Giáo trình Đại số tuyến tính - TS. Nguyễn Duy Thuận

Lagrange, Euler đã ứng dụng nó vào việc nghiên cứu những hệ phương trình vi phân tuyến tính và chính các vị này đã nói đến hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và coi rằng mỗi nghiệm [r]

TS NGUYỄN DUY THUẬN (Chủ biên) ThS PHI MẠNH BAN – TS NÔNG QUỐC CHINH

ĐẠI SỐ

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 11

CÁC KÍ HIỆU 15

Chương I: ĐỊNH THỨC 18

MỞ ĐẦU 18

§1 PHÉP THẾ 20

1.1 Định nghĩa phép 20

1.2 Nghịch 21

1.3 Dấu phép 21

§2 KHÁI NIỆM MA TRẬN 24

§3 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 26

3.1 Định nghĩa 26

3.2 Tính chất định thức 27

§4 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC 33

4.1 Định thức - Phần bù đại số 33

4.2 Khai triển định thức theo dòng 34

4.3 Khai triển định thức theo r dòng 38

§5 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC 42

5.1 Tính định thức cấp 42

5.2 Áp dụng phép khai triển định thức theo dòng cột 43

5.3 Đưa định thức dạng tam giác 44

5.4 Áp dụng tính chất định thức 47

5.5 Phương pháp quy nạp phương pháp truy hồi 49

5.6 Tính định thức máy tính bỏ túi máy tính điện tử 51

§6 ỨNG DỤNG - HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER 55

6.1 Định nghĩa 55

6.2 Cách giải 55

6.3 Giải hệ Cramer máy tính bỏ túi máy tính điện tử 58

Chương II: KHÔNG GIAN VECTƠ 69

MỞ ĐẦU 69

§1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN 71

1.1 Định nghĩa 71

1.2 Một số tính chất đơn giản 72

1.3 Hiệu hai vectơ 73

§2 KHƠNG GIAN CON 74

2.1 Định nghĩa 74

2.2 Tính chất đặc trưng 74

2.3 Tổng không gian 76

2.4 Giao không gian 76

2.5 Không gian sinh hệ vectơ 77

§3 SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 80

3.1 Định nghĩa 80

3.2 Các tính chất 81

§4 CƠ SỞ CỦA KHƠNG GIAN VECTƠ 85

4.1 Định nghĩa 85

4.2 Sự tồn sở 86

§5 SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ 89

5.1 Định nghĩa 89

5.2 Số chiều không gian 89

§6 TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ 92

6.1 Định nghĩa 92

6.2 Ma trận chuyển 93

6.3 Liên hệ tọa độ vectơ hai sở khác 95

§7 HẠNG CỦA HỆ VECTƠ- HẠNG CỦA MA TRẬN 97

7.1 Hạng hệ vectơ 97

7.2 Hạng ma trận 98

7.3 Cách tìm hạng ma trận 103

7.5 Tìm sở, số chiều không gian sinh hệ vectơ máy tính điện tử 107

BÀI TẬP 113

VÀI NÉT LỊCH SỬ 121

Chương III: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 123

MỞ ĐẦU 123

§1 ĐỊNH NGHĨA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - SỰ XÁC ĐỊNH MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 124

1.1 Các định nghĩa 124

1.2 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 128

§2 ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 129

2.1 Định nghĩa tính chất 129

2.2 Liên hệ số chiều ảnh, hạt nhân không gian nguồn 133

2.3 Sự đẳng cấu hai không gian số chiều 135

§3 CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP CÁC ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - HOMK(V, W) 136

3.1 Phép cộng hai ánh xạ tuyến tính 136

3.2 Phép nhân ánh xạ tuyến tính với số 137

3.3 Khơng gian vectơ HomK(V, W) 138

3.4 Tích hai ánh xạ tuyến tính 139

TĨM TẮT 141

BÀI TẬP 143

VÀI NÉT LỊCH SỬ 147

Chương IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 148

Mở đầu 148

§1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - PHƯƠNG PHÁP GAUSS 149

1.1 Định nghĩa 149

1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss (khử dần ẩn số) 150

1.3 Thực phương pháp Gauss máy tính điện tử 156

§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 165

3.1 Định nghĩa 165

3.2 Không gian nghiệm hệ 166

3.3 Liên hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính nghiệm hệ liên kết 170

3.4 Giải hệ phương trình tuyến tính máy tính điện tử 171

TĨM TẮ T 174

BÀI TẬP 175

VÀI NÉT LỊCH SỬ 181

Chương V: MA TRẬN 183

MỞ ĐẦU 183

§1 MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 184

1.1 Định nghĩa 184

1.2 Liên hệ HomK(V, W) với Mat(m.n)(K) 186

§2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP MA TRẬN 188

2.1 Phép cộng 188

2.2 Phép nhân ma trận với số 189

2.3 Phép trừ 190

2.4 Không gian vectơ Mat(m,n)(K) 190

2.5 Tích hai ma trận 191

2.6 Thực phép toán ma trận máy tính bỏ túi mây tính điện tử 196

§3 ĐẠI SỐ MATN(K) CÁC MA TRẬN VNG CẤP N 200

3.1 Định thức tích hai ma trận 200

3.2 Ma trận nghịch đảo 202

3.3 Tìm ma trận nghịch đảo 204

3.4 Một vài ứng dụng ma trận nghịch đảo 210

3.5 Ma trận đẳng cấu 211

§4 SỰ THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH KHI THAY ĐỔI CƠ SỞ - MA TRẬN ĐỒNG DẠNG 212

§5 VECTƠ RIÊNG-GIÁ TRỊ RIÊNG 215

5.1 Vectơ riêng- Giá trị riêng 215

5.2 Da thức đặc trưng - Cách tìm vectơ riêng 217

5.3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng máy tính điện tử 222

§6 CHÉO HỐ MA TRẬN 224

6.1 Định nghĩa 224

6.2 Điều kiện để ma trận chéo hoá 224

6.3 Định lí 227

TĨM TẮT 228

BÀI TẬP 230

VÀI NÉT LỊCH SỬ 240

Chương VI: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH DẠNG TOÀN PHƯƠNG 241

MỞ ĐẦU 241

§1 DẠNG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 242

1.1 Định nghĩa, ví dụ 242

§2 DẠNG TỒN PHƯƠNG 249

2.1 Định nghĩa 249

2.2 Ma trận dạng toàn phương 250

2.3 Dạng toàn phương xác định 251

§3 ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 252

3.1 Định nghĩa 252

3.2 Định lý 252

3.3 Dưa dạng tồn phương dạng chinh tác máy tính điện tử 257

3.4 Định lý quán tính 259

§4 KHƠNG GIAN VECTƠ ƠCLIT 262

4.1 Định nghĩa không gian vectơ Ơclit 262

4.2 Cơ sở trực chuẩn 263

4.3 Không gian bù trực giao 268

4.4 Hình chiếu vectơ lên không gian 269

TĨM TẮT 280

§1 DẠNG TUYẾN TÍNH, DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 280

1.1 Định nghĩa 280

1.2 Ma trận dạng song tuyến tính 281

1.3 Liên hệ hai ma trận dạng song tuyến tính hai sở khác 281

§2 DẠNG TỒN PHƯƠNG 282

2.1 Dạng toàn phương 282

2.2 Ma trận dạng toàn phương 282

2.3 Dạng toàn phương xác định 282

§3 ĐƯA DẠNG TỒN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 283

3.1 Định nghĩa 283

3.2 Định lý 283

3.3 Dùng phần mềm Maple để đưa dạng toàn phương dạng tắc 283 3.4 Định lý quán tính 284

§4 KHƠNG GIAN VECTƠ ƠCLIT 285

4.1 Định nghĩa 285

4.2 Cơ sở trực chuẩn 285

4.3 Không gian bù trực giao 286

4.4 Hình chiếu vectơ lên không gian 286

4.5 Phép biến đổi trực giao - Ma trận trực giao 286

4.6 Phép biến đổi đối xứng 287

4.7 Ứng dụng 287

BÀI TẬP 288

§1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 288

§2 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 289

VÀI NÉT LỊCH SỬ 293

Chương VII: QUY HOẠCH TUYẾN ANH 294

MỞ DẦU 294

§1 BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 295

1.1 Một vài toán thực tế 295

1.3 Ý nghĩa hình học phương pháp đồ thị 302

§2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ CÁC THUẬT TỐN CỦA NĨ 306

2.1 Một số tính chất tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 306

2.2 Phương pháp đơn hình 313

2.3 Giải toán quy hoạch tuyến tính máy tính điện tử ( Theo lập trình tính tốn với Mathematica 4.0) 335

TĨM TẮT 339

BÀI TẬP 340

VÀI NÉT LỊCH SỬ 346

LỜI GIẢI -HƯỚNG DẪN -TRẢ LỜI 347

LỜI NÓI ĐẦU

Ở thời đại chúng ta, khoa học kĩ thuật phát triển vũ bão Chúng địi hỏi ngành giáo dục phải ln ln đổi kịp thời để đáp ứng nhu cầu tri thức khoa học thiếu niên, giúp họ có khả lao động sáng tạo sống sơi động Hiện chương trình sách giáo khoa bậc phổ thông nước ta bắt đầu thay đổi để phù hợp với đòi hỏi Trường Cao đẳng Sư phạm, nôi đào tạo giáo viên THCS, cần phải có đổi tương ứng chương trình sách giáo khoa Vì mục đích đó, sách giáo khoa đời, thay cho sách giáo khoa cũ

Cuốn sách Đại số tuyến tính biên soạn lần này, nằm khn khổ đổi Nó nhằm làm giáo trình tiêu chuẩn chung cho trường Cao đẳng Sư phạm nước theo chương trình (chương trình 2002), địi hỏi khơng phải đổi nội dung kiến thức (nếu cần) phương pháp giảng dạy giảng viên phương pháp học tập sinh viên Mặt khác, qua thời gian dài thực chương trình sách giáo khoa cũ, đến đánh giá ưu, khuyết điểm nó, phù hợp với trình độ đầu vào sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm Do sách biên soạn lần thừa hưởng ưu điểm khắc phục thiếu sót sách cũ

Đối tượng sử dụng sách sinh viên giảng viên trường Cao đẳng Sư phạm nước, giáo viên THCS cần bồi dưỡng để đạt trình độ chuẩn hố Cuốn sách dùng cho trường Đại học Cao đẳng khác cho tất muốn tự học môn học

nhận thức khả tiếp nhận sinh viên Mặt khác, giáo trình phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc học mơn khoa học khác nói trên; đồng thời đáp ứng mong muốn sinh viên có hồi bão nâng cao trình độ Vì thế, nội dung sách chứa đựng điều mà sinh viên cần nắm vững, có phần khơng địi hỏi sinh viên phải hiểu

Mơn quy hoạch tuyến tính có sử dụng nhiều kiến thức đại số tuyến tính Nhiều sách Đại số tuyến tính giới xếp chương đề mục "Bất phương trình tuyến tính" Trong chương trình Cao đẳng Sư phạm hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn, nội dung môn Quy hoạch tuyến tính có giảm bớt Nó xếp vào chương giáo trình Đại số tuyến tính

Cuốn sách gồm bảy chương:

Chương I Trình bày định nghĩa, tính chất định thức phương pháp tính định thức Đó phương tiện để nghiên cứu khơng gian vectơ lý thuyết hệ phương trình tuyến tính

Chương II chương III Nghiên cứu không gian vectơ ánh xạ không gian - ánh xạ tuyến tính Nó sở Đại số tuyến tính Nó giúp cho việc hồn thiện lý thuyết hệ phương trình tuyến tính

Chương IV Hệ phương trình tuyến tính Đó hướng mở rộng phương trình học trường phổ thơng Với chương này, lý thuyết hệ phương trình tuyến tính coi hồn thiện

Chương V. Nghiên cứu ma trận mối liên hệ ma trận với khơng gian vectơ Nhờ mà ánh xạ tuyến tính nghiên cứu sâu sắc

Chương VI Nghiên cứu dạng song tuyến tính dạng toàn phương, phần lý thuyết dạng Đại số tuyến tính lại có ảnh hưởng sâu sắc đến Hình học, Phương trình vi phân Phương trình đạo hàm riêng

mơn, chương trình yêu cầu sinh viên nắm điều Chẳng hạn, chương Định thức yêu cầu hiểu định nghĩa định thức, nắm vững tính chất để tính định thức thông thường, không cần hiểu kĩ chứng minh tính chất Song hệ đào tạo giáo viên dạy Tốn địi hỏi cao nội dung rèn luyện phát triển tư tốn học Tuy nhiên địi hỏi thực đến đâu tuỳ thuộc vào trình độ sinh viên địa phương Đó phần mềm dẻo mà trường vận dụng linh hoạt Phần Quy hoạch tuyến tính dùng cho hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn

Mỗi chương có phần mở đầu nêu lên yêu cầu cách học tập chương Cuối chương có phần tóm tắt đơi nét nội dung chương để bạn đọc có dịp ơn tập lại Phần tập có số lượng vượt q u cầu chung đơi chút tác giả sách mong muốn giúp cho bạn đọc ham thích mơn học có thêm hội rèn luyện kĩ Vì vậy, số đơng sinh viên giảng viên cần dẫn cho họ cụ thể Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải nhiều tập tất Các phần in chữ nhỏ khơng địi hỏi sinh viên phải đọc Chúng dành cho thích thú tìm hiểu

Để học giáo trình này, người học cần bổ sung kiến thức số phức mà chương trình Tốn THPT chưa đề cập tới; cần có khái niệm cấu trúc đại số nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt bắt nhịp với cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức toán học bậc THPT

Giáo trình học vào năm thứ sau phần cấu trúc đại số giáo trình Nhập mơn Tốn học Cao cấp

Muốn việc thực hành sinh viên cần coi trọng Nên cố gắng giảm bớt thời gian học lý thuyết lớp để giành thêm thời gian cho việc giải tập sinh viên, thu xếp tỉ lệ thời gian dạy lý thuyết thời gian làm tập 1/1 tốt

Đối với người học, học giáo trình ln ln có giây bút tay để tự mơ tả khái niệm dựa theo định nghĩa; tự chứng minh định lí sau tìm hiểu kĩ giả thiết kết luận; vận dụng khái niệm, định lí để tự trình bày ví dụ cho sách Cuối chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng để củng cố hệ thống lại kiến thức học chương Cũng cần nói thêm Đại số tuyến tính ngành khoa học cổ đại Những điều trình bày điều nhất, mở đầu Đại số tuyến tính trường số (mà chủ yếu trường số thực) Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới

Trong sách chữ K kí hiệu chung cho ba trường số, trường số hữu tỉ Q, trường số thực R trường số phức C, muốn nói điều chung cho ba trường số

Cuối cùng, tác giả hi vọng sách đáp ứng địi hỏi chương trình, mong muốn bạn đọc Tuy nhiên, sách chưa tránh khỏi hết khiếm khuyết Vì thế, tác giả mong nhận nhiều ý kiến bạn đọc để sửa chữa sai sót làm cho sách ngày hồn thiện ngày hữu ích

Xin chân thành cảm ơn!

CÁC KÍ HIỆU

Xn Tập hợp {1, 2, , n} gồm n số tự nhiên từ

đến n σ =       σ(n) n σ(2) σ(1)

Phép σ biến phần tử thành σ(i)

Sn Tập hợp phép tập Xn

sgn(σ) Dấu phép σ

∑ = n

1

i i

a Tổng a1 + a2 + + an

∑ ∈J j

j

a Tổng số aj, với j thuộc tập số J

∏ = n i i

a Tích a1a2 an

∏

∈ J j

j

a Tích thừa số aj, với j thuộc tập số J

A = (aij)(m,n) Ma trận A có m dịng, n cột,với thành

phần aij dòng thứ i, cột thứ j

A = (aij)n Ma trận vuông cấp n

Matn(K) Tập hợp ma trận vuông cấp n với

thành phần thuộc trường K

tA Ma trận chuyển vị ma trận A

A-1 Ma trận nghịch đảo ma trận A

|A| Định thức ma trận A

I Ma trận đơn vị

ij ~

M Định thức bù thành phần aij ma

Aij Phần bù đại số thành phần aij r l r l i i j j

M Định thức xác định dòng i1, , ir

và cột i1, , jr

r r i i j j ~

M Định thức bù định thức l r

r l i i j j M r r i i j j

A Phần bù đại số định thức l r

r l i i j j M

hạng(A) Hạng ma trận A

A + B Tổng hai ma trận A B

AB Tích hai ma trận A B

α Vectơ, phần tử không gian vectơ

- α Vectơ đối α.

