[r]
(1)1
BÀI TẬP CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN
B Đạo hàm vi phân
Bài Tính đạo hàm riêng vi phân toàn phần (1)z f x y , ln x x2y2
Giải:
2 212 2
, ln ln ln
2
z f x y x x y x x y x x y
Tính đạo hàm riêng
'
2
2 '
2 2 2
1
1 1
2 2.
x x
x
x x y x y
z z
x x x y x x y x y
' 2
2 '
2 2 2 2
1
2 2. .
y y
y
x x y
x y
z y
z
y x x y x x y x y x x y
Tính vi phân toàn phần
' '
2 2 2
2 2
1
2
1
x y
dz z dx z dy
y
dx dy
x y x y x x y
y
dx dy
x y x x y
Bài 2: Đạo hàm hàm hợp (1) Cho 2
ln ; ; x y
z u v ux y ve Tính '
x
z và '
y
z
Giải:
' ' ' ' '
x u x v x
z z u z v
z z u z v
x u x v x
' ' ' ' '
y u y v y
z z u z v
z z u z v
y u y v y
Ta có: ' ' ' ' ' '
2 2
2
; ; ; ; x y; x y
u v x y x y
u v
z z u y u x v e v e u v u v
(2)2
' ' ' ' '
2 2
2
2 2
2
2
2
2
x u x v x
x y
x y
x y x y
z z u z v
u v
y e
u v u v
u y v e u v
xy e x y e
' ' ' ' '
2 2
2
2 2
2
2
2
2
y u y v y
x y
x y
x y x y
z z u z v
u v
x e
u v u v
u x v e u v
x y e x y e
Bài 5: Tính dz biết z=z(x, y) hàm ẩn xác định bởi:
(1)
arctanzz exy
Giải:
' '
x y
dzz dxz dy
Ta có:
2
arctan
arctan
xy
xy
z z e z z e
Đặt
, , arctan xy
F x y z zz e
3
' ' '
2
1 2z 2z
; ;
1
xy xy
x x z
F y e F x e F z
z z
2 ' 2
'
' '
' '
;
1 2z 2z 2z 2z
xy xy
y x
x y
z z
y e z F x e z
F
z z
F F
' '
2
3
2
1 2z 2z 2z 2z
1 2z 2z
x y
xy xy
xy
dz z dx z dy
y e z x e z
dx dy
e z
y dx x dy
(3)3 Bài Đạo hàm cấp cao
(3) Tính đạo hàm riêng cấp (0; 1) hàm số:
2
1
, x y
f x y e
x y
Giải:
Đạo hàm riêng cấp 1:
' '
3
2 2 2 2
2 x y ; x y
x y
x y
f e f e
x y x y
Đạo hàm riêng cấp 2:
' 3 1
2 2 2 2
'
'' ' 3 ''
3 2 2
2 2
3
2 x y x y 0;1
xx x x xx
x
x y x x y x
f f e e f e
x y x y
' '
'
'' ' 3 ''
3
2 2 2 2 2 2
1
2 x y x y x y 0;1
xy x y xy
y y
x xy
f f e e x e f e
x y x y x y
' 3 1
2 2 2 2
'
'' ' 3 ''
3 2 2
2 2
3
3 x y x y 0;1
yy y y yy
y
x y y x y
y
f f e e f e
x y
x y
Vậy :
''
''
''
0;1
0;1
0;1
xx
xy
yy
f e
f e
f e
Bài 8: Tính
d zbiết: (1) zx2.lnxy
Giải:
Ta có: '' '' ''
xx xy yy
d zz dx z dxdyz dy
Đạo hàm riêng cấp 1:
' '
2 ln ;
x y
z x x y x z x x y x y
(4)4 Đạo hàm riêng cấp 2:
' '
'' '
2 2
2
2 ln
2
2.ln
3
2.ln
xx x x
x
x z z x x y
x y
x x y x x
x y
x y x y x xy
x y
x y
' '
'' '
2
2
2 ln
2
xy x y
y
x
z z x x y
x y
x x x xy
x y x y x y
'
' '' '
2
yy y y
y
x x
z z
x y x y
Vậy
2 '' '' ''
2 2
2
2 2
3
2.ln
xx xy yy
d z z dx z dxdy z dy
x xy x xy x
x y dx dxdy dy
