Full tài liệu tổng hợp và giải đề giải tích 2

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Dạng 1: Cực trị tự 1.Lý thuyết 𝐷ạ𝑛𝑔 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡: 𝑚ộ𝑡 ℎà𝑚 𝑏𝑖ế𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐵ướ𝑐 ∶ 𝐺𝑖ả𝑖 ℎệ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ { 𝑓′𝑥 = 𝑓′𝑦 = => 𝑐á𝑐 đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀 (𝑥, 𝑦) 𝐵ướ𝑐 : 𝐴 = 𝑓′′𝑥𝑥 Đặ𝑡 {𝐵 = 𝑓′′𝑥𝑦 𝐶 = 𝑓′′𝑦𝑦 𝐵ướ𝑐 : 𝑇ạ𝑖 𝑐á𝑐 đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑐á𝑐 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑣à ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2 + 𝑇𝐻1 : ∆ < −> 𝑀 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑝ℎả𝑖 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị + 𝑇𝐻2: ∆ > +𝐴 > −> 𝑀 𝑙à 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 + 𝐴 < −> 𝑀 𝑙à 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 + 𝑇𝐻3: ∆ = 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 Bước 4: Kết luận 2.Ví dụ minh hoạ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 Giải 𝑋é𝑡 ℎệ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: 𝑓′𝑥 = 3𝑥 − 𝑦 = { 𝑓′𝑦 = −𝑥 + = 𝑥=1 => { 𝑦=3 => đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀 (1 ; 3) 𝐴 = 𝑓′′𝑥𝑥 = 6𝑥 Đặ𝑡 {𝐵 = 𝑓′′𝑥𝑦 = −1 𝐶 = 𝑓′′𝑦𝑦 = 𝐵ướ𝑐 : 𝑇ạ𝑖 𝑐á𝑐 đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀(1 ; 3) 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑐á𝑐 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝐴, 𝐵, 𝐶 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝐴=6 {𝐵 = −1 𝐶=0 → ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2 = −1 < 𝑉ậ𝑦 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑡𝑟ê𝑛 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị Tìm cực trị tự hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦 Giải 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 − 3𝑦 = (1) Giải hệ phương trình { ′ 𝑓 𝑦 = 3𝑦 − 3𝑥 = (2) (2)  𝑥 = 𝑦 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 (1) 𝑡𝑎 𝑐ó: 3𝑦 − 3𝑦 = → { 𝑦=0→𝑥=0 𝑦=1→𝑥=1 => điểm dừng 𝑀1 (0; 0) ; 𝑀2 (1; 1) 𝐴 = 𝑓′′𝑥𝑥 = 6𝑥 Đặt {𝐵 = 𝑓′′𝑥𝑦 = −3 𝐶 = 𝑓′′𝑦𝑦 = 6𝑦 𝐴 = ; 𝐵 = −3, 𝐶 = + Tại 𝑀1 (0; 0) => { => 𝑀1 (0; 0) ko phải cực trị ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2 = −9 < 𝐴 = ; 𝐵 = −3, 𝐶 = +Tại 𝑀2 (1; 1) => { => 𝑀2 (1; 1) cực tiểu ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2 = 27 > Vậy 𝑀2 (1; 1) cực tiểu hàm số f(𝑀2 ) = −1 Tìm cực trị tự hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 − 2𝑦 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 Giải 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 − 2𝑦 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 𝑓𝑥′ = −2𝑥 + 2𝑦 − = 𝑥 = −1 Giải hệ { ′ → { 𝑦= 𝑓𝑦 = −4𝑦 + 2𝑥 + = Điểm dừng M(-1;1) Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝐴 = 𝑓′′𝑥𝑥 = −2 Đặt { 𝐵 = 𝑓′′𝑥𝑦 = → ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2 = > → M(−1; 1) 𝑙à 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 𝐶 = 𝑓′′𝑦𝑦 = −4 Vậy M(−1; 1)𝑙à 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 hàm số f(M) = Tìm cực trị tự hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 3𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 6𝑥𝑦 − 18𝑥 Giải 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 3𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 6𝑥𝑦 − 18𝑥 𝑓′𝑥 = 6𝑥𝑦 + 18𝑥 − 𝑦 − 18 = Xét hệ phương trình { 𝑓′𝑦 = 3𝑦 + 3𝑥 − 6𝑥 = (1) (2) 𝑦 = −3 (1) ↔ 6x(y + 3)– 6(y + 3) => (y + 3)(6x − 6) = → { 𝑦=1 Với x = => (2): 3𝑦 − 3𝑦 = → 𝑦 = ±1 => đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀1 (1; 1); 𝑀2 (1; −1) 𝑉ớ𝑖 𝑦 = −3 => (2): 3𝑥 + 6𝑥 + 27 = (𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) 𝐴 = 𝑓′′𝑥𝑥 = 6𝑦 + 18 Đặ𝑡 { 𝐵 = 𝑓′′𝑥𝑦 = 6𝑥 − 𝐶 = 𝑓′′𝑦𝑦 = 6𝑦 𝐴 = 24 ; 𝐵 = 𝐶 = + Tại 𝑀1 (1; 1) => { => 