0 Vectơ không

A A A

A = {α1, α2, , αm} Hệ vectơ gồm vectơ α1, α2, αm hạng(AAAA) Hạng hệ vectơ A.A.A.A.

(ε) ={ε1 ε2, , εn} Cơ sở (ε) không gian vectơ

dimKV Số chiều K- không gian vectơ V

f: V → W Ánh xạ tuyến tính từ khơng gian V đến khơng

gian W

f(X) Ảnh tập X qua ánh xạ tuyến tính f

Imf Ảnh khơng gian V hay ảnh ánh xạ

tuyến tính f

f-1(Y) Ảnh ngược tập Y

Kerf hay f-1(0) Hạt nhân ánh xạ tuyến tính f

HomK(V, W) Tập hợp ánh xạ tuyến tính từ V đến W

f + g Tổng hai ánh xạ tuyến tính f g

β

α ⊥ α trực giao với β

H ⊥ G Không gian H trực giao với không gian G

α Chuẩn α.

hchw α Hình chiếu α lên khơng gian W

|z| Môđun số phức z

z Số phức liên hợp số phức z

“⇒” Chứng minh điều kiện cần

“⇐” Chứng minh điều kiện đủ

x* Phương án tối ưu

X* Tập phương án tối ưu

Ai Vectơ dòng thứ i ma trận A

Chương I

ĐỊNH THỨC

MỞ ĐẦU

Ở lớp 9, ta giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số phương pháp Những phương pháp giúp ta dễ dàng giải hệ phương trình với hệ số số Nhưng lên lớp 10, phải biện luận hệ phương trình:

ta thấy hai phương pháp tổng quát Song dùng khái niệm định thức cấp hai thì việc trình bày trở nên sáng sủa, gọn gàng

Ta thấy khái niệm định thức cấp n, (với n số nguyên dương tuỳ ý) xây dựng, có vai trị to lớn Nó cịn áp dụng vào hầu hết chương giáo trình này; đặc biệt, góp phần đưa vấn đề giải hệ phương trình bậc trở thành lý thuyết Nó cịn áp dụng nhiều môn khoa học khác Hình học, Giải tích, Vật lí, Hố học, v.v

Chính mà ta cần nắm vững tính chất định thức phương pháp tính định thức, làm nhiều tập rèn luyện kĩ tính định thức để vận dụng tốt học tập nghiên cứu môn Đại số tuyến tính mơn khoa học khác

Để định nghĩa định thức cấp n ta cần khái niệm phép ma trận

Yêu cầu chương là:

Hơn nữa, chương ta cần dùng vài kí hiệu sau: Tổng n số: a1 + a2 + a3 + + an-1 + an, (n ≥ ), viết gọn ∑

= n i i a , đọc "xích ma ai, i chạy từ đến n" Tổng quát hơn, số chạy

khắp tập I ta viết ∑

∈I i

i

a , đọc "xích ma ai, thuộc I"

Ví dụ : a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = ∑

=

1 i

i

a , đọc “xích ma ai, i

chạy từ đến 7”

• Tích n số: a1a2a3 an (n ≥ 1), viết gọn ∏

= n

1 i

i

a , đọc “pi ai, i chạy từ đến n” Nếu sốt chạy khắp tập I ta

viết ∏

∈ I i

i

a đọc “pi, ai, i thuộc I”

Ví dụ: a1a2a3a4a5 = ∏

= n

1 i

i

a , đọc “pi ai, i chạy từ đến 5”

• Cuối sách ta dùng từ “trường K” muốn nói đến điều chung cho trường số hữu tỉ Q, trường số thực R trường số phức C

§1 PHÉP THẾ

Ở ta dùng khái niệm phép phương tiện để nghiên cứu định thức chưa nghiên cứu sâu Để học chương bạn đọc cần hiểu nhớ định nghĩa dạng phép tính chất dấu nó, không cần nhớ chứng minh

1.1 Định nghĩa phép

a) Giả sử tập hợp Xn = {1, 2, 3, , n}, ( n ≥ ) Một song ánh σ : Xn

→ Xn gọi phép tập Xn

Nói riêng, song ảnh đồng gọi phép đồng

b) Một phép τ tập Xn gọi chuyển trí hai phần tử

i, j thuộc Xn τ(i) = j, τ(j) = i τ(k) = k, với k ∈ Xn, k ≠ i, k ≠ i

Nó cịn kí hiệu (i, j)

Nói cách đơn giản, chuyển trí hốn vị hai phần tử Xn, giữ nguyên phần tử khác

Tập hợp tất phép tập Xn kí hiệu Sn

Phép σ : Xn → Xn biểu diễn sau:

trong σ(i) ảnh phần tử i ∈ Xn viết dòng dưới,

một cột với i

Ví dụ σ =       4 3

phép tập X4 = {1, 2, 3, 4} xác

định bởi:

σ(1) = 3, σ(2) = 2, ε(3) = 4, σ(4) =

τ =       4

(chẳng hạn, hoán vị (3, 4, 1, 2) xác định phép µ =       4 tập X4) Vì số phép tập Xn số hoán vị tập

ấy; nghĩa n! Như vậy, tập Sn có n! phần tử

Ví dụ S3 có 3! = 1.2.3 = phần tử Đó phép sau:

1.2 Nghịch

Định nghĩa Giả sử mà phép tập Xn Với i,j ∈ Xn, i ≠ j,

ta nói cặp (σ(i), σ(j)) nghịch σ i <j σ(i) > σ(j) Ví dụ Trên X3, phép σ2 = 

     3 2

Có nghịch là: (2, 1), (3, 1), phép τ2 = 

     3

có nghịch là: (3, 2), (3, 1), (2, 1)

1.3 Dấu phép

Định nghĩa Ta gọi phép σ phép chẵn nên có số chẵn nghịch σ gọi phép lẻ có số lẻ nghịch thế

Ta gán cho phép chẵn giá trị +1, phép lẻ một giá trị -1

Giá trị phép σ gọi dấu σ kí hiệu sgn(σ)

Như vậy, theo định nghĩa, sgn(σ) =

phép lẻ có nghịch thế, σ =       3 2

phép chẵn có nghịch Do sgn(τ) = -1, sgn(σ) =

Bạn đọc tự xác định dấu phép σ1 τj ví dụ 2,

mục 1.1

Hệ

Chứng minh Chỉ cần chứng minh

{ } = − − ∏ j

i, σ(i) σ(j)

j i

1, số nghịch số chẵn - 1, số nghịch số lẻ

trong {i, j} chạy khắp tập tập gồm hai phần tử Xn Rõ

ràng số nhân tử tử số mẫu Ta chứng minh: tử số có nhân tử i - j mẫu có i - j j - i Vì σ song ánh nên ứng với nhân tử i - j tồn h, k ∈ Xn cho σ(h) = i, σ(k) - j Nếu tử số

có h - k mẫu số có σ(h) - σ(k) hay i - j, tử số có k - h mẫu số có j = i Vậy

{ }    − = − −

∏σ(i)i σ(j)j 11

j i,

Nhưng

(j) σ(i) j i − −

số âm (σ(i), σ(i)) nghịch số dương trái lại Từ suy điều phải chứng minh

Hệ Với hai phép thêm σ µ Xn ta có:

sgn(σµ) = sgn(σ)sgn(µ)

Hệ Mọi chuyển trí phép lẻ

Ví dụ Xét chuyển trí τ =    

 

6

6

4

2

Các nghịch đứng dòng thứ hai, tức dòng chứa τ(i) Số bé số lớn số dịng nên chúng khơng tham gia vào nghịch Do có:

- Các nghịch dạng (5, r): (5, 3), (5, 4), (5, 2) - Các nghịch dạng (s, 2): (3, 2), (4, 2), (5, 2)

Vì nghịch (5, 2) kể lần nên có nghịch Vậy τ phép lẻ

§2 KHÁI NIỆM MA TRẬN

Mỗi định thức cấp hai xác định biết số tạo nên mà cách xếp chúng bảng số, ta gọi ma trận Dưới định nghĩa ma trận

Định nghĩa 1 Một bảng gồm m.n số viết thành m dòng n cột như sau:

được gọi ma trận kiểu (m, n)

Mỗi số aij gọi thành phần ma trận Nó nằm dịng

thứ i cột thứ j

Ta thường kí hiệu ma trận chữ in hoa: A, B, Có thể viết ma trận (1) cách đơn giản

A = (aij)(m,n)

Khi biết rõ m n cịn viết A = (aij)

Nếu ma trận có dịng (một cột) ta gọi ma trận dòng (ma trận cột)

Nếu m = n ma trận gọi ma trận vng cấp n viết A = (aij)n

Ví dụ A =    

 

−

0

Định nghĩa 2. Ta gọi ma trận

là ma trận chuyển vị ma trận (1) kí hiệu tA

Như ma trận tA thu từ A cách đổi dòng thứ i A thành cột thứ i tA A ma trận kiểu (m, n) ma trận chuyển

§3 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC

Ta thấy định thức cấp hai

22 21

12 12

a a

a a

= a11a22 – a12a21 tổng Hãy

xem đấu hạng tử chọn Đối với hạng tử, viết số thứ dòng trên, số thứ hai dòng phép thế:

sgn(α) = α có nghịch thế; sgn(τ) = - τ chuyển trí Trên tập X2 = {1, 2} có hai phép thêm α τ Như vậy, viết:

Tổng quát, người ta định nghĩa định thức cấp n, (n > 0), sau:

3.1 Định nghĩa

Với ma trận vuông

ta gọi tổng

hay |A| hay det(A)

Trong cách kí hiệu ta nói aij thành phần,

thành phần ai1, ai2, ain tạo thành dòng thứ i, thành phần a1j, a2j, ,

anj tạo thành cột thứ j định thức

Khi ma trận A có cấp n ta nói |A| định thức cấp n

Ta thấy, hạng tử định thức cấp n tích n thành phần với dấu xác định; tích khơng có hai thành phần dịng cột

Ví dụ Nếu A = (a11) ma trận vng cấp định thức

cấp

|A| = a11

Ví dụ Dùng định nghĩa để viết tường minh định thức cấp

bạn đọc thấy rằng:

Để tìm kết bạn phải tìm tất phép X3

xác định dấu chúng Cơng việc vất vả Muốn có phương pháp tính tốn thuận tiện hơn, nghiên cứu tính chất định thức

3.2 Tính chất định thức

Tính chất Nếu định thức

mà thành phần dòng thứ i có dạng aij= a'ij+ aij''

Chứng minh Kí hiệu hai định thức vế phải D’ D" Theo định nghĩa định thức ta có:

Tính chất Nếu thành phần dòng thứ i định thức có thừa

Chứng minh Kí hiệu định thức vế trái D', vế phải D, ta có: D’ = ∑

∈Sn

σ

)

sgn(σ a1σ(1) (caiσ(i) anσ(n) = ∑

∈Sn

σ

)

sgn(σ a1σ(1) anσ(n) = cD 

Ví dụ

3

7

7

− =

−

Tính chất Trong định thức đổi chỗ hai dòng cho định

thức đổi dấu, tức là:

Ví dụ Với n = ta có:

Chứng minh Kí hiệu định thức vế trái D', định thức vế phải D coi Dĩ định thức ma trận (b’), đó:

Đặt τ = (h, k), ta có: τ(h) = k, τ(k) = h, τ(i) = i, với i ≠ h, i ≠ k Do :

Khi σ chạy khắp Sn µ = στ Từ suy

Tính chất Nếu đinh thức có hai dịng giống đinh thức

bằng 0.

Tính chất Nếu đinh thức có hai dòng mà thành phần (cùng

cột) tương ứng tỉ lệ định thức 0. Chứng minh Xin dành cho bạn đọc 

Tính chất Nếu nhân thành phần dịng thứ i với

sức cộng vào thành phần cột dịng thứ k định thức đinh thức cho.

Chứng minh Cho

Giả sử nhân thành phần dòng thứ i với c cộng vào thành phần cột dòng thứ k Thế ta

Ví dụ Cho định thức 29

13

Nhân dòng thứ với -3 cộng vào dịng thứ hai ta được:

Tính chất Với tA ma trận chuyển vị ma trận A thì

|tA| = |A|

tức là, hai ma trận chuyển vị có định thức nhau.

Chứng minh Đặt tA = (bij) Thế bij = aij với i, j ∈ {1, 2, ,

n} Theo định nghĩa định thức, ta có:

Mỗi µ có ánh xạ ngược σ Với i, đặt r = σ(i), ta có µσ(i) = µσ(i) = i Do

vì µσ phép đồng nên = sgn(σ) = sgn(µ)sgn(σ) Suy ra: sgn(µ) = sgn(σ) (2) Hơn µ chạy khắp Sn σ Nhờ (1) (2) viết:

§4 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC

Sau biết tính chất định thức, ta bắt đầu tìm cách tính định thức cấp Ta cần đến vài khái niệm sau

4.1 Định thức - Phần bù đại số

Định nghĩa Cho định thức D cấp n

1) Nếu chọn r dòng i1, , ir r cột j1, , jr, (r < n), thành

phần nằm giao r dòng r cột lập thành định thức kí hiệu bởi r

r j j i i M

1 và gọi định thức cấp r D

2) Nếu xố r dịng r cột thành phần lại lập thành một định thức kí hiệu rr

j j

i i

M11

~

gọi định thức bù định thức

r r j j i i M 1 3)

được gọi phần bù đại số r r j j i i M 1 .

Chú ý Mỗi thành phần aij định thức D định thức

cấp D Để đơn giản cách viết, định thức bù phần bù đại số an kí hiệu Mijvà Aij

Ví dụ Cho định thức

Nếu chọn dịng thứ ba cột thứ hai a32 = 4, định thức

Nếu chọn hai dòng: thứ thứ ba, hai cột: thứ hai thứ ba thì: M23

13 = định thức cấp hai D;

7 M 23 13 ~ −

= định thức bù M1323;

23 13

A = (-1)1+3+2+3

7

9

− phần bù đại số

23 13 M

4.2 Khai triển định thức theo dòng

Đinh lí. Cho định thức D cấp n có thành phần aij Với

i∈{1, 2, , n}, ta có:

Ta nói cách khai triển định thức theo dịng thứ i

Chứng minh 1) Trường hợp i = n anj = với j c ∈ {1,

Do tổng hạng tử ứng với phép σ ∈ Sn

mà σ(n) = n; nghĩa là:

Thu hẹp σ phép tập Xn-1 = {1, 2, , n - 1};

ngược lại, phép µ ∈ Sn-1 lại sinh phép σ tập Xn =

{1, 2, , n - 1, n} xác định bởi:

σ(n) = n, σ(i) = µ(i) với i ∈ {1, 2, , n - 1} Vì viết D = ann ∑

− ∈ − − n S µ 1) 1µµ( n iµµ(i 2µµ(2

1µµ(1a a a

sgn(µgn

Vì ∑

− ∈ − − n S µ 1) 1µµ( n iµµ(i 2µµ(2

1µµ(1a a a

sgn(µgn = nn

~

M , nn ~

M định thức bù thành phần ann, Ann = (-1)n+n nn

~

M = (-1)2n

nn ~

M = nn ~

M nên D

= annAnn

2) Trường hợp i ≠ n, dòng thứ i có aij = 0, cịn

ais = với s ≠ i; tức là:

Tiếp tục đổi chỗ liên tiếp n - i lần hai cột liền để chuyển cột thứ i đến vị trí cột thứ n, ta được:

Mặt khác, đặt ij ~

M định thức bù aij, theo chứng minh

trong trường hợp 2), ta có:

3) Trường hợp tổng quát.

