Tài liệu ôn toán - Chuyên đề đại số tổ hợp

Tham khảo tài liệu ''tài liệu ôn toán - chuyên đề đại số tổ hợp'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn CHUYÊN ðỀ ðẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1) Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn ñối tượng A1 n2 cách chọn ñối tượng A2 A1 ∩ A2 = ∅ ⇒ Có n1 + n2 cách chọn ñối tượng A1, A2 2) Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2 ⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2 3) Hoán vị: − Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử − Số hoán vị: Pn = n! 4) Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) thứ tự chúng gọi chỉnh hợp chập k n phần tử − Số chỉnh hợp: A kn = n! (n − k)! 5) Tổ hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử − Số tổ hợp: Ckn = n! k!(n − k)! − Hai tính chất Ckn = Cnn −k Ckn −−11 + Ckn −1 = Cnk 6) Nhị thức Newton n (a + b)n = ∑ C kn a n − k b k k =0 = C0n a n + C1n a n −1b + + Cnn b n − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk +1 = Cnk a n −k b k − ðặc biệt: (1 + x) n = C0n + xC1n + x 2C 2n + + x n Cnn Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn II / MỘT SỐ VÍ DỤ Bài tốn đếm 1.1 ðếm số tự nhiênđược thành lập Ví dụ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập ñược số tự nhiên gồm chữ số cho a) Các số ñều khác b) Chữ số ñầu tiên c)Các chữ số khác không tận chữ số Giải a) Mỗi số có chữ số khác ñược thành lập tương ứng với chỉnh hợp chập phần tử ⇒ Có A 57 = 2520 số b) Gọi số cần thiết lập abcde Chữ số ñàu tiên ⇒ a có cách chọn b, c, d, e có cách chọn ⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số c) Gọi số cần thiết lập abcde Chữ số cuối khác ⇒ e có cách chọn (trừ số 4) a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn ⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số Ví dụ 2.(ðH An ninh 97) Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, thành lập ñược số chẵn có chữ số khác Giải Gói số cần thiết lập abcde Xét hai trường hợp + Trường hợp 1: Chọn e = ⇒ e có cách chọn Khi a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn ⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số + Trường hợp 2: Chọn e ∈ { 2, 4, } ⇒ e có cách chọn Khi a có cách chọn trừ số e b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Tổ Tốn Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn ⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 số Vậy có 360 + 900 = 1260 số Ví dụ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số có chữ số cho số tạo thành gồm chữ số khác thiết có chữ số Giải Cách 1: Thành lập số có chữ số khác khơng có mặt chữ số ⇒ Có A 36 = 120 số Với số vừa thành lập có vị trí để xen số tạo thành số có chữ số khác có mặt chữ số ⇒ Có 120.4 = 480 số Cách 2: − Số cần tìm có bốn dạng 5bcd, a5bc, ab5d, abc5 − Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số Ví dụ 4: Có số tự nhiên gồm 2008 chữ số cho tổng chữ số Giải Xét trường hợp + Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm chữ số 2007 chữ số ⇒ Chỉ có số 3000…000 (2007 chữ số 0) + Trường hợp 2: Số tạo thành gồm chữ số 1, chữ số 2006 chữ số Chọn chữ số có cách chọn số Chữ số cịn