Đang tải... (xem toàn văn)
* Từ kết quả của bài 1, ta có thể giải quyết được nhiều bài toán khác như tìm mật độ điện tích mặt của quả cầu điện môi đặt trong điện trường, tìm điện trường khi đã biết phân bố điện [r]
(1)PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN ĐA CỰC TRONG CÁC BÀI TOÁN TĨNH ĐIỆN
Đinh Huy Hồng Quân, 11 Lý, PTNK-ĐHQG.TPHCM Trong nhiều tốn tĩnh điện, việc tìm tĩnh điện, điện trường không gian tạo phân bố điện tích, hay trường tĩnh điện bài tốn khơng dễ Tùy vào mà ta có phương pháp khác Đối với phân bố điện tích tương đối phức tạp có tính đối xứng, trong phương pháp thường hay dùng sử dụng phép khai triển đa cực Tuy nhiên học sinh chuyên lý phổ thông, phương pháp cịn q xa lạ biết đến Trong viết này, giới thiệu với các bạn khái niệm cách tiếp cận phương pháp cách cụ thể
Trước hết phải tìm hiểu giải phương trình Laplace hệ tọa độ cầu
I Phương trình Laplace hệ tọa độ cầu:
Phương trình Laplace khơng gian trường vơ hướng u có dạng: u0 (*)
(2)Nếu ta xét hệ tọa độ cầu (r,,) tốn tử Laplace trường vơ hướng u là:
2 2
sin ) (sin sin
1 ) (
u u
r u r r
u
( Ở đây,
x
gọi phép đạo hàm riêng theo biến số x)
Như phương trình Laplace (*) đưa dạng sau tọa độ cầu:
0 sin
1 ) (sin sin
1 ) (
2 2
u u
r u r r
Chúng ta nghiên cứu trường hợp đơn giản hơn, tính chất đối xứng
trụ trường vô hướng u, nghĩa u không đổi mặt tọa độ :
Như vậy: 0
u
Do phương trình Laplace xét đối xứng trụ có dạng đơn giản chút:
0 ) (sin sin
1 )
(
u r
u r
r (1)
Bây giờ, ta sử dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình
Đặt uR(r).Q() (2)
Với R(r) Q() hàm biến r
Thay (2) vào (1) biến đổi, ta có:
) (sin sin
1 ) (
0 ) (sin sin
1 )
(
2
d dQ d
d Q
dr dR r dr
d R
d dQ d
d R
dr dR r dr
d Q
Ta nhận xét rằng, phương trình trên, vế trái phụ thuộc vào r, vế phải
chỉ phụ thuộc vào nên giá trị vế trái vế phải phải số
nào Do ta đặt:
) (sin sin
1
) (
1
) (sin sin
1 ) (
1
2
d dQ d
d Q
dr dR r dr
d R
d dQ d
d Q
dr dR r dr
d R
*Xác định Q():
(3)
(sin ) sin
1
d dQ d
d Q
Đặt x=cos, y=Q() Thay biến số x, y vào phương trình
biến đổi, ta phương trình vi phân sau đây:
0
)
( 2
2
y
dx dy x dx
y d
x (3)
Phương trình gọi phương trình Legendre
Ta tìm nghiệm phương trình Legendre dạng chuỗi lũy thừa:
0 k
k kx
a
y (4)
Thay (4) vào (3), biến đổi ta được:
2
2
3
2 [6 ( 2) ] ( 2)( 1) [ ( 1) ] 0 2
k
k k
k k k a x
a k k
x a a
a
a
Cho hệ số xk, ta có:
[ ( 1) ]
) )( (
0 ) (
0
2
0
k
k k k a
a k k
a a
a a
Do đó: m ak
k k
k k a
) )( (
) (
2
(5)
Bây giờ, ta nhận xét m(m1) với m số nguyên dương tùy
ý, am+2=0 Từ hệ thức (5), ta suy am+4=am+6=…=0 Vậy m
số chẵn hệ số với số chẵn am+2 khơng Cịn
nếu m số lẻ hệ số với số lẻ cm+2 bẳng không Vậy
nghiệm phương trình (3) có dạng: + Trường hợp m chẵn:
m mx
a x
a x a a
y
4 2
Trong a0 tùy ý, cịn
2 ) (
a m m
a , hệ số sau tính theo công thức
(5)
+ Trường hợp m lẻ:
m mx
a x
a a x a
y 1 33 5
Trong a1 tùy ý, cịn
6 ) (
a m
m
a , hệ số sau tính theo cơng thức
(5)
Do vậy, m(m1) phương trình Legendre có nghiệm đa
thức bậc m Cádc đa thức chứa số hạng bậc chẵn m chẵn,
(4)cho đa thức có giá trị x=1 Các đa thức xác định
gọi đa thức Legendre, ký hiệu Pm(x)
Bây ta tính vài giá trị đầu đa thức Legrende: Khi m=0 P0(x)=1 (a0=1)
.Với m=1 P1(x)=x (a1=1)
Với m=2 P2(x)=a0+a2x
, a2=-3a0, suy P2(x)=a0-3a0x
,
P2(1)=1 a0=-1/2 Vậy P2(x)= (3 1)
2
1
x
Với m=3, m=4, làm tương tự ta có P3(x)= (5 )
2
1 3
x
x
P4(x)= (35 30 3)
8
1
x
x
Ta đưa công thức tổng quát đa thức Legrende sau:
m m
m m
m x
dx d m x
P ( 1)
!
1 )
(
Công thức gọi công thức Rodrigue +Ta chứng minh công thức Rodrigue sau: Đặt v(x)=(x2-1)m, ta có:
m m
x nx x
v dx
d x
x nx x
v dx
d
) ( ) ( ) (
) ( ) (
2
1
Đạo hàm m lần sử dụng quy tắc Leibnitz, ta được:
0 ) ( )
1 ( ) (
) ( )
1
( 1
1
2
x v dx
d m m x v dx
d x x v dx
d
x m
m m
m m
m
Đặt T(x)= v(x)
dx d
m m
vào phương trình trên:
0 ) ( ) ( ) (
) ( )
1
( 2
2
T x m m T x
dx d x x T dx
d x
Ta thấy phương trình phương trình Legrende, nên nghiệm có dạng đa thức Legrende, đó:
Pm(x)=T(x)
Lại có:
T(x)= ( ) ( 1) [(x1)(x1)] m!(x1) F(x1)
dx d x
dx d x v dx
d m m
m m m m
m m
m
Với F(x-1) đa thức bậc m biến số x-1 Do đó: F(x-1) x1=0
(5)Mà P(1)= T(1)=1, suy ra:
!
1 m
m
Do ta có cơng thức Rodrigue đa thức Legrende:
m m
m m
m x
dx d m x
P ( 1)
!
1 )
(
+ Vậy ta tìm hàm Q() đa thức Legrende với biến số
x=cos: ) (
Q =Pm(cos)
*Xác định R(r):
Ta xét phương trình:
) ( )
(
1
m m
dr dR r dr
d
R
Đặt R=rn Thay vào phương trình ta được:
) (
) )( (
m n
m n
n m m n m n
Do nghiệm tổng quát R(r) là:
R(r)= m m1
r B Ar
Với A, B số chưa xác định Ta xác định A, B dựa điều kiện biên
Như nghiệm riêng phương trình Laplace tọa độ cầu là:
) (cos ) (
1 m
m m m m
m P
r B r A u
Ta có nghiệm tổng quát là:
0
1) (cos )
(
m
m m
m m
m P
r B r A
u
Vậy ta tìm nghiệm phương trình Laplace hệ tọa độ cầu với trường hợp đối xứng trụ là:
0
1) (cos )
(
m
m m
m m
m P
r B r A
u
II Phương pháp khai triển đa cực toán tĩnh điện:
(6)Trong phương pháp này, ta thường ý đến tĩnh điện Nếu môi trường khơng có điện tích, ta có phương trình Laplace cho tĩnh điện:
0
Ta xét toán hệ tọa độ cầu, xem tốn đối xứng trụ, biến
khơng tham gia vào tốn, ta phân tích tĩnh điện dạng khai
triển đa cực sau:
0
1) (cos )
(
m
m m
m m
m P
r B r
A
Dựa vào điều kiện biên, ta tìm hệ số Am, Bm
tìm giá trị tĩn điện theo tọa độ (r, )
2 Các toán áp dụng: Bài 1:
Một cầu điện môi có bán kính a số điện mơi 1 đặt
một chất lỏng điện mơi có kích thước vơ hạn số điện mơi 2 Một
điện trường E có từ đầu chất lỏng Hãy tìm điện trường tổng hợp bên bên cầu
Lời giải:
Ở tốn này, việc tìm điện trường không gian xung quanh cầu khó khăn Ta chuyển qua việc tìm tĩnh điện khơng gian từ tìm điện trường phép lấy gradien tĩnh điện Để tìm tĩnh điện, ta áp dụng phương pháp khai triển đa cực
Lấy gốc tọa độ tâm cầu lấy hướng điện trường ban đầu E
(7)và điểm bên cầu 2 Ta thấy toán đối xứng trụ, nên ta biểu diễn 1 2 dạng khai triển sau:
1 ) (cos ) ( ) (cos ) ( n n n n n n n n n n n n P r D r C P r B r A