x y x y x y
C Dùng vi phân tính gần 1.99
1.04 ln 1.02
D
Giải:
Đặt
1
, , y ln y ln
f x y z x z x z
Ta có:
0 1; 2;
0.04; 0.01; 0.02
x y z
x y z
' ' '
0, 0, x 0, 0, y 0, 0, z 0, 0,
D f x y z f x y z x f x y z y f x y z z
0, 0, 0 1; 2;1
(5)5
1
'
' 2 2 '
1
'
' 2 2 '
1
'
' 2 2 '
1
ln ln ln 1; 2;1
2
1
ln ln ln ln 1; 2;1
2
1 1
ln ln ln 1; 2;1
2 2
y y y y
x x x
y y y y
y y y
y y y
z z z
f x z x z x z y x f
f x z x z x z x x f
f x z x z x z f
z
Vậy 1 0.04 0.01 0.02 1.05
D
D Cực trị hàm nhiều biến Bài 1: Tìm cực trị hàm sau: (2) 3
, 15
f x y x y xy
Bước 1: Tìm điểm dừng Xét hệ:
2 2
'
2 3
' 2
0 15 5 0
0 5
0 15
3
3 15
5 25
5
x
y
x x x
y y y
f x y x y
x x y
x
f y x x
x x
x
Hàm số có hai điểm dừng là: M1 0; ;M2 5;5
Bước 2: '' '' ''
6 ; 15;
xx xy yy
A f x B f C f y
Tại điểm M1 0;0 :A0;B 15;C0
0
AC B
Vậy M1 0;0 không phài cực trị hàm số Tại điểm M2 5;5 : A30;B 15;C30
2 0
AC B
A
(6)6
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số
(2) 2
( , )
f x y x y miền 2
9
D x y
Giải:
Bước 1: Tìm điểm dừng hàm số f(x, y) miền D mở '
'
0 0
2 0
0
x
y
f x x
y y
f
x y, (0; 0) D
là điểm dừng hàm số f(x, y) f(0; 0)=0 Bước 2: Tìm điểm dừng biên miền D: 2
9
D x y
Đặt 2
,
x y x y
2 2
, , , ,
(7)7 Xét hệ:
' '
2 2
'
2
0
2
0 2
0
0 2
1
9
0
9
x
y
x
x
L x x
y x y
L y y y
y x
x y x y
L
x y
Hàm số có điểm dừng:M10; ; M20;3 ; M33; ; M43; 0
1 2
f M f M
và f M 3 f M 4 9
Vậy GTLN f là: fmax f 3; 0 f 3; 09 GTNN fmin f 0; 3 f 0; 3 (3) f x y , xy miền
2
1
8
x y D
Giải:
Bước 1: Tìm điểm dừng hàm số z miền D mở '
'
0
0
x
y
f y
x f
x y, (0; 0) D
(8)8 Bước 2: Tìm điểm dừng biên miền D:
2
1
8
x y
D
Đặt , 2
8
x y x y
, , , , 2
8
x y L x y f x y x y xy
Xét hệ:
' '
2
'
2 2 2
2 2
2
0 4 4 4
0 4
0
0
1
1 1
8
8 8
2
1
8
1
8
x
y
x x
x x
x y y
y L
x x x
L x y y y y
x y
L x y x y x y
x y
x x x
y
x y
2
2 2
2
2;
2
0 2
4 2;
2;
2
2 2; 1
2
2 4
1
8
x x
y y
x y x
x x y
x y x y x
x
y y
x y
x x
x x
Hàm số có điểm dừng:M12;1 ; M22; ; M32; ; M4 2; 1
1 2
f M f M
và f M 3 f M 4 2 Vậy GTLN f là: fmax f 2; f 2; 1 2
(9)9
(4) z 1 xy x y miền đóng D giới hạn
yx và y=1 Giải:
Bước 1: Tìm điểm dừng hàm số z miền D mở '
'
0 1
1
0
x
y
z y x
x y
z
x y, (1;1) D
điểm dừng hàm số z z(1; 1) =0 Bước 2: Tìm điểm dừng biên miền D
1
: 1
1
y
AmB z x x
x
2
3
:
1
y x
AnB z x x x
x
2
1 (1; 1)
' 3x 1 1 1 32
( ; )
3 27
x z
z x
x z
Vậy GTLN f là: max
32 27