lại có 2007 vị trí để đặt, cịn vị trí khác đặt số ⇒ Có 2.2007 = 4014 số + Trường hợp 3: Số tạo thành gồm chữ số 2005 chữ số Chọn chữ số ñầu tiên Chọn 2007 vị trí để đặt chữ số ⇒ có C22007 = 2007.1003 = 2013021 Vậy có + 4014 + 2013021 = 2017036 số Ví dụ 5(ðHQG TPHCM 2001) Có số tự nhiên gồm bảy chữ số biết chữ số có mặt ñúng hai lần, chữ số ba có mặt ñúng ba lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Giải + Coi dãy gồm chữ số tương ứng với số gồm chữ số (Kể bắt đầu 0) Khi ta thành lập số cách xếp chữ số vào vị trí Chọn vị trí để xếp chữ số 2: có C72 cách Chọn vị trí cịn lại để xếp chữ số 3: có C35 cách Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Chọn chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, để đặt vào vị trí cịn lại có A82 cách ⇒ Có C72 C35 A82 = 11 760 cách + Cần phải loại trường hợp chữ số ñứng ñầu Lập luận tương tự cho vị trí ⇒ có C62 C34 A17 = 420 số Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số 1.2 ðếm số phương án Ví dụ 6: (ðH Thái nguyên 99) Một lớp học có 25 nam 15 nữ Cần chọn nhóm gồm ba học sinh Hỏi có cách: a) Chọn học sinh b) Chọn học sinh gồm nam nữ c) Chọn học sinh có nam Giải a) Mỗi cách chọn tổ hợp chập3 40 ⇒ Số cách chọn là: C340 = 9880 cách b) Chọn nam có C125 = 25 cách = 105 cách Chọn nữ có C15 ⇒ Có 25.105 = 2625 cách chọn c) Chọn học sinh có 9880 cách Chọn học sinh nữ có C15 = 455 cách ⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách chọn có nam Ví dụ 7: (ðHSP Quy Nhơn 97) Cho hai ñường thẳng song song a b Trên a lấy 17 ñiểm phân biệt, b lấy 20 ñiểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh số 37 ñiểm ñã chọn Giải Cách Mỗi tam giác hình thành ba điểm khơng thẳng hàng Số ba điểm từ 37 điểm là: C 37 Số ba ñiểm thẳng hàng a là: C 17 Số ba ñiểm thẳng hàng b là: C 20 Vậy số tam giác tạo thành là: C − C − C = 11 340 tam giác 37 17 20 Cách 2: Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Mỗi tam giác ñược tạo thành ñiểm ñường thẳng hai ñiểm ñường thẳng Xét trường hợp + TH1: Tam giác tạo thành ñiểm a ñiểm b: có 17.C220 + TH2: Tam giác tạo thành ñiểm a ñiểm b: có 20.C17 = 11 340 ⇒ Số tam giác là: 17.C220 + 20.C17 Ví dụ 8: (ðH Cảnh sát nhân dân) Cho tam giác ABC Xét gồm ñường thẳng song song với AB, ñường thẳng song song với BC ñường thẳng song song với CA khơng có ba đường thẳng ñồng quy Hỏi ñường thẳng tạo ñược tam giác tứ giác (không kể hình bình hành) Giải a) Mỗi tam giác tạo thành ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác ⇒ Số tam giác 4.5.6 = 120 b) Mỗi hình thang khơng phải hình bình hành tạo thành hai đường thẳng thuộc nhóm đường thẳng thuộc nhóm cịn lại ⇒ Số hình thang C24 C15 C16 + C14 C52 C16 + C14 C15 C62 = 720 hình thang Giải phương trình, bất phương trình hệ đại số tổ hợp Ví dụ 1: (CðSP TPHCM99) Tìm k thỏa mãn: Ck + Ck +2 = 2Ck +1 14 14 14 Giải k ∈ N ðK   k ≤ 12 Phương trình tương ñương với 14! 14! 2.14! + = k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! 