Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 1 HÀM SỐ ☯ ☯☯ ☯1. TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. ðịnh nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác ñịnh trên K: + Hàm số y = f(x) ñược gọi ñồng biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x ∀ ∈ < ⇒ < + Hàm số y = f(x) ñược gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x ∀ ∈ < ⇒ > 2. Qui tắc xét tính ñơn ñiệu a. ðịnh lí Cho hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên K: + Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số ñồng biến + Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến b. Qui tắc B1: Tìm tập xác ñịnh của hàm số B2: Tính ñạo hàm của hàm số. Tìm các ñiểm x i (i = 1, 2,…,n) mà tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc không xác ñịnh. B3: Sắp xếp các ñiểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng ñồng biến, nghịch biến. II. Các ví dụ Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 1. Xét sự ñồng biến và nghịc biến của hàm số: 3 2 2 4 2 1 1 . y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0) 3 2 x - 1 c. y = x 2 3 . y = x +1 a x x x x x x d − − + + + − − + Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 2 3 4 2 3 2 2 2 . y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9 3- 2x x 2 3 . y = e. y = f. y = 25-x x + 7 1 a x x x x x d x − + + − + − + + Loại 2: Chứng minh hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác ñịnh. Phương pháp + Dựa vào ñịnh lí. Ví dụ 3. Chứng minh hàm số 2 2 y x x = − nghịch biến trên ñoạn [1; 2] Ví dụ 4 a. Chứng minh hàm số 2 9 y x = − ñồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ). b. Hàm số 4 y x x = + nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] Ví dụ 5. Chứng minh rằng a. Hàm số 3 2 1 x y x − = + nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó. b. Hàm số 2 2 3 2 1 x x y x + = + ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó. c. Hàm số 2 8 y x x = − + + nghịch biến trên R. Dạng 2. Tìm giá trị của tham số ñể một hàm số cho trước ñồng biến, nghịch biến trên khoảng xác ñịnh cho trước Phương pháp: + Sử dụng qui tắc xét tính ñơn ñiêu của hàm số. Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 2 + Sử dụng ñịnh lí dấu của tam thức bậc hai Ví dụ 6. Tìm giá trị của tham số a ñể hàm số 3 2 1 ( ) ax 4 3 3 f x x x = + + + ñồng biến trên R. Ví dụ 7. Tìm m ñể hàm số 2 2 5 6 ( ) 3 x x m f x x + + + = + ñồng biến trên khoảng (1; ) +∞ Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: 2 1 m y x x = + + − ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó. Ví dụ 9 Xác ñịnh m ñể hàm số 3 2 ( 1) ( 3) 3 x y m x m x = − + − + + ñồng biến trên khoảng (0; 3) Ví dụ 10 Cho hàm số 4 mx y x m + = + a. Tìm m ñể hàm số tăng trên từng khoảng xác ñịnh b. Tìm m ñể hàm số tăng trên (2; ) +∞ c. Tìm m ñể hàm số giảm trên ( ;1) −∞ Ví dụ 11 Cho hàm số 3 2 3(2 1) (12 5) 2 y x m x m x = − + + + + . Tìm m ñể hàm số: a. Liên tục trên R b. Tăng trên khoảng (2; ) +∞ Ví dụ 12 (ðH KTQD 1997) Cho hàm số 3 2 2 ax (2 7 7) 2( 1)(2 3) y x a a x a a = − − − + + − − ñồng biến trên [2:+ ) ∞ Dạng 3 . Sử dụng chiều biến thiên ñể chứng minh BðT Phương pháp Sử dụng các kiến thức sau: + Dấu hiệu ñể hàm số ñơn ñiệu trên một ñoạn. + f ( x) ñồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) () f a f x f ≤ ≤ + f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( ) f a f x f b ≥ ≥ Ví dụ 1. Chứng minh các bất ñẳng thức sau: 2 2 3 1 1 . tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < + 2 2 8 2 x x . cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0 2 6 x a x x x c x π − < + < + ∞ ≠ Ví dụ 2. Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x a. Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π b. Chứng minh rằng 2sin tan 3 , (0; ) 2 x x x x π + > ∀ ∈ Ví dụ 3 Cho hàm số ( ) t anx - x f x = a.Chứng minh hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π b. Chứng minh 3 tan , (0; ) 3 2 x x x x π > + ∀ ∈ Ví dụ 3 Cho hàm số 4 ( ) t anx, x [0; ] 4 f x x π π = − ∈ Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 3 a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; ] 4 π b. Chứng minh rằng 4 tan , [0; ] 4 x x x π π ≤ ∀ ∈ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1 . Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc ñể tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I. B1: Tìm tập xác ñịnh. B2: Tính f’(x). Tìm các ñiểm tại ñó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác ñịnh. B3. Lập bảng biến thiên. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị Qui tắc II. B1: Tìm tập xác ñịnh. B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là x i là các nghiệm của nó. B3: Tính f ”(x i ) B4: Dựa vào dấu của f ” (x i ) suy ra cực trị ( f ”(x i ) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x i ; ( f ”(x i ) < 0 thì hàm số có cực ñại tại x i ) * Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 3 2 2 3 36 10 y x x x = + − − Qui tắc I. TXð: R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x = + − = ⇔ + − = = ⇔ = − + ∞ ∞∞ ∞ - ∞ ∞∞ ∞ - 54 71 + + - 0 0 2 -3 + ∞ ∞∞ ∞ - ∞ ∞∞ ∞ y y' x Vậy x = -3 là ñiểm cực ñại và y cñ =71 x= 2 là ñiểm cực tiểu và y ct = - 54 Qui tắc II TXð: R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x = + − = ⇔ + − = = ⇔ = − y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2 và y ct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số ñạt cực ñại tại x = -3 và y cñ =71 Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x − − + − − + 3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x x d x + − + + − + − + − + Bài 3. Tìm cực trị các hàm số Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 4 2 2 2 3 2 2 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x x x . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x + − Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f. 2 a c π ∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Dạng 2 . Xác lập hàm số khi biết cực trị ðể tìm ñiều kiện sao cho hàm số y = f(x) ñạt cực trị tại x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm ñược m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn ñiều kiện ñã nêu không ( vì hàm số ñạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể Cð hay CT) Ví dụ 1. Tìm m ñể hàm số y = x 3 – 3mx 2 + ( m - 1)x + 2 ñạt cực tiểu tại x = 2 LG 2 ' 3 6 1 y x mx m = − + − . Hàm số ñạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 2 3.(2) 6 .2 1 0 1 m m m ⇔ − + − = ⇔ = Với m = 1 ta ñược hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 2 có : 2 0 ' 3 6 ' 0 2 x y x x y x = = − ⇒ = ⇔ = tại x = 2 hàm số ñạt giá trị cực tiểu Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Bài 1. Xác ñịnh m ñể hàm số 3 2 3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 y mx x x = + + + Bài 2. Tìm m ñể hàm số 3 2 2 ( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT 3 y x mx m x = − + − + Bài 3. Tìm m ñể hàm số 2 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x mx y x m + + = + Bài 4. Tìm m ñể hàm số 3 2 2 2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 y x mx m x= − + − Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2 ( ) ax f x x bx c = + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3 và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2 Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( ) 1 q f x xp x = + + ñạt cực ñại tại ñiểm x = -2 và f(-2) = -2 Hướng dẫn: 2 '( ) 1 , x -1 ( 1) q f x x = − ∀ ≠ + + Nếu 0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã hµm sè lu «n ®ång biÕn . Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ. q ≤ ∀ ≠ + Nếu q > 0 thì: 2 2 1 2 1 '( ) 0 ( 1) 1 x q x x q f x x x q = − − + + − = = ⇔ + = − + Lập bảng biến thiên ñể xem hàm ñạt cực tại tại giá trị x nào. Dạng 3. Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị Bài toán: ‘Tìm m ñể hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào ñó.’ Phương pháp B1: Tìm m ñể hàm số có cực trị. B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: • Hàm số 3 2 ax ( 0) y bx cx d a = + + + ≠ có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 5 • Cực trị của hàm phân thức ( ) ( ) p x y Q x = . Giả sử x 0 là ñiểm cực trị của y, thì giá trị của y(x 0 ) có thể ñược tính bằng hai cách: hoặc 0 0 0 0 0 0 ( ) '( ) ( ) hoÆc y(x ) ( ) '( ) P x P x y x Q x Q x = = Ví dụ . Xác ñịnh m ñể các hàm số sau có cực ñại và cực tiểu 2 3 2 1 x 2 4 . y = ( 6) 1 . y = 3 2 mx m a x mx m x b x + − − + + + − + Hướng dẫn. a. TXð: R 2 ' 2 6 y x mx m = + + + . ðể hàm số có cực trị thì phương trình: 2 2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x mx m+ + + = 2 3 ' 6 0 2 m m m m > ∆ = − − > ⇔ < − b. TXð: { } \ 2 − ¡ 2 2 2 2 2 (2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4 ' ( 2) ( 2) µm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0 ' 0 4 4 4 0 0 4 8 4 4 0 0 x m x x mx m x x m y x x H y c x x m m m m m + + − + − − + + + = = + + = ⇔ + + + = ∆ > − − > ⇔ ⇔ ⇔ < − + + ≠ ≠ Bài 1. Tìm m ñể hàm số 3 2 3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT? y x mx= − + Bài 2. Tìm m ñể hàm sô 2 3 ( 1) 1 x m m x m y x m − + + + = − luôn có cực ñại và cực tiểu. Bài 3. Cho hàm số 3 2 2 12 13 y x x = + − − . Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của ñồ thị cách ñều trục tung. Bài 4. Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx = − + + − . Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu. Bài 5. Cho hàm 2 1 x mx y x + = − . Tìm m ñể hàm số có cực trị Bài 6. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + . Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu. Dạng 4. Tìm tham số ñể các cực trị thoả mãn tính chất cho trước. Phương pháp + Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị + Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet ñể thoả mãn tính chất. Ví dụ . Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 6 Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x − − + − − + 3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x x d x + − + + − + − + − + Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 2 2 2 3 2 2 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x x x . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x + − Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f. 2 a c π ∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Bài 5. Xác ñịnh m ñể hàm số 3 2 3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 y mx x x= + + + Bài 6. Tìm m ñể hàm số 3 2 2 ( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT 3 y x mx m x = − + − + Bài 7. Tìm m ñể hàm số 2 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x mx y x m + + = + Bài 8. Tìm m ñể hàm số 3 2 2 2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 y x mx m x = − + − Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2 ( ) ax f x x bx c = + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3 và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2 Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( ) 1 q f x xp x = + + ñạt cực ñại tại ñiểm x = -2 và f(-2) = -2 Bài 11. Tìm m ñể hàm số 3 2 3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT? y x mx = − + Bài 12. Tìm m ñể hàm sô 2 3 ( 1) 1 x m m x m y x m − + + + = − luôn có cực ñại và cực tiểu. Bài 13. Cho hàm số 3 2 2 12 13 y x x = + − − . Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của ñồ thị cách ñều trục tung. Bài 14. Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx = − + + − . Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu. Bài 15. Cho hàm 2 1 x mx y x + = − . Tìm m ñể hàm số có cực trị Bài 16. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + . Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi đại học (Chun ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chun ðề 7 • ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên ( ) ; a b : +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên Trong đó tại x 0 thì f’(x 0 ) bằng 0 hoặc khơng xác định • ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]: B1: Tìm các giá trò x i [ ] ; a b ∈ (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh . B2: Tính 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b B3: GTLN = max{ 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } GTNN = Min{ 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 y x x = + trên khoảng (0; ) +∞ Hướng dẫn: Dễ thầy h àm số liên tục trên (0; ) +∞ 2 2 2 2 1 1 ' 1 ' 0 1 0 1 x y y x x x x − = − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ± . Dễ thấy 1 (0; ) x = − ∉ +∞ Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. Tính GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2 3 4 3 x y x x = + + − trên đoạn [-4; 0] Hướng dẫn Hàm số liên tục trên [-4; 0], 2 2 [-4;0] [-4;0] 1 '( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0 3 16 16 ( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4 3 3 Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0 16 Min khi x = -4 hc x = -1 3 x x x f x x x f x x x x f f f f V y khi y ∈ ∈ = − = + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒ = − − − − = − = − − = = − = − − = Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 3 2 3 4 2 3 2 . f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1] c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3] a x x x x x x + − + + − − + + − − Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 2 x 1 . f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + ) x + 2 x- 1 c. f(x) = x 1 - x d. f(x) a ∞ 1 3 = trªn kho¶ng ( ; ) cosx 2 2 π π TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ I. Kiến thức cần nắm Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) • y = y 0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn: 0 0 lim ( ) , hc lim ( ) x x f x y f x y →+∞ →−∞ = = GTLN - + y y' b x 0 a x GTNN + - y y' b x 0 a x + ∞ ∞∞ ∞ + ∞ ∞∞ ∞ 0 2 + - y y' + ∞ ∞∞ ∞ 1 0 x Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 8 • x = x 0 là tiệm cận ñứng của (C) nếu một trong các ñiều kiện sau ñựơc thoả mãn: 0 0 0 0 lim , lim , lim , lim x x x x x x x x + − + − → → → → = +∞ = +∞ = −∞ = −∞ • ðường thẳng y = ax + b ( 0 a ≠ ) ñược gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai ñiều kiện sau thoả mãn: lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0 x x f x f x →+∞ →−∞ − − II. Các dạng toán Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ ( ) ( ) P x y Q x = Phương pháp • Tiệm cận ñứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác ñịnh tiệm cận ñứng. • Tiệm cận ngang, xiên: + Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0 + Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. + Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên ñược xác ñịnh bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + ( ) x ε với lim ( ) 0 x x ε →∞ = thì y = ax + b là tiệm cận xiên. Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số: 2 2 2x- 1 x 7 x + 2 . y = b. y = c. y = x + 2 3 x 1 x a x − − − − Hướng dẫn a. Ta thấy 2 2 2 1 2 1 lim ; lim 2 2 x x x x x x − + →− →− − − = −∞ = +∞ + + nên ñường thẳng x= 2 là tiệm cận ñứng. Vì 1 2 2 1 lim lim 2 2 2 1 x x x x x x →±∞ →±∞ − − = = + + nên y = 2 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số. b. + 2 3 7 lim 3 x x x x − → − − = −∞ − . Nên x = 3 là tiệm cận ñứng của ñồ thị hàm số. + 1 2 3 y x x = + − − . Ta thấy 1 lim[y - (x + 2)]= lim 0 3 x x x →∞ →∞ − = − Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của ñồ thị hàm số. c. Ta thấy 2 1 2 lim . 1 x x x + → + = = +∞ − Nên x = 1 là ñường tiệm cận ñứng. + 2 1 2 lim 1 x x x − →− + = +∞ − . Nên x = -1 là tiệm cận ñứng. + 2 2 2 1 2 2 lim 0 1 1 1 x x x x x x →+∞ + + = = − − . Nên y = 0 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số. Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ 2 ax ( 0) y bx c a = + + > Phương pháp Ta phân tích 2 ax ( ) 2 b bx c a x x a ε + + ≈ + + Với lim ( ) 0 x x ε →+∞ = khi ñó ( ) 2 b y a x a = + có tiệm cận xiên bên phải Với lim ( ) 0 x x ε →−∞ = khi ñó ( ) 2 b y a x a = − + có tiệm cận xiên bên tr ái Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 9 VÝ dô T×m tiÖm cËn cña hµm sè: 2 9 18 20 y x x = − + H−íng dÉn 2 9( 2) 6 y x = − + Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12) http://ebook.here.vn - Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn 10 Các tính giới hạn vô cực của hàm số ( ) ( ) f x y g x = lim ( ) 0 f x x x lim ( ) 0 g x x x Dấu của g(x) ( ) lim ( ) 0 f x x x g x L Tuỳ ý 0 + + L > 0 0 - - - + L < 0 0 + - Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau: 2x - 1 3 - 2x 5 -4 . y = b. y = c. y = d. y = x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1 x+ 1 1 e. y = f. y = 4 + 2x + 1 x- 2 a -x + 3 4 - x g. y = h. y = x 3x + 1 Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 x 12 27 x 2 x 3 2- x . y = b. y = c. y = d. y = 4 5 ( 1) 4 x 4 3 1 x 2 . y = 2x -1 + f. y = x 3 x x x a x x x x x x e x + + + + + 3 2 2 2 1 2x g. y = x- 3 + h. y = 2(x- 1) 1 x x + Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số 2 2 x . y = 1 x+ 3 b. y = x+ 1 1 . 4 x a x x c y x + + = Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số: 2 2 3 2( 2) 1 x y x m x m = + + + + có đúng 2 tiệm cận đứng. Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số: 2 2 3x 1 -3x 4 . y = b. y = 1 2 x x a x x + + + + Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 2( 1) 4 3 2 x m x m y x + + = tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt) Bài 7. Cho hàm số: 2 (3 2) 3 3 1 x x m m y x + + = (1) a. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm (4; 3) A b. Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol 2 y x = tại hai điểm phân biệt. 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 . - - - + L < 0 0 + - Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau: 2x - 1 3 - 2x 5 -4 . y = b. y = c. y = d. y = x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1 x+ 1 1 e. y = f. y = 4 + 2x + 1 x- 2 a -x. tung. Bài 14 . Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx = − + + − . Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu. Bài 15 . Cho hàm 2 1 x mx y x + = − . Tìm m ñể hàm số có cực trị Bài 16 . Cho hàm số 2 2 4 2 x. ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12 ) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 1 HÀM SỐ ☯ ☯☯ 1. TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số I.