Với i cố định, ta coi aij = + + + aij + + + 0, có n -

Chú ý Nhờ tính chất định thức, định lí ta thay từ "dòng" từ "cột"; tức là:

Hệ Cho định thức D với thành phần aij ta có:

Chứng minh Đặt aij= a’ki ai1Ak1 + + aijAkj + + ainAkn =

a’k1Ak1 + + a’kjAkj + .+ a’knAkn khai triển định thức D’ thu

được từ D cách thay dòng thứ k dòng thứ i, giữ nguyên dòng khác; nghĩa D’ có dịng thứ k giống dịng thứ i Vậy định thức D’ = 

Định lí cho phép đưa việc tính định thức cấp n việc tính định thức cấp thấp tính định thức cấp tuỳ ý

Ví dụ Tính định thức:

Giải

Vậy D = 2.(- 29) + 5.23 + (- 5) = - 58 + 115 - = 52

2) Nhận thấy dòng thứ ba định thức có hai thành phần khác a32 = a33 = - 3, nên ta khai triển định thức theo dòng giảm

nhẹ việc tính tốn Cụ thể:

C = 4A32 + (- 3)A33

Để tính định thức cấp cuối này, ta lại khai triển theo cột thứ hai Vì số nằm dịng cột nên phần bù đại số là:

Vậy C - 4.(- 52) + (-3).23 = - 277

4.3 Khai triển định thức theo r dịng

Định lí Laplace Nếu định thức D chọn r dòng cố định i1, i2,

ir M1, M2, , Ms tất định thức cấp r D chọn r

dòng A1, A2, , As phần bù đại số tương ứng

Giải

Chọn dòng thứ dòng thứ ba Hai dòng cho ta định thức cấp hai Để cho đơn giản ta viết chúng là:

Gọi A1, A2, , A6 phần bù đại số M1, M2, , M6,

theo định lí ta có:

Chỉ có M4 ≠ nên cần tính A4 Vì M4 tạo thành từ dịng

1, 3, cột 2, nên A4 = (-1)1+3+2+34

2

− = 38 Vậy D = M4A4 = (-11)(38) = - 418

Chứng minh định lí Để chứng minh ta cần kí hiệu cụ thể Theo kí hiệu định nghĩa 4.1, ta phải chứng minh:

Hiển nhiên điều khẳng định với n = Giả sử n > điều khẳng định với n - 1, ta chứng minh với n

Để cho đơn giản kí hiệu TrongMi1 ir, a

1j, đứng dòng cột t Khai triển Mi1 ir theo dịng đầu,

ta có:

trong đó, 1r r

j j 1j ~

N định thức bù a1j1trong định thức Mi1 ir Như

vậy:

Mặt khác, khai triển định thức D theo dịng đầu ta có:

trong đó, 1jr

~

M định thức bù thành phần a1j1 D Do

cần chứng minh rằng:

Vì 1jr

~

M định thức cấp n - nên theo giả thiết quy nạp, điều khẳng định định lí Chọn r - dịng đầu, (chúng nằm dòng thứ 2, 3, , r chọn D), ta có:

trong đó, 11 r1

h h 1j ~

P − họ định thức bù 11 r1

h h 1j ~

P − định thức 1jr

~

M

h

D sau xoá cột thứ it (Bạn đọc tự vẽ để giúp dễ hiểu)

Nhưng 1jr

~

M thu từ D cách xố dịng cột jt Do

thành phần lại cột thứ jt+1, it+1 + 1, , n D trở thành

thành phần cột thứ it+1 - 1, jt+1, n - 1jr

~

M Vì thế, với

Do tích (1) (2) có dấu Vậy điều khẳng định chứng minh

Trường hợp tổng quát.

Chuyển cho dòng i1 lên dòng thứ nhất, dòng i2 lên dòng thứ hai, tiếp

tục chuyển dòng ir lên dòng thứ r; tức đổi chỗ

hai dòng liền kề (i1 - + i2 - + + ir – r) lần, ta định thức D’

Chú ý sau thay đổi dòng định thức cấp r lấy r dòng đầu định thức 11 rr

j j

i i

§5 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC

Bây nhờ tính chất định thức ta tìm phương pháp tính định thức cấp tuỳ ý Tuy nhiên, định thức cấp hai cấp ba ngồi phương pháp chung cịn có phương pháp tính riêng Ta biết quy tắc tính định thức cấp hai Bây ta xét quy tắc tính định thức cấp ba

5.1 Tính định thức cấp

Trong ví dụ mục 4.2, ta tính định thức cấp ba cách khai triển theo dòng Tuy nhiên, từ định nghĩa định thức cịn có phương pháp tính riêng Ta biết:

Nhận xét tổng ta thấy tính định thức cấp ba theo sơ đồ sau:

Mỗi hạng tử định thức tích ba thành phần nối với đoạn thẳng Tích có dấu "+" thành phần nối nét liền, có dấu "-" thành phần nối nét đứt

5.2 Áp dụng phép khai triển định thức theo dòng cột

Áp dụng định lí 4.2, ta tính định thức tuỳ ý Song để phép tính đơn giản ta nên khai triển theo dịng (hoặc cột) có nhiều thành phần số đơn giản

Giải

Nhận thấy cột thứ hai có nhiều thành phần Khai triển định thức theo cột ta khơng cần tính phần bù đại số thành phần Như vậy,

D = (-1)1+2(-2)

9

10

3 −

= 2[6.10(-4) + 3.12 – 6.19 – 7.10.2] = 2(-240 + - 54 - 140) = - 856

Giải

Giữ nguyên cột thứ hai, cộng cột thứ hai vào cột thứ nhất, nhân cột thứ hai với cộng vào cột thứ ta được:

5.3 Đưa định thức dạng tam giác

Định thức dạng tam giác đinh thức có dạng:

Định thức dạng tam giác định thức có dạng:

Ví dụ Đưa định thức dạng tam giác tính định thức:

Giải

Trong cột thứ ta giữ nguyên số 3, triệt tiêu số Song muốn ta phải nhân dòng thứ với -

3

2 Phép tính phức

tạp Để tránh điều ta đổi chỗ cột thứ cột thứ hai cho nhau, ta được:

Bây giờ, cột thứ giữ nguyên số triệt tiêu thành phần khác thuận lợi Nhân dòng thứ với -1 cộng vào dòng thứ ba thứ tư ta được:

Đổi chỗ dòng thứ hai dòng thứ ba cho nhau:

Có thể tiếp tục nhân dịng thứ ba với 15 cộng vào dịng thứ tư, song áp dụng tính chất tính chất 3, đưa thừa số 15 định thức :

Hiển nhiên ta biến đổi cột biến đổi cột lẫn dòng để đưa định thức dạng tam giác

Ví dụ Đưa định thức dạng tam giác tính:

Giải

Nhân cột thứ tư với - cộng vào cột thứ nhất, ta được:

(đưa thừa số chung cột thứ hai định thức)

Tiếp tục nhân cột thứ hai định thức cuối với -16 cộng vào cột thứ nhất, ta được:

5.4 Áp dụng tính chất định thức

Để đưa định thức dạng tam giác ta sử dụng chủ yếu tính chất 6, đơi có sử dụng tính chất khác Nói chung, để tính định thức ta áp dụng tính chất

Ví dụ Tính định thức:

Giải

Cộng dòng thứ với dòng thứ hai, ta được:

Bây định thức có hai dịng thứ hai thứ tư tỉ lệ Theo tính chất 5, D =

Ví dụ Tính định thức:

Nhận thấy tổng thành phần dịng Do cộng vào cột tất cột khác, chẳng hạn, cộng vào cột thứ thành phần cột Theo tính chất 6, ta định thức định thức cho

Tiếp tục khai triển định thức theo cột thứ

Ví dụ Tính định thức:

Giải

Nhận thấy dịng thứ 4, có thừa số chung 2, Do đó:

D’ Như vậy, D’ = D’’ = - D’ Suy D’ = Vậy D = Ví du Tính đinh thức

Giải

Nhận thấy thành phần dòng thứ hai thành phần tương ứng dòng thứ cộng với 19 Do đó, áp dụng tính chất ta có:

Định thức thứ vế phải có hai dịng giống Đưa thừa số chung 19 định thức thứ hai định thức, ta có:

Vậy:

5.5 Phương pháp quy nạp phương pháp truy hồi

Ta biết phương pháp quy nạp, nội dung phương pháp truy hồi biểu diễn định thức cần tính qua định thức có cấp thấp có dạng xác định theo cơng thức xác định Tính định thức cấp thấp ta tính định thức cấp cao

Giải Khai triển định thức theo cột cuối ta có:

Hãy xét vài trường hợp để dự đốn kết

Từ ta dự đốn Dn = (-1)n(n +1)∏

= n

1 i

i

a ; Ta thử chứng minh công thức Hiển nhiên công thức với n = 1, n - Bây giả sử n > công thức với n - 1; tức :

Dn-1 = (-1)n-1n ∏

= n

1 i

i

Vậy Dn = (-1)n (n + 1) ∏ = n i i a Giải

Khai triển định thức theo dòng thứ nhất:

Ta thấy hai định thức cuối có dạng với định thức cho Đặt chúng D4, D3, ta có:

D5 = 4D4 - 10D3

Tương tự, D4 - 4D3 - 10D2, D2=

4

5

= Tính D3 tính D4; tiếp tục tính D5

Ta có D3 =

4 5

= 4D2 –

4

5

= 4D2 – 40 = 24 – 40 = - 16

Vậy D5 = 4D4 – 10D3 = 4(4D3 – 10D2) – 10D3 = 6D3 – 40D2 = 6(-16)

– 40.6 = - 336

5.6 Tính định thức máy tính bỏ túi máy tính điện tử

chương trình để máy tính giải nhanh chóng nhiều phép tốn Vì có nhiều chương trình, máy tính cài đặt chương trình khác nên sách nêu lên cách sử dụng vài số chương trình để làm ví dụ Về nguyên tắc, máy tính cài đặt chương trình chương trình có hướng dẫn cụ thể việc sử dụng Với chương trình cói sách hướng dẫn sử dụng kèm theo Ở xin lấy máy tính bỏ túi "CASIO fx-570MS" chương trình cài đặt vào máy tính điện tử “Mathematica 4.0” làm ví dụ

a) Tính định thức máy tính bỏ túi CASIO fx-570MS

Chú ý máy tính CASIO fx-570MS tính định thức cấp n ≤

Giải Bước Tạo ma trận ứng với định thức Thực theo tao tác sau:

- Đưa tệp ma trận cách bấm nút theo thứ tự: MODE MODE MODE

Trên cửa sổ máy tính hiển thị chữ MAT; nghĩa máy mở tệp ma trận

- Tạo ma trận:

• Bấm nút SHIFT MAT

Trên cửa số xuất hai dòng: DIM EDIT MAT • Bấm để xác định số dịng số cột ma trận Cửa sổ xuất hai dòng: A B C

• Bấm nút để kí hiệu ma trận A

• Bấm = = để xác định A ma trận vng cấp • Nhập thành phần ma trận:

Nút AC để khẳng định lập xong ma trận A Bước Tính định thức ma trận A:

• SHIFT MAT

Trên cửa sổ xuất hai dòng: Det Trn • Bấm để chuyển sang việc tính định thức • Bấm SHIFII MAT

Trên cửa sổ xuất hai dòng: A B C Ans Nhắc lại kí hiệu ma trận A

• Bấm =

Trên cửa sổ xuất số 73 Đó định thức ma trận A

b) Tính định thức máy tính điện tử (theo chương trình MATHEMATICA 4.0)

Với chương trình "Mathematica 4.0", máy tính điện tử tính định thức cấp

Ví dụ Tính định thức

Trên hình ta việc đánh lệnh:

Det[{{2,5, -4,1},{21,24,15,20},{1,7,0,1},{5, -1, 2,0}}]

rồi ấn phím Enter tận bên phải Sau giây hình xuất hiện: Output: 2679

Nếu muốn tính định thức ma trận A tạo lập trước, chẳng hạn:

A = {{2, 5, - 4, 1}, {21, 24, 15, 0}, {1, 7, 0, 1}, {5, - 1, 2, 0}} việc đánh lệnh:

Det[A] ↵

Quan điểm việc sử dụng máy tính

§6 ỨNG DỤNG - HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER

Ứng dụng quan trọng định thức giải hệ phương trình bậc n phương trình, n ẩn

6.1 Định nghĩa

1) Hệ phương trình tuyến tính n ẩn hệ có dạng:

Trong đó: x1, x2, , xn ẩn, aij, bi thuộc trường số K, với i ∈ {1,

2, , m}, j ∈ {1, 2, , n}, aij gọi hệ số ẩn xj, bi gọi

hạng tử tự

2) Một nghiệm hệ (1) n số (c1, c2, , cj, cn) thuộc

trường K cho thay xj = cj đẳng thức (1)

những đẳng thức

3) Nếu hệ (1) có m = n định thức

thì gọi hệ Cramer Định thức D gọi định thức hệ phương trình.

6.2 Cách giải

Với j, định thức D ta thay cột thứ i cột gồm hạng tử tự b1, b2, , bn) ta định thức:

(cột thứ j) Vì bi = ai1x1 + + aijxj + + ainxn nên

Định thức hạng tử thứ j D, cịn định thức khác vế phải (vì có hai cột giống nhau) Do Dj = xjD Suy

xj =

D Dj

, với j ∈ {1, 2, , n} Vậy hệ phương trình Cramer có nghiệm

Nhà tốn học Thụy sĩ tên Cramer (1704-1752) dùng định thức để trình bày lời giải hệ phương trình tuyến tính mà sau người ta lấy tên ơng đặt cho hệ phương trình dạng Tuy nhiên ơng khơng phải người chứng minh công thức Cramer mà người chứng minh công thức lại Vandermonde, nhà tốn học Pháp

Ví dụ Giải hệ phương trình:

Vậy hệ có nghiệm nhất: (1, -2, 0, 1)

6.3 Giải hệ Cramer máy tính bỏ túi máy tính điện tử

a) Giải máy tính bỏ túi

Máy tính bỏ túi CASIO-570MS giải hệ Cramer với n ≤

Ví dụ Giải hệ phương trình

Giải

Để đưa chương trình "giải phương trình" ta bấm MODE MODE MODE

Bấm (để khẳng định số ẩn 3)

Cửa sổ xuất a1? (có nghĩa bảo ta nhập hệ số a1)

Bấm = (để nhập hệ số a1 = 3)

Tiếp tục nhập hệ số cách bấm liên tiếp:

Lập tức cửa số xuất x - Bấm ∅ tìm y = - Bấm ∅ tìm z = Vậy hệ có nghiệm (1, - 2, 0) b) Giải máy tính diện tử

Máy tính điện tử giải hệ Cramer n ẩn với n số nguyên dương tuỳ ý

Ví dụ Giải hệ phương trình ví dụ mục 6.2:

Giải

• Tạo ma trận hệ phương trình cách đánh: A ={{3, 0, -2, 0},{1, 3, 0, 5},{0, 1, 4, 1},{0, -2, -1, -4}} (Chú ý phải dùng phím enter tận bên phải) • Giải hệ phương trình cách đánh lệnh: LinearSolve[A,{3, 0, -1, 0}] ↵

Màn hình xuất :

TÓM TẮT

Ta dùng phép để mô tả khái niệm định thức Một phép tập Xn = {1, 2, , ni} song ánh

σ: Xn → Xn, viết sau:

Một cặp (σ(i), σ(j)) gọi nghịch σ i < j σ(i) > σ(j)

Phép σ gọi phép chẵn (1ẻ) có số chẵn (1ẻ) nghịch

Dấu phép σ kí hiệu sgn(σ) xác định bởi: 1, σ phép chẵn

sgn(σ) =

- 1, σ phép lẻ

Định thức ma trận vuông A =

                nn nj n2 n1 in ij i2 i1 1n 1j 12 11 a a a a a a a a a a a a tổng ∑ ∈So

σ

sgn(σ)a1σ(1) a2σ(2) aiσ(i) anσ(n) kí hiệu

hay |A| hay det(A)

Định thức có tính chất (xem §3) Dùng tính chất ta chứng minh định lí khai triển định thức theo dòng:

D = ai1ai1 + ai2Ai2 + + ainAin với i ∈ {1, 2, , n},

trong Aij phần bù đại số thành phần aij (xem định nghĩa 4.1)

Ta có:

|tA| = |A|

suy tính chất định thức phát biểu dòng cột

Áp dụng tính chất định thức ta tính định thứ cấp tuỳ ý Có nhiều phương pháp tính định thức, hai phương pháp thường dùng phương pháp khai triển định thức theo dòng cột phương pháp đưa dạng tam giác Tuy nhiệt cần biết phương pháp khác để việc tính tốn linh hoạt Hệ phương trình Cramer ứng dụng định thức Đó hệ phương trình có dạng:

Trong x1, x2, xn ẩn, aij, bi ∈ K, với i ∈ {1, 2, , n}, j ∈ {1,

2, , m}; aij gọi hệ số ẩn xj, bi gọi hạng tử tự

D =                 nn nj n2 n1 in ij i2 i1 1n 1j 12 11 a a a a a a a a a a a a ≠

Định thức gọi định thức hệ phương trình (1)

Kí hiệu Dj định thức thu từ D cách thay cột thứ i D

bởi cột hệ tử tự do, ta có cơng thức nghiệm hệ Cramer, gọi công thức Cramer:

xj =

D Dj

BÀI TẬP §1 PHÉP THẾ 1 Tìm tất phép tập sau:

X2 = {1, 2}, X3 = {1, 2, 3}, X4 = {1, 2, 3, 4}

Xác định dấu phép

2 Với phép sau xác định dấu nó, tìm phép

nghịch đảo dấu phép nghịch o:

Xỏc nh cỏc tớch à,

Đ3 DỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 3 Cho ma trận A = (aij) cấp

a) Trong tích sau, tích có mặt định nghĩa định thức A:

a13a24a31a33, a12a24a33a41, a14a22a31a43, a11a23a31a42

b) Xác định dấu tích nói có mặt định nghĩa định thức ma trận A

4 Chọn số j, k cho tích sau có mặt định nghĩa định

thức ma trận A = (aij) cấp 5:

a11a22a3ja4ka54, a12a2ja33a4ka55

5 Cho ma trận cấp ba: A = (aij) Viết tích có dấu "-" chứa a13 có

mặt định nghĩa định thức A

thức :

8 Chứng minh rằng:

9 Khơng tính, dùng tính chất định thức chứng tỏ định

thức sau 0:

§4 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC

11 Dùng định tí Laplace để tính định thức:

§5 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC 12 Tính định thức quy tắc Sarus:

14 Dùng phương pháp quy nạp tính định thức:

(định thức Vandermonde)

16 Giải hệ phương trình:

, aj đôi khác

17 (Bài tập tổng hợp)

Bạn tìm sách giáo khoa này, sách giáo khoa khác đại số tuyến tính, ví dụ phương pháp tính định thức (mỗi phương pháp có hai ví dụ) Nói riêng, phần "áp dụng tính chất định thức" tính chất có ví dụ

VÀI NÉT LỊCH SỬ

Ngày định nghĩa định thức ta nói: "định thức ma trận đó" Vì thế, cách tự nhiên, nghĩ khái niệm định thức phải đời sau khái niệm ma trận Nhưng thực tế, khái niệm định thức đời trước khái niệm ma trận 150 năm Người đưa khái niệm định thức Leibnitz, nhà toán học Đức,(1646- 1716) nhà tốn học Seki Kova, người Nhật Nó xuất cơng trình nhà toán học Nhật khác, tên Takakazu (1642-1708)

Leibnitz khơng cơng bố phát kiến có liên quan đến định thức ơng nói đến thư gửi nhà tốn học L'Hopital để bàn việc giải hệ phương trình tuyến tính Ở đó, ơng nói đến khái niệm hết lời ca ngợi Mãi tới năm

1850 (tức sau gần 200 năm), thư từ ông công bố người ta biết ông phát khái niệm định thức Leibmtz nhấn mạnh ích lợi việc đánh số hai số để kí hiệu hệ số hệ phương trình

Seki chạm đến khái niệm định thức tìm nghiệm chung hai đa thức f(x) g(x) (với bậc thấp) Nhưng ông giữ bí mật phương pháp tin vào học trò thân cận Năm 1674 phát kiến

của Se ki cơng bố, phương pháp ơng trình bày rõ ràng

đưa biểu diễn định thức cho lời giải tốn tìm đường cônic qua điểm cho trước Tuy nhiên Cramer lại người chứng minh công thức Cramer mà thường dùng

Người định nghĩa nghiên cứu định thức nhà toán học Pháp tên Vandermonde Ơng cơng bố cơng trình vào năm 1771 Ơng chứng minh quy tắc Cramer tìm số tính chất định thức Nhưng ơng tính định thức Vandermonde cấp Năm 1772, Laplace (1749-1827) phát cơng thức khai triển định thức theo dịng hay cột

Chương II

KHÔNG GIAN VECTƠ

MỞ ĐẦU

Trong chương I ta thấy, nhờ định thức ta giải hệ phương trình Cramer Song dùng định thức để nghiên cứu việc giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát (khi m ≠ n m = n định thức hệ phương trình 0) có nhiều khó khăn, phức tạp Khơng gian vectơ sẽ giúp ta vượt qua khó khăn giúp ta trình bày lí thuyết hệ phương trình tuyến tính cách sáng sủa Ở trường Phổ thông trung học ta dùng vectơ để nghiên cứu hình học Vectơ cịn dùng để nghiên cứu nhiều ngành tốn học khác mơn khoa học khác Cơ học, Vật lí, Hố học, Địa lí, nhiều ngành kĩ thuật

Nếu xét tập hợp V vectơ có chung điểm gốc O mà ta học trường Phổ thơng ta thấy tập V với phép cộng hai vectơ phép nhân vectơ với số thoả mãn điều kiện sau:

1) (α + β) + γ = α + (β + γ);

2) α + β = β+ α;

3) có vectơ khơng thoả mãn điều kiện: α + 0 = α;

4) α có vectơ đối -α thoả mãn điều kiện: α + (-α) = 0; 5) r(α + β) = rα + rβ;

6) (r + s) α = rα + sα; 7) (rs) α = r(sα) ;

Trong toán học nhiều khoa học khác cịn có tập hợp mà phần tử chúng khơng phải vectơ hình học ta vừa nói, có hai phép toán thoả mãn điều kiện nêu Chúng gọi không gian vectơ

Mục tiêu chương trình bày định nghĩa khơng gian vectơ, tính chất cấu tạo khơng gian vectơ, chuẩn bị cho việc áp dụng vào lí thuyết hệ phương trình tuyến tính việc nghiên cứu sâu sắc chương sau để áp dụng nhiều vào mơn tốn học khác lĩnh vực khoa học khác

Vì ta cần:

- Nắm vững định nghĩa tính chất khơng gian vectơ, không gian con:

- Hiểu rõ không gian vectơ tạo thành từ họ “tối thiểu” vectơ không gian mà ta gọi sở; biết cách tìm sở số chiều không gian vectơ;

- Biết mối liên hệ toạ độ vectơ hai sở khác

§1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN 1.1 Định nghĩa

Định nghĩa. Giả sử V tập hợp mà phần tử kí hiệu bởi α, β, γ, , K trường sơ Trên V có phép tốn gọi phép

cộng hai phần tử V (kí hiệu "+") phép toán thứ hai gọi phép nhân phần tử V với số thuộc trường K (kí hiệu ".")

Tập hợp V với hai phép toán gọi không gian vectơ trường K (hay K-không gian vectơ) nên điều kiện sau được thoả mãn đời với α, β, γ, ∈ V r, s, ∈ K

1) (α + β) + γ = α +( β + γ);

2) α + β = β + α;

3) có phần tử 0∈ V thoả mãn điều kiện: α + 0 = α;

4) với α ∈ V có phần tử, kí hiệu - α, thuộc V thoả mãn điều kiện: α + (-α) = 0;

5) r(α + β) = rα + rα 6) (r + s)α = rα + sα; 7) (rs)α = r (sα) ; 8) 1.α = α

α∈ V gọi vectơ, 0được gọi vectơ không, - α gọi là vectơ đối α.

Bạn đọc dùng định nghĩa không gian vectơ để kiểm chứng tập hợp cho ví dụ khơng gian vectơ

Ví dụ Mỗi trường K không gian vectơ K phép cộng phép nhân K

Ví dụ Trường số thực R không gian vectơ trường số hữu tỉ Q

Ví dụ Trường số phức C không gian vectơ trường số thực R không gian vectơ trường Q

Ví dụ Giả sử K trường số, tập hợp K[x] đa thức ẩn x với hệ số K, với phép cộng hai đa thức phép nhân đa thức với số, K-không gian vectơ

Ví dụ Kn = K x K x x K tích đề n phiên K Trên

Kn xác định phép cộng hai phần tử phép nhân phần tử Kn với một số thuộc K sau:

Với α= (a1, a2, , an), β = (b1, b2, , bn) thuộc Kn số r ∈ K,

(a1, a2, , an) + (b1, b2, , bn) = (a1, + b1, a2 + b2, an, , bn),

r(a1, a2, , an) = (ra1, ra2, , ran)

Kn K-không gian vectơ

Từ trở đi, nói đến khơng gian Kn ta hiểu hai phép tốn định nghĩa

Từ định nghĩa không gian vectơ ta suy số tính chất đơn gian cua

1.2 Một số tính chất đơn giản

Giả sử V K-không gian vectơ 1) V có vectơ khơng 2) Với α ∈ V, vectơ đối - α 3) Với α ∈ V, -(-α ) = α

4) Với α ∈ V r ∈ K, ρα = r = α = 5) Với α ∈ V r ∈ K, ta có: (-ρα = -(ρα ) = ρ(α )

trong định nghĩa, vectơ khơng nên + 0' = 0' Tương tự, 0' vectơ khơng nên + 0' = Vậy = 0'

2) Giả sử α ∈ V có phần tử đối -α α' Theo điều kiện 4) định nghĩa, α + (-α) = = α + α Do đó, áp dụng điều kiện 1) 2), ta có :

α = α + = α+ [α + (-α)] = (α' + α) + (-α) = 0 + (-α) = -α 3) Vì -(-α) α đều vectơ đối -α nên từ 2) suy -(-α) = α. 4) “⇐”

• Nếu r = theo điều kiện 6), ta có:

0α = (0 + 0)α = 0α + 0α Cộng -0α vào vế đầu vế cuối ta được: = 0α • Nếu α = theo điều kiện 5), ta có:

r0 = r(0 + 0) = r0 + r0 Cộng -r0 vào vế đầu vế cuối ta = r0

“⇒” Giả sử rα = 0 Nếu r ≠ theo điều kiện 7) 8), ta có: α = 1.α= (

r

.r)α = (

r

.rα)=

r

0 =

5) Vì –(rα) vectơ đối nên nhờ tính chất 2), ta cần chứng minh (-r)α r(-α) vectơ đối rα.

Ta có: (-r)α + rα = (-r + r)α = 0α = ; r(-α) + rα = r(-α + α) = r0 =

Điều chứng tỏ (-r)α r(-α) vectơ đối rα Vậy (-r)α = -(rα) = r(-α) 

1.3 Hiệu hai vectơ

Từ định nghĩa tính chất khơng gian vectơ ta suy ra: Hệ

1) ρ(α - β) = pα - cβ 2) (ρ - σ)α = ρα - σα

Chứng minh Xin dành cho bạn đọc

§2 KHƠNG GIAN CON 2.1 Định nghĩa

Định nghĩa. Giả sử W tập không gian vectơ V Nếu W cũng không gian vectơ hai phép tốn cho V W được gọi không gian V.

Như muốn chứng minh tập W không gian không gian vectơ V ta phải chứng tỏ phép cho V phép toán W phải kiểm tra điều kiện nêu định nghĩa không gian vectơ thoả mãn Song ta thấy cần kiểm tra số điều kiện

2.2 Tính chất đặc trưng

Định lí Giả sử V khơng gian vectơ trường K W

tập V Các mệnh đề sau tương đương: (i) W không gian V

(ii) W ≠∅ với α , β thuộc W, r thuộc trường K, ta có α + β ∈ W, ρα ∈ W

(iii) W ≠∅ với α , β thuộc W, r, s thuộc trường K, ta có rα + σβ ∈ W

Chứng minh

"(iii) ⇒ (i)": Giả sử điều kiện (iii) thoả mãn Khi đó, với α, β thuộc W r = s = ∈ K, α + β = 1α + 1β ∈ W;

với α ∈ W, r ∈ K, ta có: rα = rα + 0α ∈ W ;

nghĩa phép toán W hai phép toán V Ta phải kiểm tra điều kiện định nghĩa không gian vectơ thoả mãn Hiển nhiên điều kiện 1), 2), 5), 6), 7), 8) thoả mãn hai phép tốn W hai phép tốn cho V Chỉ còn cần kiểm tra điều kiện 3) 4) Vì W ≠ ∅ nên có α ∈ W Theo tính chất không gian vectơ, 0= 0α + 0α, mặt khác, theo giả thiết 0α + 0α ∈ W Do 0 ∈ W Tương tự, với α ∈ W ta có -α = (-1)α + 0α ∈ W Vậy W không gian vectơ trường K do W khơng gian V 

Bạn đọc dùng định lí 2.2 để chứng minh điều khẳng định ví dụ đây:

Ví dụ 1. Với không gian vectơ V, thân V tập {0} không gian V

Chúng gọi không gian tầm thường V

Ví dụ 2 Tập Pn gồm đa thức đa thức có bậc bé hay

n K[x], (xem ví dụ 5, mục 1.1) không gian không gian vectơ K[x]

Ví dụ Theo ví dụ 6), mục 1.1, với n = K = R trường số thực, R4 R-không gian vectơ Tập W = {(a

1, a2, 0, 0}|ai ∈ R)

một không gian không gian R4

Thật vậy, ta chứng minh cho ví dụ

Rõ ràng W ≠ ∅ (0, 0, 0, 0) ∈ W Bây với α = (a1, a2, 0, 0), β

= (b1, b2, 0, 0) thuộc W r ∈ R, ta có:

α + β = (a1, a2, 0, 0) + (b1, b2, 0, 0) = (a1 + b1, a2 + b2, 0, 0) ∈ W,

rα = r(a1, a2, 0, 0) = (ra1, ra2, 0, 0) ∈ W

W thoả mãn điều kiện (ii) định lí 2.2 Vậy W không

gian R4

vectơ V

2.3 Tổng không gian

Mệnh đề định nghĩa Giả sử W1, W2, Wm không gian

vectơ K-không gian vectơ V Khi đó:

Tập hợp W = {α 1 + α2 + + αn| α i ∈ Wi, {1, 2, , m }}

không gian V

Không gian gọi tổng m không gian Wi cho

được kí hiệu W1 + W2 + + Wm hay ∑

= m i i W

Chứng minh Vì ∈ Wi với i ∈ {1, 2, , m} nên = 0 + 0 +

+ 0 ∈ W ; nghĩa W ≠ ∅

Với α = α1 + α2 + +am ∈ W, β = β1+ β2 + + βm ∈ W r ∈ K,

ta có: α + β = α1 + α2 + β1+ β2 + + βm = (α1 + β1) + (α2 + β2) +

+ (αm + βm)

Vì αi, βi ∈ Wi Wi không gian không gian vectơ V nên

αi + βi ∈ Wi, rαi ∈ Wi, với i ∈ {1, 2, , m} Do

α + β∈ W, rα ∈ W

Theo định lí 2.2, W khơng gian V 

2.4 Giao không gian

Mệnh đề định nghĩa Giả sử W1, W2, , Wm không gian

vectơ K-không gian vectơ V. Tập hợp U = Im

1 i

i

W

=

là không gian V gọi giao của m không gian Wi

Chứng minh Xin dành cho bạn đọc

2.5 Không gian sinh hệ vectơ

Định lí. Giả sử AAAA = {α1, α2, , αm} hệ vectơ K-khơng

gian vectơ V Khi tập hợp

W = {rα 1 + ρ2α 2 + + ρµα µ /ri ∈ K, với i∈ {1, 2, , m}}

một không gian V

W gọi không gian sinh hệ vectơ AAAA, AAAA gọi hệ

sinh W

Chứng minh Rõ ràng W ≠ ∅ 0 = α1 + 0α2 + + 0αm ∈ W

Giả sử α, β ∈ W t ∈ K, chẳng hạn:

Từ điều kiện định nghĩa không gian vectơ, ta suy ra:

Theo định lí 2.2, W không gian V 

Chú ý Khơng gian sinh vectơ thường kí hiệu Kα. Nếu W không gian sinh hệ vectơ {α1, α2, , αm} W =

∑ = n

1 i

1

α K

Không gian W sinh hệ hữu hạn vectơ Người ta gọi nó khơng gian hữu hạn sinh

Có khơng gian vectơ có hệ sinh vơ hạn khơng có hệ sinh hữu hạn Trong giáo trình ta xét khơng gian vectơ có hệ sinh hữu hạn

Ví dụ 1.

1) Giả sử V khơng gian vectơ hình học khơng gian (xem ví dụ li mục 1.2) OI vectơ cố định

gian tầm thường V

Nếu O ≠ I tập U = {rOI | r ∈ R} gồm vectơ gốc O, nằm đường thẳng OI

• Giả sử OJ vectơ không phương với OI Khi đó, tập

W = {r1OI + r2OJ | r1 ∈ R, r2 ∈ R)

là không gian V gồm vectơ,, nằm mặt phẳng (OIJ)

Giả sử OK không đồng phẳng với OI, OJ Thế {OI, OJ, OK} hệ sinh V Thật vậy, ta biết vectơ OA khơng gian có dạng: OA = r1OI + r2OJ + r3OK

Ví dụ Xét khơng gian vectơ R4 khơng gian W ví dụ 3, mục 2.2 Hệ hai vectơ ε1= (1, 0, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0, 0), R4 hệ

sinh W

Để chứng minh điều ta phải chứng tỏ α ∈ W biểu diễn dạng α = r1ε1+ r2ε2 Biết vectơ W có dạng α

= (a1, a2, 0, 0) ∈ W Theo phép cộng phép nhân với số R4,

ta có:

α = (a1, a2, 0, 0) = (a1, 0, 0, 0) + (0, a2, 0, 0)

= a1(1, 0, 0, 0) + a2(0, 1, 0, 0) = a1ε1 + a2ε2

Vậy {ε1, ε2} hệ sinh W

Ta thử thêm vectơ δ (2, 3, 0, 0) vào hệ vectơ {ε1, ε2} xét

không gian W' sinh hệ vectơ {ε1, ε2, δ} Mỗi α = a1ε1 + a2ε2

+ aδ ∈ W’ viết thành:

Đó vectơ W Như vậy, W’ ⊆ W

Ngược lại, vectơ β = b1ε1 + b2ε2 ∈ W viết dạng β = b1ε1 + b2ε2 + δ Đó vectơ thuộc W’

Vậy W’ = W; nghĩa hai hệ {ε, ε2, δ} {ε,ε2, δ} hệ sinh

của không gian vectơ W

§3 SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 3.1 Định nghĩa

Giả sử AAAA= {α1, α2, , αm-1, αm} (1) là hệ vectơ K- không gian vectơ V, (m > 0)

Định nghĩa 1. Nếu α = r1α 1 + r2α2 + + rm-1αm-1 + r1αm ta

nói α tổ hợp tuyến tính hệ vectơ AAAA hay α biểu thị tuyến tính qua m vectơ cho.

Định nghĩa Hệ vectơ AAAA gọi phụ thuộc tuyến tính có m

số r1, r2, , rm-1, rm thuộc trường K, không đồng thời 0, cho

r1α 1 + r2α 2 + + rm-1αm-1 + rmα m =0

Định nghĩa 3. Hệ vectơ AAAA gọi độc lập tuyến tính

khơng phụ thuộc tuyến tính; nói cách khác,

r1α 1 + r2α 2 + + rm-1αm-1 + rmα m =0

thì r1 = r2 = = rm-1 = rm =

Ví dụ Trong không gian vectơ, vectơ khác lập thành hệ vectơ độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử α vectơ khác trong K-không gian vectơ V Từ rα = 0 với r ~ K, nhờ tính chất 4), mục 1.2, suy r = 0; nghĩa hệ vectơ {α} độc lập tuyến tính

Ví dụ Mọi hệ vectơ chứa phụ thuộc tuyến tính Thật vậy, giả sử {α1, α2, , αm, 0} hệ vectơ khơng gian vectơ V

Chọn r1 = r2 = = rm = 0, rm+1 = 1, ta có:

0α1 + 0α2 + +0αm +1 =

Điều chứng tỏ hệ cho phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ Trong khơng gian vectơ hình học V, (xem ví dụ 1, mục 1.1), ba vectơ lập thành hệ phụ thuộc tuyến tính chúng đồng phẳng; độc lập tuyến tính chúng khơng đồng phẳng

0; chẳng hạn, r3 ≠ Khi OA = -

3

r r

OI -

3

r r

OK Điều chứng tỏ ba vectơ đồng phẳng

Ví dụ Xét khơng gian vectơ R4 Hệ gồm ba vectơ ε1 = (1, 0, 0, 0),

ε = (0, 1, 0, 0), α = (2, - 5, 0, 0) phụ thuộc tuyến tính, cịn hệ vectơ {ε1, ε2}, {ε1, α}, {ε2, α}độc lập tuyến tính

Thật vậy, α = (2, -5, 0, 0) = (2, 0, 0, 0) + (0, -5, 0, 0) = 2(1, 0, 0, 0) – (5, 1, 0, 0)

= 2ε1 - 5ε2

hay 2ε1 - 5ε2 + (-1) α = 0; nghĩa hệ {ε1, ε2, α} phụ thuộc

tuyến tính α biểu thị tuyến tính qua ε1, ε2

Bây ta xét hệ vectơ {ε1, α} Giả sử r1ε1+ r2α = 0, nghĩa

r1(1, 0, 0, 0) + r2(2, - 5, 0, 0) - (0, 0, 0, 0)

hay (r1, 0, 0, 0) + (2r2, - 5r2, 0, 0) = (r1 + 2r2, - 5r2, 0, 0) = (0, 0, 0, 0)

Suy ra:

Hệ phương trình hai ẩn r1, r2 có nghiệm r1 = 0, r2 =

Vậy hệ hai vectơ {ε1, α} độc lập tuyến tính

Bạn đọc tự kiểm tra độc lập tuyến tính hai hệ {ε1, ε2},

{ε2, α}

Từ định nghĩa suy tính chất sau

3.2 Các tính chất

Theo định nghĩa, hai khái niệm phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính hệ vectơ hai khái niệm phủ định lẫn Vì thế, khái niệm có tính chất suy tính chất tương ứng khái niệm

Tính chất

một hệ phụ thuộc tuyến tính

2) Nếu bớt p vectơ hệ vectơ độc lập tuyến tính một hệ độc lập tuyến tính.

Chứng minh 1) Giả sử hệ vectơ AAAA = {α1, α2, , αm-1, αm} phụ thuộc tuyến tính Khi tồn m số s1, , sm khơng đồng thời 0,

chẳng hạn si ≠ 0, cho:

Thế thì:

Theo định nghĩa, hệ vectơ {α1, ,αi-1 αi, αi+1, ,αm, ,αm+1, ,

αm+p} phụ thuộc tuyến tính

2) Giả sử từ hệ vectơ độc lập tuyến tính A bớt p vectơ ta hệ vectơ B Nếu B phụ thuộc tuyến tính theo 1), thêm p vectơ nói vào B lại hệ A phụ thuộc tuyến tính; trái với giả thiết Vậy B độc lập tuyến tính 

Tính chất

1) Một hệ gồm m vectơ (m > 1) phụ thuộc tuyến tính có vectơ hệ biểu thị qua vectơ lại

2) Một hệ gồm m vectơ (m > 1) độc lập tuyến tính khơng có vectơ hệ biểu thị qua vectơ lại

Chứng minh

1) "⇒" Giả sử hệ vectơ

Của K-khơng gian vectơ V phụ thuộc tuyến tính Theo định nghĩa, tồn m số ri ∈ K, i ∈ {1, 2, , m) không đồng thời 0, chẳng hạn, ri

≠ 0, cho:

r1α1 + + ri-1αi-1 + ti+1αi+1 + rmαm =0

nghĩa αi biểu thị tuyến tính qua vectơ cịn lại

“⇐” Giả sử hệ vectơ (1) có vectơ αi; thoả mãn đẳng thức:

Vì có si = -1 ≠ nên đẳng thức chứng tỏ hệ (1) phụ thuộc tuyến

tính

2) Trực tiếp suy từ 1) 

Tính chất

1) Một hệ gồm m vectơ (m > 0) độc lập tuyến tính mỗi tổ hợp tuyến tính hệ có cách biểu thị tuyến tính nhất qua hệ

2) Một hệ gồm m vectơ (m > 0) không gian vectơ V phụ thuộc tuyến tính có vectơ V biểu thị tuyến tính qua hệ theo hai cách khác

Chứng minh 1) “⇒” Giả sử hệ vectơ {α1, α2, , αm} độc lập tuyến

tính

Nếu β cịn có cách biểu thị tuyến tính

thì (b1 – b’1)α1 + (b2 - b'2 )α2 + + (bm – b’m )αm =0

Vì hệ vectơ gã cho độc lập tuyến tính nên theo định nghĩa, b1 – b’1 =

b2- b'2 = = bm – b’m =

Suy ra: b1 = b’1, b2 = b'2 , , bm = b’m; nghĩa cách biểu thị tuyến

tính β qua hệ vectơ cho

"⇐": Nếu tổ hợp tuyến tính hệ vectơ {α1, α2, , αm}

0αm cách biểu thị tuyến tính Do đó, = r1α

+ r2α2 + + rmαm bắt buộc r1 = r2 = rm = Vậy hệ vectơ cho

độc lập tuyến tính 2) Suy từ 1) 

Tính chất

1) Nếu thêm vào hệ độc lập tuyến tính vectơ khơng biểu thị tuyến tính qua hệ hệ độc lập tuyến tính

2) Nếu bớt hệ phụ thuộc tuyến tính vectơ khơng biểu thị tuyến tính qua vectơ cịn lại hệ phụ thuộc tuyến tính

Chứng ninh 1) Giả sử A = {α1, a2, , αm-1, αm}là hệ vectơ độc

lập tuyến tính K-không gian vectơ V β ∈ V vectơ khơng

biểu thị tuyến tính qua hệ A Ta phải chứng minh hệ vectơ B = {α1, a2, , αm-1, αm , β} độc lập tuyến tính Giả sử

Nếu r ≠

trái với giả thiết β Do r = r=α1 + + rmαm = hệ A độc

lập tuyến tính Suy r1 = = rm = Vậy B hệ vectơ độc lập tuyến

tính

2) Suy từ 1) 

§4 CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ

Ta nhắc lại rằng, giáo trình ta xét khơng gian vectơ có hệ sinh hữu hạn (hữu hạn sinh) trường số

4.1 Định nghĩa

Một hệ sinh độc lập tuyến tính khơng gian vectơ khác {0} được gọi sở

Khơng gian vectơ {0} khơng có sở; hay nói, số vectơ sở khơng gian {0}

Ví dụ Trong không gian vectơ Pn gồm đa thức đa thức thuộc K[x] với bậc bé hay n, hệ vectơ {1, x, x2, , xn) sở

Thật vậy, đa thức f(x) ∈ Pn có dạng f(x) = a0 + a1x + a2x2 +

+ anxn, ai ∈ K, với i ∈ {0, 1, 2, , n) Điều chứng tỏ {1, x,

x2, , xn) hệ sinh Pn Mặt khác, a0 + a1x + a2x2 + + anxn

= từ định nghĩa đa thức suy a0 = a1 = a2 = = an = 0; nghĩa {1,

x, x2, , xn) hệ vectơ độc lập tuyến tính Vậy sở Pn

Ví dụ Trong khơng gian vectơ R3, hệ ba vectơ ε1 = (1, 0, 0), ε2 =

(0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1) sở; người ta gọi sở tắc

Bạn đọc chứng tỏ điều

Hệ ba vectơ ξ1 = (1, 1, 0), ξ2 = (0, 1, 1), ξ3 (1, 0, 1)

sở

Để khẳng định điều ta chứng minh hệ vectơ {ξ1, ξ2, ξ3}

một hệ sinh R3 độc lập tuyến tính Giả sử α = (a1, a2, a3)

vectơ thuộc R3 Ta tìm ba số r1, r2, r3 ∈ R cho α = r1ξ1 + r2ξ2

Giải hệ phương trình ẩn r1, r2, r3 ta nghiệm

Điều chứng tỏ {ξ1, ξ2, ξ3} hệ sinh R3 Mặt khác,

ba số r1, r2, r3 xác định nên α đều có cách biểu thị

tuyến tính qua hệ sinh Theo tính chất 3, mục 3.2, hệ sinh này độc lập tuyến tính Vậy sở R3

Một câu hỏi đặt không gian vectơ có sở hay khơng? Để trả lời câu hỏi ta xét mối liên quan hệ sinh sở

4.2 Sự tồn sở

Trước hết ta xét bổ đề sau mối liên quan hệ sinh sở

Bổ đề Nếu không gian vectơ có hệ sinh gồm m vectơ sốvectơ

của hệ vectơ độc lập tuyến tính khơng vượt q m.

Chứng minh Giả sử K-khơng gian vectơ V có hệ sinh A = {α1,

α2, , αm}, α ≠ 0 với i ∈ {1, 2, , m) e = {ε1, ε2, , εn}

hệ vectơ độc lập tuyến tính V với n > m Vì A hệ sinh nên

Như β∈ V biểu thị tuyến tính qua hệ A1;

A1 hệ sinh V Nói riêng, ε2 có dạng:

Nếu tất hệ số αi ε2 = a21ε1 Suy hệ e

phụ thuộc tuyến tính; trái với giả thiết Vì có a2j ≠ 0, Với j ≠

Nếu cần ta đánh số lại αi để giả thiết a22 ≠ Khi

Thay α2 A1 ε2 ta hệ A2 = {ε1, ε2, , αm } Lập luận

như trên, A2 hệ sinh V Cứ tiếp tục thế, ta thay m

vectơ hệ A m vectơ hệ e hệ sinh Am = {ε1,

ε2, , εm} v Theo giả thiết, n > m nên εm+l ∉ Am Nhưng Am hệ

sinh V nên εm+1 biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ này; trái với

giả thiết độc lập tuyến tính hệ e Vậy n ≤ m 

Hệ Số vectơ hai sở không gian vectơ

nhau

Chứng minh Suy từ định lí 

Bây ta trả lời cho câu hỏi đặt trước mục 4.2

Định lí 1 Mỗi K - khơng gian vectơ V ≠{0} có sở

Chứng minh Giả sử ε1 ≠ vectơ thuộc V Theo ví dụ 1, mục

3.1, hệ {ε1} độc lập tuyến tính Nếu vectơ V biểu thị tuyến

tính qua hệ sở V Nếu trái lại, V có ε2

khơng biểu thị tuyến qua ε1 Theo tính chất 4, mục 3.2, hệ vectơ

trong V có ε3 khơng biểu thị tuyến tính qua hệ {ε1, ε2} Lại

theo tính chất 4, mục 3.2, hệ vectơ {ε1, ε2, ε3} độc lập tuyến tính Tiếp

tục, bổ sung ta hệ vectơ độc lập tuyến tính V Vì V có hệ sinh gồm m vectơ (có thể ta khơng biết hệ sinh ấy) nên theo bổ đề, trình phải kết thúc vectơ εn với n ≤ m

Lúc ta hệ vectơ

E = {ε1, ε2, ε3 , , εn}

mà vectơ v biểu thị tuyến tính qua hệ e Vậy e = {ε1,

ε2,ε3 , , εn} sở V 

Hệ Trong không gian vectơ, hệ vectơ độc lập tuyến tính bất

kì bổ sung thành sở.

Ý nghĩa định lí trước hệ sinh không gian vectơ ta dựng sở Song biết hệ sinh khơng gian vectơ định lí sau cho thấy chọn sở hệ sinh Đó trả lời cho câu hỏi đặt trước §3

Định lí Từ hệ sinh khơng gian vectơ khác {0} chọn sở.

§5 SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ

Hệ bổ đề, mục 4.2, cho thấy số vectơ hai sở khác khơng gian vectơ Điều cho phép ta định nghĩa:

5.1 Định nghĩa

Số vectơ sở K-không gian vectơ V gọi số chiều V Kí hiệu: dimKV.

Nếu khơng cần rõ trường K cụ thể, ta có viết đơn giản dimV. Ví dụ Khơng gian Pn gồm đa thức đa thức bậc bé hay

bằng n có số chiều n + 1; tức dimKPn = n +

(Xem ví dụ 1, mục 4.1) Ví dụ dimRR3 -

Ví dụ Khơng gian V vectơ hình học khơng gian có dimRV =

Hệ Trong không gian vectơ n chiều hệ vectơ độc lập tuyến

tính gồm n vectơ sở.