1 ⇔ + = (14 − k)(13 − k) (k + 2)(k + 1) (k + 1)(13 − k) ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k) ⇔ k2 − 12k + 32 = ⇔ k = 4, k = (Thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = Ví dụ 2: (ðH Hàng hải 99) Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Cn −3 n −1 Giải bất phương trình: > 14P A n +1 Giải ðK: 4≤ n+1 ⇔ n ≥ 3, n nguyên dương Cn −3 n −1 > ⇔ 14.P Cn −3 > A ⇔14.3! ( n − 1)! > n + n n − n − ( ) ( )( ) n −1 n +1 14P n − !2! ( ) A4 n +1 ⇔ n + n − 42 < ⇔ ( n − ) ( n + ) < ⇔ −7 < n < Kết hợp với ðk n≥ ñược tập nghiệm bất phương trình là: {3, 4, 5} Ví dụ 3: (ðHBK HN2001) 2.A y + 5.C y = 90  x x  y y 5.A x − 2.C x = 80 Giải hệ phương trình: Giải ðK: x, y ∈ N*, y ≤ x 2.u + 5.v = 90 u = 20 * v = C xy ⇒ u, v ∈N ta có hệ  ⇔  v = 10 5.u − 2.v = 80  x!  y! = y = A y = 20  (x − y)! = 20  x   Thay vào ta có  y ⇔ ⇔  x! ⇔  x! x! C x = 10  (x − y)! = 20  (x − 2)! = 20  = 10    y!(x − y)! ðạt u = A xy ,  x(x − 1) = 20  x = 5, x = −4 ⇔ y = y = ⇔ x = y = Kết hợp điều kiện ⇒ Hệ phương trình có nghiệm  3) Xác ñịnh số hạng khai triển Newuton Ví dụ 1: (ðH Kinh tế quốc dân, 1997) Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn 12 1  Tìm số hạng khơng chứa x khai triển Newton  x +  x  Giải k Số hạng tổng quát Tk +1 = C x k 12 12 − k 1 k 12 − 2k   = C12 x x Số hạng không chứa x tương ứng với 12 − 2k = ⇔ k = 12.11.10.9.8.7 ðáp số:số hạng không chứa x phải tìm là: C6 x = = 924 12 1.2.3.4.5.6 Ví dụ 2:(ðH Cð, khối A, 2003) n 1  Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn  + x5  ,  x3  biết Cn +1 − Cn = ( n + 3) n +4 n +3 Giải (n + 4)! (n + 3)! Ta có Cn +1 − Cn = ( n + 3) ⇔ − = 7(n + 3) n +4 n +3 (n + 1)!.3! (n)!.3! ⇔ (n + 4)(n + 3)(n + 2) − (n + 3)(n + 2)(n + 1) = 42(n + 3) ⇔ (n + 4)(n + 2) − (n + 2)(n + 1) = 42 ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12 12−k 5k −36+3k k     k k =C Số hạng tổng quát T  x  = C12.x k +1 12  x3    Số hạng chứa x8 tương ứng với 5k − 36 + 3k = ⇔ 11k = 88 ⇔ k = ðáp số:Hệ số số hạng chứa x8 phải tìm là: C8 = 495 12 Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn Ví dụ 3: Khai triển ña thức: 12 P(x) = (1 + 2x ) thành dạng : P ( x ) = a + a1x + a x + + a12 x12 Tìm max ( a1 , a , , a12 ) Giải k Số hạng tổng quát T = Ck ( 2x ) = Ck 2k.x k 12 k +1 12 = Ck +1.2k +1 Giả sử ak < ak + ⇔ Xét hai hệ số liên tiếp a = Ck 2k a 12 k k +1 12 23 12! 12! Ck 2k < Ck +1.2k +1 ⇔ < ⇔ k < a9 > … > a12 Vậy hệ số lớn là: a = C8 28 = 126720 12 4) Tính tổng chứng minh đẳng thức Ví dụ : Chứng minh ∀ n, k ∈ N* n ≥ k ≥ thì: Giải * Thật ∀ n, k ∈ N n ≥ k ≥ ta có: kC kn = nCkn −−11 n! n(n − 1)! = k!(n − k)! (k − 1)!(n − k)! (n − 1)! = nCnk−−11 (ñpcm) =n (k − 1)!(n − k)! kC kn = k Lưu ý :(ðây kết có nhiều ứng dụng tập chứng minh đẳng thức tổ hợp chưa có cơng cụ đạo hàm tích phân) Ví dụ : (ðH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997) Tính tổng S = C116 + C117 + C118 + C119 + C1110 + C1111 Giải Do C11 = C11 ,C11 = C11 , nên 0 10 11 S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 + C11 → 2S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 (1) n Áp dụng khai triển Niu tơn ( x + 1) = ∑ Ckn x k với x = 1, n = 11 ñược n k =0 (1 + 1) 11 11 k 11 = ∑ C11 = C11 + C11 + C11 + + C10 11 + C11 (2) k =0 Từ (1), (2) suy 2S = 211 → S = 210 = 1024 Tổ Toán Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn ðáp số : S = 210 = 1024 Ví dụ : (ðH Bách Khoa Hà Nội, 1999) Cho n số tự nhiên lớn 2, tính tổng : S = C1n − 2.C2n + 3.C3n − 4.C4n + + (−1)n −1.n.Cnn Giải Cách 1: (Sử dụng kết ví dụ 1) Áp dụng kết ví dụ ta có: C1n = n.C0 n −1 −2.Cn = −n.C1 n −1 (−1)n −1 n.Cnn = (−1)n −1 n.Cn −1 n −1 Cộng theo vế ñẳng thức ta ñược S = C1n − 2.C2n + 3.C3n − 4.C4n + + (−1)n −1.n.Cnn = n(C0n −1 − C1n −1 + C2n −1 − C3n −1 +, ,, + (−1) n −1 C nn −−11 ) = n(1 − 1) n −1 = Cách 2: (Sử dụng ñạo hàm) Xét khai triển (1 + x) n = C0n + xC1n + x 2C2n + + x n Cnn ⇒ n.(1 + x) n −1 = C1n + 2xCn2 + + nx n −1Cnn Chọn x = − ⇒ n.(1 − 1) n −1 = C1n − 2Cn2 + + (−1) n nCnn Vậy : S = Ví dụ 4: (ðHDL Duy Tân, khối A, 2001) 1 1 Tính tổng sau : S = C0n + C1n + C2n + C3n + + Cnn n +1 Giải Cách 1( Sử dụng kết ví dụ 1) Âp dụng kết ví dụ ta có: kC kn = nCkn −−11 ⇔ (k + 1)C kn ++11 = (n + 1)C kn ⇔ 1 Ckn = C kn ++11 k +1 n +1 Thay k = 0, 1, … , n ta có Tổ Tốn Trương THPT Lương Tài CHUN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn 1 Cn = Cn +1 n +1 1 Cn = C2n +1 n +1 Cn = C3n +1 n +1 1 C nn = C nn ++11 n +1 n +1 1 ⇒ S = C0n + Cn + Cn + Cn + + Cnn n +1 (C1n +1 + C 2n +1 + C3n +1 + + Cnn ++11 ) n +1 = (2 n +1 − 1) n +1 Vậy S = (2n +1 − 1) n +1 = Cách 2:(Sử dụng tích phân) Xét khai triển (1 + x) n = C0n + xC1n + x 2C2n + x 3C3n + + x n Cnn 1 ⇒ ∫ (1 + x) dx = ∫ (C0n + xC1n + x 2C 2n + x 3C3n + + x n Cnn )dx n 0 Ta có: (1 + x) n +1 ∫0 (1 + x) dx == n + 1 n 2n +1 − = n +1 n +1 ⇒ − 1 1  x n +1Cnn  =  x.Cn + x 2C1n + x 3C2n + x 4C3n + + n +1 n +1 1  1 1 = C0n + C1n + C2n + C3n + + Cnn n +1 Vậy Vậy S = (2n +1 − 1) n +1 Ví dụ 5: Chứng minh ñẳng thức sau: 26 25 24 23 22 37 − 27 C + C + C + C + C + C + C = 6 6 6 7 Giải Xét khai triển (2 + x)6 = 26 C06 + 25 xC16 + 24 x 2C62 + 23 x 3C36 + 22 x 4C64 + 2x 5C56 + x 6C66 Tổ Toán 10 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn ⇒ ∫ (2 + x) dx = ∫ (26 C06 + 25 xC16 + 24 x 2C62 + 23 x 3C36 + 22 x 4C64 + 2x 5C56 + x 6C66 )dx 0 1 ⇔ (2 + x)7 = x2 x6 x7 x x x (2 C x + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 ) 37 − 27 26 25 24 23 22 = C + C + C + C + C + C + C ⇔ 6 6 6 26 25 24 23 22 37 − 27 (ñpcm) Vậy C + C + C + C + C + C + C = 6 6 6 7 6 Tổ Toán 11 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn BÀI TÂP T Ự L ƯY ỆN : 1) Có cách xếp người khách gồm nam nữ ngồi vào hàng ghế nếu: a) họ ngồi chỗ ñược? b) họ ngồi kề nhau? c) nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề hai nhóm có ghế trống? 2) Có cách xếp chỗ ngồi cho người khách a) vào ghế xếp thành dãy b) vào ghế chung quanh bàn trịn, khơng có phân biệt ghế 3) Mười người muốn chụp ảnh chung Họ muốn chụp nhiều ảnh khác cách ñổi chỗ ñứng lẫn Cho lần ñổi chỗ chụp ảnh phút, hỏi cần để chụp tất ảnh khác nhau? 4) Có số tự nhiên gồm ba chữ số khác khác biết tổng ba chữ số 8? 5) Một dãy ghế dành cho nam sinh nữ sinh Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) họ ngồi chỗ ñược b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề c) có nữ sinh ngồi kề 6) Có số tự nhiên gồm ba chữ số khác biết tổng ba chữ số 12? Một phịng khách có chỗ đặt tranh, ảnh tượng Chủ nhà muốn trang trí cách xếp ñặt tranh khác vào chỗ, ảnh khác vào chỗ thứ hai tượng khác vào chỗ lại Hỏi có cách trang trí phịng khách? 7) Ta muốn mời người ngồi vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Có người bọn họ muốn ngồi kề nhau? b) Có người bọn họ khơng muốn ngồi kề nhau? c) Có người bọn họ khơng muốn ngồi kề đơi một? 8) Một bàn dài có 12 ghế, bên ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) họ ngồi chỗ ñược ? b) nam ngồi bên, nữ ngồi bên ? c) nam nữ ngồi ñối diện ? d) nam nữ ngồi xen kẽ ñối diện ? 9) Cho số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập số gồm chữ số khác ñược lấy từ số ñã cho, cho: a) Số ñó chẵn b) Số ñó chia hết cho c) Ln có mặt chữ số Tổ Tốn 12 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn 10) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập số gồm chữ số khác ñược lấy từ chữ số ñã cho cho số lẻ ñứng liền 11) Cho số : 0,1,2,3,4,5,6 a) Có thể lập ñược số gồm chữ số ñược lấy từ số ñã cho cho số có mặt lần, số khác có mặt lần b) Có thể lập số có chữ số lấy từ số cho cho số có mặt lần, số khác có mặt vài lần 12) Cho số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập số từ số khác ñược lấy từ số ñã cho Sao cho: a) Ln có mặt chữ số b) Số chia hết cho c) Khơng bắt ñầu từ chữ số 13) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập số có chữ số ñược lấy từ số ñã cho cho: a) Số ñầu số cuối giống nhau, số khác b) chữ số ñầu chữ số cuối giống 14) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6,7 a) Có thể lập số gồm 10 chữ số cho số có mặt lần, số có mặt lần Các số khác có mặt lần b) Có thể lập số gồm chữ số cho số có mặt lần, số khác có mặt vài lần 15) Cho số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập số gồm chữ số cho số chẵn khơng đứng liền 16) Một nhóm người thành lập công ty Họ muốn chọn ban ñiều hành gồm giám ñốc,một phó giám ñốc thủ qũy Có 10 người hội đủ điều kiện ñể ñược chọn Hỏi có cách chọn ban ñiều hành? 17) Huấn luyện viên ñội bóng muốn chọn cầu thủ ñể ñá luân lưu 11m Có cách chọn nếu: a) Cả 11 cầu thủ có khả nhau? ( Kể thủ mơn) b) Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B ñá số 4? 18) Một người muốn xếp ñặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu: a) Người ñó có tượng khác nhau? b) Người ñó có tượng khác nhau? c) Người có tượng khác nhau? 19) Với năm số 1,2,3,4,5 lập số gồm chữ số số có mặt hai lần số cịn lại số có mặt lần? 20) Có số tự nhiên gồm chữ số khác biết rằng: a) số chia hết cho 5? b) số phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ? 32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập số gồm bốn chữ số khác Tổ Toán 13 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn a) Có số nhỏ 5000 ? b) Có số chẵn nhỏ 7000 ? 21) Một lớp học có 30 học sinh Trong có 12 nữ, cần thành lập tổ cơng tác gồm người Có cách lập cho tổ có nữ 22) Trong khơng gian cho tập hợp gồm điểm khơng có điểm đồng phẳng Hỏi lập ñược hình tứ diện với ñỉnh thuộc tập hợp cho 23) Một đề thi có 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút câu (4 câu rút “ ñề thi ” thí sinh này) a) Có đề thi khác nhau? ( Hai ñề thi ñược coi khác có câu khác ) b) Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh Chứng tỏ có thí sinh gặp ñề thi 24) Một tổ trực gồm nam sinh nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn học sinh để trực thư viện Có cách chọn nếu: a) Chọn học sinh ñược? b) Có nữ sinh chọn? c) Có nữ sinh ñược chọn? 25) Một họ n ñường thẳng song song cắt họ m ñường thẳng song song Hỏi có hình bình hành tạo thành 26) Cho tập X = {a, b, c, d } Có tạp X a) Không chứa phần tử a? b) Chứa phần tử a? 27) Một bình đựng viên bi xanh, viên bi ñỏ, chúng khác màu Lấy hai viên a) Có kết khác nhau? b) Có cách lấy viên bi xanh?, hai viên bi ñỏ? Hai viên bi khác màu? 28) Giáo viên hướng dẫn lao ñộng muốn chia học sinh làm nhóm gồm 4, 3, học sinh Có cách chia? 29) Cho đa giác lồi có n đỉnh ( n ≥ ) a) Tính số đường chéo đa giác này; b) Biết ba đường chéo khơng qua đỉnh khơng đồng quy, tính số giao điểm ( khơng phải đỉnh ) ñường chéo 30) Một tổ trực gồm nam sinh nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn nhóm học sinh Có cách chọn nhóm phải có nữ sinh? 31) Giám đốc cơng ty muốn chọn nhóm người vào hội đồng tư vấn Trong cơng ty có 12 người hội đủ điều kiện để ñược chọn, ñó có hai cặp vợ chồng Hỏi có cách chọn nếu: a) Hội đồng có cặp vợ chồng? b) Hội đồng khơng thể gồm vợ lẫn chồng ( có )? Tổ Toán 14 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn 32) Tính số đường chéo đa giác lồi có n cạnh Tìm đa giác có số cạnh số ñường chéo 33) (ðH-B-2002) Cho ña giác ñều A1 A2 A2 n (n ≥ 2, n ∈ Z ) nội tiếp đường trịn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n ñiểm A1 , A2 , , A2 n , tìm n? 34) (ðH-B-2004) Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập ñề kiểm tra, ñề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) số câu hỏi dễ khơng 2? 35) (ðH-B-2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp ñỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ? 36) Chứng minh rằng: Cnk + 2Cnk −1 + Cnk −2 = Cnk+ ( ≤ k ≤ n ) 37) Chứng minh rằng: Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 = Cnk+3 ( ≤ k ≤ n ) a) Chứng minh : Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 38) b) Chứng minh với ≤ k ≤ n thì: Cnk + 4.Cnk −1 + 6.Cnk − + 4.Cnk −3 + Cnk − = Cnk+ 39) Giải phương trình: 3.Cx2+1 − Ax2 = x 40) Giải phương trình: a) Ax3+1 + Cxx+−11 = 14 ( x + 1) ; b) C x2+1 Ax2 − x = ( A21 x ) 41) Giải bất phương trình: a) C x4−1 − C x3−1 − Ax2−2 < b) Ax4+1 > 14.P3 Cxx−−13 42) Giải bất phương trình: C xx+−12 − C xx+−11 ≤ 2000 43) Chứng minh: Ckk + Ckk+1 + Ckk+ + + Ckk+ m−1 = Ckk++m1 44) Cho m ≤ k ≤ n Chứng minh: Cm0 Cnk + Cm1 Cnk −1 + Cm2 Cnk −2 + + CmmCnk −m = Cmk +n 45) Chứng minh rằng: Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( −1) Cnk + + ( −1) Cnn = k  2n −  46) a) Chứng minh: C C C C ≤    n −1  n n n n n −1 n n b Chứng minh: C2nn + k C2nn −k ≤ ( C2nn ) 47) a) Chứng minh: 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + + n ( n − 1) Cnn = n ( n − 1) 2n− Tổ Toán 15 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn b) Chứng minh: ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + + ( Cnn ) = C2nn 2  lg x1+1 12  + x  có số hạng thứ 200 48) Tìm x để khai triển:  x   17   49) Trong khai triển  + x3  Tìm số hạng khơng chứa x khai triển  x  50) (ðH-D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức   Newton  x +  với x > x  51) Khi khai triển rút gọn ñơn thức ñồng dạng từ biểu thức: 11 (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + + (1 + x ) Ta ñược ña thức: P( x ) = A0 + A1.x + A2 x + + A11.x11 Tính A7 =? 