Full tài liệu tổng hợp và lời giải đề môn giải tích 1

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Chương 1: Giới hạn tính liên tục dãy số 1) Dạng 1: Tính Lim +) Cách 1: Dùng vô bé () Khi x  ta có: Sin x Tan x x AreSin x e 1 x AreTan x Ln(1  x) a x x +) Cách 2: Dùng l’Hopital dạng x x2  x a Limx0 1    e (a số)  a  x x Limx0 1    e  a Lim  Cosx x  ;  f f' f ''  Lim  Lim  g x g ' x g '' +) Cách 3: Khai triển Maclaurin (chỉ sử dụng học Maclaurin) Chú ý: Các dạng tốn tính lim n  (gặp dạng chia cho số mũ cao ) Bài 1: (Đề kì k62) Tính lim x  n6  n3  n2  n6  2n3  Ta có:  I  lim x = lim x   n6  n3  n2  n6  2n3  n6  n3  n2  n6  2n3 n6  n3  n2  n6  2n3 n3  n n6  n3  n2  n6  2n3    Chú ý: +) Các dạng tốn tính lim x  +) Cứ dạng 0 ta đạo hàm đến hết dạng dừng 0 cos 2x  cos3x x0 x2 Bài 4: (Đề thi kì K62) Tính I  lim Ta có:  Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 0 C1: l’Hopital   0 cos x  cos3x x 0 x2 2sin x  3sin 3x  lim x 0 2x 4cos x  9cos3x = lim x 0 = I  lim C2: Dùng công thức cos x  cos3x  2sin 5x x sin 2 Ta có 5x x sin 2 I  lim x0 x 5x  x 2 2 = lim x 0 x2 = 2sin (Vì x  ta có: sin 5x Bài 5: (Đề thi kì K61) Tính I  lim x0 5x ) e x  x  x  cos x ( x  sin x)cos x Ta có e x  x  x  cos x x  sin x e x  x  x  cos x =lim x0 lim x0 cos x x  sin x x e  x  x  cos x =lim x0 x  sin x I  lim x0 e x   x  sin x 0 Sử dụng L’Hopital    lim x0  cosx 0 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD e x   cos x =lim x0 sin x e x  sin x =lim x0 1 cos x Chú ý: Cứ dạng 0 ta đạo hàm đến hết dạng thơi 0 Bài (Đề thi kì K61) Cho dãy số xn  n 2n   sin n; n  N * Tính limn xn limn n 2n   sin sin n    limn n 2n 1  n  n    sin n    limn n 1  n  n    2 Vì limn sin x  limn n  (-1  sin n n 2 1) Bài (Đề thi kì K61) Tính limn n 2016n  Ta có: limn n 2016n   limn n  2016n  2016 *) Các dạng tốn tính lim x  Bài (Đề thi kì K61) Tính I  lim x0 e x  x  x  cos x ( x  sin x).cos x Ta có: Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu mơn từ đại cương đến chuyên ngành XD e x  x  x  cos x I  lim x0 ( x  sin x) e x  x  x  cos x =lim x0 lim x0 cos x ( x  sin x) =lim x0 e x  x  x  cos x ( x  sin x) e x  x  x  sin x 0 Sử dụng l’Hopital    lim x0  cosx 0  lim x0 e x  x  x2  cos x e x  sin x  lim x0 1 ( x  sin x) cos x Chú ý: Cứ dạng 0 ta đạo hàm đến hết dạng thơi 0 Bài (K62) Tính lim n I  lim n Ta có:  lim n  n  2n   n   ( n4  2n2   n4  1)  ( n4  2n2   n4  1) n4  2n2   n4  n4  2n   (n4  1) n4  2n2   n4  2n2   lim n4  2n2   n4  2 n  lim n 1 1   1 n n n 1 n  Bài 10 (K60) I  lim sin n   sin n n  Ta có: Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu mơn từ đại cương đến chuyên ngành XD  I  lim  cos  n   =2  lim(cos  n   =2  lim(cos  n  n 1  n    sin    n 1 n    sin  n 1  n      sin  n 1  n   n 1  n    n 1 n  ) n 1  n   ) n 1  n      sin   n 1  n  Khi n  limsin  n 1   sin  )  n 1  n  n 1  n  Vậy I   lim(cos n Vì 1  cos 1 n 1  n  lim1.0 n n n n 1  n   limcos  n n 1  n  limcos  n n 1  n  lim(1).0  limcos x  ln(1  x) x0 x2 Bài 11 (K63) Tính lim Ta có: x  ln(1  x) x 0 x2 1  lim x  x 0 2x x  1  lim x 0 x( x  