Chứng minh Giả sử dimKV = n a = {α1, α2, , αn} hệ

vectơ độc lập tuyến tính V Theo hệ định lí 1, mục 4.2, có thể bổ sung vào a để sở V Vì dimV = n, sở gồm n vectơ không cần bổ sung vectơ vào a Vậy a hệ sinh độc lập tuyến tính, sở V 

Ta tìm hiểu mối liên hệ số chiều không gian vectơ với số chiều không gian

5.2 Số chiều khơng gian

Định lí 1. Giả sử W khơng gian K-khơng gian vectơ V Thế thì:

1) dimKW ≤ dimKV

2) dimKW = dimKV W = V

1) Nếu W = {0} dimkw = ≤ dimKV

Bây giả sử dimKV = n, dimKW = m > Khi W có sở, chẳng hạn, (ε) gồm m vectơ Vì (ε) hệ vectơ độc lập tuyến tính W W ⊆ V nên (ε) độc lập tuyến tính V Theo bổ đề, mục 4.2, dimKW m ≤ n = dimKV

2) Suy từ hệ quả, mục 5.1 

Định lí Nếu U, W khơng gian K-khơng gian

vectơ V thì:

dim(U + W) = dimU + dimW - dim(U∩ W) Chứng minh

Giả sử dim U = p, dimW = q, dim(U ∩ W) = r {ξ1, ξ, ,ξr} (1)

một sở U ∩ W Vì sở hệ vectơ độc lập tuyến tính U W nên, theo hệ định lí 1, mục 4.2, bổ sung thành sở:

của U thành sở

của W Ta chứng minh

là sở U + W Muốn thế, trước hết, ta chứng minh một hệ sinh U + W Vì {ξ1, , ξp-r, ξ1, , ξr} ⊂ U {δ1, , δq-r} ⊂

W nên hệ (4) nằm U + W Giả sử α = β + γ, với

Vì vế trái vectơ U vế phải vectơ W Cơ sở U∩W hệ (1) nên viết

Vì hệ (3) độc lập tuyến tính nên từ đẳng thức suy

t1 = = tr = z1 = = zq-r = 0; (6)

Thay giá trị zi vào đẳng thức (5) ta

Vì hệ (2) độc lập tuyến tính nên

x1 = = xp = y1 = = yr = (7)

Từ (6) (7) suy hệ (4) độc lập tuyến tính Do sở U+W Vậy

dim(u + W) = p - r + r + q - r : p + q - r

§6 TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ

Vì sở hệ sinh độc lập tuyến tính khơng gian vectơ nên thời vectơ khơng gian có cách biểu thị tuyến tính qua sở

6.1 Định nghĩa

Giả sử (ε) = {ε1, ε2, , εn} sở K-không gian vectơ V,

α ∈ V có cách biểu diễn dạng

Bộ n số số (a1, a2, , an) gọi tọa độ α sở

(ε)

Thay cho lời nói α có tọa độ (a1, a2, , an) ta viết: α (a1,

a2, , an)

Ví dụ Trong ví dụ 2, mục 4, ta biết hệ (ξ) = {ξ1, ξ2, ξ3),

đó ξ1 = (1, 1, 0), ξ2 = (0, 1, 1), ξ3(1, 0, 1) sở R3 Vectơ α

= 3ξ1 - 5ξ2 + ξ3 có tọa độ sở (ξ) (3,- 5, 1)

Cũng vectơ hình học biết trường trung học, có mối liên quan toạ độ phép toán vectơ

Định lí Nếu k ∈ K, α β có tọa độ (a1, a2, , an) (b1,

b2, , bn) thì:

1) Toạ độ α + β (a1 + b1, a2 + b2, , an + bn);

2) Toạ độ k α (ka1, ka2, , kan)

Chứng minh Xin dành cho bạn đọc 

Bây ta thử tìm toạ độ α = 3ξ1 - 5ξ2 + ξ3 ví dụ

đây sở tắc, tức sở (ε) = {ε1, ε2, εn} ε1 =

Vậy toạ độ α đối với sở (ε) (4, - 2, - 4)

Điều chứng tỏ đổi sở toạ độ vectơ thay đổi Ta xem toạ độ vectơ hai sở khác có quan hệ với Trước hết, mối liên quan hai sở diễn đạt định nghĩa sau

6.2 Ma trận chuyển

Định nghĩa. Giả sử (ε) = {ε1, ε2, , εn} {ξ1, ξ2, , ξ3} hai

sở K-không gian vectơ V,

(vì vectơ ξi biểu thị tuyến tính qua sở (ε))

Ta gọi ma trận vuông cấp n

là ma trận chuyển từ sở (ε ) sang sở (ξ) Ví dụ Xét khơng gian vectơ R3 với hai sở

(ε) = {ε1, ε2, εn} trong ε1 (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1),

và {ξ1, ξ2, ξ3} ξ1 = (1, 1, 0), ξ2 = (0, 1, 1), ξ3 = (1, 0, 1),

(Xem ví dụ mục 6.1)

b) Tìm ma trận chuyển từ sở (ξ) sang sở (ε) Giải

a) Ta có:

Vậy ma trận chuyển từ sở (ε) sang sở (ξ)

b) Ta phải biểu diễn vectơ εi qua sở (ξ) Cụ thể, ta viết:

(1, 0, 0) = ε1 = b11 ξ1 + b21ξ2 + b31ξ3

Đẳng thức (1) cho ta

(1, 0, 0) = b11(1, 1, 0) + b21(0, 1, 1) + b31(1, 0, 1)

= (b11 + b31, b11 + b21, b21 + b31)

Suy ra:

Giải hệ ta tìm được:

Vậy ma trận chuyển từ sở (ξ) sang sở (ε)

Bây ta tìm cơng thức liên hệ tọa độ vectơ hai sở khác

6.3 Liên hệ tọa độ vectơ hai sở khác nhau

Định lí Giả sử (ε) = {ε1, ε2, , εn) (ξ) = {ξ1, ξ2, , ξn) hai

sở K-không gian vectơ V, T = (tij) ma trận chuyển từ sở (ε)

sang sở (ξ), (x1, x2, , xn) (y1, y2, ,yn) tọa độ vectơ α

đối với sở (ε) sở (ξ) Thế thì:

Chứng minh Theo giả thiết ta có:

Tổng quát: xi = ti1y1 + t12y2 + + t1nyn = ∑

= n

1

j ij j

y

t , Với i ∈ {1, 2, , n} 

Ví dụ Xét khơng gian R3 với hai sở (ε) (ξ) ví dụ mục 6.2 Cho β = (- 5, , 1) ∈ R3 Hãy tìm tọa độ vectơ β ∈ R3

cơ sở (ξ)

Giải

Từ ví dụ mục 6.2, ta biết ma trận chuyển từ sở (ξ) sang sở (ε) là:

Gọi tọa độ β sở (ξ) (x1, x2, x3) Theo giả thiết tọa độ

của β sở (ε) y1 = - 5, y2 = 0, y3 = Theo công thức đổi tọa

§7 HẠNG CỦA HỆ VECTƠ- HẠNG CỦA MA TRẬN

Để nghiên cứu chương sau ta cần biết cách tìm sở không gian sinh hệ vectơ không gian vectơ Tuy phương diện lí thuyết, định lí 4.6 cho thấy từ hệ sinh khơng gian vectơ tìm sở Song khó dùng vào thực hành Trong mục ta xét kĩ thuật tìm sở Trước hết ta định nghĩa khái niệm để tiện diễn đạt Đó hạng hệ vectơ Khái niệm có ứng dụng nhiều vấn đề khác

7.1 Hạng hệ vectơ

Định nghĩa. Số chiều không gian vectơ sinh hệ vectơ a

gọi hạng hệ a Kí hiệu hạng (a)

Hệ Hệ a gồm m vectơ độc lập tuyến tính hạng (a) = m

Chứng minh Xin dành cho bạn đọc 

Ví dụ Xét ví dụ 2, mục 2.5 Hệ vectơ a = {ε1, ε2} độc lập tuyến

tính nên sở không gian vectơ W sinh a Theo định nghĩa 7.1, hạng (a) = dimW = Hệ b = sinh không gian vectơ W Do hạng(b) = dimW =

Có thể giải thích mà hạng = hạng hay không? Hãy xem mệnh đề

Mệnh đề Nếu thêm vào hệ vectơ tổ hợp tuyến tính hệ

thì hạng hệ hạng hệ cho.

Chứng minh Giả sử a = {α1, α2, αm }, hạng(a) = n Thêm vào

a vectơ

Do W’ ⊂ W Vậy W’ = W Suy hạng (B) = dim(W') dim(W) -hạng(A) 

7.2 Hạng ma trận Định nghĩa. 1) Cho ma trận

Coi thành phần dòng ma trận A tọa độ của vectơ không gian vectơ V (n chiều) sở đó Ta gọi hệ vectơ a gồm :

là hệ vectơ dòng ma trận A.

Hệ vectơ cột ma trận A định nghĩa tương tự

Ngược lại, ma trận A gọi ma trận tọa độ hệ vectơ a (đối với sở cho)

hạng (A) = hệ gồm vectơ α = (1, 0, - 2) ≠ độc lập tuyến tính Vì dịng thứ hai B tổ hợp tuyến tính dịng thứ nét theo mệnh đề mục 7.1, hạng(B) = hạng(A) =

Đối với ma trận C ta thấy hệ vectơ dịng gồm ba vectơ:

Chúng biểu thị tuyến tính qua α1 : α2 = 0α1, α3 =

-5

α1

Do khơng gian sinh ba vectơ có sở {α1} Vậy hạng(C) =

1

Theo định nghĩa hạng ma trận tìm hạng ma trận tìm hạng hệ vectơ dịng tương ứng biết hạng ma trận suy sở số chiều không gian vectơ sinh hệ vectơ dòng ma trận

Với ma trận A = (aij) kiểu (m, n), nêu chọn r dòng, r cột thành

phần nằm giao r dòng r cột lập thành định thức cấp r Ta gọi đinh thức cấp r A

Định lí. Hạng ma trận A cấp cao định thức con khác A.

Chứng minh Giả sử ma trận A = (aij)(m.n) cấp cao

(Thật vậy, ta đổi chỗ dịng để đạt điều phép đổi chỗ khơng làm thay đổi hạng hệ vectơ dòng) Ta chứng minh hệ gồm r vectơ dòng đầu

là sở không gian vectơ sinh m vectơ dòng ma trận A Trước hết, hệ vectơ (2) độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử

Áp dụng phép tốn khơng gian vectơ Kn, ta được:

nên hệ Cramer Do (0, 0, , 0) nghiệm nhất; nghĩa bắt buộc x1 = x2 = = xi =

Điều chứng tỏ hệ (2) độc lập tuyến tính Bây ta chứng minh vectơ dòng lại ma trận A biểu thị tuyến tính qua hệ (2); tức phải chứng minh với

Muốn vậy, phải chứng minh rằng:

Giả sử i cố định Đối với aij ta xét định thức

Đây định thức cấp r + ma trận A nên theo giả thiết Khai triển theo cột cuối ta được:

trong As phần bù đại số thành phần định thức Dij, với

Khi i cố định, j thay đổi, ma trận

không đổi nên As khơng đổi chúng định thức cấp r

của ma trận Vì đặt ks = -

D

As , với s ∈ {1, 2, , r}, với i cố

định chọn, ta

Do đẳng thức (3) chứng minh

Vậy hệ vectơ (2) sở không gian vectơ sinh m vectơ dòng ma trận A Suy hạng(A) = r 

Chú ý Trong phép chứng minh định lí ta thấy định thức cấp cao khác ma trận A nằm r dịng r vectơ dịng sở không gian vectơ sinh m vectơ dịng ma trận A

Ví dụ: Tìm sở khơng gian vectơ sinh hệ vectơ gồm vectơ R3:

Giải

Như

1

5

− định thức cấp cao khác ma trận A Nó nằm dịng thứ thứ ba ma trận A Vậy hệ vectơ {α1, α3}

là sở cần tìm

Hệ Hệ m vectơ độc lập tuyến tính ma trận

các tọa độ chúng có đinh thức khác 0, cấp m

Nói riêng, khơng gian vectơ n chiều, hệ n vectơ độc lập tuyến tính định thức ma trận tọa độ chúng khác

Chứng minh Xin dành cho bạn đọc

Hệ Hạng ma trận hạng hệ vectơ cột

Chứng minh Giả sử A = (aij) ma trận kiểu (m, n) Xét ma trận

chuyển vị t A Hệ vectơ dòng tA hệ vectơ cột A Theo định lí trên, hạng(tA) cấp định thức cấp cao khác tA Nhưng định thức tA lại chuyển vị định thức A ngược lại Mặt khác định thức hai ma trận chuyển vị lẫn nhau Do đó, |B| định thức cấp cao khác

tA |B’| định thức cấp cao khác A

Vậy hạng (A) = hạng (tA) = hạng (hệ vectơ dòng tA) = hạng (hệ vectơ cột A)

7.3 Cách tìm hạng ma trận

Muốn tìm hạng hệ vectơ ta tìm hạng ma trận tọa độ hệ vectơ

Muốn tìm hạng ma trận ta tìm định thức cấp cao khác ma trận

Để tìm định thức cấp cao khác ma trận A, không cần xét tất định thức mà cần xuất phát từ định thức D1 ≠ cấp s biết xét định thức cấp s + chứa D1 Nếu

tất định thức D1 định thức cấp

cao khác 0; hạng(A) = s Nếu có định thức D2 ≠ 0, cấp s

+ tiếp tục xét định thức cấp s + chứa D2 Cứ

của ma trận A Thật vậy, D nằm r dịng định thức cấp r + bao quanh D nên với lập luận chứng minh định lí, hệ r vectơ sở không gian vectơ W sinh hệ vectơ đòng ma trận A Do dim(W) = r Với định thức D’ ≠ 0, cấp t, Di nằm t dịng A, hệ gồm t vectơ dịng độc lập tuyến tính W Vậy t ≤ dim(W) = r

Áp dụng Cho hệ vectơ a gồm:

a) Tìm hạng(a)

b) Tìm sở không gian vectơ sinh a Giải

a) Để tìm hạng hệ vectơ, ta phải tìm hạng ma trận

Theo định lí, ta phải tìm định thức cấp cao khác A Xuất phát từ định thức khác bất kì, chẳng hạn

Xét tiếp định thức cấp chứa D3 Chỉ cịn hai định thức

thế, là:

Vậy hạng(A) =

b) Vì D3 nằm ba dòng đầu nên hệ vectơ {α1, α2, α3} sở

cần tìm

Cũng có định thức cấp khác chứa D2 khác 0, chẳng hạn,

Vậy hạng(A) =

Vì D’ nằm ba dịng: thứ nhất, thứ hai thứ năm nên hệ vectơ {α1,

α2, α3} sở

7.4 Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp

Ta dùng số phép biến đổi ma trận để tìm hạng ma trận

Định nghĩa. Các phép biến đổi sau gọi phép biến đổi sơ cấp ma trận:

1) Đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau;

2) Nhân thành phần dòng (cột) với số khác 0

Định lí. Nếu thực phép biến đổi sơ cấp ma trận hạng ma trận thu hạng ma trận cho.

Lạm dụng ngôn ngữ nói: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận

Chứng minh Xin dành cho bạn đọc tập Ví dụ Tìm hạng ma trận

Giải

• Đổi chỗ dịng thứ dịng thứ tư cho nhau:

• Cộng dịng thứ vào dòng thứ hai; nhân dòng thứ với - 4, cộng vào dòng thứ ba; nhân dòng thứ với - 3, cộng vào dòng thứ tư ta được:

• Đổi chỗ dịng thứ hai dịng thứ tư cho nhau:

• Cộng dòng thứ ba vào dòng thứ tư ta ma trận:

Ma trận cuối có định thức cấp ba:

Đó định thức cấp cao khác B Vậy hạng(B) = Vì phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận nên hạng(A) = hạng(B) =

Nếu dùng phép biến đổi sơ cấp để tìm sở không gian sinh hệ vectơ ta gặp khó khăn nhỏ việc xác định vectơ hệ lập nên sở, trình biến đổi ta đổi chỗ dịng, cột Bạn đọc thử tìm cách khắc phục khó khăn

7.5 Tìm sở, số chiều không gian sinh hệ vectơ bằng máy tính điện tử

Muốn tìm sở số chiều không gian W sinh hệ vectơ a ta cần tìm định thức cấp cao khác ma trận A thiết lập hệ vectơ cho dimW = hạng(A) định thức cấp cao khác nằm dịng vectơ dịng lập thành sở Nhờ phép biến đổi sơ cấp ma trận, máy tính điện tử thực phép biến đổi để biến ma trận cho thành ma trận hạng mà ta nhận định thức cấp cao khác Từ suy hạng ma trận, hạng hệ vectơ, số chiều cần tìm

Giải Để tạo ma trận đánh lệnh:

Trên hình xuất hiện:

Out[1]: = {{11 -1, 2, 0, -1},{-2, 2, 0, 0, -2}, {2, -1, -1, 0, 1}, {-1, -1, 1, 2, 2},{1, - 1, -1, 0, 1}

Để lập ma trận thu gọn đánh tiếp lệnh: RowReduce[A]//MatrixForm↵

Màn hình xuất hiện: Out[2]:=MatrixForm

Trong ma trận ta thấy định thức cấp cao khác là:

Vậy hạng ma trận Nhưng phép biến đổi mà máy thực cho ta ma trận hạng với ma trận A nên hạng = hạng(A) = = dimW

màn hình ta khơng biết sở gồm vectơ vectơ cho Tuy nhiên máy tính khơng thay đổi cột Vì vậy, ta lấy vectơ cho lập thành ma trận cột Song, máy tính lại khơng tạo ma trận cột Để tránh phải lập ma trận cột giấy nháp, ta lập ma trận dòng lấy ma trận chuyển vị

Ví dụ Tìm sở không gian W sinh hệ vectơ: a = {α1 = (-2, 4, 2, 5), α2= (3, 1, 0, 7), α3 = (-1, 9, 4, 17),

α(1, 0, 2, 1)}

Giải Đánh lệnh tạo ma trận:

A = {{-2, 4, 2, 5}, {3, 1, 0, 7},{-1, 9, 4, 17}, {1, 0, 2, 1}}↵ Màn hình xuất hiện:

Out[1] ={{-2, 4, 2, 5} {3, 1, 0, 7},{- 1, 9, 4, 17}, {1, 0, 2, 1}} Để lập ma trận chuyển vị, đánh lệnh:

tA = Transpose[A]↵ Màn hình xuất hiện:

Out[2]={{- 2, 3, - 1, 1},{4, 1, 9, 0),{2, 0, 4, 2},{5, 7, 17, 1}} Để tìm ma trận thu gọn, đánh lệnh:

RowReduce[tA]//1MatnxForm↵ Màn hình xuất hiện:

Out[3]=MatrixForm

TÓM TẮT

Chương II, trình bày khái niệm khơng gian vectơ trường K Đó tập hợp V mà phần tử gọi vectơ, có phép ông hai vectơ phép nhân vectơ với số thuộc K thoả mãn tiều kiện nêu định nghĩa 1.1

Một tập W V gọi không gian V thân W không gian hai phép toán cho V Muốn chứng minh W không gian V cần chứng minh rằng: 1) W ≠ ∅, với α, β thuộc W r ∈ K, ta có α + β ∈ W, rα ∈ W; 2) W ≠ ∅, với α, β thuộc W r, s ∈ K, ta có rα + sβ ∈ W Tổng

của m không gian W1, W2, , Wm không gian vectơ V lại

không gian W =

      = ∈ ∑ = m 2, 1, i , W α |

α i i

m

1 i

i

Nếu a = {α1, α2, , αm} hệ vectơ K-khơng gian vectơ V

thì

là không gian V gọi không gian sinh hệ vectơ a

Hệ a gọi độc lập tuyến tính từ đẳng thức ∑

= = m i i

iα

k suy

ra k1 = k2 = = km =

Mỗi không gian vectơ có hệ sinh độc lập tuyến tính, gọi sở Nếu (ε) = {ε1, ε2, , εn} sở K- khơng gian

vectơ V α ∈ V có cách biểu diễn dạng α = a1ε1+ a2ε2+ + anεn

Các số gọi tọa độ α đối với sở (ε)

sở (ε) biết ma trận T chuyển từ sở (ε) sang sở (ξ) Đó ma trận thiết lập sau:

Thế

Khi đó, (x1, x2, , xn) (y1, y2, , yn) tọa độ α đối

với sở (ε) sở (ξ)

Khái niệm hạng hệ vectơ hạng ma trận cần thiết cho chương sau Ta định nghĩa hạng hệ vectơ số chiều không gian sinh hệ vectơ

BÀI TẬP

§1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN 1 Dùng định nghĩa không gian vectơ để chứng tỏ rằng:

a) Tập số thực R với phép cộng hai số thực, phép nhân số thực với số hữu tỉ Q-không gian vectơ;

b) Tập số phức C với phép cộng hai số phức phép nhân số phức với số thực R-không gian vectơ;

c) Tập Q[x] đa thức ẩn x trường số hữu tỉ Q Q-không gian vectơ;

d) Với Q tập số hữu tỉ, R tập số thực, V = Q x R, với phép cộng hai phần tử V phép nhân phần tử V với số hữu tỉ xác định sau:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), r(a, b) = (ra, rb), a, c, r số hữu tỉ b, d số thực,là Q-không gian vectơ

e) Tập Q ( 2) = {a + b 2| a, b ∈ Q}, với phép cộng phép nhân với số hữu tỉ xác định sau:

(a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2, r(a + b 2) = + r 2, r ∈ Q

là Q- khơng gian vectơ

2 Các tập sau có phải R-không gian vectơ không?

a) Tập Q với phép cộng hai số hữu tỉ phép nhân số hữu tỉ với số thực;

b) Tập số phức C với phép cộng hai số phức phép nhân số phức với số thực;

c) Tập số nguyên Z với phép cộng hai số nguyên phép nhân số nguyên với số thực;

d) Tập V nói tập 1d) với phép cộng phép nhân với số thực xác định thế,

3 Cho G tập hợp hàm số xác định tập số thực R có dạng

f(x) = ax + b, a, b ∈ R, với phép cộng phép nhân với số hữu tỉ xác định sau:

với f, g ∈ G, f(x) = ax + b, g(x) = cx + d f + g hàm số xác định

(f + g)(x) = (a + c)x + (b + d),

với f ∈ G r ∈ R, f(x) = ax + b rf hàm số xác định (rf)(x) = rax + rb

Chứng minh G R- không gian vectơ

4 Cho F tập hàm số biến số x xác định R (và lấy

giá trị R) với phép cộng phép nhân với số thực xác định sau:

với f, g ∈ F, f + g hàm số xác định (f + g)(x) = f(x) + g(x);

với f ∈ F r ∈ R, rf hàm số xác định (rf)(x) = r.f(x) Chứng minh F R-không gian vectơ

5 Cho A B hai K-khơng gian vectơ Trên V = B, xác định

phép cộng phép nhân với số thuộc trường K sau:

(α1,β1) + (α2,β2) = (α1+α2,β1+β2), với α1, α2 ∈ A, β1, β2 ∈ B;

k(α,β) = (kα, kβ) , với k ∈ K, α ∈ A, β ∈ B

Chứng minh V K-không gian vectơ

6 Trên tập A = {a} xác định phép cộng phép nhân với số

thực sau:

a + a = a, = a, với r ∈ R Chứng minh A R-không gian vectơ

§2 KHƠNG GIAN CON 7 chứng minh rằng:

c) Q 2 không gian Q-không gian vectơ R, (xem tập 2f, §1) ;

d) R- không gian vectơ G không gian R-không gian vectơ F, (với G F không gian tập 4, §1)

e) Tập Dn gồm đa thức đa thức Q[x] có bậc bé hay

bằng n, (n số tự nhiên), không gian Q-không gian vectơ

Q[x]

8 Các tập hợp sau cớ phải không gian không gian

vectơ R3 không?

a) E = {(a1, a2, a3 | ai ∈ R, i = 1, 3};

b) F = {(a1, a2, - a1) | ∈ R, i = 1, 2};

c) B = {(a1, a2, a1a2) | ∈ R, i = 1, 2};

d) G = {(a1, a2, a1 + a2) | ∈ R, i - 1, 2};

e) C = {(a1, a2, a2) | ∈ R, i = 1, 2};

f) H = {(a1, a2, a3) | a1 + a2 + a3 = ai ∈ R, i = 1, 2, 3};

9 Tập hợp số ngun có phải khơng gian không

gian vectơ R trường Q hay không?

10 Tập hợp đa thức bậc chẵn thuộc R[x] có phải khơng

gian R [x] không?

11 Giả sử W không gian không gian vectơ R4, (a 1, a2,

4, a4) ∈ W Chứng minh với r ∈ R có (b1, b2, r, b4) ∈ W

12 Giả sử U W hai không gian K-không gian vectơ V

thoả mãn điều kiện V = U ∪ W Chứng minh V = U V = W

13 Giả sử W1, W2, , Wm không gian vectơ

K-không gian vectơ V Chứng minh U = I m i i W =

không gian V

14 Cho V R-không gian vectơ, α ∈ V Chứng minh tập

Rα = {rα | r ∈ R} không gian V Rα được gọi không gian sinh vectơ α.

Chứng minh U + W giao tất không gian V chứa U ∪ W

§3 SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH-SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 16 Cho ba vectơ α1 = (2, 0, 3), α2 = (0, 2, -1), α3 = (1, 2, 3) thuộc

R3 Hãy biểu thị tuyến tính vectơ

β = (5, - 2, 1) qua ba vectơ cho 17 Cho ba vectơ α1 = x - 1, α2 = 1, α3 = x2 + thuộc R[x] Hãy

biểu thị tuyến tính vectơ β = x2 - x + qua ba vectơ cho

18 Xét xem hệ vectơ sau R3 hệ độc lập tuyến tính?

a) α1 = (4, 0, 1), α2 = (2, 0, 1), α3 = (1, 2, 1);

b) α1 = (1, 2, 3), α2 = (4, 5, 6), α3 = (5, 7, 9);

c) α1 = (1, 2, 3), α2 = (4, 5, 6), α3 = (9, 8, 7);

d) α1 = (1, 2, 3), α2 = (4, 5, 6), α3 = (2, -1, 0)

19 Xét xem hệ vectơ sau R[x] hệ độc lập tuyến tính:

a) α1 = 1, α2 = x, α3 = x2;

b) α1 = 1, α2 = x + 1, α3 = x2+ 1, α4 = 2x2 + x +

20 Cho hai vectơ α = (3, a + b, 5), β = (a + 1, b - 2, 10) Q3

Tìm a b để hai vectơ phụ thuộc tuyến tính

21 Cho ba vectơ α1, α2, α3 K-khơng gian vectơ V, độc lập

tuyến tính

a) Chứng minh ba vectơ β1 = α1, β2 = α1 + α2 , β3 = α1 + α2

α3 độc lập tuyến tính

bị Chứng minh ba vectơ β1 = α1 + α2, β2 = α2 + α3, β3 = α3+

α1 độc lập tuyến tính

c) Ba vectơ β = α1 + α2, β2 = α2 + α3, β4 = α3 - α1 có độc lập

tuyến tính khơng?

Rα1, Rα2 không gian V sinh α1, α2

Rα1 ∩ Rα2 = 0.

§4 CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ

23 Cho {ε1, , εi, , εn} sở không gian vectơ V

Chứng minh rằng:

a) Nếu thay εi rεi’ (với r ≠ 0) hệ vectơ thu

cơ sở V;

b) Nếu ta cộng vào εi tổ hợp tuyến tính vectơ cịn lại

được sở V

24 Chứng minh hệ vectơ sau sở không gian

vectơ R3:

25 Các hệ vectơ sau có phải sở không gian vectơ R4

không:

26 chứng minh ba vectơ ε1, ε2, ε3 lập thành sở

K-không gian vectơ V ba vectơ ξ1 = ε1 + ε2, ξ2 = ε2 + ε3, ξ3 = ε3+

ε1 lập thành sở V

27 Gọi P3 không gian vectơ gồm đa thức đa thức f(x) ∈

R[x] có bậc f(x) ≤ Chứng minh hai hệ vectơ:

ε1 = 1, ε2 = x, ε3= x2, ε4= x3;

ξ1 = 1, ξ2= x - 1, ξ3 = (x - 1)2, ξ4 = (x - 1)3

là hai sở P3

28 Chứng minh {ε1, , ε2, , εn} sở

R-khơng gian vectơ V V = ∑

= n

1 i

Rεi Rεi ∩ ∑

≠1 j

{1, 2, , n}, ∑

≠1 j

Rεj tổng Rεj, (chẳng hạn, Rε3 ∩

(Rε1 + Rε2 + Rε4 + + Rεn) = {0} Người ta nói V tổng trực

tiếp không gian Rεi, i ∈ {1, 2, , n}

§5 SỐ CHIỀU CỦA KHƠNG GIAN VECTƠ

29 Tìm số chiều khơng gian vectơ V sinh hệ vectơ sau:

30 Giả sử U, W hai không gian không gian vectơ V V

= U + W Chứng minh dimV = dimU + dimW U ∩ W = {0}

31 Giả sử U, W hai không gian thực không gian vectơ

V, U ≠ W

a) Nếu dimV = 3, dimU = dimW = dim(U ∩ W) bao nhiêu?

b) dimV = 6, dimU = dimW = dim(U ∩ W) bao nhiêu?

32 Trong R4, không gian U sinh hai vectơ

α1 = (-1, 1, 1, 1),

α2 = (1, 2, 1, 0), không gian W sinh hai vectơ β1 = (2, -1, 0, 1),

β2 = (0, - 5, 6, 0) Tìm dim(U + W) dim(U ∩ W)

33 Cho hệ vectơ {α1, α2, α3, α4} sở không gian vectơ

V U không gian sinh {α1, α2, α3,}, W không gian sinh

bởi {α2, α3, α4,}

a) chứng minh {α2, α3} sở U ∩ W

b) Tìm sở số chiều U + W

35 Tìm tọa độ vectơ α = (5, - 2, 4, 1) sở:

36 Biết tọa độ vectơ sở (ε) sau:

α(0, -5, 4, 1), β (2, 7, 0, 9), γ(4, 0, 1, 2)

Tìm tọa độ vectơ sau sở (ε):

37 Gọi P3 không gian vectơ gồm đa thức đa thức f(x) ∈

R[x] có bậc f(x) ≤

a) Chứng minh rằng: (ε) : hai sở khơng gian P3

b) Tìm ma trận chuyển từ sở (ε) sang sở (ξ)

c) Tìm tọa độ vectơ f(x) = 2x3 - x + sở (ξ)

§5 SỐ CHIỀU CỦA KHƠNG GIAN VECTƠ

29 Tìm số chiều khơng gian vectơ V sinh hệ vectơ sau:

30 Giả sử U, W hai không gian không gian vectơ V V

= U + W Chứng minh dimV = dimU + dimW U ∩ W = {0}

31 Giả sử U, W hai không gian thực không gian vect(

a) Nếu dimV = 3, dimU = dimW = dim(U∩W) bao nhiêu? b) Nếu dimV = 6, dimU = dimW = dim(U∩W) bao nhiêu?