52) Khi khai triển rút gọn ñơn thức ñồng dạng từ biểu thức (1 + x − x ) Ta ñược ña thức: Px = A0 + A1 x + A2 x + Tính A7 Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức: 53) (ðH-A-2004) 1 + x (1 − x )  54) Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức: P( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x )   55) Trong khai triển:  + x  Tìm số hạng chứa x khai triển  x  56) (ðH-A-2003) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức n Newton của:  + x5  , biết rằng: Cnn++41 − Cnn+3 = 7(n + 3) ( n số nguyên dương, x x  > ) 57) (ðH-D-2003) Với n số nguyên dương, gọi a3n −3 hệ số x3n −3 khai triển thành ña thức ( x + 1) ( x + ) Tìm n để a3n −3 = 26n n 58) (ðH-A-2006) n Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức n Newton của:  + x  , biết rằng: C21n +1 + C22n +1 + C23n+1 + + C2nn+1 = 220 − ( n số x  nguyên dương, x > )  a + 59) Trong khai triển:  b  Tổ Toán 21 b a   Tìm số hạng có số mũ a b  Trương THPT Lương Tài 16 CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn 60) Tìm giá trị lớn giá trị: Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn 61) Tìm hệ số có giá trị lớn khai triển: ( a + b ) , biết tổng hệ số 4096 n Cho khai triển: (1 + x ) = a0 + a1 x + + an x n Trong n ∈ N * n 62) (ðH-A-2008) hệ số a0 , a1, , an thỏa mãn hệ thức: a0 + a a1 + + nn = 4096 Tìm số lớn 2 số: a0 , a1 , , an 63) (ðH-A-2002) Cho khai triển nhị thức: n n −x x −1 x −1  x2−1    0 1 2 2 C C + = +     n  n       n −1 n −1 n −x x −1  −3x    −3x   n −1  n 2 C 2 C + + +     ( n số  n  n         nguyên dương ) Biết khai triển Cn = 5Cn số hạng thứ tư 20n, tìm n x 64) (ðH-A-2005) C n +1 − 2.2C 2 n +1 Tìm số nguyên dương n cho: + 3.2 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + + ( 2n + 1) 2 n C22nn++11 = 2005 65) (ðH-B-2003) Cn0 + Cho n số nguyên dương Tính tổng: −1 −1 2n +1 − n Cn + Cn + + Cn n +1 66) (ðH-D-2002) Tìm số nguyên dương n cho: C + 2C + 4C + + Cnn = 243 n n n 67) (ðH-D-2005) n An4+1 + An3 Tính giá trị biểu thức: M = , biết rằng: ( n + 1)! Cn2+1 + 2Cn2+ + 2Cn2+3 + Cn2+ = 149 Tổ Toán ( n số nguyên dương ) 17 Trương THPT Lương Tài ... Cho số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập ñược số gồm chữ số khác ñược lấy từ số ñã cho, cho: a) Số chẵn b) Số chia hết cho c) Ln có mặt chữ số Tổ Toán 12 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP -. .. 480 số Ví dụ 4: Có số tự nhiên gồm 2008 chữ số cho tổng chữ số Giải Xét trường hợp + Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm chữ số 2007 chữ số ⇒ Chỉ có số 3000…000 (2007 chữ số 0) + Trường hợp 2: Số tạo... sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập số gồm bốn chữ số khác Tổ Toán 13 Trương THPT Lương Tài CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn a) Có số nhỏ 5000 ? b) Có số chẵn