Tài liệu ôn toán - Chuyên đề hàm số - phần 4

9 10 0
Tài liệu ôn toán - Chuyên đề hàm số - phần 4

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Tham khảo tài liệu ''tài liệu ôn toán - chuyên đề hàm số - phần 4'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) Xuất phát từ hàm ñơn ñiệu : y = f ( x ) = x3 + x + x ≥ ta xây dựng phương trình : f ( x) = f ( ) 3x − ⇔ x3 + x + = 2 x3 + x − x + = ( x − 1) x − Từ phương trình f ( x + 1) = f ( ( ) 3 x − + (3 x − 1) + , Rút gọn ta phương trình ) x − tốn khó x3 + x + x + = ( x − 1) ( 3x − 1) ðể gải hai toán làm sau : 3 2 x + x + x + = y cộng hai phương trình ta được: ðặt y = x − ta có hệ :  3 x − = y ( x + 1) + ( x + 1) = y + y Hãy xây dựng hàm đơn điệu tốn vơ tỉ theo dạng ? ) ( ( ) Bài Giải phương trình : ( x + 1) + x + x + + x + x + = Giải: ( ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( −3 x ) + ( −3 x ) ) + ⇔ f ( x + 1) = f ( −3 x ) ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + , hàm ñồng biến R, ta có x = − Bài Giải phương trình x − x − x + = x + x −  x3 − x − x + = y Giải ðặt y = x + x − , ta có hệ :  ⇒ y + y = ( x + 1) + ( x + 1) 7 x + x − = y Xét hàm số : f ( t ) = t + t , hàm đơn điệu tăng Từ phương trình x = f ( y ) = f ( x + 1)  ⇔ y = x + ⇔ ( x + 1) = x + x − ⇔   x = −1 ±  3 Bài Giải phương trình : x + = x − x − V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Một số kiến thức bản:  −π −π  ; cho : sin t = x số y với y ∈ [ 0; π ]  2  Nếu x ≤ có số t với t ∈  cho x = cos y  π  π cho : sin t = x số y với y ∈ 0;    Nếu ≤ x ≤ có số t với t ∈  0; cho x = cos y  π π ;  cho : x = tan t  2 Nếu : x , y hai số thực thỏa: x + y = , có số t với ≤ t ≤ 2π , cho x = sin t , y = cos t Với số thực x có t ∈  − Từ có phương pháp giải toán :  −π −π  ; x = cos y với y ∈ [ 0; π ]  2  Nếu : x ≤ đặt sin t = x với t ∈  http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 31 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)  π  π , với y ∈ x = cos y 0;    Nếu : x , y hai số thực thỏa: x + y = , đặt x = sin t , y = cos t với ≤ t ≤ 2π a  π π Nếu x ≥ a , ta đặt : x = , với t ∈  − ;  , tương tự cho trường hợp khác sin t  2 Nếu ≤ x ≤ đặt sin t = x , với t ∈  0;  π π ;   2 x số thực thi ñặt : x = tan t , t ∈  − Tại lại phải ñặt ñiều kiện cho t ? Chúng ta biết ñặt ñiều kiện x = f ( t ) phải ñảm bảo với x có t , ñiều kiện ñể ñảm bào ñiều (xem lại vòng tròn lượng giác ) Xây dựng phương trình vơ tỉ phương pháp lượng giác ? Từ cơng phương trình lượng giác ñơn giản: cos3t = sin t , ta tạo phương trình vơ tỉ Chú ý : cos 3t = 4cos3 t − 3cos t Nếu thay x ta có phương trình vơ tỉ: x − x = − x ta lại có phương trình : − x = x x − x (1) (2) Nếu thay x phương trình (1) : (x-1) ta có phương trình vố tỉ khó: x3 − 12 x + x − = x − x (3) Việc giải phương trình (2) (3) khơng đơn giản chút ? Tương tự từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng phương trình vơ tỉ theo kiểu lượng giác Một số ví dụ − x2  (1 − x )  = +  3 Bài Giải phương trình sau : + − x  (1 + x ) −  Giải: ðiều kiện : x ≤ Với x ∈ [ −1;0] : (1 + x ) − (1 − x ) ≤ (ptvn)  π x ∈ [0;1] ta ñặt : x = cos t , t ∈ 0;  Khi phương trình trở thành:  2 1   cos x 1 + sin t  = + sin t ⇔ cos t = phương trình có nghiệm : x = 6   Bài Giải phương trình sau : 1− 2x + 2x + + 2x − 2x 1) − 2x + + 2x = 2) + − x2 = x + − x2 3) x − x = ( ) ðs: x = + 