Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - Chương 1 pot

76 PHẦN II: LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG I. HÀM SỐ I.1. Giả sử 0 y ∈ , f T khi đó 0 2 2 1 4 x y x x − = + + (1) có nghiệm đối với . x (1) ( ) 2 0 4 2 1 y x x x ⇔ + + = − ( ) 2 0 0 0 2 4 1 0 y x y x y ⇔ + − + + = (2) Xét các trường hợp sau: + Xét 0 0. y = Khi đó, ( ) 2 2 1 0 x ⇔ − + = 1 2 x ⇔ = . Vậy, 0 0 . f y T = ∈ + Xét 0 0. y ≠ Khi đó, (2) có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 0 0 0 2 4 4 1 0 y y y ∆ = − − + ≥ 2 0 0 15 8 4 0 y y ⇔ − − + ≥ 0 4 2 19 4 2 19 15 15 y − + ⇔ ≤ ≤ Vậy, tập giá trị của hàm số là 4 2 19 4 2 19 ; . 15 15 f T   − + =     I.2. Hàm số đã cho có tập xác định . D = ℝ Giả sử 0 f y T ∈ , khi đó ( ) 0 2 1 1 x y x a + = + có nghiệm đối với . x ( ) ( ) 2 0 1 1 y x a x ⇔ + = + 2 0 0 1 0 y x x ay ⇔ − + − = (2) Xét các trường hợp sau + 0 0. y = (2) 0 1 0 . f x y T ⇔ = − ⇒ = ∈ + 0 0. y ≠ khi đó, (2) có nghiệm x khi và chỉ khi ( ) 0 0 1 4 1 0 ay y ∆ = − − ≥ 2 0 0 0 1 1 1 1 4 4 1 0 . 2 2 a a ay y y a a − + + + ⇔ − + + ≥ ⇔ ≤ ≤ Như vậy tập giá trị của hàm số chứa đoạn [ ] 0;1 khi và chỉ khi 0 a > và hệ điều kiện sau 1 1 0 5 2 0 . 4 1 1 1 2 a a a a a  − + ≤   ⇔ < ≤  + +  ≥   77 I.3. Hàm số đã cho có tập xác định là { } \ ;1 . D m= ℝ Tập xác định D là tập đối xứng khi và chỉ khi 1. m = − Với 1 m = − thì hàm số trở thành 2 1 . 1 y x = − Hàm số này là một hàm số chẵn. Vậy, khi 1 m = − thì hàm số đã cho là hàm số chẵn. I.4. Hàm số đã cho có tập xác định là: D = ℝ . 1) , a D ∀ ∈ ta có ( ) (0 ) (0) ( ) f a f a f f a = + = + (0) ( ) ( ) f f a f a ⇒ = − (0) 0. f ⇒ = Vậy, (0) 0 f = (Đpcm). 2) Theo giả thiết hàm số ( ) y f x = xác định trên ℝ nên tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng. Mặt khác ta lại có: 0 (0) ( ) ( ) ( ) f f a a f a f a = = − + = − + ( ) ( ). f a f a ⇒ − = − Vậy, f là hàm số lẻ. I.5. Trường hợp phương trình ( ) 0 f x = vô nghiệm thì số nghiệm của phương trình bằng 0. Giả sử phương trình ( ) 0 f x = có nghiệm. Gọi 0 x là một nghiệm của phương trình ( ) 0, f x = ta có ( ) 0 0 f x = và 0 0. x ≠ Vì ( ) y f x = là hàm số lẻ nên ( ) ( ) 0 0 . f x f x − = − Suy ra ( ) 0 0 f x − = và do đó 0 x − cũng là một nghiệm của phương trình ( ) 0. f x = Từ đây ta có nếu 0 x là một nghiệm của phương trình ( ) 0 f x = thì 0 x − cũng là một nghiệm của phương trình ( ) 0. f x = Như vậy, số nghiệm của phương trình ( ) 0 f x = là một số chẵn. I.6. a) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (1), ,f x x f x x f x f x x x + + − = ∀ ∈ ℝ . Thay 1 2 0 x x = = vào 2 vế của (1) ta được ( ) ( ) 2 2 0 2 0 f f   =   ( ) 0 0 f ⇔ = ∨ ( ) 0 1 f = . Nhưng theo bài ra ta có ( ) f x 0 ≠ , x ∀ ∈ ℝ do đó ( ) 0 1 f = . b) Hàm số ( ) y f x = xác định trên ℝ nên tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng. Thay 1 2 0; x x x = = vào ( ) 1 ta được: ( ) ( ) ( ) 2 f x f x f x + − = ( ) ( ) . f x f x ⇔ = − x ∀ ∈ ℝ . Vậy, ( ) f x là một hàm số chẵn. I.7. 1) y = ( ) cos 2 3 . x + Tập xác định của hàm số đã cho là . D = ℝ Hàm số ( ) ( ) cos 2 3 y f x x = = + là hàm số tuần hoàn vì có T = 2 π sao cho 78 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 2 cos 2 2 3 cos 2 3 4 cos 2 3 x x x f x x x x f x π π π π ∀ ∈ ⇒ ± ∈     ∀ ∈ ⇒ ± = ± + = + ± = + =     i ℝ ℝ i ℝ Chu kì của hàm số là 0 T = . π Giả sử còn có 0 l π < < sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) , cos 2 3 cos 2 3 (1), f x l f x x x l x x + = ∀ ∈   ⇔ + + = + ∀ ∈   ℝ ℝ Chọn x = 3 2 − ta có (1) cos 2 1 l ⇔ = , với 0 , l π < < (Vô lý). Vậy, chu kì của hàm số là 0 T = . π 2) 2 sin . y x = Tập xác định của hàm số đã cho là . D = ℝ Hàm số ( ) 2 1 cos2 sin 2 x y f x x − = = = là hàm tuần hoàn vì có 2 T π = sao cho 2x x π ∀ ∈ ⇒ ± ∈ i ℝ ℝ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos 2 2 1 cos 2 4 1 cos2 2 2 2 2 x x x x f x f x π π π  − ± − ± −   ∀ ∈ ⇒ ± = = = =i ℝ Chu kì của hàm số là 0 T = . π Giả sử còn có 0 l π < < sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 cos 2 1 cos2 , 2 2 cos 2 cos 2 (1), f x l f x x x l x x x l x x + = ∀ ∈   − + −   ⇔ = ∀ ∈  ⇔ + = ∀ ∈   ℝ ℝ ℝ Chọn x π = ta có (1) ⇔ cos2 1, l = với 0 l π < < (Vô lý) Vậy, chu kì của hàm số là 0 T = . π I.8. 1) 3 2 ( ) 2 . y f x x x = = + Tập xác định của hàm số đã cho là . D = ℝ ta có 3 2 0 ( ) 2 0 2. x f x x x x =  = + = ⇔  = −  Giả sử ( ) f x là hàm số tuần hoàn, khi đó tồn tại số dương T sao cho ( ) ( ), . f x T f x x D + = ∀ ∈ Chọn 0, x = ta có (0 ) (0) 0 0 f T f T + = = ⇒ > là nghiệm của phương trình ( ) 0 f x = (vô lý). Vậy, hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn. 2) ( ) 1 y f x x = = − . Tập xác định của hàm số đã cho là [1; ). D = +∞ ( ) 0 1. f x x = ⇔ = Giả sử ( ) f x là hàm số tuần hoàn, khi đó tồn tại số dương T sao cho ( ) ( ), . f x T f x x D + = ∀ ∈ Chọn 1, x = ta có (1 ) (1) 0 1 1 f T f T + = = ⇒ + > là nghiệm của phương trình ( ) 0 f x = (vô lý). Vậy, hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn. 79 2 3) ( ) . 1 x y f x x = = − Tập xác định của hàm số đã cho là { } \ 1;1 . D = − ℝ Giả sử ( ) f x là hàm số tuần hoàn, khi đó tồn tại số dương T sao cho x D ∀ ∈ . x T D ⇒ ± ∈ Do { } \ 1;1 D = − ℝ nên1 (1 ) 1 T D T T D D + ∈ ⇒ + − ∈ ⇒ ∈ (Vô lý). Vậy, hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn. I.9. Tập xác định của hàm số Đirichlê là . D = ℝ Với 0,T T > ∈ ℚ ta đều có x T ± ∈ ℚ nếu , x ∈ ℚ \ x T ± ∈ ℝ ℚ nếu \ x ∈ ℝ ℚ . Suy ra 1 , . ( ) 0 , \ . x f x T x ∈  ± =  ∈  ℚ ℝ ℚ Như vậy, ( ) ( ), . f x T f x x ± = ∀ ∈ ℝ Suy ra hàm số ) f x ( là hàm số tuần hoàn. Tuy nhiên trong tập các số hữu tỉ dương không có số dương bé nhất, vì vậy hàm số Đirichlê là hàm số tuần hoàn nhưng không có chu kỳ. I.10. 1) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 x f x x x y f f x x x f x x + + + − = = = = = + − − − Vậy, ( ) ( ) . y f f x x = = 2) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 g x x x x y f g x g x x x x + − + = = = = = − − − − − Vậy, ( ) ( ) . 1 x y f g x x = = − I.11. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 4 3 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 . 1 x x f x f f x f x f f x x x x x x x x f x f f x f x x − − = = = = = = = = − − − − − = = = − Như vậy, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 7 1 3 , . k f x f x f x f x k + = = = = ∈ ℕ Do đó ( ) ( ) 100 1 1 . 1 f x f x x = = − I.12. Ta có ( ) ( ) 1 1 2 , 2 , 2 1 . 1 2 1, 2 x x y f x f x x x x  − <   = = ⇒ = −   − ≥   80 ( ) 1, 1 1 , 1 1 x x y g x x x x − ≥  = =  − <  = − Vậy, [ ] [ ] ( ) 2 1 1 , ( ) 2 1 1. f g x x g f x x = − − = − − I.13. Hàm số ( ) 2 1 y f x x = = − − xác định trên nửa khoảng ( ] ;1 . −∞ Trên tập xác định ( ] ;1 −∞ phương trình 2 1 y x = − − có nghiệm duy nhất đối với ẩn x là ( ) 2 2 1 2 4 3. x y y y = − − = − + − Vậy, hàm số ngược cần tìm là 1 2 ( ) 4 3, ( ;2]. y f x x x x − = = − + − ∈ −∞ I.14. 1) a) Ta có 2 2 7 3 2 ( ) 2 2 2 x x x x y f x x x − − + − = = − = − + + Từ đồ thị hàm số 2 3 ( ) 2 x x y f x x + − = = + suy ra đồ thị 2 7 2 x x y x − − = + bằng phép tịnh tiến theo véc tơ (0; 2). v = −  b) Ta có 2 2 7 9 ( 3) ( 3) 3 ( 3) 5 ( 3) 2 x x x x y f x x x + + + + + − = = = + + + + Từ đồ thị hàm số 2 3 ( ) 2 x x y f x x + − = = + suy ra đồ thị 2 7 9 5 x x y x + + = + bằng phép tịnh tiến theo ( 3;0). v = −  c) Từ đồ thị hàm số 2 3 ( ) 2 x x y f x x + − = = + tịnh tiến theo vectơ ( ; ) v a b =  được đồ thị 2 2 4 3 x x y x + − = + khi và chỉ khi [ ] ( ) 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 4 ( ) ( ) 3 , 3 3 ( ) 2 ( 2 4) ( ) 2 ( ) ( )(1 ) 3 2 3 , 3 (4 ) 2 4 8 (4 2 ) ( 7 5 ) 3( 2 3), 3 x x x a x a b x x x a x x x a x a x a b b x x x a x ax a x b a x a a ab b x a a ab b x + − − + − − = + ∀ ≠ − + − +   ⇔ + − − + = − + − + − + + ∀ ≠ −   ⇔ + − − + − = + + − − − − + + + − − + − ∀ ≠ − 2 2 4 4 2 1 2 ( 7 5 ) 1 4 8 3( 2 3) a b a a a a a ab b b a a a ab b − = + −  = −   ⇔ − = − − − + ⇔   = −   − = − − + −  Vậy, tịnh tiến đồ thị hàm số 2 3 2 x x y x + − = + theo vectơ ( 1; 1) v = − −  được đồ thị hàm số 81 2 2 4 . 3 x x y x + − = + 2) a) Ta có 2 2 3 3 ( ) 2 2 x x x x y f x x x   − − + + − = = − = −   + +   Từ đồ thị hàm số 2 3 ( ) 2 x x y f x x + − = = + suy ra đồ thị hàm số 2 3 2 x x y x − − + = + bằng phép đối xứng qua trục hoành. b) Ta có 2 2 5 3 1 ( ) 1 2 2 x x x y f x x x   − + + − = = − + = − +   + +   Do đó để có đồ thị hàm số 2 5 2 x y x − + = + ta thực hiện hai bước + Bước 1: Đối xứng đồ thị hàm số ( ) y f x = qua trục hoành ta được đồ thị 1 ( ) C của hàm số ( ). y f x = − + Bước 2: Tịnh tiến 1 ( ) C theo vectơ (0;1) v =  ta được đồ thị hàm số 2 5 2 x y x − + = + . I.15. Ta có 3 7 1 3 . 2 2 x y x x − = = − − − Do đó ta thực hiện liên tiếp các bước biến đổi sau: + Tịnh tiến đồ thị của hàm số 1 y x = theo véc tơ (2;0) v =  thì được đồ thị hàm số 1 . 2 y x = − + Đối xứng đồ thị hàm số 1 2 y x = − qua trục hoành ta được đồ thị hàm số 1 . 2 y x = − − + Tịnh tiến đồ thị của hàm số 1 2 y x = − − theo véc tơ (0;3) u =  ta được đồ thị hàm số 3 7 . 2 x y x − = − I.16. 1) 2 3 1 . 3 x x y x − + = − Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 3 1 3 x x y x − + = − dành cho bạn đọc. Đồ thị (C) của hàm số 2 3 1 3 x x y x − + = − như sau 82 x y 5 42 1 O 2) a) 2 2 2 3 1 ; ( ) 0 3 1 3 ( ) 3 3 1 ; ( ) 0 3 x x f x x x x y f x x x x f x x  − + ≥  − +  − = = =  − − +  − <  −  Do đó đồ thị hàm số 2 3 1 3 x x y x − + = − gồm hai phần: + Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số ( ) y f x = ; + Đối xứng của phần đồ thị hàm số ( ) y f x = phía dưới trục hoành qua trục hoành. Đồ thị của hàm số ( ) y f x = như sau x y 5 42 1 O b) 2 3 1 ; 3 x x y x − + = − Ta có: 2 2 2 3 1 ; 3 3 1 3 3 3 1 ; 3 3 x x x x x x y x x x x x  − + >  − +  − = ⇔  − − +  − <  −  83 Do đó đồ thị hàm số 2 3 1 3 x x y x − + = − gồm hai phần: + Phần đồ thị ( ) y f x = trên miền 3; x > + Đối xứng của phần đồ thị ( ) y f x = trên miền 3 x < qua trục hoành. Đồ thị hàm số 2 3 1 3 x x y x − + = − như sau x y 5 4 2 -1 O 2 3 1 ) ; 3 x x c y x − + = − Do hàm số ( ) y f x = là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là trục . Oy Với 0 x ≥ thì ( ) ( ) . y f x f x = = Đồ thị hàm số 2 3 1 3 x x y x − + = − gồm hai phần: + Phần bên phải trục tung của đồ thị hàm số ( ) y f x = ; + Đối xứng của phần đồ thị hàm số ( ) y f x = phía bên phải trục tung qua trục tung. Đồ thị hàm số ( ) y f x = như sau -2 -4 x y 5 4 2 1 O 84 d) Ta có 2 2 2 2 2 3 1 3 1 ; 0 3 3 3 1 3 3 1 3 1 ; 0 3 3 x x x x x x x x y x x x x x x x  − + − + ≥  − − − +  = =  − − + − +  − <  − −  Do đó đồ thị hàm số 2 3 1 3 x x y x − + = − gồm hai phần: + Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số ( ) y f x = ; + Đối xứng của phần đồ thị hàm số ( ) y f x = phía dưới trục hoành qua trục hoành. Đồ thị hàm số 2 3 1 3 x x y x − + = − như sau -2 -4 x y 5 4 2 1 O I.17. Đặt 2 x X y Y = +   =  Hàm số đã cho trở thành ( ) ( ) 2 2 5 5 . 1 2 4 2 3 Y X X X = = − + − + + Hàm số 2 5 1 Y X = − là hàm số chẵn. Vậy, đường thẳng 2 x = là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho. I.18. Đường thẳng 0 x x = là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 3 2 4 3 2 0 0 0 0 4 3 2 2 3 2 0 0 0 0 0 0 4 3 2 4 3 2 2 0 0 0 0 2 , 2 4 2 3 2 2 2 4 3 2 , 4 2 1 3 8 8 1 2 16 24 6 1 16 32 12 4 4 3 3 2 , f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − = ∀ ∈ ⇔ − + − + − − − = + + − ∀ ∈ ⇔ − + + + + − + + − + + + + − = + + + − ∀ ∈ ℝ ℝ ℝ 85 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 0 0 2 0 3 2 0 0 0 0 0 0 2 4 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 0 8 8 1 1 1 1 16 8 2 0 16 24 6 1 1 1 4 4 1 0 16 32 12 4 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = −   − + =   = − ∨ =  + + =  ⇔ ⇔ ⇔ = −   + + − = + + − =     + + − = + + − =   Vậy, đồ thị hàm số 4 3 2 4 3 2 y x x x x = + + − có duy nhất một trục đối xứng cùng phương với trục tung là 1. x = − I.19. Ta có ( ) 2 2 2 4 2 4 3 1 1 1 1 x x x y x x + − − = = + + + Giả sử ( ) 0 0 , I x y là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho. Dời hệ trục toạ độ Oxy về hệ trục toạ độ mới IXY với ( ) 0 0 , I x y bởi phép đặt 0 0 x X x y Y y = +   = +  Thay vào ( ) 1 ta được ( ) ( ) 2 4 3 ( ) 1 1 o o o X x Y g X y X x + − = = + − + + Nếu đồ thị ( ) C nhận ( ) ; o o I x y làm tâm đối xứng thì hàm số ( ) Y g X = phải là hàm số lẻ tức là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 4 3 4 3 1 1 1 1 o o o o o X x X x y y X x X x − + − − + + + − = − + ∗ − + + + + đúng với mọi . X ∈ ℝ Cho X → ∞ thì ( ) ∗ tương đương với: 2 2 1 o o y y = ⇔ = . Với 1 o y = ( ) ∗ trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 4 3 ; . 1 1 o o o o X x X x X X x X x − + − − + + = ∀ ∈ ∗∗ − + + + + ℝ Đặt o X x = thì ( ) ∗∗ trở thành 2 2 8 3 3 12 8 6 0. 4 1 o o o o x x x x − + − = ⇔ − + = + Phương trình này vô nghiệm. Vậy, ( ) ; o o I x y không phải là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho. I.20. Giả sử x m = là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho. Đặt x X m y Y = +   =  Khi đó ta có hàm số 4 3 2 ( ) ( ) 4 ( ) 2( ) 12( ) Y f X X m a X m X m X m a = = + + + − + − + 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 2 2 4 6 4 4 ( 3 3 ) 2( 2 ) 12 ( ) X X m X m Xm m a X X m Xm m X m mX a X m = + + + + + + + + − − + + − + [...]... 2 = 1   a = 1    a = 1 a = 0 Vậy, với  a = 1 thì đồ thị hàm số có trục đối xứng cùng phương Oy  a = 1  I. 21 Giả sử trên đồ thị ( Cm ) có hai điểm M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) đối xứng nhau qua gốc tọa  x = − x1 độ, khi đó ta có  2  y2 = − y1 Như vậy ta được x12 − 2m 2 x1 + m 2 x 2 + 2m 2 x1 + m 2 x 2 − 2m 2 x1 + m 2 x12 + 2m 2 x1 + m 2 =− 1 ⇔ 1 = − x1 + 1 x1 + 1 x1 − 1 x1 + 1  2m... (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 − a ) (1 − b ) (1 − c ) 1 − a = b + c > 0  Theo giả thiết a + b + c = 1 ⇒ 1 − b = a + c > 0 1 − c = a + b > 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được 93 1 + a = (1 − b ) + (1 − c ) ≥ 2 (1 − b ) (1 − c ) (1) Tương tự ta cũng có 1 + b ≥ 2 (1 − a ) (1 − c ) (2) 1 + c ≥ 2 (1 − a ) (1 − b ) (3) Nhân các bất đẳng thức (1) , (2), (3) theo vế ta đươc (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) ≥ 8 (1. .. thức xảy ra khi  x − 1 y − 2 z − 1 x + 2 y + 3 z − 8 14 = = = =±  2 3 1+ 4 + 9 14  1 Hệ phương trình trên có nghiệm chẳng hạn  14 x = 1+ 14   14  Vậy, MaxA = 14 y = 2 + 7   3 14 z = 1+ 14   I.37 A = a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski đối với hai bộ số (1; 1) , ( a; b ) Ta được (1. a + 1. b ) 2 ( ) ≤ 2 a2 + b2 ⇒ a 2 + b2 ≥ 1 ( a + b ) (1) 2 Tương tự ta cũng... xảy ra khi ba vectơ u , v, w cùng hướng, khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 2 Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là Miny = 4 I.28 A =  1 y y x+ y 3 1 2 1 1 x + + y + 2 = x + + 2 2 + +  + 4 x y 4 x 8 8 2 y Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 1 1 x và ta có 4 x 1 1 1 1 x+ ≥ 2 x = 1( 1) 4 x 4 x Tương tự, ta cũng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1 y y 1 y y 3 + + ≥ 3 3 2 = ( 2) 2 y... 2m 2 − 1 x12 = m 2 (1)  ⇔ 2  x1 ≠ 1( *)  ( ) Trên đồ thị ( Cm ) có hai điểm M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện (*), điều này tương đương với  m2   2 1 >0 2  2  2m − 1 m > m > ⇔ 2⇔  2 2  m m 2 ≠ 1 m ≠ 1 1    2m 2 − 1  I.22 1) y = f ( x) = 2.33 x − 4.32 x + 2.3x trên đoạn [ 1; 1] 86 Đặt... + b + c ≤ 3(2) 1 Từ (1) và (2) ta suy ra M ≥ 3 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 1 Vậy, MinM = 3 I.36 A = x + 2 y + 3 z − 8 Ta có A = x + 2 y + 3 z − 8 = 1( x − 1) + 2 ( y − 2 ) + 3 ( z − 1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski đối với hai bộ số (1; 2;3) , ( x − 1; y − 2; z − 1) 94 ) Ta được A = x + 2 y + 3 z − 8 ≤ 14 2 2 ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) 2 = 14  x + 2 y + 3z − 8 = 14  Đẳng thức xảy... + 1 − 1 2 = ( x 2 + 5 x + 5) − 1 ≥ 1, ∀x ∈ ℝ Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x 2 + 5 x + 5 = 0 ⇔ x = 5 −5 − 5 −5 ∨x= 2 2 Vậy, Miny = 1 I.26 Theo bất đẳng thức Bunhiascopki ta có 2 2 2 1 1  5  1  = 1 +  =  x + y  ≤    x 4 y 4  4   2 2    x 2 + y 2   1  +  1   = ( x + y )  1 + 1  ≤         x   4 y       x 16 y      ( ) ( ) 89 ⇔ 25 5 1  4 1. .. cũng có 91 y2 z2 + ≥ y + z , ∀y , z > 0 z y z 2 x2 + ≥ z + x, ∀z , x > 0 x z Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên và kết hợp với (*) ta được 1 P ≥ 2( x + y + z ) = 2, ∀x, y , z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa ta có P = 2 khi x = y = z = 3 Vậy, MinP = 2 I. 31 A = a3 b3 c3 + + (1 + b ) (1 + c ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + a ) (1 + b ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được a3 1+ b 1+ c a3 1 + b 1 + c... − 15 cos x + 8 = 4 cos 3 x − 18 cos x + 8 Đặt t = cos x Khi đó hàm số y = f ( x ) = 4 cos3 x − 18 cos x + 8 trở thành 1  π 3π  y = f ( t ) = 4t 3 − 18 t + 8 Với x ∈  ;  thì t ∈ [ 1; ] 2 3 2  Lấy đạo hàm theo biến t ta được: f ′ ( t ) = 12 t 2 − 18  3 1 t = 2 Cả hai giá trị này không thuộc [ 1; 2 ] f ′ (t ) = 0 ⇔   3 t = − 2  1 1 f   = − ; f ( 1) = 22 2  2 1 Vậy, Maxf ( x ) = 22 và. .. xác định với mọ i x, y thỏa x2 + y2 = 1 sin ϕ cos ϕ + cos 2 ϕ sin 2ϕ + cos 2ϕ + 1 A= = (1) 2 1 + 2sin ϕ + 2sin ϕ cos ϕ 2 ( sin 2ϕ − cos 2ϕ + 2 ) (1) ⇔ ( 2 A − 1) sin 2ϕ − ( 2 A + 1) cos 2ϕ = 1 − 4 A (2) (2) có nghiệm khi và chỉ khi 2 ( 2 A − 1) + ( 2 A + 1) 2 ≥ (1 − 4 A) 2 ⇔ 8 A2 − 8 A − 1 ≤ 0 2− 6 2+ 6 ≤ A≤ 4 4 2+ 6 2− 6 ⇒ MaxA = , MinA = 4 4 ⇔ x 1  y 1  z 1  I.39 P = x  +  + y  +  + z  . y = −   = −  Như vậy ta được ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 (1) 1( *) x m x m x m x m x m x m x m x m x x x x m x m x − + + + − + +. ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 0 0 2 0 3 2 0 0 0 0 0 0 2 4 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 0 8 8 1 1 1 1 16 8 2 0 16 24 6 1 1 1 4 4 1 0 16 32 12 4 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = −   − + =   =. ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 g x x x x y f g x g x x x x + − + = = = = = − − − − − Vậy, ( ) ( ) . 1 x y f g x x = = − I .11 . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 4 3 1 1 1 1