Tài liệu ôn toán - Chuyên đề hàm số - phần 2 pps

Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: + Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. Khảo sát sự biến thiên và

☯4 khảo sát và vẽ hàm bậc ba Dạng 1: Khảo sát và vẽ hàm số y=ax3+bx2+cx+d (a ≠0)

Phương pháp

1 Tìm tập xác định

2 Xét sự biến thiên của hàm số

a Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có) Tìm các đường tiệm cận

b Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:

+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị

+ Điền các kết quả vào bảng

3 Vẽ đồ thị của hàm số

+ Vẽ đường tiệm cận nếu có

+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn

+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh)

Ví dụ 1 Cho hàm số: y= ư +x3 3x2ư 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phương trình: ư +x3 3x2ư = 1 m

Hướng dẫn

a

1 TXĐ: D = Ă

2 Sự biến thiên của hàm số

a Giới hạn tại vô cực

2 3

2 3

c Bảng biến thiên

2

x

x

=



 Hàm số đồng biến trên các khoảng (ư∞;0) và (2; + )∞

Và nghịch biến trên khoảng (0; 2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; và yCĐ=y(2)= 3

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và yCT = y(1) = -1

3 Đồ thị

+ Giao với Oy: cho x = 0 ⇒ = Vởy giao với Oy tại điểm O(0; -1) y 0

+ '' 0y = ⇔ ư6x+ = ⇒ = Điểm A (1; 1) 6 0 x 1

+ Nhận điểm A làm tâm đối xứng

b

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đồ thị y= ư +x3 3x2ư và y =m 1

Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận:

m > 3: Phương trình có 1 nghiệm

3 phương trình có 2 nghiệm

-1< m < 3: Phương trình có 3 nghiệm

m = -1: Phương trình có 2 nghiệm

m < -1: Phương trình có 1nghiệm

m=

Các bài toán về hàm bậc ba

Bài 1(TNTHPT – 2008)

Cho hàm số y=2x3+3x2ư 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

3

-∞

+∞

-1

2

-∞

y y' x

2

-2

http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyờn ðề 12

b Biệm luận theo m số nghiệm của phương trình 2x3+3x2ư =1 m

Bài 2 (TN THPT- lần 2 – 2008)

Cho hàm số y = x3 - 3x2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đG cho

b Tìm các giá trị của m để phương trình x3ư3x2ưm= có 3 nghiệm phân biệt 0

Bài 3 (TNTHPT - 2007)

Cho hàm số y=x3ư3x+ cú ủồ thị là (C) 2

a/ Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số

b/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại ủiểm A(2 ;4)

Bài 4 (TNTHPT - 2006)

Cho hàm số y=ư +x3 3x2 cú ủồ thị (C)

a/ Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số

b/ Dựa vào ủồ thị biện luận số nghiệm phương trỡnh : ư +x3 3x2-m=0

Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB)

Cho hàm số y=x3ư6x2+9x cú ủồ thị là (C)

a/ Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số

b/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại ủiểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y’’=0

c/ Với giỏ trị nào của m thỡ ủường thẳng y=x+m2-m ủi qua trung ủiểm của ủoạn thẳng nối cực ủại vào cực tiểu

Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB)

Cho hàm số y=x3ư3mx2+4m3

a/ Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số khi m=1

b/ Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại ủiểm cú hoành ủộ x=1

Bài 7 (ĐH- A- 2002)

Cho hàm số y= ư +x3 3mx2+3(1ưm x2) +m3ưm2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= 1

b Tìm k để phương trình: ư +x3 3x2+k3ư3k2 = có 3 nghiệm phân biệt 0

c Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004)

Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4m

a Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị

b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

Bài 9 (ĐH-B- 2007)

Cho hàm số y= ư +x3 3x2+3(m2ư1)xư3m2ư 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1

b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O

Bài 10 (ĐH - D - 2004)

Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 1

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2

b Tìm m để nghiệm của phương trình y’’= 0 thuộc đường thẳng y = x+ 1

Bài 8

Cho hàm số y = (x -1)(x2 + mx + m)

a Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4

Bài 3

Cho hàm số y=2x3+3(mư1)x2+6(mư2)xư 1

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2

b Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu

Bài 5 (ĐH 2006- D)