1)  lim  2017 x2   Bài 12 (K62) lim   n 2017 x    2017 x2 Ta có: Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu mơn từ đại cương đến chuyên ngành XD    I  lim 1   x   2017 x    =e =e 2017 x2      2017 x2 2017 x2  3.2017 x2 x  2017 x  lim 3.2017 lim x  2017  x2 =e3  Bài 13: (Đề thi K63) Tính I=?; I  lim n  n2  n n  Ta có:  I  lim n  n2  n n  lim  (n  n  n )  (n  n  n ) n = lim n2  n  n n  ( n  n) n2  n  n = lim n 1 1 n = n Bài 14: (K60) Cho dãy số xn  n 2n   sin n; n  N * Tính lim xn  ? n Ta có: lim n 2n   sin n n sin n    lim n 2n 1  n  n  n    lim n  n sin n  n 2 2n sin n  lim n  (-1  sin n  1) n n n Vì lim Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Bài 15 (K60) Tính I  lim n 2016n   ? n Ta có: I  lim n 2016n  n = lim n 2016n  2016n n 2016 =2016.lim n  2016n n n =2016 Bài 16 (Giữa kì K62)  Tính lim e x0 2017 x  2017 x  2017 x Ta có:  I  lim    e2017 x  2017 x  1 x0   lim e2017 x  2017 x 1 2017 x lim 2017.e2017 x  2017 x 1 2017 =e x 0 =e x 0  e2017 x  2017 x 1    e2017 x  2017 x 1 2017 x =e2 (Ở bước ta đạo hàm e2017 x  2017 x  (lopital)) 2017 x  cos x x0 x2 Bài 17 (K60) Tính lim Ta có: Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD  cos x (1  cos x )  (1  cos x )  cos x  lim  lim x0 x0 x0 x x  (1  cos x )  cos x x  lim x2 =lim x0  cos x x  =lim x0 =    cos x  Vì x   cos x x2 Bài 18 (Giữa kì K62) Tính I  lim x0  3x   x sin3x Ta có:  I  lim  3x  x x0 3cos3x =3 (lopital ) ln(1  x)  arctan x x0 esin x  Bài 19 (K60) Tính lim 2  sin x x Ta có: Khi x   2 sin x  ex  x2  e ln(1  x)  arctan x   0 x0 x2   Vậy I  lim  Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 1  =lim  x  x x 0 2x x2  x =lim x 0 x(1  x)(1  x ) x2  x =lim x 0 x  x3  x  x 2x 1 =lim x 0 x  x  x  = (*) Chú ý: (arctan x)  1  x2 Bài 20 (K61) Tính lim x Khi x    2.cos x  1  tan x  0  lim   => dùng lopital x    2.sin x x 2 tan x cos2 x Vậy I  lim   lim x  lim x  a cos2 x.sin x 2tan x 2.cos2 x.sin x 2tan x   Bài 21 (K59) Tính lim   x1 ln x x    x   ln x x   ln x  lim x1 ln x( x  1) x1 ln(1  x  1)( x  1) Ta có: I  lim Khi x  x   hay ln(1  x 1) x 1 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 1 x   ln x x  lim x2  Vậy I  lim  lim x1 2( x  1) x1 ( x  1)2 x1 2 1 Bài 22 (K62) I  lim x1 x100  x    phương án đạo hàm tử mẫu x50  x    x100  x  Ta có: I  lim 50 x1 x  x  100.x99  x1 50.x 49  98  48 49  24  lim  sin x  x2 Bài 23 (K63) Tính I  lim   x 0  x   sin x  x2 Ta có: I  lim   x 0  x   sin x   lim 1   1 x 0 x    sin x  x  x2  lim 1  x 0 x    sin x  x  x  sin x  x  lim 1   x 0 x  sin x  x  x x  lim sin x  x x3 lim cos x 1 x2 e x 0 e x 0 e lim  x2 e x 0  x2 Vì x  cos x   x2 10 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Câu 5: I  (sin x  cos x  3)dx  3sin x  4cos x  Phân tích gặp dạng ta khai triển: I=  a1 sin x  b cos x  c1 dx a sin x  b cos x  c  a1 sin x  b1 cos x  c1  A a sin x  b cos x  c   B  a sin x  b cos x  c   C ' Giải Phân tích ta có: 2sin x  cos x    A  4B  sin x   A  3B  cos x  5 A  C   A   3 A  4B      4 A  3B    B   5 A  C    C     I = A dx  B d  3sin x  4cos x  5 Cdx  3sin