𝑀1 (1; 1) cực tiểu ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2 = 144 > 𝐴 = 12 ; 𝐵 = 0, 𝐶 = −6 +Tại 𝑀2 (1; −1) => { => 𝑀2 (1; −1) ko phải cực trị ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2 = −72 < 𝑉ậ𝑦 𝑀1 (1; 1) 𝑙à 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑣à 𝑓(𝑀1 ) = −11 Tìm cực trị hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥 𝑦 + 𝑦 − 2𝑦 Giải 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥 𝑦 + 𝑦 − 2𝑦 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝑓 ′ 𝑥 = 4𝑥 + 6𝑥 − 4𝑥𝑦 = (1) Xét hệ phương trình: { ′ 𝑓 𝑦 = −2𝑥 + 2𝑦 − = (2) (2) → 𝑦 = + 𝑥 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 (1) 𝑡𝑎 𝑐ó: 𝑥=0 4𝑥 + 6𝑥 − 4𝑥( + 𝑥 ) → 2𝑥 = → { 𝑦=1 => đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀(0; 1) 𝐴 = 𝑓′′𝑥𝑥 = 12𝑥 + − 4𝑦 −4𝑥 Đặ𝑡 { 𝐵 = 𝑓′′𝑥𝑦 = 𝐶 = 𝑓′′𝑦𝑦 = 𝐴 = ; 𝐵 = 0, 𝐶=2 + 𝑇ạ𝑖 𝑀(0; 1) => { => 𝑀(0; 1) 𝑙à 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵 = > 𝑣à 𝐴 = > 𝑉ậ𝑦 𝑀(0; 1) 𝑙à 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑣à 𝑓(𝑀) = −1 𝑇ì𝑚 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 Giải 𝑥=1 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 𝑦 = 𝑋é𝑡 ℎệ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: { ′ →{ 𝑦=3 𝑓 𝑦 = −𝑥 + = ′ → đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀(1; 3) 𝐴 = 𝑓 ′′ 𝑥𝑥 = 6𝑥 Đặ𝑡 {𝐵 = 𝑓 ′′ 𝑥𝑦 = −1 𝐶 = 𝑓 ′′ 𝑦𝑦 = 𝐴 = ; 𝐵 = −1, 𝐶=0 + 𝑇ạ𝑖 𝑀(1; 3) => { ∆= 𝐴𝐶 − 𝐵2 = −1 < => 𝑀(1; 3) 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑝ℎả𝑖 𝑙à 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị 𝑉ậ𝑦 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑐ℎ𝑜 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị Dạng 2: Cực trị có điều kiện 1.Lý thuyết Dạng tổng quát: hàm biến 𝑓(𝑥, 𝑦) với điều kiện 𝜑(𝑥, 𝑦) = Bước : 𝐿ậ𝑝 ℎà𝑚 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒: 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆 𝜑(𝑥, 𝑦) = Giải hệ phương trình: Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝐿′ 𝑥 = 𝐿′ 𝑦 = { 𝐿′𝜆 = 𝜑(𝑥, 𝑦) = => điểm dừng M (𝑥𝑜 ,𝑦𝑜 ) theo 𝜆 = 𝜆𝑜 𝐵ướ𝑐 2: 𝑇ì𝑚 đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑟𝑖ê𝑛𝑔 𝑐ấ𝑝 𝐴 = 𝐿′′ 𝑥𝑥 = ′′ Đặ𝑡 { 𝐵 = 𝐿 𝑥𝑦 = 𝐶 = 𝐿′′ 𝑦𝑦 = => 𝐷ạ𝑛𝑔 𝑡𝑜à𝑛 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑁ế𝑢 𝑑 𝐿 = 𝐴𝑑𝑥 + 2𝐵𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝐶𝑑𝑦 𝐵ướ𝑐 : 𝑇ạ𝑖 đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑣à 𝜆 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎 𝑐á𝑐 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑣à 𝑑2 𝐿 𝑁ế𝑢 𝑑 𝐿 𝑙à 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑡𝑜à𝑛 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑥á𝑐 đị𝑛ℎ 𝑑ươ𝑛𝑔 → 𝑀 𝑙à 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 𝑁ế𝑢 𝑑 𝐿 𝑙à 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑡𝑜à𝑛 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑥á𝑐 đị𝑛ℎ â𝑚 → 𝑀 𝑙à 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 𝑁ế𝑢 𝑑 𝐿 𝑙à 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑡𝑜à𝑛 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑐ℎư𝑎 𝑥á𝑐 đị𝑛ℎ 𝑑ấ𝑢 → 𝑐ℎư𝑎 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 đượ𝑐 𝐵ướ𝑐 4: 𝐾ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 2.Ví dụ minh hoạ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 7𝑦 𝑣ớ𝑖 đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛 2𝑥 − 6𝑦 = −7 Giải Lập hàm 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 3𝑥 + 5𝑦 + 𝜆(𝑥 + 𝑦 − 16) Giải hệ phương trình: 𝐿′ 𝑥 = 4𝑥 + 2𝜆 = (1) { 𝐿′ 𝑦 = 6𝑦 − 6𝜆 = (2) 𝐿′𝜆 = 𝜑(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 6𝑦 + = 0(3) −𝜆 { 𝑇ừ (2) => 𝑦 = 𝜆 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 (3)𝑐ó: − 𝜆 − 6𝜆 + = => 𝜆 = 𝑇ừ (1) => 𝑥 =  Đ𝑖ể𝑚 𝑑ừ𝑛𝑔 𝑀 ( −1 ; 1) 𝑣ớ𝑖 𝜆 = 𝐴 = 𝐿′′𝑥𝑥 = Đặt {𝐵 = 𝐿′′𝑥𝑦 = 𝐶 = 𝐿′′𝑦𝑦 = Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD => dạng toàn phương 𝑑 𝐿 = 𝐴𝑑𝑥 + 2𝐵𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝐶𝑑𝑦 = 4𝑑𝑥 + 6𝑑𝑦 Dạng toàn phương xác định dương nên 𝑀 ( Vậy điểm dừng 𝑀 ( −1 −1 ; 1) cực tiểu ; 1) điểm cực tiểu Bài tập làm thêm Tìm cực trị hàm số sau: 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 − 2𝑦 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 𝑦 + 𝑦 − 2𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 3𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 6𝑥𝑦 − 18𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − 6𝑥𝑦 − 180𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑦 + 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 − 5𝑦 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Chương 2: Tích phân Phần 1: Tích phân bội hai ( tích phân kép) Phương pháp 1: Cơng thức tính tích phân tham số hố đường L Lý thuyết Giả sử I = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝐿 Đường L có dạng 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑛ố𝑖 𝑡ừ 𝐴(𝑎, 𝑏) đế𝑛 𝐵(𝑐, 𝑑) 𝑥=𝑡 𝑑𝑥 = d𝑡 (𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑐) 𝑇ℎ𝑎𝑚 𝑠ố ℎ𝑜á {𝑦 = 𝑓(𝑡) => { 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 𝑐 => I = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑡 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑓′ (𝑡)𝑑𝑡 𝑎 2.Ví dụ minh hoạ 𝑥 = 2𝑡 Tính tích phân ∫ (3𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 𝑣ớ𝑖 𝐿 𝑐ó 𝑏𝑖ể𝑢 𝑑𝑖ễ𝑛 𝑡ℎ𝑎𝑚 𝑠ố { 𝑦 = 𝑡2 𝐿 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD với ≤ 𝑡 ≤ ( lấy theo chiều tăng t ) Giải 𝑥 = 2𝑡 𝑑𝑥 = 2d𝑡 (0 ≤ 𝑡 ≤ 1) 𝑇𝑎 𝑐ó { => { 𝑦=𝑡 𝑑𝑦 = 2t𝑑𝑡 => I = ∫(3.2𝑡 − 𝑡 ) 2𝑑𝑡 + ( 2𝑡 + 𝑡 ) 2𝑡𝑑𝑡 => I = ∫(2𝑡 + 2𝑡 + 12𝑡)𝑑𝑡 𝑡 2𝑡 43 => I = (2 + + 6𝑡 )| = Phương pháp 2: Cơng thức tính tích phân toạ độ đề ( Descartes ) Lý thuyết Nếu hàm số f(x,y) liên tục miền D cho hệ bất phương trình 𝑎≤𝑥≤𝑏 { 𝜑1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜑2 (𝑥) Thì 𝑏 𝜑2 (𝑥) ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑎 𝜑1 (𝑥) Ví dụ minh hoạ VD1: Tính tích phân sau: ∬ 𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐷 𝑙à 𝑚𝑖ề𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑏ở𝑖 𝑐á𝑐 đườ𝑛𝑔 𝑦 = 0, 𝑦 = 2𝑥 𝑣à 𝑥 = 𝑎, 𝑎 > Phương pháp 3: Cơng thức tính tích phân toạ độ cực 1.Lý thuyết Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Ta thực phép biến đổi số : 𝑎𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Đặt { 𝑏𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 -> định thức Jacobi: |𝐽| = |𝑎1 𝑏 Ta có: (𝑎𝑥)2 + (𝑏𝑦)2 = 𝑟 ≤ 𝑐 => { 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑎 𝑏 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟 |= 𝑎𝑏 0≤𝑟≤𝑐 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 Khi D(x,y) -> 𝐷1 (r,𝜑), ta I=∬ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑) |𝐽|dr d𝜑 Ví dụ minh hoạ VD1: Tính tích phân ∫ (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥 + 𝑦 ≤ 1, ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 𝐷 Giải 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Đặt { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 -> |𝐽|= 𝑟 -> 𝑥 + 𝑦 = 𝑟 ≤ mà ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 𝑛ê𝑛 𝜋 ≤φ≤ 𝜋 0≤𝑟≤1 Khi D(x, y) → 𝐷1 (r, 𝜑): {𝜋 ≤ φ ≤ 𝜋, ta I = ∬ 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜑) 𝑟 drd𝜑 𝐷1 𝜋 => I = ∫ (∫ 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜑) dr) d𝜑 𝜋 𝜋 𝑟3 𝑟4 => I = ∫ ( 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜑| ) d𝜑 𝜋 sau: Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝜋 1 => I = ∫ ( 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜑) d𝜑 𝜋 𝜋 1 => I = ∫ ( 𝑐𝑜𝑠𝜑 + (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜑)) d𝜑 𝜋 𝜋 1 1 𝜋 𝜋 1 => I = 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝜑 − 𝑠𝑖𝑛2𝜑|𝜋 = + − − + 8 16 32 3√2 16 = 𝜋 19 − + 32 3√2 48 VD2: Tính tích phân sau: ∫ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑦, 𝑦 ≤ −𝑥 𝐷 Giải Ta có 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑦 → 𝑥 + (𝑦 − 2𝑦 + 1) ≤ Ta có 𝑥 + (𝑦 − 1)2 ≤ 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 Đặt { 𝑦 − = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 −> |𝐽| = 𝑟 0≤𝑟≤1 Khi D(x, y) → 𝐷1 (r, 𝜑): {3𝜋 , ta ≤φ≤𝜋 I = ∬ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑) |𝐽| drd𝜑 𝐷1 → I = ∬ 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟 drd𝜑 𝐷1 10 Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu mơn từ đại cương đến chuyên ngành XD Giải 𝐼 = ∬(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑧 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 + 2019𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Đặ𝑡 𝐹⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑃, 𝑄, 𝑅) = (𝑥 − 𝑦, 𝑧 + 𝑥, 2019) 𝑥=𝑢 𝑦=𝑣 Đặt { → 𝑢2 + 𝑣 = → 𝐷: 𝑢2 + 𝑣 ≤ 𝑧 =1−𝑢−𝑣 => 𝑔(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝑣, − 𝑢 − 𝑣) 𝑔′ 𝑢 = (1,0, −1) ′ 𝐶ó { ′ → 𝑛 = 𝑔′ 𝑢 𝑔 𝑣 = (1; 1; 1) 𝑔 𝑦 = (0,1, −1) ⃗⃗⃗(𝑔(𝑢,𝑣) ) = (𝑢 − 𝑣, − 𝑣, 2019) F ⃗⃗⃗(𝑔(𝑢,𝑣) ) n −> 𝐼 = ∬ F ⃗⃗⃗⃗𝑑𝑢𝑑𝑣 = ∬[(𝑢 − 𝑣) + (1 − 𝑣) + 2019]𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 𝐷 → 𝐼 = ∬[𝑢 − 2𝑣 + 2020]𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 → 𝐼 = ∬ 𝑢 𝑑𝑢𝑑𝑣 − ∬ 𝑣 𝑑𝑢𝑑𝑣 + ∬ 2020𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 𝐷 𝐷 → 𝐼 = + 2.0 + 2020 𝑆𝐷 = 2020𝜋 𝑉ậ𝑦 𝐼 = 2020𝜋 𝑇í𝑛ℎ ∬ 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐ầ𝑢 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = đị𝑛ℎ ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 Giải 𝐼 = ∬ 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝑃 = 𝑥3 𝑃 ′ 𝑥 = 3𝑥 Đặ𝑡 { 𝑄 = 𝑦 → {𝑄′ 𝑦 = 3𝑦 𝑅 = 𝑧3 𝑅 ′ 𝑧 = 3𝑧 Á𝑝 𝑑ụ𝑛𝑔 𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝐺 – 𝑂 𝑐ó 35 Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝐼 = ∭(𝑃′ 𝑥 + 𝑄′ 𝑦 + 𝑅 ′ 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 → 𝐼 = ∭ 3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 𝑉: {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1} 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃 Đặ𝑡 {𝑦 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃 → |𝐽| = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑧= 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 0≤𝑟≤1 2 2 → 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑟 ≤ → {0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 (V1) 0≤𝜃≤𝜋 → 𝐼 = ∭ 3𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃 𝑉1 2𝜋 𝜋 → 𝐼 = ∫ 𝑟 𝑑𝑟 ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 0 𝑟5 12𝜋 𝜋 → 𝐼 = | 𝜑|2𝜋 (−𝑐𝑜𝑠𝜃)| = 0 12𝜋 𝑉ậ𝑦 𝐼 = 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 S mặt elipxoit 𝑥 +𝑦 + 𝑧2 Giải 𝐼 = ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝑃=𝑥 𝑃′𝑥 = Đặt { 𝑄 = 𝑦 → {𝑄′ 𝑦 = 𝑅= 𝑧 𝑅′ 𝑧 = 36 =1 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Á𝑝 𝑑ụ𝑛𝑔 𝑐ô𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝐺 – 𝑂 𝑐ó 𝐼 = ∭(𝑃′ 𝑥 + 𝑄′ 𝑦 + 𝑅′ 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 𝐼 = ∭(𝑃′ 𝑥 + 𝑄′ 𝑦 + 𝑅′ 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑉 𝑚𝑖ề𝑛 = 𝜋 2.2.3 = 16𝜋 𝑉 𝑉ậ𝑦 𝐼 = 16𝜋 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑚ặ𝑡 ∬ −𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 3𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧 + 20𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑝ℎẳ𝑛𝑔 4𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 𝑛ằ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ 𝑥 + 𝑦 = Giải Đặ𝑡 𝐹⃗ = (𝑃, 𝑄, 𝑅) = (−𝑧, −3𝑥, 20𝑦) 𝑥=𝑢 𝑦=𝑣 Đặt { → 𝑢2 + 𝑣 = → 𝐷: 𝑢2 + 𝑣 ≤ 𝑧 = −4𝑢 − 5𝑣 → 𝑔(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝑣, −4𝑢 − 5𝑣) 𝑔′ 𝑢 = (1,0,4) →{ ′ 𝑔 𝑣 = (0,1, −5) → 