2cos x − 2cos x HD: chứng minh x > vô nghiệm x+2 Bài Giải phương trình sau: HD: tan x = 6x + = 2x 5π 7π   π ;cos  mà phương trình Xét : x ≤ 1, ñặt x = cos t , t ∈ [ 0; π ] Khi ta S = cos ;cos 9   Giải: Lập phương vế ta ñược: x − x = ⇔ x − x = bậc có tối đa nghiệm tập nghiệm phương trình http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 32 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)    x −1    π π Giải: ñk: x > , ta đặt x = , t ∈ − ;  sin t  2  cos t = Khi ptt: (1 + cot t ) = ⇔  sin x sin 2t = −  Phương trình có nghiệm : x = − + 1 Bài .Giải phương trình x  + ( ) x + ( x + 1) x +1 = + 2x x (1 − x ) Bài Giải phương trình : Giải: đk x ≠ 0, x ≠ ±1  π π ;   2 Khi ñó pttt 2sin t cos 2t + cos 2t − = ⇔ sin t (1 − sin t − 2sin t ) = Ta ñặt : x = tan t , t ∈  − Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x = Bài tập tổng hợp Giải phương trình sau x3 + (1 − x ) = x − x2 x − x 30 − 2007 30 + x 2007 = 30 2007 12 x − 2x + − 2 − x > x + 16 x −1 + x +1 = x 3 x + x + = 2x + x + + 3x + = x + + x + x + x + = ( x + 3) x + − 10 − 3x = x − (HSG Toàn Quốc 2002) ( − x )( − x ) = x + ( − x )(10 − x ) x2 + = x − + 2x − x − + x3 − = 3x − 2 x − 11x + 21 − 3 x − = (OLYMPIC 30/4-2007) x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 2 x + 16 x + 18 + x − = x + 3x + 3x + x2 + x + = 3x + 12 x + x − = x + x + + x = + x3 + x x + 3x + = x x + + 2 x − x − + x3 + x + x + = + x − ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 x = (2004 + x )(1 − − x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x x − 3x + = − x + x2 + 3 (1 + x ) + 3 − x + (1 − x ) = 2 2008 x − x + = 2007 x − 3 ( ) ( x + − = x + 3x + x + ) x + x + 12 x + = 36 ( x − 1) 2x + x3 + = x3 + x + x −1 1 = 1− + x − x x x x − 14 x + − x − x − 20 = x + x + = x3 − x − 15 30 x − x ) = 2004 30060 x + + ( 4x + = x2 + x 28 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề ( ) 33 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) x − x − 10 = x − x − 10 3−x =x x+x CHUYÊN ðỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP BIỂN ðỔI TƯƠNG ðƯƠNG  x ∈ D (*) Dạng : Phương trình A = B ⇔ A = B ≥ ⇔  A = B Lưu ý: ðiều kiện (*) ñược chọn tuỳ thc vào độ phức tạp A ≥ hay B ≥ B ≥ Dạng 2: Phương trình A = B ⇔  A = B Dạng 3: Phương trình A ≥  (chuyển dạng 2) +) A + B = C ⇔  B ≥   A + B + AB = C I +) A + B = C ⇒ A + B + 3 A.B ( ) A+ B =C ta sử dụng phép : A + B = C ta phương trình : A + B + 3 A.B.C = C Bài 1: Giải phương trình: x2 − = x − b) x − x + = c) x + x + = e) x − + x − = f) a) g) h) 3+ x − 2− x =1 x + = − 2x + 3x + − x + = x + i) ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: − x + x − = 2m + x − x Bài 3: Cho phương trình: x − − x = m -Giải phương trình m=1 -Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 4: Cho phương trình: x + mx − = x − m -Giải phương trình m=3 -Với giá trị m phương trình có nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP ðẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường -Nếu tốn có chứa f ( x ) f ( x) đặt t = f ( x ) (với ñiều kiện tối thiểu t ≥ ñối với phương trình có chứa tham số thiết phải tìm điều kiện cho ẩn phụ) f ( x) , g ( x) f ( x) g ( x) = k (với k số) đặt : k t = f ( x ) , g ( x ) = t -Nếu tốn có chứa f ( x ) ± g ( x ) ; f ( x ).g ( x) f ( x) + g ( x) = k đặt: -Nếu tốn có chứa t= f ( x) ± g ( x) suy -Nếu tốn có chứa f ( x).g ( x) = t2 − k a − x đặt x = a sin t với − π ≤t ≤ π x = a cos t với ≤ t ≤ π http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 34 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc -Nếu tốn có chứa x − a đặt x = Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) a a  π π với t ∈  − ;  \ {0} x = với sin t cos t  2 π  t ∈ [ 0; π ] \   2 -Nếu tốn có chứa  π π x + a ta đặt x = a tan t với t ∈  − ;   2 http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 35 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số) Bài 1: Giải phương trình: a) x + x + x + = 12 − x f) x2 + 5x + − 2 x2 + 5x − = b) x − x + x + = −3 x − g) x + 3x + − 2 x + x + = − c) x − x + = x − x + 12 h) x + x + 11 = 31 d) 3x + 15 x + x + x + = i) ( x + 5)(2 − x) = x + x e) ( x + 4)( x + 1) − x + x + = Bài 2: Giải phương trình: a) x + (1 − x ) = x (1 − x ) b) + − x  (1 − x ) −  c) (1 + x )  = + − x2  − x − 2x − x2 − x2 + = d) 64 x − 112 x + 56 x − = − x e) x + x x2 − = 35 12 f) ( x − )( x + 1) + ( x − 3) x +1 = −3 x−3 1 + =m x 1− x -Giải phương trình với m = + Bài 4: Cho phương trình: -Tìm m để phương trình có nghiệm ( ) Bài 5: Cho phương trình: x − x + x2 − x − − m = -Giải phương trình với m = -Tìm m để phương trình có nghiệm Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Là việc sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ hệ số chứa x -Từ phương trình tích ( )( x +1 −1 ) x +1 − x + = , ( 2x + − x )( ) 2x + − x + = Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải ñược thể qua ví dụ sau ( ) Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + Giải: t = t = x + , ta có : t − ( + x ) t − + x = ⇔  t = x − http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 36 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số) Bài Giải phương trình : ( x + 1) x − x + = x + Giải: ðặt : t = x − x + 3, t ≥ Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔  t = x − Từ phương trình đơn giản : ( 1− x − 1+ x )( ) − x − + + x = , khai triển ta ñược pt sau Bài Giải phương trình sau : x + − = 3x + − x + − x Giải: Nhận xét : ñặt t = − x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) ( ) Ta rt x = − t thay vo pt: 3t − + + x t + ( ) + x −1 = ( Nhưng khơng có may mắn để giải phương trình theo t ∆ = + + x ) − 48 ( ) x + − khơng có dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo ( ) ( 1− x , 1+ x ) Cụ thể sau : 3x = − (1 − x ) + (1 + x ) thay vào pt (1) ta ñược: Bài Giải phương trình: 2 x + + − x = x + 16 Giải ( ) Bình phương vế phương trình: ( x + ) + 16 − x + 16 ( − x ) = x + 16 ( ) = α ( − x ) + ( + 2α ) x Ta ñặt : t = − x ≥ Ta ñược: x − 16t − 32 + x = Ta phải tách x 2 − 8α cho ∆ t có dạng chình phương Nhận xét : Thơng thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích Bài tập: Giải phương trình sau: a) (4 x − 1) x + = x + x + b) x − = x x − x c) x − = x x + x d) x + x = ( x + 2) x − x + Phương pháp ñặt ẩn phụ chuyển hệ a) Dạng thông thường: ðặt u = α ( x ) , v = β ( x ) tìm mối quan hệ α ( x ) β ( x ) từ tìm u = m a − f ( x )  hệ theo u,v Chẳng hạn phương trình: a − f ( x ) + b + f ( x ) = c ta đặt:  v = m b + f ( x ) u m + v m = a + b từ suy u m + v m = a + b Khi ta có hệ  u + v = c m m Bài tập: Giải phương trình sau: a) − x = − x − b) − x = − x − c) x − x − − ( x − 1) x + x − x = b) Dạng phương trình chứa bậc hai lũy thừa bậc hai: http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 37 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số)  d = ac + α ax + b = c(dx + e) + α x + β với  e = bc + β Cách giải: ðặt: dy + e = ax + b phương trình chuyển thành hệ:  dy + e = ax + b ( dy + e ) = ax + b ->giải ⇔   2  dy + e = c(dx + e) + α x + β c ( dy + e ) = −α x + dy + e − β Nhận xét: Dể sử dụng ñược phương pháp cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban ñầu dạng thỏa mãn ñiều kiện ñể ñặt ẩn phụ.Việc chọn α ; β thông thường cần viết dạng : (α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ chọn ñược n c) Dạng phương trình chứa bậc ba lũy thừa bậc ba  d = ac + α ax + b = c ( dx + e ) + α x + β với  e = bc + β Cách giải: ðặt dy + e = ax + b phương trình chuyển thành hệ: 3 dy + e = ax + b ( dy + e ) = ax + b c ( dy + e ) = acx + bc ⇔ ⇔  3 dy e c dx e x + = + + + α β ( ) α β c dx + e = − x + dy + e − )  ( c(dx + e) = ( ac − d ) x + dy + bc  Bài tập: Giải phương trình sau: x + = x2 + x + 2) x + = −4 x + 13 x − 3) x + = 3 x − 4x + 4) = x2 + x x > 28 5) x + = x − 1) ( ( ) 6) x 35 − x x + 35 − x = 30 7) x − 13 x + + x + = 8) x − 13 x + + x + = ) 15 30 x − x ) = 2004 30060 x + + ( 3 x − = x3 − 36 x + 53 − 25 x−2 10) x + = x − x − 9) 81x − = x3 − x + II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x ) = k Bước 2: Xét hàm số y = f ( x ) Bước 3: Nhận xét: • Với x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k x0 nghiệm • Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm • Với x < x0 ⇔ f ( x ) < f ( x0 ) = k phương trình vơ nghiệm • Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 2: thực theo bước Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x ) = g ( x ) http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 38 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số) Bước 2: Dùng lập luận khẳng ñịnh f ( x ) g(x) có tính chất trái ngược xác ñịnh x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bước 3: Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng f (u ) = f (v) Bước 2: Xét hàm số y = f ( x ) , dùng lập luận khẳng ñịnh hàm số ñơn ñiệu Bước 3: Khi f (u ) = f (v ) ⇔ u = v ( ) ( ) Ví dụ: Giải phương trình : ( x + 1) + x + x + + 3x + x + = ( pt ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( −3x ) + ) ( −3x ) ) + ⇔ f ( x + 1) = f ( −3x ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + , hàm đồng biến R, ta có x = − Bài tập: Giải phương trình: x − + x − = , x − = − x3 − x + , x − = + x − x , x = − x + x − x3 , x − + x + = , x − + x2 + = − x http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 39 ... π http://ebook.here.vn - Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề 34 Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc -Nếu tốn có chứa x − a đặt x = Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12) a a  π π với t... PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng tốn quen thuộc Ta có hướng áp dụng sau ñây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x ) = k Bước 2: Xét hàm số. .. Bài 3: Cho phương trình: x − − x = m -Giải phương trình m=1 -Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 4: Cho phương trình: x + mx − = x − m -Giải phương trình m=3 -Với giá trị m phương trình có nghiệm

Ngày đăng: 01/05/2021, 04:17

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan