Tham khảo tài liệu ''tài liệu ôn toán - chuyên đề hàm số - phần 1'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) HÀM SỐ ☯1 TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu hàm số I Kiến thức ðịnh nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác ñịnh K: + Hàm số y = f(x) ñược gọi ñồng biến khoảng K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) + Hàm số y = f(x) ñược gọi nghịch biến khoảng K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Qui tắc xét tính đơn điệu a ðịnh lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K: + Nếu f’(x) > với x thuộc K hàm số ñồng biến + Nếu f’(x) < với x thuộc K hàm số nghịch biến b Qui tắc B1: Tìm tập xác định hàm số B2: Tính đạo hàm hàm số Tìm điểm xi (i = 1, 2,…,n) mà đạo hàm khơng xác định B3: Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên B4: Nêu kết luận khoảng ñồng biến, nghịch biến II Các ví dụ Loại 1: Xét biến thiên hàm số Ví dụ Xét ñồng biến nghịc biến hàm số: 1 b y = -x + x + a y = x − x − x + e y = x ( x − 3), (x > 0) x-1 c y = x − x + d y = x +1 Ví dụ Xét biến thiên hàm số sau: a y = 3x − x3 b y = x + x + c y = x − x + x 3- 2x x2 − 2x + e y = f y = 25-x x+7 x +1 Loại 2: Chứng minh hàm số ñồng biến nghịch biến khoảng xác ñịnh Phương pháp + Dựa vào định lí Ví dụ d y = Chứng minh hàm số y = x − x nghịch biến đoạn [1; 2] Ví dụ a Chứng minh hàm số y = x − ñồng biến nửa khoảng [3; + ∞ ) b Hàm số y = x + nghịc biến nửa khoảng [-2; 0) (0;2] x Ví dụ Chứng minh 3− x a Hàm số y = nghịch biến khoảng xác ñịnh 2x +1 x + 3x ñồng biến khoảng xác ñịnh b Hàm số y = 2x +1 c Hàm số y = − x + x + nghịch biến R Dạng Tìm giá trị tham số ñể hàm số cho trước ñồng biến, nghịch biến khoảng xác ñịnh cho trước Phương pháp: + Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu hàm số http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) + Sử dụng ñịnh lí dấu tam thức bậc hai Ví dụ Tìm giá trị tham số a để hàm số f ( x) = x + ax + x + ñồng biến R Ví dụ x + 5x + m2 + Tìm m để hàm số f ( x) = ñồng biến khoảng (1; +∞) x+3 m ñồng biến khoảng xác định Ví dụ Với giá trị m, hàm số: y = x + + x −1 Ví dụ x3 Xác ñịnh m ñể hàm số y = − + (m − 1) x + (m + 3) x đồng biến khoảng (0; 3) Ví dụ 10 mx + Cho hàm số y = x+m a Tìm m để hàm số tăng khoảng xác định b Tìm m để hàm số tăng (2; +∞) c Tìm m để hàm số giảm ( −∞;1) Ví dụ 11 Cho hàm số y = x3 − 3(2m + 1) x + (12m + 5) x + Tìm m để hàm số: a Liên tục R b Tăng khoảng (2; +∞) Ví dụ 12 (ðH KTQD 1997) Cho hàm số y = x3 − ax − (2a − a + 7) x + 2(a − 1)(2a − 3) ñồng biến [2:+∞) Dạng Sử dụng chiều biến thiên ñể chứng minh BðT Phương pháp Sử dụng kiến thức sau: + Dấu hiệu ñể hàm số ñơn ñiệu ñoạn + f ( x) ñồng biến [a; b] f ( a ) ≤ f ( x) ≤ f () + f(x) nghịch biến [a; b] f ( a ) ≥ f ( x) ≥ f (b) Ví dụ Chứng minh bất ñẳng thức sau: π x2 b + x − < + x < + x, < x < +∞ a tanx > sinx, 0< x < 2 2 x x c cosx > ,x ≠ d sinx > x , x>0 Ví dụ Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x π a Chứng minh hàm số ñồng biến nửa khoảng 0; 2 π b Chứng minh 2sin x + tan x > x, ∀x ∈ (0; ) Ví dụ Cho hàm số f ( x) = t anx - x π a.Chứng minh hàm số ñồng biến nửa khoảng 0; 2 x π b Chứng minh tan x > x + , ∀x ∈ (0; ) Ví dụ π Cho hàm số f ( x) = x − t anx, x ∈ [0; ] π http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) π a Xét chiều biến thiên hàm số [0; b Chứng minh tan x ≤ π ] x, ∀x ∈ [0; ] π CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng Tìm cực trị hàm số Phương pháp: Dựa vào qui tắc ñể tìm cực trị hàm số y = f(x) Qui tắc I Qui tắc II B1: Tìm tập xác định B1: Tìm tập xác định B2: Tính f’(x) Tìm điểm f’(x) = B2: Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = kí