Full tài liệu tổng hợp và giải đề đại số tuyến tính

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Ví dụ tính chất định thức - Đổi chỗ hàng cột → đổi dấu é -2 ù ộ ê ú Đổ ộ VD: ê -3 ú ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ê -4 ú ë û é -1 ù ê ú ê -1 3 ú ê -1 ú ë û - Det có hàng = tỉ lệ với → det = VD: 𝐴 = 2 → 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1.4 − 2.2 = - Det có hàng cột → det = VD: 𝐴 = 0 0 detA = 1 −1 − −1 + 2 =0 - Cộng vào hàng bội lần hàng khác → det không đổi VD: é ù ú ® det A = 4.1- 2.3 = -2 A =ê êë úû Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD PHẦN I Ma trận Dạng 1: Hệ phương trình tuyến tính I Tóm tắt lý thuyết Ma trận - Định nghĩa: A= [aij]m.n → số m hàng x n cột - Một số loại ma trận đặc biệt: Ma trận hàng cột đơn vị, đường chéo tam giác trên, tam giác Định thức (Chỉ có ma trận vng cấp n có định thức) *) Cách tính định thức (1) Khai triển cột 1: det A = a11.detM11 - a21.detM21 + a31.detM31 (+)(-1)i+jaij.detMij Trong Mij: ma trận sau xoá hàng i cột j (2) Biến đổi ma trận ma trận tam giác → detA = Tích phần tử đường chéo *) Tính chất định thức  Đổi chỗ hàng / cột → đổi dấu  Det có hàng tỉ lệ với → det =  det có hàng /cột = → det =  Cộng vào hàng bội lần hàng khác → det không đổi Ma trận nghịch đảo (A-1) - Điều kiện có ma trận nghịch đảo: det A≠0 - Công thức: A-1 = AT : với AT ma trận chuyển vị A det A (AT: biến hàng thành cột, cột thành hàng ma trận A) Hạng ma trận: r(A) Định nghĩa r(A) = r tồn định thức cấp r ≠ với định thức cấp (r+1) =  Ma trận hình thang  Có hạng số hàng ≠ ma trận Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD  Phần tử khác hàng số  Hàng phải nhiều số hàng II Bài tập ỉ ỉ ỉ ữ, C = ỗ ữ Bi 1: Cho A = ỗ ữ, B = ỗỗ ữ è ø è ø è -1 ø Tính 2A + 3C, A x 3B Bi lm: ổ 2A = ỗ ỗ ố ổ 3B = 3ỗ ỗ ố ổ ữ=ỗ ữứ ỗố ổ ữ=ỗ -1 ữứ ỗố ÷ ÷ ø 12 ö ÷ -3 ÷ø ỉ ỉ ữ=ỗ ữ 3C = 3ỗ ỗ ữ ỗ ÷ è ø è ø ỉ ổ ổ 11 ữỗ ữ=ỗ ữ 2A 3C = ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ 11 ữ ố ø è ø è ø ỉ ỉ 12 ổ 32 -6 30 ữ ỗ ữ=ỗ A 3B = ỗ ỗ ữ ç -3 ÷ ç -3 è øè ø è ÷ ÷ ø Bài (K62) ổ 1 ỗ Cho ma trn: A = ç a -1 ç è a ö ÷ ÷ Với giá trị a A khả nghịch Tìm A-1 a = ÷ ø Bài làm: Để A khả nghịch det A ≠ det A = a11.detM11 - a21.detM21 + a31.detM31 (+)(-1)i+jaij.detMij Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD ỉ -1ư ỉ1 ỉ 1 det A = ỗ ữ- aỗ ữỗ ữ è ø è1 ø è a ø =  a - a(2 -1)  - =  a - a  - a = - a det A ¹ Þ a ¹ a =1 ỉ 1 ç A = ç -1 ç è 1 ổ 1 ỗ (A / I n ) = ỗ ỗỗ 1 ố ÷ ÷ ÷ ø -1 0 ö÷ ÷ ÷ 0 ÷ ø (In ma trận đơn vị cấp n) æ H ị H - H1 ỗ 1 ỗ -2 H đ H - H1 ỗỗ 0 ố 0 ö÷ -1 ÷ ÷ -1 ÷ ứ ổ H1 đ H1 H ỗ ỗ -1 -2 ỗỗ 0 è -1 ư÷ -1 ÷ ÷ -1 ÷ ø ỉ H1 ® H - 3H1 ỗ 0 ỗ H ® H  2H çç 0 è -1 -3 ư÷ -3 ÷ ÷ -1 ÷ ø ỉ -1 -3 ỗ ị A -1 = ỗ -3 ỗ ố -1 ữ ÷ ÷ ø ỉ 21ư Bài Cho A = çç ÷÷ Tính A.AT ç 31÷ è ø (Note: AT ma trận chuyển vị A biến hàng thành cột cột thành hàng ma trận) Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngnh XD ổ ỗ ữ A=ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ổ T ữ A =ỗ ỗ ÷ è ø ỉ ỉ 10 ỗ ữổ ỗ ữ ữ = ỗ 10 20 14 ữ Hệ sở trực chuẩn {u1; u2 } R2 ma trận 𝜑 có dạng chéo é -1 ù ê0 ú ë û Điều kiện cần đủ để dạng tồn phương xđ (+), xđ (-), khơng xác định dấu Nếu 𝜔(𝑥) dạng tắc  ( x) = 1 x12  2 x2   n xn  𝜔 xđ (+)  i  0i = 1, n  𝜔 xđ (-)  i  0i = 1, n ìïi = 1, n ïỵi j =  𝜔 bán xđ (+)  i  í ìïi  0i = 1, n ïỵi j =  𝜔 bán xđ (-)  í  𝜔 khơng xđ dấu  i, J Î1, n : i J  Gọi A ma trận 𝜔 theo sở trực chuẩn Rn é 11 ê ê A = ê 21 ê êë n1 12  22  ∆ =1>0 n2  1n ù ú  n ú ú ú  nn ú û Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD ∆ = ∆   11 21 11   12 22 ∆ : Định thức gốc cấp i A ∆ = 𝑑𝑒𝑡𝐴 Khi 𝜔 xđ (+)  ∆ > i = 0, n 𝜔 xđ (-)  ∆ đan dấu Nếu ∆ < 𝜔 không xđ dấu Dạng Đưa dạng tồn phương dạng tắc phép biến đổi trực giao Bài (k64) Cho  ( x ) = x12  x2  x32 - x1 x2 - x1 x3  x2 x3 đưa dạng tồn phương dạng tắc phép biến trực giao BL Ma trận 𝜔 hệ sở chuẩn tắc R3 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD -3 -1ù é1 ê A = -3 1 ú ê ú êë -1 úû -1 ù é1 -  -3 ê ú p( ) = A -  I = ê -3 1-  ú êë -1 -  úû é1 = -2 p( ) =  êê2 = êë3 = 1 = -2 é3 -3 -1ù é1 ù A -  I = ê -3 ú ® ê0 ú ê ú ê ú êë -1 úû êë0 0 úû ì- x  y  z = u = ( x, y, z ) ẻ R ợz = ổ xử ổ1 ỡx = y ỗ ữ ç ÷ = í = u = ç x ÷ = x ỗ1 ữ ợz = ỗ0ữ ỗ0ữ ố ø è ø Chọn u = (1,1, 0) = u1 = ( 1 ; ;0) 2 2 = ù é3 -3 -1ù é1 ê -3 -2 ú ® ê0 -5 -5ú ê ú ê ú êë -1 úû êë0 -5 -5úû é1 ù ® ê0 1 ú ê ú êë0 0 úû ì- x  y  z = ( A -  I ).u =  í ỵy  z = ỉ1 ỡx = z ỗ ữ = = u = z ỗ -1ữ z ẻ R ợ y = -z ç1 ÷ è ø Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Chọn u2 = (1, -1,1) = u2 = ( -1 ; ; ) 3 2 = é -5 -3 -1ù é1 -1 ù A -  I = ê -3 -5 ú ® ê0 -1ú ê ú ê ú êë -1 -1úû êë0 0 úû ìx - y  z = ( A -  I ).u =  í ỵ2 y - z = ìx = - y ï = í y = y ïz = y ỵ ỉ -1 ỗ ữ u = y ỗ1 ữ y ẻ R ỗ2 ữ ố ứ Chn u3 = (-1,1, 2) = u3 = ( -1 ; ; ) 6 Ma trận trực giao é ê ê ê ê ê ê0 ê ë -1 3 -1 ù ú 6ú ú úú ú úû Chéo hóa A thành é -2 0 ù p A p = êê úú êë 0 úû  é ê ỉ x1 ổ x1 ỗ ữ ỗ ữ Ta cú ỗ x2 ữ = p ỗ x2 ữ = ỗx ữ ỗx ữ ố 3ứ è 3ø ê ê ë -1 3 -1 ù ú 6ú x ỉ 1ư ỳỗ ữ x2 ỳỳ ỗỗ ữữ x ỳố ø úû Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD ì ï x1 = ï ï = í x2 = ï ï ï x3 = î x1  x1 x2  x2 x2  x3 x3 x3 Đưa 𝜔 dạng tắc là:  ( x ) = -2 x12  x2  x32 Bài tập tương tự ỉ2 ÷ ma trận sở è1 ø (Đề k64) viết dạng ton phng (, ) R2 nhn A = ỗ tắc Đưa dạng tồn phương 𝜔(𝑥, 𝑦) dạng tắc phép biến đổi trực giao ĐƯỜNG VÀ MẶT BẬC HAI A Lí thuyết I Đường bậc Phương trình tổng quát ax  by  2cxy  dx  ey  f = (a  b2  c ¹ 0) Dạng toàn phương tương ứng  ( x, y) = ax  by  2cxy Dạng tắc - Đường tròn x  y =  R (thực hiển ảo) - Elip - Hyperbol - Parabol x = 2 py ( p  0) x2 y2  = 1 a b2 x2 y = 1 a b2 Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu mơn từ đại cương đến chuyên ngành XD - x2 y2 Cặp đường thẳng cắt - = a b (y =  - B x) A Cặp đường song song x = a ( x =  a ) 3) Nhận dạng đường bậc B1 Viết dạng toàn phương tương ứng (với pt đường bậc 2) 𝜔(𝑥, 𝑦) B2 Đưa dạng toàn phương 𝜔(𝑥, 𝑦) dạng tắc phép biến đổi trực giao ổxử ổxử 2 ỗ ữ = p ỗ ÷  ( x, y ) = 1 x  2 y è yø è yø B3 Thế x,y theo X,Y vào pt đường bậc nhóm để đưa pt bậc dạng tắc nhận dạng II Mặt bậc hai Phương trình tổng quát ax  by  cz  2dxy  2exz  fyz  lx  rny  nz  t = (a, b, c, d, e, f khơng đồng thời 0) Dạng tồn phương tương ứng  ( x, y) = ax  by  cz  2dxy  2exz  fyz Dạng tắc - Mặt cầu x  y  z =  R - Elipxoit  x2 y2 z2   = 1 A2 B C - x2 y2 z  = 1 Hyperboloit Eliptic tầng A2 B C - x2 y  = pz Paraboloit Eliptic A2 B - x2 y = pz Paraboloit hyperboloit A2 B Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD - x2 y z2 Mặt nón  - = A B C - Mặt trụ bậc f ( x, y ) = BÀI TẬP Bài (đề k64) Đưa phương trình đường bậc sau dạng tắc phép biến đổi trực giao nhận dạng x - xy  y  16 x - y - = Bài làm Dạng toàn phương tương ứng  ( x, y ) = x - xy  y Ma trận dạng tồn phương sở tắc R2 -2 ổ9 ỗ ữ ố -2 ứ ổ -  -2 ö p ( ) = Det ( A - I ) = ỗ ữ 6-ứ ố -2 = (9 -  )(6 -  ) - =  - 15  é = p ( ) =  ê ë = 10 -2 ự ổ -2 ộ4 ữ ỳ đỗ ë -2 û è 0 ø 1 = = ( A -  I ) = ê u ( x, y ) Ỵ R ( A -  I ).u =  4x - y = ìx = x ï í ïỵ y = x ổx ổ1 ỗ ữ = u = = x ỗ ữ x ẻ R ỗ xữ ỗ ữ ố2 ứ ố2ứ Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD =>vecto riêng ứng với 1 = u = (1, ) = u1 = ( ; ) 5 é -1 -2 ù æ ữ ỳđỗ -2 -4 ỷ ố 0 ø ì x = -2 y ( A - 2 I ).u =  x  y =  í ỵy = y 2 = 10 = ( A - 2 I ) = ê æ -2 y = u2 = ỗ ữ= ốy ứ ổ -2 yỗ ữ yẻR ố1 ứ Vi = 10 có vecto riêng u2 = (-2,1) = u2 = ( -2 ; ) 5 2) Hệ số trực chuẩn R2 gồm vecto riêng A 𝜔 có dạng tắc  (x, y) = x  10 y ổ ổxử ỗ Phộp bin i trc giao ỗ ữ = ỗ ố yứ ỗ ỗ ố ỡ ùù x = = í ïy = ïỵ X5 X 5 -2 ÷÷ ổ x ỗ ữ ữố y ứ ữ 5ø Y Y Thay x,y theo X,Y vào pt đầu ta 2 XY ) - 8( XY) -2 = 5 5 40  X  10Y Y -2=0  X  10(Y - Y  ) - 10 = 5 2  X  10(Y ) = 10 5 X  10Y  16( Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD X' = X Đặt Y '=Y -  Ta có X ' 10Y ' = 10  X '2 Y2  =1 ( 2)  Là elip Bài 2(k64) Đưa pt đường bậc sau dạng tắc phép biến đổi trực giao nhận dạng x  xy  y  x  y - = Bài làm Dạng toàn phương tương ứng  ( x, y) = 3x  xy  y Ma trận dạng toàn phương sở tắc R ỉ3 ç ÷ è1 ø ỉ3-  p ( ) = Det ( A -  I ) = ỗ ữ 3- ứ ố1 = (3 - ) - =  - 6  é = p ( ) =  ê ë = ỉ -1 ỉ -1 ữđỗ ữ -1 ứ ố 0 ứ è1 1 = = ( A - 1 I ) = ỗ u = ( x, y ) ẻ R ( A - 1 I ).u =  -x  y =  x = y ổ xử ổ1ử = u = ỗ ữ = x ỗ ữ x ẻ R ố xứ ố1ứ Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Với 1 = vecto riêng tương ứng u1 = (1,1) = u1 = ( 1 ; ) 2 ổ 1ử ổ 1 ữđỗ ữ è 1ø è 0 ø 2 = = ( A - I ) = ỗ ( A - 2 I ).u =  x  y =  x = -y ỉ- ỉ -1 = u = ỗ ữ = - y ỗ ÷ y Ỵ R èy ø è1 ø Với 2 = vecto riêng tương ứng u2 = (-1,1) = u2 = ( -1 ; ) 2 Hệ sở trực chuẩn IR2 gồm vecto riêng A có dạng tắc ổ ổxử ỗ Phộp bin i trc giao ỗ ữ = ỗ ố yứ ỗ ỗ ố ỡ ùù x = í ïy = ïỵ X2 X 2 -1 ÷÷ ỉ X ỗ ữ ữ ốY ứ ữ 2ứ Y Y Đưa 𝜔 dạng tắc  ( X , Y ) = X  2Y Thế x,y theo X,Y ta 1 1 XY )  2( X Y)-4 = 2 2  X  2Y  X - 4Y  X  8Y - = X  2Y  2(  X  2Y  12 X  4Y - =  4( X  X  )  2(Y  2Y  1) - 15 =  4( X  )  2(Y  1) = 15 Đặt X '= X  Y ' = Y 1 Ta có: Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD X '2  2Y '2 = 15 = X '2 2Y '2  =1 15 15  Là elip Bài tập tương ứng (Đề k62) Hãy đưa đường bậc 2: x  xy - y = dạng tắc phép biến đổi trực giao nhận dạng (Đề k63) Cho đường bậc (E) có pt: x  xy  11 y  12 10( x  y ) = Chứng minh (E) đường elip tìm bán trục (E)