𝑛⃗⃗ = 𝑔′𝑢^𝑔′𝑣 = (4,5,1) 𝐹⃗ (𝑔(𝑢, 𝑣)) 𝑛⃗⃗𝑑𝑢𝑑𝑣 = (4𝑢 + 5𝑣; −3𝑢, 20𝑣) 𝐼 = ∬ 𝐹⃗ (𝑔(𝑢, 𝑣)) 𝑛⃗⃗𝑑𝑢𝑑𝑣 = ∬(16𝑢 + 20𝑣 − 15𝑢 + 20𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 𝐷 ∬(𝑢 + 40𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣 = 𝐷 𝑣ớ𝑖 𝐷: {𝑢2 + 𝑣 ≤ } 𝑉ậ𝑦 𝐼 = 37 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝑩à𝒊 𝒕ậ𝒑 𝒓è𝒏 𝒍𝒖𝒚ệ𝒏 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 𝐿 𝑣ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙 𝑦 = 𝑥 + 𝑛ố𝑖 𝑡ừ đ𝑖ể𝑚 𝐴(0; 1) đế𝑛 đ𝑖ể𝑚 𝐵( 2; 5) 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 ∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 + (𝑦 + 1)𝑑𝑦 𝐿 𝑣ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 đườ𝑛𝑔 𝑡𝑟ò𝑛 𝑥 + 𝑦 = 𝑛ằ𝑚 𝑝ℎí𝑎 𝑡𝑟ê𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 + 𝑦 = đị𝑛ℎ ℎướ𝑛𝑔 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 ∮ (𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 𝐿 𝑣ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 đườ𝑛𝑔 𝑡𝑟ò𝑛 𝑥 + 𝑦 = đị𝑛ℎ ℎướ𝑛𝑔 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖𝑚 đồ𝑛𝑔 ℎồ 𝐶ℎ𝑜 𝐿 𝑙à 𝑏𝑖ê𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑎𝑚 𝑔𝑖á𝑐 𝐴𝐵𝐶 𝑣ớ𝑖 𝐴(0,1); 𝐵(3,3); 𝐶(1,1)𝑐ó ℎướ𝑛𝑔 𝑛𝑔ượ𝑐 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖𝑚 đồ𝑛𝑔 ℎồ 𝐻ã𝑦 𝑡í𝑛ℎ ∮ (3𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 𝐿 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 đườ𝑛𝑔 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 ∮ 𝐿 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑒𝑙𝑖𝑝 9𝑥 + 4𝑦 𝑥2 𝑦2 + = 𝑛ố𝑖 đ𝑖ể𝑚 𝑡ừ 𝐴(2,0) đế𝑛 đ𝑖ể𝑚 𝐵(0,3) 𝑡ℎ𝑒𝑜 ℎướ𝑛𝑔 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑚ặ𝑡 ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑛𝑔𝑜à𝑖 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑥𝑜𝑖𝑡 + + =1 4 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑙𝑜ạ𝑖 ℎ𝑎𝑖 ∬ (𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑧 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑧 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑒𝑙𝑖𝑝 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 38 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 𝑃ℎầ𝑛 𝐼: 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝑐ấ𝑝 1 𝐷ạ𝑛𝑔 1: 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑐ấ𝑝 𝑐ó 𝑏𝑖ế𝑛 𝑠ố 𝑝ℎâ𝑛 𝑙𝑦 𝐿ý 𝑡ℎ𝑢𝑦ế𝑡 𝐿à 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑡ℎể 𝑡á𝑐ℎ 𝑟ờ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑏𝑖ế𝑛 𝑚ộ𝑡 𝑣ế 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 => ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐶ℎú ý: 𝑑𝑥 𝑥′ = 𝑑𝑦 { 𝑦′ = 𝑉𝐷: 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = −𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = ∫ −𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑒 −𝑦 + 𝐶 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑙à: − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑒 −𝑦 + 𝐶 2 𝐷ạ𝑛𝑔 2: 𝑃ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑢 đâ𝑦 đượ𝑐 𝑔ọ𝑖 𝑙à 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ 𝑐ấ𝑝 1: 𝑦 ′ + 𝑃(𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑥) => y(x) = 𝑒 ∫ −𝑃(𝑥)𝑑𝑥 (∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) VD1: y ′ + 4𝑦 𝑥 Đặt P(x) = = 𝑥5 ; 𝑓(𝑥) = 𝑥 , 𝑘ℎ𝑖 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑙à: 𝑥 39 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD y(x) = 𝑒 ∫ −𝑃(𝑥)𝑑𝑥 (∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) −4 −> y(x) = 𝑒 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 (∫ 𝑥 𝑒 ∫𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) −> y(x) = 𝑒 −4ln|𝑥| (∫ 𝑥 𝑒 4ln|𝑥| 𝑑𝑥 + 𝐶) −> y(x) = (∫ 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑥4 𝑥 10 −> y(x) = ( + 𝐶) 𝑥 10 𝑥 10 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑙à: 𝑦(𝑥) = ( + 𝐶) 𝑥 10 𝑉𝐷2 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 