f’(x) khơng xác định hiệu xi nghiệm B3: Tính f ”(xi) B3 Lập bảng biến thiên B4: Dựa vào dấu f ” (xi) suy cực trị B4: Từ bảng biến thiên suy cực trị ( f ”(xi) > hàm số có cực tiểu xi; ( f ”(xi) < hàm số có cực đại xi) * Chú ý: Qui tắc thường dùng với hàm số lượng giác việc giải phương trình f’(x) = phức tạp Ví dụ Tìm cực trị hàm số y = x3 + x − 36 x − 10 Qui tắc I Qui tắc II TXð: R TXð: R y ' = x + x − 36 y ' = x + x − 36 y ' = ⇔ x + x − 36 = y ' = ⇔ x + x − 36 = x = ⇔ x = −3 x -3 -∞ + y' +∞ - + +∞ 71 y -∞ - 54 x = ⇔ x = −3 y”= 12x + y’’(2) = 30 > nên hàm số ñạt cực tiểu x = yct = - 54 y’’(-3) = -30 < nên hàm số ñạt cực ñại x = -3 ycñ =71 Vậy x = -3 ñiểm cực ñại ycñ =71 x= ñiểm cực tiểu yct = - 54 Bài1 Tìm cực trị hàm số sau: a y = 10 + 15x + 6x − x b y = x − x3 + 432 c y = x − x − 24 x + d y = x - 5x + e y = -5x + 3x - 4x + f y = - x - 5x Bài Tìm cực trị hàm số sau: x+1 x2 + x − (x - 4)2 b y = c y = a y = x +8 x +1 x − 2x + x − 3x + x e y = f y = d y = x - + x-2 x −1 x +4 Bài Tìm cực trị hàm số http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc a y = x - x x Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) b y = x+1 c y = x +1 x3 - 3x - x2 f y = x - x e y = 10 - x x2 − Bài Tìm cực trị hàm số: a y = x - sin2x + b y = - 2cosx - cos2x c y = sinx + cosx d y = d y = sin2x e y = cosx + cos2x f y = 2sinx + cos2x víi x ∈ [0; π ] Dạng Xác lập hàm số biết cực trị ðể tìm ñiều kiện cho hàm số y = f(x) ñạt cực trị x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = tìm m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện nêu khơng ( hàm số đạt cực trị a f’(a) = khơng kể Cð hay CT) Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + ñạt cực tiểu x = LG y ' = x − mx + m − Hàm số ñạt cực trị x = y’(2) = ⇔ 3.(2)2 − m.2 + m − = ⇔ m = x = x = hàm số ñạt giá Với m = ta ñược hàm số: y = x3 – 3x2 + có : y ' = x − x ⇒ y ' = ⇔ x = trị cực tiểu Vậy m = giá trị cần tìm Bài Xác định m để hàm số y = mx + x + x + đạt cực đại x = 2 Bài Tìm m để hàm số y = x − mx + (m − ) x + có cực trị x = Khi hàm số có CĐ hay CT x + mx + đạt cực đại x = Bài Tìm m để hàm số y = x+m Bài Tìm m để hàm số y = x − mx + m x đạt cực tiểu x = Bi Tìm hệ số a, b, c cho hàm số: f ( x ) = x + ax + bx + c ñạt cực tiểu ñiểm x = 1, f(1) = -3 ñồ thị cắt trục tung điểm có tung độ q ñạt cực ñại ñiểm x = -2 f(-2) = -2 Bài Tìm số thực q, p cho hàm số f ( x ) = xp + x +1 q Hướng dẫn: f '( x ) = − , ∀x ≠ -1 ( x + 1)2 + Nếu q ≤ th× f'(x) > với x -1 Do hàm số đồng biến Hàm số cực trị + Nếu q > thì: x = −1 − q x2 + 2x +1− q = ⇔ f '( x ) = ( x + 1)2 x = −1 + q Lập bảng biến thiên ñể xem hàm ñạt cực tại giá trị x Dạng Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Bài tốn: ‘Tìm m để hàm số có cực trị cực trị thoả mãn tính chất đó.’ Phương pháp B1: Tìm m để hàm số có cực trị B2: Vận dụng kiến thức khác Chú ý: • Hàm số y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ 0) có cực trị phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) p( x ) Giả sử x0 ñiểm cực trị y, giá trị y(x0) Q( x ) P( x0 ) P '( x0 ) tính hai cách: y( x0 ) = hc y(x ) = Q( x0 ) Q '( x0 ) Ví dụ Xác định m ñể hàm số sau có cực ñại cực tiểu x + mx − m − a y = x + mx + (m + 6) x − b y = x +2 Hướng dẫn a TXð: R y ' = x + mx + m + ðể hàm số có cực trị phương trình: x + mx + m + = cã nghiƯm ph©n biƯt m > ∆ ' = m2 − m − > ⇔ m < −2 • Cực trị hàm phân thức y = b TXð: ¡ \ {−2} y' = (2 x + m)( x + 2) − ( x + mx − 2m − 4) x + x + m + = ( x + 2)2 ( x + 2)2 Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiĨu y ' = cã hai nghiệm phân biệt khác -2 x + x + m + = ∆ ' > 4 − 4m − > ⇔ ⇔ ⇔ m