Cho hàm số y=x3ư3x+ 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt (C ) tại 3

điểm phần biệt (Gợi ý đường thẳng d qua M(x0;y0) có hệ số góc m có dạng: y = m(x - x0) + y 0) Bài 7

Cho hàm số y = (x - m)3 - 3x

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Tìm m để hàm số đG cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

Bài 8

Cho hàm số y = (x -1)(x2 + mx + m)

c Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

d Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4

Bài 11

Cho hàm số y = x3ư2mx2+m x2 ư 2

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1

b Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyờn ðề 14

 Hàm bậc bốn trùng phương và một số bài tập có liên quan

I Một số tính chất của hàm trùng phương

• Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho a≠ 0

• Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu ⇔y' 0= ⇔2 (2x ax2+b) 0= có ba nghiệm phân biệt

0 2

b

a

⇔ <

• Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng

• Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân

Dạng toán: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Ví dụ 1 (TNTHPT-2008)

Cho hàm số y=x4ư2x2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2

Ví dụ 2 Cho hàm số y=x4+4mx3+3(m+1)x2+ 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0

b Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị

Bài tập hàm số trùng phương

Bài 1 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

y= -x 2 b y = x 2 c y = x 6 1

y = 3 e.y = -x +2x +3 f y = x +2x +

Bài 2

Cho hàm số 4 2 2

y=x ư m x +

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1

b Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân

Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)

a Giải phương trình x4ư2x2+ = 1 0

b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 4 2

x ư x +

c Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 2

x ư x + ư = m

Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002)

m

2 (C )

y= ưx + mx

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b HGy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị

Bài 5 (ĐH Vinh - 2002)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2

y= ưx + x ư

2 Xác định m để phương trình x4ư5x2ưm2+ 3 0= có 4 nghiệm phân biệt

Bài 6

Cho hàm số

4

2 9 2

x

y= ư x ư

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số 2

2

y= ưk x

Bài 7

2

y=x ư mx +m ưm

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

b Xác định m để đồ thị (C m) của hàm số đG cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm

Bài 8 (ĐH Cần thơ - 2002)

Cho hàm số y=x4ư2x2+ ư (C2 m m)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0

b Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox

c Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân

http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyờn ðề 16

HOẽ ẹệễỉNG CONG

BAỉI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:

Cho hoù ủửụứng cong (C m):y= f(x,m) ( m laứ tham soỏ )

Bieọn luaọn theo m soỏ ủửụứng cong cuỷa hoù (C m) ủi qua ủieồm M0(x0;y0) cho trửụực

PHệễNG PHAÙP GIAÛI:

Ta coự :

Hoù ủửụứng cong (C m) ủi qua ủieồm M0(x0;y0) ⇔ y =0 f(x0,m) (1)

Xem (1) laứ phửụng trỡnh theo aồn m

Tuứy theo soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (1) ta suy ra soỏ ủửụứng cong cuỷa hoù (Cm) ủi qua M0

Cuù theồ:

• Neỏu phửụng trỡnh (1) coự n nghieọm phaõn bieọt thỡ coự n ủửụứng cong cuỷa hoù (Cm) ủi qua M0

• Neỏu phửụng trỡnh (1) voõ nghieọm thỡ moùi ủửụứng cong cuỷa hoù (Cm) ủeàu khoõng ủi qua M0

• Neỏu phửụng trỡnh (1) nghieọm ủuựng vụựi moùi m thỡ moùi ủửụứng cong cuỷa hoù (Cm) ủeàu ủi qua M0 Trong trửụứng hụùp naứy ta noựi raống M0 laứ ủieồm coỏ ủũnh cuỷa hoù ủửụứng cong (C m)

Dạng 1:

TèM ẹIEÅM COÁ ẹềNH CUÛA HOẽ ẹệễỉNG CONG BAỉI TOAÙN TOÅNG QUAÙT:

Cho hoù ủửụứng cong (C m):y= f(x,m) ( m laứ tham soỏ )

Tỡm ủieồm coỏ ủũnh cuỷa hoù ủửụứng cong (Cm)

