Lời giải và hướng dẫn bài tập đại số sơ cấp - Chương 1 pot

PHẦN II: LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG I... Như vậy, số nghiệm của phương trình f x =0 là một số chẵn.. Tập xác định của hàm số đã cho là D= ℝ... Vậy, hàm số đã cho không phải là hàm số t

PHẦN II: LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHƯƠNG I HÀM SỐ

I.1 Giả sử y0∈T f,khi đó 0 22 1

4

x y

−

=+ + (1) có nghiệm đối với x

x y

+

=+ có nghiệm đối với x

I.3 Hàm số đã cho có tập xác định là D= ℝ\{m;1 } Tập xác định D là tập đối xứng khi

và chỉ khi m= −1 Với m= −1 thì hàm số trở thành 21

1

y x

=

− Hàm số này là một hàm số chẵn Vậy, khi m= −1 thì hàm số đã cho là hàm số chẵn

ta có nếu x0 là một nghiệm của phương trình f x( )=0 thì − cũng là một nghiệm của x0

phương trình f x( )=0 Như vậy, số nghiệm của phương trình f x( )=0 là một số chẵn I.6 a) Ta có: f x( 1+x2)+ f x( 1−x2)=2f x( ) ( )1 f x2 (1),∀x x1, 2∈ ℝ

Thay x1=x2 = vào 2 vế của (1) ta được 0

I.7 1) y = cos 2( x+3 ) Tập xác định của hàm số đã cho là D= ℝ

Hàm sốy= f x( ) cos 2= ( x+3) là hàm số tuần hoàn vì có T = 2π sao cho

− ta có (1) ⇔cos 2l=1, với 0< <l π, (Vô lý)

Vậy, chu kì của hàm số là T0 = π

2) y=sin 2 x Tập xác định của hàm số đã cho là D= ℝ

Chọn x=π ta có (1) ⇔ cos 2l= với 1, 0 l< <π (Vô lý)

Vậy, chu kì của hàm số là T0 = π

I.8 1) y= f x( )=x3+2 x2 Tập xác định của hàm số đã cho là D= ℝ. ta có

f x T+ = f x ∀ ∈x D Chọn x=0,ta có (0f +T)= f(0) 0= ⇒T > là nghiệm của 0phương trình ( ) 0f x = (vô lý) Vậy, hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn 2)y= f x( )= x−1 Tập xác định của hàm số đã cho là D=[1;+∞ )

f x = ⇔ x= Giả sử ( )f x là hàm số tuần hoàn, khi đó tồn tại số dương T sao cho

f x T+ = f x ∀ ∈x D Chọn x= ta có (11, f +T)= f(1) 0= ⇒T+ > là nghiệm của 1 1phương trình ( ) 0f x = (vô lý) Vậy, hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn

∀ ∈ ⇒ ± ∈x T D Do D=ℝ\{−1;1}nên1+ ∈T D⇒(1+T)− ∈T D⇒ ∈ (Vô lý) 1 D

Vậy, hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn

I.9 Tập xác định của hàm số Đirichlê là D= ℝ Với T >0,T∈ ℚ ta đều có

I.10 1) Ta có: ( ( ) ) ( ) ( )

11

.1

Do đó 100( ) 1( )

1.1

I.13 Hàm số y= f x( )= −2 1− xác định trên nửa khoảng x (−∞;1 ]

Trên tập xác định (−∞;1] phương trình y= −2 1−x có nghiệm duy nhất đối với ẩn x là

− −

=+ bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v=(0; 2).−

+ −

=+ theo vectơ v= − −( 1; 1) được đồ thị hàm số

2 2 4

.3

=+ bằng phép đối xứng qua trục hoành

x y x

=+ ta thực hiện hai bước + Bước 1: Đối xứng đồ thị hàm số y= f x( ) qua trục hoành ta được đồ thị ( )C1 của hàm số

( )

y= −f x

+ Bước 2: Tịnh tiến ( )C1 theo vectơ v=(0;1) ta được đồ thị hàm số

2 52

x y x

=+

I.15 Ta có 3 7 3 1

x y

=

− qua trục hoành ta được đồ thị hàm số 1

2

y x

= −

−+ Tịnh tiến đồ thị của hàm số 1

2

y x

y x

=

−dành cho bạn đọc Đồ thị (C) của hàm số

2 3 13

y x

=

− như sau

y

5

4 2

1

O

2) a)

2 2

+ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y= f x( );

+ Đối xứng của phần đồ thị hàm số y= f x( ) phía dưới trục hoành qua trục hoành

Đồ thị của hàm số y= f x( ) như sau

x

y

5

4 2

Do đó đồ thị hàm số 2 3 1

3

y x

+ Phần bên phải trục tung của đồ thị hàm số y= f x( );

+ Đối xứng của phần đồ thị hàm số y= f x( ) phía bên phải trục tung qua trục tung

O

+ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y= f x( );

+ Đối xứng của phần đồ thị hàm số y= f x( ) phía dưới trục hoành qua trục hoành

=

− là hàm số chẵn

Vậy, đường thẳng x=2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho

I.18 Đường thẳng x=x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi

( )

0 0

Giả sử I x y( 0, 0) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho

Dời hệ trục toạ độ Oxy về hệ trục toạ độ mới IXY với I x y( 0, 0) bởi phép đặt

Vậy, I x y( o; o)không phải là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho

I.20 Giả sử x m= là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho

2 2

2

2 2

Khi đó hàm số y= f x( )=4cos3x−18cosx+8 trở thành

32

;3

0;23

x x

[ 0;2 ]

3 3.4

( )

2 2

2

13

Khi đó x y; thỏa phương trình X2−(2−a X) +a2−4a+ =1 0( )∗

Phương trình ( )∗ có nghiệm khi và chỉ khi

45

4

x

x

x y

y y

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2

14

21

28

4

x x

x y

y y

I.29 Điều kiện x≥3,y≥4,z≥5

Biểu thức được viết lại T x 3 y 4 z 5

y z

− = + >



2 2

2 2

1

(2)2

1

(3)2

Khi đó sin cos2 cos2

1 2sin 2sin cos

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= y= =z 1

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 9