𝑋é𝑡 𝑥 = => 𝑦 = → 𝑑𝑦 = 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 đề 𝑏à𝑖 𝑡ℎ𝑜ả 𝑚ã𝑛 𝑋é𝑡 𝑥 ≠ 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑐ả 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝑥 𝑡𝑎 𝑐ó: 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 𝑥 Đặt P(x) = ; 𝑓(𝑥) = 𝑥 , 𝑘ℎ𝑖 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑙à: 𝑥 y(x) = 𝑒 ∫ −𝑃(𝑥)𝑑𝑥 (∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) −1 −> y(x) = 𝑒 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 (∫ 𝑥 𝑒 ∫𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) −> y(x) = 𝑒 −ln|𝑥| (∫ 𝑥 𝑒 ln|𝑥| 𝑑𝑥 + 𝐶) −> y(x) = (∫ 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑥 −> y(x) = (∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑥 𝑥5 −> y(x) = ( + 𝐶) 𝑥 40 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝑥 10 𝑦(𝑥) = ( + 𝐶) 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑣𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑙à: [ 𝑥 10 đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 = Phần II: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.Lý thuyết Tổng quát: 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥) Nghiệm tổng quát: 𝑦𝑇𝑄 = 𝑦̅ + 𝑦 ∗ Các bước làm: Bước 1: 𝑇ì𝑚 𝑦̅ −𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: ∶ 𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥) 𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = −𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 𝑦 = 𝑒 𝑘1𝑥 𝑘 +) TH1: ∆> => [ => 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: [ 𝑘2 𝑦2 = 𝑒 𝑘2𝑥 +) TH2: ∆= => 𝑘1 = 𝑘2 𝑦1 = 𝑒 𝑘1𝑥 => 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: 𝑦2 = 𝑥 𝑒 𝑘2𝑥 𝑦1=𝑒 𝛼𝑥.𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥 𝑘 = 𝛼 + 𝛽𝑖 +) TH3: ∆< => [ => 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: [𝑦 𝛼𝑥 2=𝑒 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 𝑘2 = 𝛼 − 𝛽𝑖 𝑇ừ ∶ 𝑦̅ = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 𝐵ướ𝑐 2: 𝑇ì𝑚 𝑦 ∗ 𝑇ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 ∶ 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝛼𝑥 𝑃𝑛 (𝑥) Nếu 𝛼 ≠ 𝑘1 ≠ 𝑘2 => 𝑦 ∗ = 𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 (𝑥) 𝛼 = 𝑘1 Nếu [ 𝛼 = 𝑘2 => 𝑦 ∗ = 𝑥 𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 (𝑥) Nếu 𝛼 = 𝑘1 = 𝑘2 => 𝑦 ∗ = 𝑥 𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 (𝑥) 41 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝑏ậ𝑐 => 𝑄𝑛 (𝑥) = 𝐴 𝑉ớ𝑖 𝑄𝑛 (𝑥) 𝑙à 𝑑ạ𝑛𝑔 𝑏ậ𝑐 đ𝑎 𝑡ℎứ𝑐 𝑐ủ𝑎 𝑃𝑛 (𝑥) [ 𝑏ậ𝑐 => 𝑄𝑛 (𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝑏 𝑏ậ𝑐 => 𝑄𝑛 (𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 => 𝐾ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 𝑉𝐷: 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 2𝑥 𝐺𝑖ả𝑖 −𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: ∶ 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = −𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 − 2𝑘 + = => 𝑘1 = 𝑘2 = => 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: 𝑦1 = 𝑒 𝑥 𝑦2 = 𝑥 𝑒 𝑥 𝑇ừ ∶ 𝑦̅ = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒 𝑥 𝑋é𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 𝑦 ∗ = 𝐴 𝑒 2𝑥 𝑦 ∗ ′ = 2𝐴 𝑒 2𝑥 𝑦 ∗ ′′ = 4𝐴 𝑒 2𝑥 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑦 ∗ , 𝑦 ∗ ′ , 𝑦 ∗ ′′ 𝑣à𝑜 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑏𝑎𝑛 đầ𝑢 𝑡𝑎 𝑐ó 4𝐴 𝑒 2𝑥 − 𝑦 ∗ ′ + 𝐴 𝑒 2𝑥 = 𝑒 2𝑥 => 𝐴 = 𝑉ậ𝑦 𝑦𝑇𝑄 = 𝑦̅ + 𝑦 ∗ = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 2𝑥 Bài tập tham khảo xy’ – y = 𝑥 𝑋é𝑡 𝑥 = => 𝑦 = => 𝑦’ = => = ( 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) 𝑋é𝑡 𝑥 ≠ 𝑐ℎ𝑖𝑎 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝑥 𝑐ó: −1 𝑦’ − 𝑦 = 𝑥 ( Đặ𝑡 𝑃(𝑥) = 𝑣à 𝐹(𝑥) = 𝑥 ) 𝑥 𝑥 42 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD → 𝑦(𝑥) = 𝑒 ∫ −𝑃(𝑥)𝑑𝑥 (∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) −1 → 𝑦(𝑥) = 𝑒 ∫𝑥𝑑𝑥 (∫ 𝑥 𝑒 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) → 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑙𝑛|𝑥| (∫ 𝑥 𝑒 −𝑙𝑛|𝑥| 𝑑𝑥 + 𝐶) → 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑙𝑛|𝑥| (∫ 𝑥 𝑒 −𝑙𝑛|𝑥| 𝑑𝑥 + 𝐶) → 𝑦(𝑥) = 𝑥 (∫ 𝑥 𝑥 −1 𝑥2 𝑑𝑥 + 𝐶) = 𝑥( + 𝐶) đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 = 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à [ 𝑥2 𝑦(𝑥) = 𝑥( + 𝐶) 𝑦 ′ = 𝑥(4 + 𝑦 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥(4 + 𝑦 ) → = 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2 𝑑𝑦 𝑦 𝑥2 ∫ = ∫ 𝑥𝑑𝑥 → 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = +𝑐 + 𝑦2 2 𝑦 𝑥2 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 = +𝐶 2 a) 𝑦" − 𝑦′ − 2𝑦 = (2𝑥 + 1)𝑒 𝑥 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: 𝑦” − 𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 − 𝑘 − = 𝑦 = 𝑒 −𝑥 𝑘 = −1 => { → 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: { 𝑘2 = 𝑦2 = 𝑒 2𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 𝑥é𝑡 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1) 𝑒 𝑥 => 𝑦 ∗ = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 𝑥 ′ ′′ => 𝑦 ∗ = 𝑒 𝑥 (𝐴 + 𝐴𝑥 + 𝐵) => 𝑦 ∗ = 𝑒 𝑥 (𝐴 + 𝐴 + 𝐴𝑥 + 𝐵) => 𝑒 𝑥 (2𝐴 + 𝐴𝑥 + 𝐵) − 𝑒 𝑥 (𝐴 + 𝐴𝑥 + 𝐵) − 2𝑒 𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵) = 2𝑥 + => 2𝐴𝑥 + 𝐴 − 2𝐵 = 2𝑥 + 43 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD −2𝐴 = 𝐴 = −1 => { → { 𝐴 − 2𝐵 = 𝐵 = −1 => 𝑦 ∗ = 𝑒 𝑥 (−𝑥 − 1) 𝑉ậ𝑦 𝑦𝑇𝑄 = 𝑦 + 𝑦 ∗ = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥 + (−𝑥 − 1)𝑒 𝑥 (1 − 𝑦 )𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = → (1 − 𝑦 )𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑋é𝑡 𝑥 = => 𝑑𝑥 = => = (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) 𝑋é𝑡 𝑦 − = → 𝑦 = ±1 → 𝑑𝑦 = (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) 𝑋é𝑡 𝑥(𝑦 − 1) ≠ 𝑐ó ∶ 𝑑𝑥 2𝑦𝑑𝑦 = 𝑥 − 𝑦2 → ∫ →∫ 𝑑𝑥 =∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 =∫ 2𝑦𝑑𝑦 1−𝑦 𝑑(1−𝑦 ) 1−𝑦 → 𝑙𝑛|𝑥| = −𝑙𝑛|1 − 𝑦 | + 𝐶 đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 = đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑦 = 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à: đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑦 = −1 {𝑙𝑛|𝑥| = −𝑙𝑛|1 − 𝑦 | + 𝑐 𝑦" − 5𝑦′ + 6𝑦 = 2𝑒 𝑥 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: 𝑦” − 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 − 5𝑘 + = 𝑦1 = 𝑒 2𝑥 𝑘1 = => { → 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: { 𝑘2 = 𝑦2 = 𝑒 3𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 𝑥é𝑡 𝑓(𝑥) = 2𝑒 𝑥 => 𝑦 ∗ = 𝐴𝑒 𝑥 ′ ′′ => 𝑦 ∗ = 𝐴𝑒 𝑥 => 𝑦 ∗ = 𝐴𝑒 𝑥 => 𝐴𝑒 𝑥 − 5𝐴𝑒 𝑥 + 6𝐴𝑒 𝑥 = 2𝑒 𝑥 44 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD => 2𝐴𝑒 𝑥 = 2𝑒 𝑥 => 𝐴 = → 𝑦 ∗ = 𝑒 𝑥 𝑉ậ𝑦 𝑦𝑇𝑄 = 𝑦 + 𝑦 ∗ = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑥𝑑𝑥 = (1 + 𝑥 )𝑒 𝑦 𝑑𝑦 ⇔ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 1+𝑥 → ∫ 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 1+𝑥 𝑑(1 + 𝑥 ) 𝑦 → ∫ = ∫ 𝑒 𝑑𝑦 → 𝑙𝑛|1 + 𝑥 | = 𝑒 𝑦 + 𝐶 2 1+𝑥 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à 𝑙𝑛 |1 + 𝑥2 | = 𝑒𝑦 + 𝐶 𝑦" − 4𝑦′ + 3𝑦 = 3𝑥 − 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: 𝑦” − 4𝑦 ′ + 3𝑦 = 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 − 4𝑘 + = 𝑦1 = 𝑒 𝑥 𝑘1 = => { → 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: { 𝑘2 = 𝑦2 = 𝑒 3𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 𝑥é𝑡 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − => 𝑦 ∗ = 𝐴𝑥 + 𝐵 ′ ′′ => 𝑦 ∗ = 𝐴 => 𝑦 ∗ = => − 4𝐴 + 3(𝐴𝑥 + 𝐵) = 3𝑥 − => 𝐴 = , 𝐵 = => 𝑦 ∗ = 𝑥 + 𝑉ậ𝑦 𝑦𝑇𝑄 = 𝑦 + 𝑦 ∗ = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝑥 + 45 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝑦" − 6𝑦′ + 9𝑦 = −𝑥 + 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: 