PHệễNG PHAÙP GIAÛI

Bửụực 1: Goùi M0(x0;y0) laứ ủieồm coỏ ủũnh (neỏu coự) maứ hoù (Cm) ủi qua Khi ủoự phửụng trỡnh:

y =0 f(x0,m) nghieọm ủuựng ∀ m (1)

Bửụực 2: Bieỏn ủoồi phửụng trỡnh (1) veà moọt trong caực daùng sau:

Daùng 1: Am + B=0 m∀

Daùng 2: Am2+Bm+C=0 m∀

AÙp duùng ủũnh lyự: Am + B=0







=

=

⇔

∀

0

0

B

A

m (2)











=

=

=

⇔

∀

= + +

0 0

0 0

2

C B

A m C

Bm

Bửụực 3: Giaỷi heọ (2) hoaởc (3) ta seừ tỡm ủửụùc (x0;y0)

Bài tập

y=x ư m+ x + m + m+ xư m m+ CMR: Khi m thay đổi thì họ đường cong luôn qua một điểm cố định

Bài 2 Cho họ đồ thị (Cm): mx 1

x m

+

= + Tìm các điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi 1

m≠ ±

Bài 3 Cho họ (Cm) có phương trình:

1

y

x

=

+ Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua một điểm cố

định

Bài 4 Cho hàm số (Cm): y=x3ư3mx+2m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Chứng minh rằng họ đường cong luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5 Cho hàm số: y mx 1, m 1

x m

ư

ư Gọi (Hm) là đồ thị của hàm số đG cho

a Chứng minh rằng với mọi m≠ ± , họ đường cong luôn qua 2 điểm cố định 1

b Gọi M là giao điểm của 2 tiệm cận Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi

m

y= m+ x + m+ x ư m+ xư m+ Chứng minh rằng họ đồ thị luôn qua ba điểm cố định và 3 điểm cố định đó cùng nằm trên một đường thẳng

Dạng 2: Tìm điểm họ đồ thị hàm số không đi qua

Phương pháp:

B1: Giả sử M(x0; y0) là điểm mà họ đường cong không thể đi qua

B2: Khi có phương trình: y =0 f(x0,m) vô nghiệm với m từ đó tìm được (x0; y0)

B3: Kết luận về điểm mà họ đường cong không thể đi qua

m

y= xư x ư mx+m ư Tìm các điểm mà (Cm) không thể đi qua

Bài 2 Cho hàm số

2 (3m 1)x m m y

x m

=

+

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Tìm các điểm trên đường thẳng x = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m để đồ thị hàm số đi qua

Bài 3 Cho đồ thị hàm số 3 2

m

y= x ư m+ x + mxư Chứng minh rằng trên đường cong y = x2

có hai điểm mà (Cm) không đi qua với mọ m

http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 18

CHUYÊN ðỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ðỔI TƯƠNG ðƯƠNG

1 Bình phương 2 vế của phương trình

a) Phương pháp

 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A + B = C + D, ta thường bình phương 2

vế , ñiều ñó ñôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau

 3 A + 3 B = 3C ⇒ + + A B 33 A B (3 A +3 B ) = C

và ta sử dụng phép thế :3 A + 3 B = Cta ñược phương trình : A + + B 33 A B C = C

b) Ví dụ

Giải: ðk x ≥ 0

Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta ñược:1 + ( x + 3 3 )( x + 1 ) = + x 2 x ( 2 x + 1 ), ñể giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút

Phương trình giải sẽ rất ñơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 3 x + − 1 2 x + = 2 4 x − x + 3

Bình phương hai vế ta có : 6 x2+ 8 x + = 2 4 x2 + 12 x ⇔ = x 1

Thử lại x=1 thỏa

 Nhận xét : Nếu phương trình : f x ( ) + g x ( ) = h x ( ) + k x ( )

Mà có : f x ( ) + h x ( ) = g x ( ) + k x ( ), thì ta biến ñổi phương trình về dạng :

f x − h x = k x − g x sau ñó bình phương ,giải phương trình hệ quả

Bài 2 Giải phương trình sau :

3

2

1

3

x

x

+

+

Giải:

ðiều kiện : x ≥ − 1

Bình phương 2 vế phương trình ?

Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?

