Full tài liệu tổng hợp và giải đề cơ học cơ sở 2

CƠ HỌC CƠ SỞ Dạng 1: Tính momen quán tính khung **Cơng thức** - Momen qn tính đồng chất đầu qua trục ml : m khối lượng ; O đầu qua trục ; l J Zo  chiều dài - Momen quán tính đồng chất có trung điểm qua trục ml : O trung điểm J Zo  12 - Momen qn tính đĩa trịn đồng chất J Zo  mR2 : O tâm đĩa trịn ; R bán kính - Momen quán tính rời trục J Zo  J Zo'  m * OO '2 : OO’ khoảng cách trục **Bài tập** Bài ( đề 2017) Vật rắn khung tam giác ghép từ đồng chất; chiều dài 0.3m ; khối lượng 3kg khung nằm mặt phẳng hình vẽ Tinhs momen qn tính khung lấy trục qua đỉnh I khung vuong góc với mặt phẳng hình vẽ Giải J ZI  J Z(1)  J Z(2)  J Z(3) I I I Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD ml 3*0.32 JZ  JZ    0.09 I I 3 ml (3) (3) J Z  J Z  m * MI   m * MI I M 12 0.32 3 (3)  J Z  3*(  )  0.8 I 12 20  J ZI  0.09  0.09  0.8  0.98 (1) (2) Bài ( đề 02 năm 2017) Cho vật rắn khung chữ L đồng chất , có cạnh dài 2a (m) , khối lượng 2m (kg) , cạnh ngắn dàn a (m) ; nặng m (kg) Khung đặt mặt phẳng hình vẽ tính momen qn tính trục qua đỉnh A khung vuông góc với mặt phẳng hình vẽ Giải J Z A  J Z( AB )  J Z( BC ) A A 2m *(2a)2 8m * a2 JZ   A 3 ma2 a 13 ( BC ) ( BC ) J Z  J Z  m * AM   m *((2a)2  ( )2 )  ma2 A A 12 8ma2 13  J ZA   ma  7ma2 3 ( AB ) Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Bài ( đề 2018) Cho bánh đà hình vẽ đĩa trịn đồng chất bán kính R bị kht hình trịn nhỏ bán kính r Các hình tịn nhỏ cách có tâm cách tâm O bánh đà khoảng R1 Biết phân bố khối lượng dơn vị diện tích bánh đà :   100kg / m2 ( khối lượng m  .S ,S diện tích) R=300 mm , R1 = 180 mm , r = 100 mm tính momen quán tính bánh đà lấy với trục zO qua tâm O vng góc với mặt phẳng hình vẽ Giải J ZO  J Z( R )  J Z( r ) O O 2 - J Z( R)  mR2  *(100 *0.32 )*0.32  O 81  200 - J Z( r )  mr  m1 * R12  (100 *0.12 )*( *0.12  0.182 )  0.0374 O  J ZO  81   0.0374  0.8 200 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Dạng 2: Tính vận tốc, vận tốc góc, gia tốc, gia tốc góc định lý biến thiên momen động lượng, định lý động **Các công thức** - Momen động lượng tâm O chất điểm có khối lượng m chuyển động với vận tốc v xác định biểu thức: L  r  mv : r bán kính véc tơ chất điểm O - Momen động lượng vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định : L  J * :  vận tốc góc  định lý biến thiên momen động lượng : đạo hàm theo thời gian momen động lượng hệ trục cố định tổng momen ngoại lực tác dụng lên hệ trục dL M dt - Thế hệ Thê  Ti + Vật chuyển động tịnh tiến : T  mv2 + Vật chuyển động quay quanh trục cố định : T  m 2 + Vật chuyển động song phẳng : T  mv2  m Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD - Công hệ : Ahe   A(Fi )   Fi * hi Trong : Fi lực sinh cơng khơng vng góc với phương chuyển động vật dịch chuyển thay đổi độ cao  Định lý động : Thê  To   A To ban đầu  Định lý động dạng vi phân :  dA  dT **Bài tập** Bài ( đề năm 2016 ) Cho đồng chất (OA) , có độ dài l = 2m có khối lượng m1 = 4Kg quay quanh trục cố định nằm ngang qua đầu O Đầu A gắn chất điểm khối lượng m2 = Kg a) Xác định momen quán tính hệ đối vơi trục quay b) Hãy xác định độ lớn vận tốc góc hệ OA thẳng đứng OA hợp với phương ngang góc 60o Biết hệ chuyển động không vận tốc ban đầu từ vị trí OA nằm ngang tác dụng trọng lực Cho gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 Giải a) J ZO m1l 4*22 28   m2l   1*22  3 b) + Khi OA thẳng đứng - Công hệ có : P1 , P2 sinh cơng : l A( P1 )  P1 * h1  m1 * g *  4*10*  40 J 2 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD ( lực hướng với chuyển động nên lấy dấu + )   A  60 J A( P2 )  P2 * h2  m2 * g * l  1*10*2  20 J - Thế hệ : vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định 1 28 14  The  * J Zo *  * *   *  2 3 - Áp dụng định lí động : Thê  To   A  14 70 *    60    (rad ) + Khi OA hợp với phương ngang góc 60o - Công hệ : P1 , P2 sinh công l A( P1 )  P1 * h1'  m1 * g * *sin60 2  A( P1 )  4*10* *  20 3( J ) 2 A( P2 )  P2 * h1'  m2 * g * l *sin 60  1*10*2* - Thế hệ : 14 The  * J Zo *   *  2 - Áp dụng định lý động : Thê  To   A    1.93(rad )  10 3( J ) Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Bài (đề 2018) Cho khung cứng OAB tạo thành từ hai mảnh đồng chất độ dài a = 2m Khối lượng m = 2Kg , OA AB ( OAB đều) Khung quay quanh trục cố định nằm ngang qua O Cơ hệ chuyển động mặt phẳng đứng chứa khung a) Xác định momen quán tính khung trục quay? b) Xác địnhvận tốc góc hệ thời điểm mà OA thằng đứng ( hình vẽ) , Biết hệ chuyển động khơng vận tốc ban đầu từ vị trí OA nằm ngang cho g = 10 (m/s2) bỏ qua ma sát Giải a) J ZO ma2 ma a   ( ) *m 12  J ZO 7ma2 28   b) – Công hệ : P1 , P2 sinh công h1  a a a 3 ; h2  a    *a 4 a  A  A(P )  A(P )  mg  mg 3 5 a( )mga 4 - Thế hệ : Vật chuyển động quay quanh trục cố định Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 14  The  * J Zo *   ma2 *   *  2 12 - Áp dụng định lí động : Thê  To   A  5 ma *    mga 12    2.65 Bài ( đề năm 2015) Đĩa đồng chất khối lượng m, bán kính R quay quanh trục thẳng đứng hình vẽ (mặt phẳng vng góc với trục quay) Trên đĩa có chất diểm M , khối lượng m/5 di chuyển dọc theo phương bán kính mép đĩa với vận tốc tương đối u Ban đầu đĩa có vận tốc góc o , chất điểm nằm cách trục quay đoạn R/2 Xác định độ lớn momen động lượng hệ trục quay thời điểm ban đầu? Giải - Động lượng đĩa chuyển động quay quanh trụ LZo  J Zo *  đồng hồ) (  quay theo chiều dương quay ngược chiều kim  LZo  mR2 - Động lượng chất điểm M Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD m LZo  mo ( * vM ) Ta có : vM  v e  v r Mà v e có phương vng góc với OM, chiều theo chiều  độ lớn OM * - vr  u Lại có : v e  vM *cos  LM  m m m * vM * OM *cos  * m * OM * ve  * OM *  5 1  Lhe  mR2  m 20 - Tại thời điểm ban đầu :   o ; OM  1 11  Lhe  mR2o  mR2o  mR2o 20 20 Bài ( đề năm 2017) R Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Cho hệ đặt mặt phẳng đứng Các vật 1,2,3 có khối lượng m1=100Kg; m2=20Kg; m3=250Kg Tang tời tầng có khối tâm trùng với O Bán kính vành r , vành ngồi 2r Momen quán tính JZo = 2m2*r2 Vật trượt mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang với hệ số ma sát f=0.4 Giả thiết dây mềm không dãn, bỏ qua trọng lượng , phương nhánh dây song song với phương nghiêng Bỏ qua ma sát ổ trục O Ban đầu hệ đứng yên α = 60o 1) thả cho hệ chuyển động Vật chuyển động xuống Xác định gia tốc vật 3? 2) Xác định sức căng nhánh dây phản lực gối tựa Giải Giả sử vật chuyển động tịnh tiến lê với vận tốc v  vC  v (do dây không dãn ) 1  vD  vC  v RC  2RD 2 v dây không dãn v3  vD  - Động hệ T  T1  T2  T3 T1  m1v2 10 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 100*10*cos(60o ) *(1  0.4)  * 250*10 a  11.3 (rad/s2) 1 100  * 20  * 250 Bài ( đề 2019) Cho hệ hình vẽ Vật A khối lượng m0 buộc vào sợi dây vắt qua ròng rọc cố định , coi đĩa tròn đồng chất có khối lượng m1 , bán kính r1 quấn vào tang tời trụ tròn đồng chất có khối lượng m2 bán kính r2 A kéo lên nhờ ngẫu lực có momen khơng đổi M Lấy gia tốc trọng trường g Tính gia tốc vật A kéo lên Giải Giả sử vật A chuyển động với vận tốc : vA  v  vB  vC  vD  v Động hệ : T  TA  T1  T2 v 1 T1  m1r12 ( )2  m1v TA  mov2 ; r1 2 v T2  m2 r22 ( )2  m2v 2 r2 12 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD  T  TA  T1  T2  (mo  m1  m2 )v2 dT  (mo  m1  m2 )v * adt Giả sử vật A di chuyển đoạn ds tang quay góc ds d  r2 * Cơng ngun tố : P1 M sinh công dA( P1 )  mo gds  mo gvdt dA(M )  Md    dA  ( M M ds  vdt r2 r2 M  mo g )vdt r2 Áp dụng định lý động dạng vi phân ta có :  dA  dT ( M  mo g )vdt  (mo  m1  m2 )v * adt r2 M  mo g r2 a mo  m1  m2 13 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Dạng 3: Phương trình lagrange loại II **Công thức** d  T  T  Qi   dt  qi  qi **Bài Tập** Bài (đề năm 2017) Cơ hệ mặt phẳng đứng gồm thẳng đứng đồng chất AB nối với trượt A liên kết lề , trượt trượt dọc rãnh có phương ngang Bỏ qua ma sát rãnh trượt ma sát lề A Kích thích cho hệ giao động Biết trượt A có khối lượng m1 , dài l, khối lượng m2 Chọn tọa độ suy rộng s (là độ biến dạng lò xo ) góc  (góc tạo AB phương đứng) Lập phương trình vi phân dao động hệ theo tọa độ suy rộng chọn Biết lị xo có độ cứng c Giải * Tính lực suy rộng 14 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD s  - xét Qs : cho   có Fdh sinh cơng       dA  c * sds  Qs  c.s s  - xét Qφ : cho   có P1 sinh cơng     l l  y1  *cos  y1   *sin  2 l   dA  P1 * y1  m2 g *sin .  Q   m2 gl *sin  * Tính động 1 TA  m1vA2  m1s 2 v1  vA  v1A : v1A có phương vng góc l với A1 , chiều theo chiều  độ lớn A1*   *  v12  v2A  v12A  2vAv1A cos l2  v  s   *  sl cos 2 1 ( AB )  TAB  m2v12  J ZA  2 1 2 l  TAB  m2 (s   *  sl cos )  * * m2l *  2 15 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 1  The  TA  TAB  (m1  m2 )s  * * m2l *  m2 sl *cos 2 12 * Viết phương trình vi phân +) Phương trình cho s T  (m1  m2 )s  m2l *cos s d  T  1  (m1  m2 )s  m2l *cos  m2 2l *sin    dt  s  2 T 0 s Ta có phương trình : d  T  T   Qs dt  s  s 1  cs  (m1  m2 )s  m2l *cos  m2 2l *sin  2 +) Phương trình cho φ : T  m2l 2  m2 sl *cos  12 d  T  1  m l   m sl *cos   m2 sl *sin  2 dt    12 2 T   m2 sl *sin   16 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Ta có phương trình :  d  T  T   Q dt     1 m2l 2  m2 sl *cos   m2 gl *sin  12 2 Bài (đề năm 2016) Cho trượt O, khối lượng m1 Có thể trượt rãnh thẳng nằm ngang tác dụng lực R Con trượt liên kết lề với cứng OA, khối lượng không đáng kể, độ dài L Đầu A có gắn chất điểm khối lượng m2 , hệ chuyển động mặt phẳng đứng liên kết lí tưởng Chọn hệ tọa độ suy rộng ( x ; φ ; ᵹ) φ góc OA với phương thẳng đứng, Hãy thiết lập phương trình lagrange loại hệ theo hệ tọa độ suy rộng chọn Giải * Tính lực suy rộng s   có R sinh công - xét Qx : cho        dA  Rdx  Qx  R s   có PA sinh cơng - xét Qφ : cho       yA  L *cos  y A   L *sin  17 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD   dA  PA *(L *sin  )  m2 gL *sin .  Q   dA  m gL *sin   +) Tính hệ The  To  TA 1 To  m1vo2  m1 x2 2 TA  m2vA2 mà (vA2  v2Ao  vo2  2vAovo cos  x2  L2  x L cos  TA  m2 ( x2  L2  2x L cos ) 1  The  To  TA  (m1  m2 ) x2  m2 L2  m2 x L cos 2 * Viết phương trình Lagrange loại II - Phương trình cho x : T  (m1  m2 ) x  m2 L *cos x d  T   (m1  m2 ) x  m2 L *cos  m2 L *sin    dt  x  T 0 x 18 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chun ngành XD Ta có phương trình : d  T  T   Qx dt  x  x  R  (m1  m2 ) x  m2 L *cos  m2 L *sin  - Phương trình cho φ : T  m2 L2  m2 xL *cos  d  T   m2l  m2 xL *cos  m2 xL *sin    dt    T   m2 x L *sin   Ta có phương trình : d  T  T   Q dt      m2 L2  m2 xL *cos   m2 gL *sin  Bài ( đề năm 2015 ) Ống OA ( coi mảnh đồng chất) độ dài l, khối lượng m1 =9m , quay quanh trục nằm ngang qua O mặt phẳng đứng Trong ống có chất điểm M khối lượng m2 = 2m chuyển động dọc theo ống Bỏ qua ma sát trục quay ma sát chất điểm thành ống Chọn hệ tọa độ suy rộng (  , s ) tróng  góc OA với phương ngang (hình vẽ) s = OM a) Hãy xác định lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng chọn b) Hãy tính động hệ theo l , , s, , s 19 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD c) Thiết lập phương trình Lagrange loại II hệ theo tọa độ suy rộng chọn Giải a) Tính lực suy rộng: s  - xét Qs : cho   có PM sinh công       dA  m2 g *sin s  Qs   dA  m g *sin  s s  - xét Qφ : cho   có PM PAB sinh công       dA  (m1l  m2 s) g *cos  Q  (m1l  m2 s) g *cos b) Tính động xM  s *cos  xM  s *cos  s *sin  yM  s *sin   yM  s *sin   s *cos vM2  xM2  yM2  s (cos2   sin 2 )  s 2 (sin   cos )  vM2  s  s 2 1 TM  m2vM2  m2 s  m2 s 2 2 2 20 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 1 m1l 2 2 TAB  J ZA    m1l  2 1  T  TM  TAB  m2 s  (m2 s  m1l ) 2 c) Thiết lập phương trình Lagrange loại II +) Phương trình cho s T  m2 s s T  m2 s s d  T   m2 s dt  s  d  T  T   Qs   dt  s  s Ta có phương trình :  m2 s  m2 s  m2 g *sin  +) Phương trình cho φ : T  m1l   T 0  d  T   m2l  dt    Ta có phương trình : d  T  T   Q dt      m1l 2  (m1l  m2 s) g *cos Bài ( đề năm 2018) 21 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Cho lăng trụ tam giác khối lượng m1 , trượt khơng ma sát mặt đường thẳng nằm ngang Trên mặt nghiêng lăng trụ có vật nhỏ M, khối lượng m, trượt không ma sát Vật nhỏ gắn với lò xo độ cứng c , độ dài tự nhiên lo , đầu lại lò xo gắn vào đỉnh lăng trụ Góc mặt phẳng nghiêng lăng trụ với mặt phẳng ngang α Cơ hệ chuyển động mặt phẳng đứng Chọn hệ tọa độ suy rộng x, s hình vẽ a) Xác định lực suy rộng? b) Thiết lập phương trình Lagrange loại II Giải s  - xét Qs : cho   có Fdh PM sinh công  x     dA  mg *sin   c(s  lo )s  Qs  dA  mg *sin   c(s  lo ) s x   khơng có lực sinh công - xét Qx : cho   s     dA   Qx  b) Tính động vM2  x2  s  xs *cos 1  T  m1 x2  m( x2  s  2xs *cos ) 2 22 Tham gia group FB: “GĨC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu mơn từ đại cương đến chuyên ngành XD * Thiết lập phương trình - Phương trình cho x : T  (m1  m) x  ms *cos x d  T   (m1  m) x dt  x  T 0 x d  T  T   Qx dt  x  x Ta có phương trình :  (m1  m) x  +) Phương trình cho s T  ms  mx *cos s d  T   ms dt  s  T 0 s Ta có phương trình : d  T  T   Qs   dt  s  s  ms  mg *sin   c(s  lo ) Bài ( đề năm 2017 ) 23 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD Cơ hệ mặt phẳng đứng gồm lắc tốn học có khối lượng tập trung đầu B, nối với trượt A liên kết lề, trượt A trượt dọc rãnh theo phương đứng Bỏ qua rãnh trượt ma sát lề A Kích thích cho hệ giao động Biết trượt A có khối lượng m1 ; AB dài l ; khối lượng tập trung đầu B m2 ; lò xo có độ cứng c Chọn tọa độ suy rộng s (độ biến dạng lò xo) φ ( góc tạo AB phương đứng) Lập phương trình vi phân giao động hệ theo tọa độ suy rộng chọn Giải * Tính lực suy rộng : s   có Fdh , PA , PB sinh công - xét Qs : cho        dA  (m1 g  m2 g  cs)ds  Qs   dA  m g  m g  cs s s   có PB sinh cơng - xét Qφ : cho        dA  m2 gl *sin   Q  m2 gl *sin  * Tính động 24 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD 1 T  TA  TB  m1vA2  m2vB2 2 Mà ta lại có : vB2  v2A  v 2BA  2vAvBA cos vA  s; vBA  l )  vB2  s  l 2  2s L cos 1  T  (m1  m2 )s  m2 (l 2  2s L cos ) 2 * Thiết lập phương trình: +) Phương trình cho s Ta có phương trình : d  T  T   Qs dt  s  s T  (m1  m2 )s  m2 L *cos s T 0 s d  T   (m1  m2 ) s  m2 L *cos  m2 L *sin    dt  s   (m1  m2 )s  m2 L *cos  m2 L *sin   m1g  m2 g  cs +) Phương trình cho φ : T  m2l 2  m2 Ls *cos   d  T   m2l 2  m2 Ls *cos  m2 Ls *sin    dt    25 Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu môn từ đại cương đến chuyên ngành XD T   m2 Ls *sin   Ta có phương trình : d  T  T   Q dt      m2l 2  m2 Ls *cos   m2 gl *sin  26