Đại số tuyến tính1

Đề thi đại số tuyến tính

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010Môn học: Đại số tuyến tính.Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.Sinh viên không được sử dụng tài liệu.HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬNCA 1Câu 1 : Cho ma trận A =7 4 1 62 5 8−2 −2 −5. Tính A2010, biết A có hai trò riêng là 1 và 3 .Câu 2 : Tìm chiều và một cơ sở TRỰC CHUẨN của không gian nghiệm của hệ phương trìnhx1+ x2− x3− 2 x4= 02 x1+ x2− 3 x3− 5 x4= 03 x1+ x2− 5 x3− 8 x4= 05 x1+ 3 x2− 7 x3− 1 2 x4= 0Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3−→ IR3, biết ma trận của f trong cơ sở chính tắc làA =2 1 −11 3 4−1 1 0. Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }.Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3−→ IR3, biết ma trận của f trong cơ sởE = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =2 1 −13 2 44 3 9. Tìm cơ sở và số chiều của kerf.Câu 5 : ChoA là ma trận vuông tùy ý, thực, cấp n, thoả A10= 0 . Chứng tỏ rằng A chéo hoá được khivà chỉ khi A là ma trận không.Câu 6 : Tìm m để ma trận A =1 −2 3−2 5 13 1 mcó ba trò riêng dương (có thể trùng nhau).Câu 7 : Trong hệ trục toạ độ Oxy cho đường cong ( C) có phương trình 5 x2+2 xy+5 y2−2√2 x+4√2 y = 0 .Nhận dạng và vẽ đường cong ( C) .Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.Câu 1(1.5đ). Chéo hóa ma trận ( 1đ) A = P DP−1; P =−2 −1 −4−1 1 01 0 1. D =1 0 00 3 00 0 3.A2010= P D2010P−1, tính ra được P−1=1 1 41 2 4−1 −1 −3; D2010=1 0 00 3201000 0 32010.Câu 2 (1.5đ). Tìm một cơ sở tùy ý của không gian nghiệm: E = {( 2 ,−1 , 1 , 0 ) , ( 3 ,−1 , 0 , 1 ) }Dùng quá trình Gram-Schmidt đưa về cơ sở trực giao: E1= {( 2 ,−1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 ,−7 , 6 ) }Chuẩn hóa, có cơ sở trực chuẩn: E2= {1√6( 2 ,−1 , 1 , 0 ) ,1√67( 4 , 1 ,−7 , 1 ) }1 Câu 3 (1.5đ). Có nhiều cách làm. Ma trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là: P =1 1 12 1 11 2 1Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E là B = P−1AP=8 1 1 6−2 −1 −2−3 −9 −2Câu 4(1.5đ) . Giả sử x ∈ Kerf; [x]E= ( x1, x2, x3)T. Khi đó f( x) = 0 ⇔ [f( x) ]E= 0 ⇔ A· [x]E= 0⇔2 1 −13 2 44 3 9x1x2x3=000⇔ [x]E=6 α−1 1 αα⇔ x = ( −1 0 α, 7 α,−4 α) .Dim( Kerf) = 1 , cơ sở: ( 1 0 ,−7 , 4 ) .Câu 5 (1.5đ). Vì A10= 0 nên A chỉ có một trò riêng là λ = 0 (theo tính chất, nếu λ0là TR của A,thì λ100là TR của A10. A chéo hóa được ⇔ A = P · D · P−1, D là ma trận 0 nên A = 0 .Câu 6 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực có ba trò riêng dương, suy ra dạng toàn phương tương ứng xácđònh dương ( hay ma trận đã cho xác đònh dương). Theo Sylvester, A xác đònh dương khi và chỉ khicác đònh thức con chính dương ⇔ δ1= 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ3= det( A) = m − 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8 .Câu 7(1.0đ). Xét dạng toàn phương 5 x21+ 2 x1x2+ 5 x22có ma trận A =5 11 5. Chéo hóa trựcgiao ma trận A bởi ma trận trực giao P =1√21 −11 1và ma trận chéo D =6 00 4Đường cong ( C) có ptrình trong hệ trục Ouv với hai véctơ cơ sở là1√2,1√2,−1√2,1√2là:6 ( u +16)2+ 4 ( v +34)2=1112. Đây là đường cong ellipse. Hệ trục Ouv thu được từ hệ Oxy bằng cáchquay 1 góc 4 5ongược chiều kim đồng hồ.2 . ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010Môn học: Đại số tuyến tính.Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.Sinh viên không. xy+5 y2−2√2 x+4√2 y = 0 .Nhận dạng và vẽ đường cong ( C) .Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm;