Hướng dẫn Bài tập Đại số tuyến tính_ Chương 2: Hệ phương trình

[r]

1

BÀI TẬP CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN

B Đạo hàm vi phân

Bài Tính đạo hàm riêng vi phân toàn phần (1)z f x y , ln x x2y2 

 

Giải:

  2  212  2

, ln ln ln

2

z f x y   x x y  x x y  x x y

 

 Tính đạo hàm riêng

 '

2

2 '

2 2 2

1

1 1

2 2.

x x

x

x x y x y

z z

x x x y x x y x y



  

    

     

 

 

' 2

2 '

2 2 2 2

1

2 2. .

y y

y

x x y

x y

z y

z

y x x y x x y x y x x y

  



   

       

 Tính vi phân toàn phần

 

' '

2 2 2

2 2

1

2

1

x y

dz z dx z dy

y

dx dy

x y x y x x y

y

dx dy

x y x x y

 

 

   

 

 

   

    

Bài 2: Đạo hàm hàm hợp (1) Cho  2

ln ; ; x y

z u v ux y ve  Tính '

x

z và '

y

z

Giải:

' ' ' ' '

x u x v x

z z u z v

z z u z v

x u x v x

    

    

    

' ' ' ' '

y u y v y

z z u z v

z z u z v

y u y v y

    

    

    

Ta có: ' ' ' ' ' '

2 2

2

; ; ; ; x y; x y

u v x y x y

u v

z z u y u x v e v e u v u v

 

     

2

 

   

' ' ' ' '

2 2

2

2 2

2

2

2

2

x u x v x

x y

x y

x y x y

z z u z v

u v

y e

u v u v

u y v e u v

xy e x y e





 

 

 

 

 



 

   



 

   

' ' ' ' '

2 2

2

2 2

2

2

2

2

y u y v y

x y

x y

x y x y

z z u z v

u v

x e

u v u v

u x v e u v

x y e x y e





 

 

 

 

 



 

   



Bài 5: Tính dz biết z=z(x, y) hàm ẩn xác định bởi:

(1)

arctanzz exy

Giải:

' '

x y

dzz dxz dy

Ta có:

2

arctan

arctan

xy

xy

z z e z z e

 

   

Đặt  

, , arctan xy

F x y z  zz e

3

' ' '

2

1 2z 2z

; ;

1

xy xy

x x z

F y e F x e F z

z z

 

      

 

 2 '  2

'

' '

' '

;

1 2z 2z 2z 2z

xy xy

y x

x y

z z

y e z F x e z

F

z z

F F

 

     

   

   

   

' '

2

3

2

1 2z 2z 2z 2z

1 2z 2z

x y

xy xy

xy

dz z dx z dy

y e z x e z

dx dy

e z

y dx x dy

  

 

 

   



 

3 Bài Đạo hàm cấp cao

(3) Tính đạo hàm riêng cấp (0; 1) hàm số:  

2

1

, x y

f x y e

x y



 



Giải:

 Đạo hàm riêng cấp 1:

   

' '

3

2 2 2 2

2 x y ; x y

x y

x y

f e f e

x y x y

 

   

 

 Đạo hàm riêng cấp 2:

 

 

   

   

' 3 1

2 2 2 2

'

'' ' 3 ''

3 2 2

2 2

3

2 x y x y 0;1

xx x x xx

x

x y x x y x

f f e e f e

x y x y

 

 

  

 

        



  

 

 

       

' '

'

'' ' 3 ''

3

2 2 2 2 2 2

1

2 x y x y x y 0;1

xy x y xy

y y

x xy

f f e e x e f e

x y x y x y

  

   

   

           

      

   

 

 

   

   

' 3 1

2 2 2 2

'

'' ' 3 ''

3 2 2

2 2

3

3 x y x y 0;1

yy y y yy

y

x y y x y

y

f f e e f e

x y

x y

 

 

  

 

        



  

 

Vậy :

     

''

''

''

0;1

0;1

0;1

xx

xy

yy

f e

f e

f e

  

 



  



Bài 8: Tính

d zbiết: (1) zx2.lnxy

Giải:

Ta có: '' '' ''

xx xy yy

d zz dx  z dxdyz dy

 Đạo hàm riêng cấp 1:

 

' '

2 ln ;

x y

z x x y x z x x y x y

   

4  Đạo hàm riêng cấp 2:

   

   

 

 

 

' '

'' '

2 2

2

2 ln

2

2.ln

3

2.ln

xx x x

x

x z z x x y

x y

x x y x x

x y

x y x y x xy

x y

x y

 

    



 

 

   

 



  



   

   

' '

'' '

2

2

2 ln

2

xy x y

y

x

z z x x y

x y

x x x xy

x y x y x y

 

    



 



  

  

  '  

' '' '

2

yy y y

y

x x

z z

x y x y

 

    

 

 

Vậy

 

     

2 '' '' ''

2 2

2

2 2

3

2.ln

xx xy yy

d z z dx z dxdy z dy

x xy x xy x

x y dx dxdy dy

x y x y x y

  

   

     

  

 

 

C Dùng vi phân tính gần  1.99  

1.04 ln 1.02

D  

Giải:

Đặt    

1

, , y ln y ln

f x y z  x  z  x  z

Ta có:

0 1; 2;

0.04; 0.01; 0.02

x y z

x y z

  

      

  '  '  ' 

0, 0, x 0, 0, y 0, 0, z 0, 0,

D f x y z  f x y z  x f x y z  y f x y z z

 0, 0, 0 1; 2;1

5

       

       

       

1

'

' 2 2 '

1

'

' 2 2 '

1

'

' 2 2 '

1

ln ln ln 1; 2;1

2

1

ln ln ln ln 1; 2;1

2

1 1

ln ln ln 1; 2;1

2 2

y y y y

x x x

y y y y

y y y

y y y

z z z

f x z x z x z y x f

f x z x z x z x x f

f x z x z x z f

z

  

 

 

      

      

      

Vậy 1 0.04  0.01 0.02 1.05

D         

D Cực trị hàm nhiều biến Bài 1: Tìm cực trị hàm sau: (2)   3

, 15

f x y x y  xy

Bước 1: Tìm điểm dừng Xét hệ:

2 2

'

2 3

' 2

0 15 5 0

0 5

0 15

3

3 15

5 25

5

x

y

x x x

y y y

f x y x y

x x y

x

f y x x

x x

x

   

 

  

        

     

                

 

    

        

       



Hàm số có hai điểm dừng là: M1 0; ;M2 5;5

Bước 2: '' '' ''

6 ; 15;

xx xy yy

A f  x B f  C f  y

 Tại điểm M1 0;0 :A0;B 15;C0

0

AC B

  

Vậy M1 0;0 không phài cực trị hàm số  Tại điểm M2 5;5 : A30;B 15;C30

2 0

AC B

A

  

   

6

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

(2) 2

( , )

f x y x y miền  2 

9

D x y 

Giải:

Bước 1: Tìm điểm dừng hàm số f(x, y) miền D mở '

'

0 0

2 0

0

x

y

f x x

y y

f

     

  

     

 



 x y, (0; 0) D

   là điểm dừng hàm số f(x, y) f(0; 0)=0 Bước 2: Tìm điểm dừng biên miền D:  2 

9

D x y

   

Đặt   2

,

x y x y

    

      2  2 

, , , ,

7 Xét hệ:

 

 

' '

2 2

'

2

0

2

0 2

0

0 2

1

9

0

9

x

y

x

x

L x x

y x y

L y y y

y x

x y x y

L

x y



 



 



     

        

                 

         

 

          

 

    

 

Hàm số có điểm dừng:M10; ; M20;3 ; M33; ; M43; 0

 1  2

f M f M

    và f M 3  f M 4 9

Vậy GTLN f là: fmax  f 3; 0 f 3; 09 GTNN fmin  f 0; 3 f 0;  3 (3) f x y , xy miền

2

1

8

x y D   

 

Giải:

Bước 1: Tìm điểm dừng hàm số z miền D mở '

'

0

0

x

y

f y

x f

   

 

  

 



 x y, (0; 0) D

8 Bước 2: Tìm điểm dừng biên miền D:

2

1

8

x y

D  

    

 

Đặt  ,  2

8

x y x y

    

 , ,   ,  , 2

8

x y L x y   f x y   x y xy    

 

Xét hệ:

' '

2

'

2 2 2

2 2

2

0 4 4 4

0 4

0

0

1

1 1

8

8 8

2

1

8

1

8

x

y

x x

x x

x y y

y L

x x x

L x y y y y

x y

L x y x y x y

x y

x x x

y

x y





 



 

  



 

  

           



    



    

            

    

     

       

        

   

   

   

 

 

 

   

 

  



2

2 2

2

2;

2

0 2

4 2;

2;

2

2 2; 1

2

2 4

1

8

x x

y y

x y x

x x y

x y x y x

x

y y

x y

x x

x x

 

 



 

    



  

      

 

      

  

    

 

  

      

  

     

 

  

   

    

       

  

  

   

     



   

 

Hàm số có điểm dừng:M12;1 ; M22; ; M32; ; M4 2; 1

 1  2

f M f M

    và f M 3  f M 4 2 Vậy GTLN f là: fmax  f  2;  f   2; 1 2

9

(4) z 1 xy x y miền đóng D giới hạn

yx và y=1 Giải:

Bước 1: Tìm điểm dừng hàm số z miền D mở '

'

0 1

1

0

x

y

z y x

x y

z

      

  

     

  



 x y, (1;1) D

   điểm dừng hàm số z z(1; 1) =0 Bước 2: Tìm điểm dừng biên miền D

1

: 1

1

y

AmB z x x

x



      

   

2

3

:

1

y x

AnB z x x x

x

 

    



   

2

1 (1; 1)

' 3x 1 1 1 32

( ; )

3 27

x z

z x

x z

  

 

      

   



Vậy GTLN f là: max

32 27