x  4cos x  3sin x  4cos x   x  ln 3sin x  4cos x   5 C  x tag     2 * Tích phân hàm lượng giác Xét tích phân I =  R  sin x,cos x  dx dt  x Phương pháp tổng quát t  tan    x  2arctan t  dx  1 t2 2 2t 1 t2 sin x  , cosx= 1 t2 1 t2  2t  t  dt  R sin x,cos x  dx  2 R   t ,  t   t VD1: Tính I =  dx 3sin x  4cos x   K 64 46 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD dt  x Đổi biến: t  tan    dx  1 t2 2 2t sin x  ; 1 t2 1 t2 cosx= 1 t2 dt 1 t2  I=  2t 1 t2  5 1 t2 1 t2 2dt = 6t  1  t   1  t  = 2 dt t  6t  = 2  t  3 d  t  3 2 C t 3 2 = C  x tan    2 =- CHÚ Ý: 1) R   sin x;cos x    R  sin x;cos x  Đặt t  cos x 2) R  sin x;  cos x    R  sin x;cos x  Đặt t  sin x 3) R   sin x;  cos x   R  sin x;cos x  Đặt t  tan x 4)  sin p x.cosq xdx Đặt t  sin x Hoặc VD2: I   t  cos x t  tan x  2sin x  3cos x  dx sin x.cos x  9cos3 x Giải: Thay R   sin x;  cos x   R  sin x,cos x   Cả tử mẫu dấu không đổi 47 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Đổi biến t  tan x  dt  dx cos2 x Chia tử mẫu cho cos3 x I   2tan x  3 d  tan x    tan3 x  2t   t  dt 2t dt   2 dt t 9 t 3 t  ln  t  9  arc tan  C  ln  tan x  9  arc tan tan x C VD3: Tính I   cos3 x.sin8 xdx Ta có: Thay vào đổi dấu: Đổi biến t  sin x  dt  cos xdx I   cos2 x.sin x  cos xdx    1  sin x  sin8 x  cos xdx    1  t  t 8dt t t11   C 11 sin x sin11 x   C 11 * Tích phân hàm vơ tỉ: Xét tích phân I   p1 p2   a1  ax  b  a2 ax  b    x,  , ,    cx  d   cx  d     Phương pháp tổng quát: t n  VD: I   ax  b , n  a1, a2 ,  cx  d dx 2x 1  2x 1 Đổi biến 2x 1  t  2dx  4t 3dt 48 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 2t 2t 2dt    I   dt    2  t   dt  t  2t  2ln t   C  t t t 1 t 1   * Chú ý: Xét tích phân I =  R  x, a  x dx   Đặt x  a tan t Xét tích phân I =  R  x, a  x dx   Đặt x  a sin t 2) Dạng 2: Tích phân suy rộng (loại loại 2) #) Khái quát, định nghĩa tích phân suy rộng: - Tích phân suy rộng: +) Là tích phân có cận   +) Tích phân có cận vi phạm TXD f ( x) Vd I    1 dx x ( x  1) ; I    arctan x dx x2  Ta có: I   x.ln ndx (Vì điều kiện x  , mà lại lấy lân cận 0) I  sin xdx 1 x dx (Vì điều kiện xđ (1  x2 )   x  1) - Tích phân chia thành loại: + Loại 1: Khi cận   3x  dx  ( x  1)arctan x VD I   +Loại 2: cận vi phạm đk xác định VD I   x ln xdx 49 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Giả sử f ( x) xác định a;  khả tích đoạn hữu hạn: a  x  b   + Nếu tồn giới hạn (hữu hạn vô cùng): b  a a lim  f ( x)dx  b  f ( x)dx Thì giới hạn gọi tích phân suy rộng f ( x) a;   +) Nếu giới hạn hữu hạn ta nói phân tích suy rộng  f ( x)dx Là hội tụ a +) Nếu giới hạn vô không tồn ta nói tích phân suy rộng   f ( x)dx phân kỳ a *) Chú ý: Khi làm tốn tích phân suy rộng loại 1: - Nếu kết tích phân số tích phân hội tụ - Nếu kết tích phân khơng số mà   ta nói phân kì  *) xet hội tụ, phân kỳ cho tích phân suy rộng  fdx a f Định lý: Cho f , g   Nếu lim  k  (0; ) g   a a  dx x ( x  1)  fdx,  gdx hội tụ phân kỳ Bài 1(k63): xét hội tụ tích phân xét hội tụ I   Ta có: f ( x)  x 1 x   (Lập hệ phương trình A,B,C để phân tích f ( x) ) x ( x  1) x x 1    x    1 x  1  Suy f ( x)     dx       dx 1 x 1  x  x x x 1   1 1   lim    dx b  x x x 1  b  lim   ln x   ln  x  1  b x  1 50 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD b 1   lim 1  ln   ln b b b     ln Vậy tích phân hội tụ I   ln Bài (K63) Tích phân suy rộng   xdx xét phân ki x2  Ta có: I  lim   xdx x2  b Đặt I1   b xdx dt , t  x2   dt  xdx  xdx  x 1 x b t b2-1 b2  1 b2 1 dt  I1    ln t   Vậy tích phân phân kì t Bài 3(K62) Tính I    Ta có: I    Xét f ( x)   xdx Tích phân suy rộng x3  b xdx xdx  lim   lim I1 x  b x  b xdx x A Bx  C    x   x  1  x  x  1 x   x  x  1 Ax2  Ax  A  Bx2  Cx  Bx  C  x 1  x2  x  1 Vậy x  x2  A  B   x  A  B  C   A  C A  B   A  1/    A  B  C    B  1/ A  C  C  1/    b  x  1  Vậy I1       ln  x  1  I 2 x  x 1   x  1 b 51 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD  I  b b  x 1   x  1 dx     dx   x  x 1  x  x 1 x  x 1      b b 1 1   ln  x  x  1   2 22 3 1  x              b b 1 1dx   ln  x  x  1  2    2   x     3    1 1 b     ln  b2  b  1  ln   arctan  x  3 2 32    b2  b    2  ln   arctan   arctan  b    3 3  1 b2  b  1   Vậy I1  ln  b  1  ln  arctan  b   arctan  3   I     arctan  ln 3 Bài Tích phân suy rộng (K61) a I  a Ta có: I   dx dx x  x6 dx dx x  x6 a dx  x   x  3  a 1     dx  x  x   52 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD x2 a  ln x3 x2  ln  ln x3   x2    lim ln   ln    ln   x   x    Vậy   dx  ln x  x6 Bài Tích phân suy rộng (k62) I    Ta có: I     dx  x  1 x 1 A dx 1 1     dx  x  1 x 1 1/2  x 1 x   A dx A dx  2 x  2 x  1 1 A   ln x   ln x   2 2 A 1  ln  ln A 1  1  A 1  lim  ln  ln   ln A  A 1  Vậy I    Bài Tính I   dx  ln3  x  1 x 1  Ta có: I   dx ( Tích phân suy rộng)  x  1 x 1  b dx dx  lim  b   x  1 x  1 1  x  1  x  53 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD A Bx  C A  Ax2  Bx2  Bx  Cx  C x  A  B   x  B  C   A  C     1  x  1  x2  1  x  1  x2  1  x2  1  x  x  x2 A  B   A  1/    B  C    B  1/ A  C 1 C  1/   b 1  x  1  Vậy I  lim     dx b 1  x   x    b   x dx   lim      2 b  1  x   x  x           ln 1  x  b  lim   ln 1  x2   arctan x  b  1  ln  b  1 ln    lim   arctan b    b 8  1 b ln   ln Vậy tích phân hội tụ I   Bài (K59) Tích phân suy rộng Tính I    x.e2015 x dx Xét hội tụ Ta có: I  lim  x.e2015 x dx  lim I1 b b x u '  x  u    Đặt  2015 x e2015 x e  v ' v     2015   I1   x e2015 x b b e2015 x  dx 2015 0 2015  b.e2015b  e2015 x b  20152  b.e2015b  e2015 x   2015 20152 54 Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu mơn từ đại cương đến chuyên ngành XD  e2015b   I  lim  b.e2015b     2 b 2015 2015  20152  Vậy tích phân hội tụ  I  20152 Bài 7: (K63) Xét hội tụ tích phân suy rộng Ta có:   o Mà   o sin x dx x2  sin x dx x2    o  sin x dx   dx 2 o x 1 x 1  sin x dx  lim  dx b o x  x 1  lim  arctan x  b b  lim  arctan b  0  b   o sin x  2 x 1 x 1 Xét        o  sin x  dx  => I hội tụ x 1 Bài (K63) Xét hội tụ pk tích phân suy rộng Ta có: Đặt f ( x)  Chọn g ( x)  x  x2 1  x2    xdx  x2 1  x2   0x  1  0x  x f ( x) x2  lim  lim  (Hữu hạn) Xét lim x g ( x) x  x2 1  x  x  1   x2  1  x  1    Mà   1 dx phân