𝑦" − 6𝑦′ + 9𝑦 = 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 − 6𝑘 + = 𝑦1 = 𝑥 𝑒 3𝑥 → 𝑘1 = 𝑘2 = → 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: { 𝑦2 = 𝑒 3𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒 3𝑥 𝑥é𝑡 𝑓(𝑥) = −𝑥 + => 𝑦 ∗ = 𝐴𝑥 + 𝐵 ′ ′′ => 𝑦 ∗ = 𝐴 => 𝑦 ∗ = => − 6𝐴 + 9(𝐴𝑥 + 𝐵) = −𝑥 + −1 ,𝐵 = 27 −1 => 𝑦 ∗ = 𝑥+ 27 => 𝐴 = 𝑉ậ𝑦 𝑦𝑇𝑄 = 𝑦 + 𝑦 ∗ = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 + −1 𝑥+ 27 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = ⇔ 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = −𝑒−𝑦 𝑑𝑦 → ∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = − ∫ 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑒 −𝑦 + 𝐶 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑒 −𝑦 + 𝐶 𝑦" − 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑒 2𝑥 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: 𝑦” − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 − 2𝑘 + = 𝑦1 = 𝑒 𝑥 𝑘1 = =>{ → 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: { 𝑘2 = 𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑥 46 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 𝑥é𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 => 𝑦 ∗ = 𝐴𝑒 2𝑥 ′ ′′ => 𝑦 ∗ = 2𝐴𝑒 2𝑥 => 𝑦 ∗ = 𝐴𝑒 2𝑥 => 4𝐴 − 4𝐴 + 𝐴 = => 𝐴 = 𝑉ậ𝑦 𝑦𝑇𝑄 = 𝑦 + 𝑦 ∗ = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 2𝑥 𝑦" + 4𝑦′ + 5𝑦 = 10𝑒 𝑥 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡: 𝑦” + 4𝑦 ′ + 5𝑦 = 𝑋é𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔: 𝑘 + 4𝑘 + = 𝑦 = 𝑒 −2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑘 = −2 + 𝑖 =>{ → 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ơ 𝑠ở: { 𝑘2 = −2 − 𝑖 𝑦2 = 𝑒 −2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 = 𝐶1 𝑒 −2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥é𝑡 𝑓(𝑥) = 10𝑒 𝑥 => 𝑦 ∗ = 𝐴𝑒 𝑥 ′ ′′ => 𝑦 ∗ = 𝐴𝑒 𝑥 => 𝑦 ∗ = 𝐴𝑒 𝑥 => 𝐴 + 4𝐴 + 5𝐴 = 10 => 𝐴 = => 𝑦 ∗ = 𝑒 𝑥 𝑉ậ𝑦 𝑦𝑇𝑄 = 𝑦 + 𝑦 ∗ = 𝐶1 𝑒 −2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒 𝑥 y’ – 4y = 𝑥5 𝑥 Đặ𝑡 𝑃(𝑥) = 𝑣à 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥 → 𝑦(𝑥) = 𝑒 ∫ −𝑃(𝑥)𝑑𝑥 (∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) −4 → 𝑦(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 (∫ 𝑥 𝑒 ∫𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) → 𝑦(𝑥) = 𝑒 −4𝑙𝑛|𝑥| (∫ 𝑥 𝑒 4𝑙𝑛|𝑥| 𝑑𝑥 + 𝐶) → 𝑦(𝑥) = (∫ 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑥 𝑥 10 → 𝑦(𝑥) = ( + 𝐶) 𝑥 10 47 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à 𝑥 10 ( + 𝐶) 𝑥 10 (y + 𝑥 )dx − 2xdy = 𝑋é𝑡 𝑥 = => 𝑑𝑥 = 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 𝑋é𝑡 𝑥 ≠ 𝑦 𝑥3 → ( + ) 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑦 𝑥3 → + − 𝑦′ = 2𝑥 𝑦 𝑥3 𝑦′ − = 2𝑥 −1 𝑥3 Đặ𝑡 𝑃(𝑥) = 𝑣à 𝑓(𝑥) = 2𝑥 → 𝑦(𝑥) = 𝑒 ∫ −𝑃(𝑥)𝑑𝑥 (∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑥 ∫−1𝑑𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) → 𝑦(𝑥) = ∫2𝑥 𝑑𝑥 𝑒 (∫ → 𝑦(𝑥) = 𝑥 −1𝑙𝑛|𝑥| 𝑙𝑛|𝑥| 𝑒2 (∫ 𝑒 2 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑥 −1 → 𝑦(𝑥) = √𝑥 (∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) 𝑥 7⁄2 → 𝑦(𝑥) = √𝑥 ( + 𝐶) đườ𝑛𝑔 𝑡ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 = 𝑥 7⁄2 𝑉ậ𝑦 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑙à [ 𝑦(𝑥) = √𝑥 ( + 𝐶) 48 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Bài tập làm thêm Giải phương trình vi phân sau: 1 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 𝑥 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 4𝑒 𝑥 (x + 1)(y − 1)dx + 𝑦𝑑𝑦 = 𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥 − 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑥 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = (2𝑥 + 1)𝑒 𝑥 (1 − 𝑦 )dx + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 10 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 5𝑦 = 2𝑒 𝑥 49