Ta có nhận xét :

3

2

1

3

x

x

+

3

2

1

3

x

x

+

Bình phương 2 vế ta ñược:

3

1

x x

 = −

− = ⇔ 

Thử lại :x = − 1 3, x = + 1 3 l nghiệm

Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : f x ( ) + g x ( ) = h x ( ) + k x ( )

Mà có : f x h x ( ) ( ) = k x g x ( ) ( ) thì ta biến ñổi f x ( ) − h x ( ) = k x ( ) − g x ( )

2 Trục căn thức

2.1 Trục căn thức ñể xuất hiện nhân tử chung

a) Phương pháp

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm ñược nghiệm x0 như vậy phương trình luôn ñưa về ñược dạng tích ( x − x0) A x ( ) = 0 ta có thể giải phương trình A x = ( ) 0 hoặc chứng minh A x = ( ) 0 vô

nghiệm , chú ý ñiều kiện của nghiệm của phương trình ñể ta có thể ñánh gía A x = ( ) 0 vô nghiệm

b) Ví dụ

3 x − 5 x + − 1 x − = 2 3 x − − − x 1 x − 3 x + 4

Giải:

3 x − 5 x + − 1 3 x − 3 x − 3 = − 2 x − 2 v ( 2 ) ( 2 ) ( )

Ta có thể trục căn thức 2 vế :

=

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2 Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 ñề nghị) : x2+ 12 5 3 + = x + x2+ 5

3

x + − x + = x − ≥ ⇔ ≥ x

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

( x − 2 ) ( ) A x = 0, ñể thực hiện ñược ñiều ñó ta phải nhóm , tách như sau :

Dễ dàng chứng minh ñược :

3 0,

3

x

− − < ∀ >

Bài 3 Giải phương trình :3 x2− + = 1 x x3− 1

Giải :ðk x ≥ 3 2

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến ñổi phương trình

3

3

3

2 5

x

x

+

− +

Ta chứng minh :

3

2 3

2 5

x

<

− +

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3

2.2 ðưa về “hệ tạm “

a) Phương pháp

 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A + B = C, mà : A − = B α C

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :

α α





b) Ví dụ

Bài 4 Giải phương trình sau : 2 x2+ + + x 9 2 x2− + = + x 1 x 4

Giải:

2 x + + x 9 − 2 x − + = x 1 2 x + 4

4

x = − không phải là nghiệm

Xét x ≠ − 4

x

http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 20

Vậy ta có hệ:

2

0

x

x

=



Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=8

7

Bài 5 Giải phương trình : 2 x2+ + + x 1 x2− + = x 1 3 x

2 x + + − x 1 x − + = x 1 x + 2 x, như vậy không thỏa mãn ñiều kiện trên

Ta có thể chia cả hai vế cho x và ñặt 1

t x

= thì bài toán trở nên ñơn giản hơn

Bài tập ñề nghị

Giải các phương trình sau :

4 3 10 3 − − x = − x 2 (HSG Toàn

Quốc 2002)

2 2 − x 5 − x = + x 2 − x 10 − x

2

3

3

2 x − 11 x + 21 3 4 − x − = 4 0 (OLYMPIC 30/4-2007)

2 x − + 1 x − 3 x − = 2 2 x + 2 x + + 3 x − + x 2

2 x + 16 x + 18 + x − = 1 2 x + 4

3 Phương trình biến ñổi về tích

 Sử dụng ñẳng thức

u + = + v uv ⇔ u − v − =

au + bv = ab + vu ⇔ u − b v − a =

A = B

Bài 1 Giải phương trình : 3 x + + 1 3 x + = + 2 1 3 x2+ 3 x + 2

1

x

x

=





Bi 2 Giải phương trình : 3 x + + 1 3 x2 = 3 x + 3 x2 + x

Giải:

+ x = 0, không phải là nghiệm

Bài 3 Giải phương trình: x + + 3 2 x x + = 1 2 x + x2+ 4 x + 3

Giải: dk x ≥ − : 1

0

x

x

=





Bài 4 Giải phương trình : 4

3

x

x

+

Giải:

ðk: x ≥ 0

Chia cả hai vế cho x + 3:

2

x

 Dùng hằng ñẳng thức