kỳ   1 => I phân kỳ x 55 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD  Bài (K63) Tính tích phân suy rộng Ta có: I   xdx 1 x 1  1  x   xdx  dx 1 x 1 1      1 x  dx  x   1/2 1/2     1  x   1  x   dx 0    3/2 1/2  1  x  1  x        0   Bài 10 (K63) Tính tích phân suy rộng Ta có:     dx x  5x  2 b dx dx  I  lim  x  x   x  1 x  5x  b 1   lim    dx x 3 x  x    b 1 b  lim   ln x   ln x   x 3  3 1 1 1   ln  ln   ln 3 5 (*) Bài tập: B1: (K63) Xét hội tụ tích phân suy rộng   Cos x dx x2  B2: (K63) Xét hội tụ pk tích phân suy rộng B3: (K63) Tính tích phân suy rộng    xdx 4 x B4: (K63) Xét hội tụ tích phân suy rộng   56 Cos x dx x2  xdx  x 1  x  Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD B5: Xét hội tụ: a) c)     xdx x  x2  x  x 1 x2  x  b)     x 1 x x Cos x dx x2 57 Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu mơn từ đại cương đến chuyên ngành XD Chương 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (*) Lý thuyết →Tính diện tích miền phẳng  a) Nếu miền phẳng D  ( x, y)  R2 x  a, b , y1 ( x)  y  y2 ( x) Thì diện tích miền D m( D)   ( y2  y1 )dx b a m( D)   ( y1  y2 )dx b a  Nếu D  ( x, y) y c, d , x1 ( y)  x  x2 ( y) Thì m( D)   x1  x2 dy d c  x  x(t ) b) Nếu   , t  ,   y  y ( t )    tạo với Ox miền D1 có diện tích m( D1 )   y(t ) x '(t )dt   tạo với Oy miền D2 có diện tích m( D2 )   x y ' dt → Tính thể tích vật thể xoay giới hạn mặt phẳng x2 y Chú ý: elip:    S   ab a b Bài 1(K59) Tính thể tích phần khơng giới hạn đường x2  y  3z z  Ta có: x  y  3z  x2 y x2 y2     1 3z 3z ( 3z ) ( 3z )  S   3z 3z   3z Vậy V   S.dz   3z.dz   3z  24 (*) Chú ý: z chạy từ  3z điều kiện z  4 0 => z  kết hợp đề cho z  Bài (K59) Tính thể tích phần giới hạn mặt Z   x2  y Z  Ta có: Z   x2  y  x2  y   z 58 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD x2 y2  1 Chia vế cho  z ta 4 z 4 z x2 y2     4 z  4 z       S    z Vậy V    x2 4 z   42  4 z      1 4 z   4  z    z2  4  z dz   z       2 2  Bài 3: (K60) a) Tính thể tích miền năm hình trụ x2  y  a2 x2  z  a2 Ta có: - Xét góc phần tám x  0, y  0, z  miền gần giống hình chóp với đỉnh  a,0,0 đáy hình vng mặt phẳng - yOz thiết diện S(x) hình vng S ( x)   a  x   V1   S ( x)dx    a  x   a a 0 2a3 16a3 Vậy V  8V1  b) Tính thể tích vật thể trịn xoay quay quanh trục Ox cho a  x  b;0  y  f ( x) Ta có áp dụng cơng thức: VOx    f ( x)dx b a Bài 4: Tính thể tích vật thể quay quanh parabol x  y ;0  x  quanh trục Ox Ta có: y   x  VOx    xdx   x2   2 Bài 5: Tính thể tích vật thể trịn xoay quay quanh trục Ox nhịp đường xiclit: x  a  t  sin t  Áp dụng công thức: y  a 1  Cos t  ;0  t  2 59 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Bài 6: (K63) Vẽ phần không gian V giới hạn mặt trụ parabol y  3x2 , mặt phẳng Oxy, x  y  từ tính thể tích V z=2 z y=3 y x Giải: x  Ta có: 3x2     x  1 Đáy hình trụ giới hạn parabol y  3x2 y  mặt phẳng Oxy  Sday  2   3x2 dx 1  3x  x3   4(dvst )  Vtru  S h  4.2  8(dvtt ) Vậy V  (đvtt) Bài 7: Tính độ dài đường cong: x  2Cos t  Cos2t; y  2Sin t  Sin 2t Ta có: l   2 x '2(t )  y '2(t ) dt  4 2 Sin 3t dt  16 60