(a) 1 hữu hạn r=0
(b)2 rErcos ErP1(cos)
(c) r a r a
r r
2 1 2
1
Từ điều kiện (a), (b) ta nhận được:
Bn=0, C1=-E, Cn=0
Sau từ điều kiện (c) ta nhận được:
0 1 2
0
1 ) (cos )] (cos ) ( ) (cos [ ) (cos ) (cos ) (cos n n n n n n n n n n n n n n n n P a A P a D n EP P a A P a D EaP
Các phương trình thỏa mãn góc Do hệ số
Pn(cos) hai vế phương trình phải giá
trị n Do đó:
E A 2
,
2 1 Ea D
An=Dn=0
Do điện bên bên ngồi cầu biểu diễn sau:
cos cos 3 2 2 Er r a Er
Từ ta tính điện trường bên bên cầu:
(8)* Từ kết 1, ta giải nhiều tốn khác tìm mật độ điện tích mặt cầu điện mơi đặt điện trường, tìm điện trường biết phân bố điện tích mặt cầu…
Chúng ta có tốn tương tự toán sau:
Bài 2:
Một cầu dẫn điện lí tưởng đặt điện trường hướng theo trục z Hãy tìm mật độ điện tích mặt cầu
ĐS: 30E0cos
Bài 3:
Mật độ điện tích mặt ()0cos gắn lên bề mặt vỏ cầu có
bán kính R Cả bên bên ngồi vỏ cầu chân khơng, khơng có điện tích Hãy tính điện điện trường bên bên cầu
( Phương pháp giải quen thuộc để giải toán 2, học sinh chuyên lý phương pháp chồng chập, phương pháp có lẽ không thuyết phục phương pháp khai triển đa cực.)
* Ngồi ra, cịn chứng minh công thức đa thức Legendre sau:
0,( )
) ( ,
2 )
( ) (
1
1 n m
m n n dx x P x Pn m
(Cơng thức gọi tính trực giao đa thức Legendre) Dựa vào tính chất ta giải toán sau đây:
Bài 4:
Điện vỏ cầu có chiều dày phụ thuộc vào góc cực có dạng
như sau: 2
0cos
)
( V
V Tìm điện tĩnh điện bên trong, bên cầu
và mật độ điện tích mặt cầu
Lời giải:
Vì bên bên ngồi vỏ cầu rỗng nên điện toàn khơng gian thỏa mãn phương trình Laplace Như điện bên cầu có dạng:
(cos )
1
n n
nr P
a
(9)
2 (cos )
n n n n P r b
Biểu thức điện vỏ cầu là:
) (cos ) ( n n n nR P
a
V
Nhân vế đẳng thức cho Pn(cos)sind , lấy tích phân vế sử dụng đồng thức ta được: (chú ý
1 2 ) ( 1 n dx x
Pn )
sin ) (cos ) ( 2 d P V n R
an n n
Do ta được:
0
1 ( ) (cos )sin (cos )
2 n n n n
n V P d P r
R n
Tương tự ta tìm được:
1 ) (cos sin ) (cos ) ( ) ( n n n n n r P d P V R n
Sự phân bố điện tích vỏ cầu:
) (cos sin ) (cos ) ( ) ( ) ( 0 2
0
n n n R r R
r V P d P
R n r
r
Thay 2
0cos
)
( V
V vào biểu thức tìm ta được:
)] (cos [ ) ( ) (cos 3 ) (cos 3 0 3 0 2 2 0 P R V r R P V r R V R r P V V
*Trên trình bày khái niệm phương pháp khai triển đa cực, để thấy hiệu số tốn tĩnh điện nói riêng, tốn vật lý nói chung Hy vọng sau đọc bài viết này, bạn nắm rõ phương pháp này, xem cơng cụ đắc lực để giải vấn đề khác vật lý!