lớn lên giá trị sai số tiêu chuẩn Áp dụng hàm thông tin vào việc khảo sát thiết kế ĐTN Như biết, mô hình IRT xét mối tương tác TS có lực θ với CH có tham số a, b, c Tuy nhiên, hoạt động đánh giá thực tế, mà thu trực tiếp từ số liệu kiểm tra việc trả lời CH TS qua trắc nghiệm Từ số liệu thu trực tiếp xác định tham số a, b, c' CH lực θ TS? Đó toán quan trọng IRT, lực TS cuối mà ta muốn biết, tham số CH cần thiết để sử dụng CH nhằm thiết kế công cụ thích hợp để đo lường xác lực TS Bài toán quan trọng giải thuật toán ước lượng lực TS tham số CH, việc tìm thuật toán tốt để giải toán mục tiêu quan trọng IRT, nói định thành công việc áp dụng IRT vào thực tế hoạt động đánh giá Tuy nhiên, muốn trình bày đầy đủ thuật toán nêu cần nhiều kiến thức toán học thống kê học Bạn đọc muốn sâu vào vấn đề tìm hiểu sơ [5] , đầy đủ [6] Ở xin giới thiệu khái quát chất thuật toán ước lượng nói trên, để dễ hiểu, phải hy sinh phần tính xác trình bày Giả sử cần dùng ĐTN gồm 100 CH để xác định lực tiếng Anh 200 TS Khi cho 200 TS làm ĐTN, thu làm chứa ứng đáp TS CH, kết gọi số liệu thực nghiệm Giả sử ứng đáp TS tuân theo quy luật xác định mô hình Rasch, biểu công thức (5) Các giá trị lực θν TS độ khó b CH (5) mà muốn ước lượng Đầu tiên chưa biết chúng, đoán nhận, gán cho chúng giá trị gọi giá trị tiên nghiệm (a priori), tính 100x200=20.000 giá trị xác suất P theo công thức (5); tập hợp xác suất gọi số liệu lý thuyết Bằng cách thức giải tích phiếm hàm, người 2.6 SO BẰNG VÀ KẾT NỐI CÁC ĐỀ TRẮC NGHIỆM ta tìm số đại diện cho số liệu thực nghiệm số tương ứng đại diện cho số liệu lý thuyết để so sánh số với Với giá trị gán cho số liệu lý thuyết, độ chênh (con số đại diện cho) số liệu lý thuyết (con số đại diện cho) số liệu thực nghiệm thường lớn uật toán phương hướng điều chỉnh giá trị θν b (5) cho sau lần tính lặp độ chênh số liệu lý thuyết số liệu thực nghiệm bé Nếu độ chênh lớn, người ta lại điều chỉnh giá trị θν b (5) tính lặp lần thứ hai Có thể quy ước xem số liệu lý thuyết trùng hợp với số liệu thực nghiệm độ chênh chúng bé giới hạn đó, chẳng hạn bé phần nghìn giá trị chúng Khi độ chênh chưa bé giới hạn đó, người ta tiếp tục trình tính lặp Việc tính lặp thực lần thứ ba, thứ tư,… lần thứ hàng trăm, hàng nghìn cho đạt giới hạn quy định Khi đạt giới hạn quy định độ chênh, chương trình lệnh dừng tính, giá trị θν b thu lần tính lặp cuối giá trị lý thuyết trùng hợp với giá trị thực nghiệm theo mô hình Rasch việc thiết kế ĐTN theo ý muốn, đặc biệt thiết kế ĐTN tương đương Với IRT, chứng minh từ lý thuyết kiểm chứng qua thực nghiệm nhược điểm khắc phục, có nghĩa phụ thuộc tham số CH vào mẫu TS dùng để xác định chúng (sample–free) phụ thuộc lực xác định TS vào ĐTN cụ thể dùng để đo lực (item–free) Tổng quát hơn, người ta nói tham số CH giá trị lực TS bất biến (invariant) Với mô hình IRT tham số, trình ước lượng thực theo nguyên tắc tương tự mô tả đây, số tham số tính toán nhiều Một thuật toán thường sử dụng cho quy trình ước lượng nói thuật toán biến cố hợp lý cực đại nhiều thuật toán khác trình bày [6] Cũng cần lưu ý tính bất biến nói tuân thủ có phù hợp số liệu thực nghiệm mô hình; muốn vậy, điều kiện đề xây dựng mô hình phải thoả mãn (chẳng hạn, tính đơn chiều lực, tính độc lập địa phương CH) Khi phù hợp số liệu thực nghiệm mô hình bị vi phạm tính bất biến không Hơn nữa, tính bất biến đặc điểm mô hình tổng thể nghiên cứu (bởi có liên quan đến phép hồi quy thống kê toàn tổng thể mẫu thử (có thể tìm hiểu [5] ), mẫu thử khác nhau, tính bất biến bị vi phạm mức độ khác Cần hiểu rõ tính bất biến bất biến phép đo để xác định tham số Có thể nêu ví dụ đơn giản để minh họa: dùng thước đo dài mét (1 mét thuộc tính thước đo) để đo bàn dài mét (6 mét thuộc tính bàn) uộc tính thước đo thuộc tính bàn bất biến chúng, không thay đổi thực phép đo, tức áp thước vào để đo bàn Hiển nhiên lực TS thay đổi qua trình học tập; tượng không liên quan đến tính bất biến khẳng định Vì việc thực toán ước lượng giá trị lực TS tham số CH phức tạp nên đa số bạn đọc thông thường không cần phải bận tâm nhiều đến thuật toán cụ thể, ngày có nhiều phần mềm chuyên dụng chuyên gia tâm trắc học xây dựng phục vụ toán ước lượng Chẳng hạn sau số phần mềm sử dụng tương đối phổ biến nay: CONQUEST Úc WINSTEPS Mỹ cho mô hình Rasch (một tham số) nhị phân 2.6 So kết nối đề trắc đa phân, BILOG–MG3 Mỹ cho mô hình 1, 2, tham số nhị phân, PARSCALS, MULTILOG cho mô hình đa nghiệm phân,… Ở Việt Nam phần mềm phục vụ cho toán VITESTA, cho mô hình 1, 2, tham eo IRT, nguyên tắc, tham số CH xác định số nhị phân đa phân, công ty EDTECH–VN không phụ thuộc vào mẫu TS, lực TS đo xây dựng từ năm 2007 [7] không phụ thuộc vào ĐTN cụ thể Tuy nhiên Tính bất biến lực thí sinh tham số câu hỏi tính chất lý tưởng, tuyệt đối tổng thể khảo sát số liệu thực tế hoàn toàn phù hợp với mô Một nhược điểm CTT có phụ thuộc hình giả định, giả thiết khác mô hình tham số CH vào mẫu TS sử dụng để xác định tuân thủ Khi điều kiện nói phần bị vi phạm chúng, phụ thuộc lực đo bất biến tuyệt đối lực TS TS vào CH, tức vào ĐTN cụ thể sử dụng để tham số CH nữa, người ta phải có thao tác đo lường lực Một minh họa rõ ràng đưa giá trị tham số CH lực TS đưa CH trắc nghiệm cho hai nhóm TS làm, thang đo chung để so sánh chúng với nhóm có nhiều TS giỏi nhóm kia, độ khó ao tác đưa tham số CH lực CH xác định theo Lý thuyết trắc nghiệm cổ điển TS thang đo chung gọi so (equating) (tỷ số TS làm tổng số TS tham gia) tất yếu khác nhau, tức giá trị độ khó phụ thuộc vào mẫu So yêu cầu quan trọng thực tiễn đánh TS dựa vào để xác định độ khó Nhược điểm giá Chẳng hạn, có hai mẫu TS khác đánh Lý thuyết Trắc nghiệm cổ điển gây khó khăn cho giá hai ĐTN khác nhau, lực mẫu TS ĐTN đo lường thu điểm 10 CHƯƠNG LÝ THUYẾT ỨNG ĐÁP CÂU HỎI Muốn hai điểm hai mẫu TS thu từ hai ĐTN so sánh với nhau, người ta phải chuyển chúng thang đo chung, tức so Sau so bằng, lực TS hai mẫu đặt thang đo nên so sánh với nhau, từ giá trị lực chuyển thành điểm thang điểm chung mong muốn mô hình đa phân sớm có lẽ Samejima F., người đưa vào mô hình ứng đáp đa cấp (graded response model) [9] Sau có hàng loạt mô hình đề xuất, tổng quát có lẽ mô hình định giá phần (Partial Credit Model – PCM) Master, G.N.[10] Các mô hình cho phép thu nhiều thông tin lực TS từ CH so với mô hình nhị Cũng vậy, hai ĐTN triển khai hai nhóm phân TS khác để định cỡ (calibration) CH trắc Vì PCM ứng dụng nhiều thực tế, nghiệm, tức xác định tham số chúng, từ số mô hình khác trường hợp riêng PCM ĐTN thu tham số CH Muốn nên giới thiệu sơ lược PCM Để thiết lập tham số CH ĐTN thu từ hai mẫu TS PCM, Masters xét CH có nhiều hạng (category) so sánh với người ta phải dùng điểm để TS đạt được, giả định xác suất để TS thủ thuật so nhằm chuyển tham số CH đạt hai hạng điểm tuân theo quy luật thang đo chung Sau so bằng, giá trị tham mô hình Rasch nhị phân Dựa vào giả định nêu trên, số CH từ hai ĐTN đặt thang CH thứ i đa phân với hạng điểm 0, 1, 2,…, m đo nên so sánh với nhau, chẳng hạn để lựa chọn Masters thu xác suất để TS n đạt điểm x CH có tham số thích hợp nhằm thiết kế ĐTN theo CH thứ i là: yêu cầu xác định ∑ exp x (θn −δik ) ∑h P r(Xni = x) = ∑mi expk=0 Có nhiều thủ tục so khác Bạn đọc muốn tìm (θ −δ ) hiểu tham khảo [8] [5] , tỉ mỉ h=0 k=0 n ik (12) để tiện việc ký hiệu, quy định ∑đó, exp k=0 (θn − δik ) = 2.7 Về trắc nghiệm đa phân trắc nghiệm đa chiều Khi đặt vấn đề xây dựng mô hình toán phản ánh ứng đáp CH phần đầu viết, để đơn giản cho mô hình, giả thiết việc ứng đáp kiểu nhị phân (0,1) Hơn nữa, TS ta giả thiết lực có tính đơn chiều (hoặc xét chiều lực TS) Tuy nhiên, thực tế đánh giá người ta sử dụng loại CH với kiểu ứng đáp đa phân (polytomous) đánh giá lực đa chiều (multidimentionality) hay đánh giá đồng thời nhiều chiều lực Dưới giới thiệu khái quát trắc nghiệm đa phân đa chiều Lưu ý biểu thức (13), δ đóng vai trò b mô hình Rasch nhị phân Với quan niệm Masters, mô tả diễn biến xác suất trả lời CH (đạt hạng điểm 1) theo lực θ mô hình Rasch nhị phân ứng biểu thức (4) đường cong P(X = 1) xác suất trả lời sai CH (đạt hạng điểm 0) đường cong P(X = 0) đồ thị Hình Về mô hình trắc nghiệm đa phân Ngoài loại trắc nghiệm nhiều lựa chọn mà trả lời theo hai trạng thái nhị phân (0,1), người ta sử dụng loại bảng hỏi (questionaire) với kiểu trả lời theo thang Likert: ‘’rất không đồng ý, không đồng ý, đồng ý, đồng ý’’ điều tra giáo dục xã hội học nói chung, câu hỏi tự luận bao gồm nhiều Hình Các đường cong ĐTCH trắc nghiệm nhị phân ứng với xác suất trả lời sai P(X = 0) xác suất trả lời P(X = 1) phần, phần định mức điểm khác nhau, gọi chung câu hỏi với ứng đáp đa phân Tương tự, trường hợp CH có hạng điểm 0, (polytomous) đường biểu diễn ứng với hạng điểm có dạng Trong thập niên 1970, nghiên cứu trắc nghiệm Hình chủ yếu tập trung vào việc triển khai ứng dụng mô hình nhị phân, số liệu liên quan đến tính đa phân Về mô hình trắc nghiệm đa chiều nhị phân hoá để phân tích Tuy nhiên, số nhà Khi xây dựng mô hình ứng đáp CH, để đơn giản nghiên cứu lưu ý đến mô hình trắc nghiệm hoá, đặt điều kiện tính đơn chiều đa phân từ cuối thập niên 1960 tập trung mạnh mẽ (unidimentionality) CH, tức CH đo thứ từ đầu thập niên 1980 Nhà nghiên cứu quan tâm đến lực tiềm ẩn, ta đo chiều (dimension) 2.8 TÀI LIỆU DẪN 11 CH, CH 1, 5, 8, đo chiều lực, CH khác đo đồng thời chiều lực Hình Các đường cong ĐTCH CH PCM có hạng điểm (với δ1