32 Trong R4, không gian U sinh hai vectơ

α1 = (1, 1, 1, 1)

α2 = (1, 2, 1, 0), không gian W sinh hai vectơ β1 (2, -1, 0, 1) β2

= (0, - 5, 6, 0) Tìm dim(U + W) dim(U → W)

33 Cho hệ vectơ {α1, α2, α3, α4} sở không gian vectơ

V U không gian sinh {α1, α2, α3}, W không gian sâu

bởi {α2, α3, α4}

a) Chứng minh {α2, α3} sở U ∩ W

b) Tìm sở số chiều U + W

a) Dùng hạng hệ vectơ để chứng tỏ hai hệ vectơ hai cơ sở R4

b) Tìm ma trận chuyển từ sở a sang sở b c) Tìm tọa độ α = (2, 0, 4, 0) sở b

d) Dùng công thức đổi tọa độ để tính tọa độ α đối với sở

42 a) Chứng minh phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi

hạng ma trận

b) Bạn tự tìm hệ vectơ không gian R4 dùng phép biến đổi sơ cấp để chứng tỏ hệ vectơ độc lập tuyến tính

VÀI NÉT LỊCH SỬ

Khái niệm không gian vectơ xuất muộn nhiều so với khái niệm định thức Leibnitz người phát khái niệm định thức ơng người có cơng lao đáng kể việc đề xướng khái niệm không gian vectơ Bắt nguồn từ ý tưởng muốn dùng đại số để nghiên cứu hình học, cụ thể, muốn dùng đại số để miêu tả lượng khác hình học mà miêu tả vị trị điểm hướng đường thẳng hình học, Leibnitz quan tâm đến cặp điểm (tuy nhiên, ông chưa phân biệt thứ tự hai điểm)

Hơn 100 năm sau Leibnitz qua đời, tức vào năm 1833, cơng trình ơng vấn đề công bố người ta treo giải thưởng cho phát triển ý tưởng Leibnitz cơng trình Năm 1835, Mưbius thơng báo tin này, Grassmann, giáo viên thể dục

trường học thành phố Stetin thuộc nước Đức, với lòng ham mê tốn học, sau gần năm làm việc, trình bày cơng trình cấu trúc tương tự khơng gian vectơ Từ năm 1832 Grassmann tìm dạng vectơ luật học ông ý tới tính giao hốn, kết hợp phép cộng vectơ Cơng trình ơng q tổng qt nên đến năm 1840 nhà tốn học khơng hiểu ý tưởng ơng Vì có

vẫn giáo viên thể dục thành phố Stettin, quê hương ông

Việc biểu diễn hình học số phức bước tiến q trình hình thành khơng gian vectơ Năm 1837,

Hamilton cơng bố cơng trình số phức biểu diễn cặp số thực Đến năm 1841, ông quan tâm đến n số thực muốn có kết tương tự số phức (tức cặp số) Chính tiếp cận với khơng gian vectơ Sự quan tâm đến ba số thực dẫn ông tới khái niệm quaternion ông dùng khái niệm để nghiên cứu tốn lí Sau nhà vật lí người Anh J C Maxwell (1831-1879) nhà vật lí người Mỹ J W Gibbs phát triển thành không gian vectơ Các thuật ngữ

vectơ vô hướng Maxwell đề xướng Hamilton định nghĩa khái niệm tích vectơ

Chương III

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

MỞ ĐẦU

Ta biết tập hợp liên hệ với ánh xạ Giả sử A B hai tập hợp không rỗng, ánh xạ từ A đến B quy tắc cho ứng với phần tử a ∈ A phần tử f(a) ∈ B; f(a) gọi ảnh a Ánh xạ từ tập A đến tập B kí hiệu f: A → B Ánh xạ f xác định biết ảnh a∈A Các ánh xạ phân loại thành đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Nếu X ⊂ A tập hợp

f(x) = {b∈B | b = f(x) với x thuộc X} gọi ảnh X

Nếu Y ⊂ B tập hợp

f-1(y) = {a∈A | f(a)∈Y} gọi ảnh ngược (hay tạo ảnh) Y; v.v

Bây giờ, không gian vectơ, chúng tạo thành phần tử, mà cịn phép tốn Vì mối liên hệ chúng phải thể ánh xạ có liên quan đến phép tốn Đó ánh xạ tuyến tính

Chương dành cho việc nghiên cứu ánh xạ tuyến tính, gồm: - Khái niệm ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu khơng gian vectơ, dạng ánh xạ tuyến tính : đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

- Sự xác định ánh xạ tuyến tính (ở ta thấy muốn xác định ánh xạ tuyến tính cần biết ảnh vectơ sở)

đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu, mối liên hệ chiều không gian nguồn với số chiểu ảnh hạt nhân

Trên tập ánh xạ tuyến tính từ khơng gian V đến khơng gian W xác định phép cộng hai ánh xạ phép nhân ánh xạ với số làm cho tập ánh xạ trở thành không gian vectơ Đó điều mà bạn đọc cần nắm vững để hiểu khái niệm giá trị riêng vectơ riêng tự đồng cấu, nghiên cứu tiếp chương V

Ánh xạ tuyến tính cịn nghiên cứu tiếp chương sau Nó cịn mở rộng thành khái niệm ánh xạ nửa tuyến tính, đa tuyến tính, đa tuyến tính thay phiên Song giáo trình chưa thể trình bày đảng ánh xạ Một dạng đặc biệt ánh xạ đa tuyến tính trình bày chương VI Đó dạng song tuyến tính

Để hiểu điều trình bày chương này, bạn đọc cần nắm vững từ thức học khơng gian vectơ

§1 ĐỊNH NGHĨA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - SỰ XÁC ĐỊNH MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1. Giả sử V W hai K-không gian vectơ Ánh xạ f: V

→W gọi ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu nếu:

với α,β , thuộc V r ∈ K f(α ) gọi ảnh α

Nếu W = V ánh xạ tuyến tính f gọi tự đồng cấu.

Ví dụ Giả sử V K-không gian vectơ Ánh xạ 1v = V → V

là ánh xạ tuyến tính Nó gọi đồng cấu đồng V Ví dụ Giả sử U không gian K-không gian vectơ V, ánh xạ j : U → V xác định

j(α) = α, với α ∈U

là ánh xạ tuyến tính Nó gọi phép nhúng tắc

Ví dụ Giả sử V W hai K-không gian vectơ ánh xạ f V → W xác định

F(α) = 0w với α ∈ V

là ánh xạ tuyến tính Nó gọi đồng cấu khơng

Bạn đọc dùng định nghĩa ánh xạ tuyến tính để tự kiểm tra ba ánh xạ nói ánh xạ tuyến tính

Ví dụ Ánh xạ f: R3 → R2 xác định

f((a1, a2, a3)) = (a1, a2), với α = (a1, a2, a3) ∈ R3 ánh xạ

tuyến tính

Thật vậy, cần kiểm tra điều kiện định nghĩa; với α (a1,

a2, a3), β= (b1, b2, b3) thuộc R3 r ∈ R, ta có:

Ví dụ Giả sử Pn Pn-1 R-không gian vectơ gồm đa

thức đa thức thuộc R[x] với bậc không n không n - 1, d: Pn → pn-1 phép lấy đạo hàm: d(f(x)) = f '(x) Thế d

một ánh xạ tuyến tính

Thật vậy, với hai đa thức α = f(x), β = g(x) r ∈ R, ta có:

Ví dụ 6 Giả sử a = {α1, α2, , αn} hệ vectơ không gian

Rm Ánh xạ (cũng kí hiệu a)

Với γ = (c1, c2, , cn) ∈ Rn, a(γ) – c1α1 + c2α2 + + cnαn ∈

Rm, ánh xạ tuyến tính

Thật vậy, với γ = (c1, c2, , cn), δ = (d1, d2, , dn) ∈ Rn với r

∈ R, ta có:

γ + δ = (c1 + d1, c2 + d2, , cn + dn) rγ = (rc1, rc2, , rcn)

Theo định nghĩa ánh xạ a, ta có:

Vậy a ánh xạ tuyến tính

Hệ

1) Ánh xạ f: V → W ánh xạ tuyến tính khi:

f(rα + sβ) = rf(α) + sf(β), với α, β thuộc V r, s thuộc K

2) Nếu f: V → W ánh xạ tuyến tính f(0v) = 0w, 0v

và 0w vectơ không V W

Chứng minh 1) Xin dành cho bạn đọc

2) Vì 0α = 0v, f ánh xạ tuyến tính nên

f(0v) = f(0 α) = 0f(α) = 0w 

Ánh xạ tập hợp phân thành đơn ánh, toàn ánh, song ánh Tương ứng với chúng, ánh xạ tuyến tính phân thành đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu

Khi có đăng cấu f từ khơng gian vectơ V đen khơng gian vectơ W thì ta viết:

f: V ≅ W và nói V W đẳng cấu với

Ví dụ Ánh xạ đồng đẳng cấu Ví dụ 8 Phép nhúng tắc đơn cấu

Ví dụ Ánh xạ tuyến tính f: R3 → R2 ví dụ 4, mục 1.1, toàn cấu Thật với δ = (a1, a2) ∈ R2 tồn vectơ α(a1, a2, 0)

∈ R3 mà

f(α) = f((a1, a2, 0) = (a1, a2) = δ

Điều chứng tỏ ánh xạ tuyến tính f tồn ánh Vậy f toàn cấu

Mệnh đề Ánh xạ tuyến tính f : V → W đẳng cấu tồn ánh xạ tuyến tính f -1: W → V cho f -1f = 1v, ff-1= 1w

Chứng minh “⇒” Giả sử hà đẳng cấu Khi bà song ánh Do tồn ánh xạ ngược f -1 cho f-1f - 1v, ff-1 = 1w Ta phải

chứng minh f-1 ánh xạ tuyến tính; nghĩa phải chứng minh rằng: f-1(rα + sβ) = rf-1(α) + sf-1(β), với α,βthuộc W r, s∈K

Vì ff-1 = 1w nên:

Theo giả thiết, f ánh xạ tuyến tính Do đó:

(2) Từ (1) (2) suy ra:

Vậy f-1 ánh xạ tuyến tính

“⇒” Nếu f-1f = 1v, ff-1 = 1w (như biết phần tập hợp) f

Ta thấy từ K-không gian vectơ V đến K-khơng gian W tuỳ ý ln ln có đồng cấu khơng Ngồi đồng cấu khơng cịn có đồng cấu khác có cách để xác định chúng?

1.2 Sự xác định ánh xạ tuyến tính

Định lí. Giả sử V, W hai K-khơng gian uectơ, (ε) ={ ε 1, , ε 2, ,

ε n} sở V δ 1, δ 2, , δ n n vectơ tuỳ ý W Khi

tồn ánh xạ tuyến tính f: V → W cho f(εi) = δ i, với

mọi i ∈ {1, 2, , n}

Chứng minh Trước hết ta xác định ánh xạ f: V → W sau: với α = r1ε1 + r2ε2 + + inεn ∈ V, ta đặt

f(α) = r1β1 + r2β2 + + rnβn ∈ W

Đó thực ánh xạ (ε) sở v nên với α, n số ri

xác định nhất; f(α) xác định Ta phải kiểm tra f ánh xạ tuyến tính Với α = r1ε1 + r2ε2 + + inεn) β= s1ε1

+ s2ε2 + + snεn ∈ V k ∈ K, ta có:

Theo định nghĩa f thì:

Hơn nữa, với εi ta viết:

Giả sử có ánh xạ tuyến tính f’: V → W thoả mãn điều kiện f’(εi) =

δi, với i ∈ {1, 2, , n} Vì f' ánh xạ tuyến tính nên với α

Vậy f' = f, tức f xác định  Ý nghĩa định lí:

1) Muốn xác định ánh xạ tuyến tính cần xác định ảnh vectơ sở

2) Mỗi hệ n vectơ W xác định ánh xạ tuyến tính từ V đến W Như vậy, có vơ số ánh xạ tuyến tính từ V đến W W ≠0.

Ví dụ Cơ sở (ε) R3 gồm

ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0,

1) ba vectơ δ1 = (0, 2), δ2 = (1, -1), δ3 = (3, 0) thuộc R2 xác định

nhất ánh xạ tuyến tính f: R3 → R2 cho f(εi) = δ1, i = 1, 2, Khi đó,

với α = (a1, a2, a3) ∈ R3,

Khi xét ánh xạ hai tập hợp ta định nghĩa khái niệm ảnh ảnh ngược Chẳng hạn, f: X → Y ánh xạ, A ⊆ X, B ⊆ Y,

Tập hợp f(A) = {f(a) ∈ Y | a ∈ A} gọi ảnh A,

Tập hợp f -1(B) = {x E x | f(x) ∈ B} gọi ảnh ngược B Nói chung, chúng khơng có đặc điểm Song, khơng gian vectơ tập hợp có phép tốn ánh xạ tuyến tính bị ràng buộc phép tốn nên hẳn ảnh ảnh ngược có đặc điểm riêng

§2 ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 2.1 Định nghĩa tính chất

Định nghĩa. Giả sử V, W hai K-không gian vectơ, f: V → W một ánh xạ tuyến tính, A ⊆ V, B ⊆ W

ảnh A.

Tập hợp f-1(β) = {α ∈ V | f(α) ∈ B} gọi ảnh ngược (hay tạo ảnh+ B.

Nói riêng, f(V) gọi ảnh V hay ảnh f kí hiệu Imf f1(0w) gọi hạt nhân f kí hiệu Kerf

Ví dụ Cho ánh xạ f: R4 → R3xác định bởi: Dễ thấy f ánh xạ tuyến tính

Từ suy ra:

Ví dụ Ánh xạ g: R4 → R3 xác định bởi: f(a1, a2, a3, a4) (a1, a2, a3)

g ánh xạ tuyến tính

Img = { (a1, a2, a3) | ai ∈ R, i = 1, 2, 3} = R3,

Từ suy

Ví dụ Cho ánh xạ h: R2 ~ R3 xác định f(a1, a2) = (a1, a2, a1- a2)

Ví dụ Xét ánh xạ a: Rn → Rm ví dụ 6, mục 1.1

Điều có nghĩa Im~l không gian sinh hệ vectơ

Định lí Giả sử V, W hai K-khơng gian vectơ, f V→ W ánh xạ tuyến tính, A không gian V, B khơng gian của W Khi đó:

1) f(A) 1à không gian W Hơn hệ vectơ {γ 1, ,

γ m} hệ sinh A hệ vectơ {f(γ 1), , f(γ m)} hệ sinh

của f(A);

2) f -1(B) không gian V

Chứng minh 1) Vì 0v ∈ A nên 0w = f(0v) ∈ f(A); tức f(A) ≠ ∅

Giả sử β1, β2 thuộc f(A) r, s thuộc K Theo định nghĩa f(A) tồn

tại α1, α2 thuộc A cho β1 = f(α1), β2 = f(α2) Vì f ánh xạ

tuyến tính nên

Vì A không gian V nên rα1 + sα2 ∈ A Do

rβ1+ sβ2 = f(rα1 + sα2) ∈ f(A)

Theo định lí 2.2, Ch.II, f(A) không gian W

Bây giả sử {γ1, , γm} hệ sinh A Khi f(γi) ∈ f(A)

với i ∈ {1, , m} Với β ∈ f(A), tồn α ∈ A cho β =

f(α) Nhưng α tổ hợp tuyến tính hệ vectơ {γ1, , γm} chẳng

Do

Vậy f(A) sinh hệ vectơ {(fγ1), , f(γm)}

2) Vì f(0v) = 0w ∈ B nên 0v ∈ f -1(B); nghĩa f -1(B) ≠ ∅ Giả sử

α1, α2 thuộc f-1(B) r, s thuộc K Theo định nghĩa ảnh ngược,

f(α1), f(α2) thuộc B Vì B không gian W, f ánh xạ

tuyến tính nên

Do

Lại theo định lí 2.2, Ch.II, f-1(B) khơng gian V  Từ ta có hệ sau

Hệ Giả sử f: V → W ánh xạ tuyến tính

Khi đó:

1) Imf khơng gian W 2) Kerf không gian V

Hệ Giả sử f: V → W ánh xạ tuyến tính 1) f toàn cấu Imf = W

2) f đơn cấu Kerf = 0v

Chứng minh 1) Hiển nhiên

2) “⇒” Giả sử f đơn cấu α ∈ Kerf Khi f(α) = 0w = f(0v) Vì f đơn cấu nên α = 0v Suy Kerf = {v}

“⇐” Giả sử Kerf = {0v} Để chứng minh f đơn cấu ta phải

chứng minh f(α1) = f(α2) α1 = α2 Nhưng f(α1) = f(α2)

Điều có nghĩa α1 - α2 ∈ Kerf Suy α1 - α2 = 0v Kerf =

{0v} Do α1 = α Vậy f đơn cấu 

Ví dụ Ánh xạ tuyến tính g: R4 → R3 ví dụ 2, tồn cấu

vì Img = R3

Ví dụ Ánh xạ tuyến tính h: R2 → R3 ví dụ 3, đơn cấu Kerh = {0}

Khi f: V → W ánh xạ tuyến tính Kerf khơng gian V cịn Imf không gian W Tuy nhiên số chiều chúng có mối liên quan chặt chẽ với số chiều không gian nguồn V

2.2 Liên hệ số chiều ảnh, hạt nhân không gian nguồn Định lí. Giả sử f V → W ánh xạ tuyến tính Khi đó, dimV = dimImf + dimKerf.

Chứng thinh Giả sử Imf có sở (ξ) = {ξ1, ξ2, , ξm} Với ξi

ta chọn εj cố định thuộc V cho f(εj) = ξj Khi {ε1, , ε2, ,

εm} hệ vectơ độc lập tuyến tính V

Vì hệ vectơ (ξ) độc lập tuyến tính nên r1 = r2 = rm =

Gọi U không gian V sinh hệ vectơ {ε1, , ε2, , εm}

ta chứng minh V = Kerf + U Với α ∈ V, ta có f(α) ∈ Imf Vì (ξ) sở Imf nên

Điều có nghĩa α - ∑

− m

1 j

j jε

s ∈ Kerf

Hơn U ∩ Kerf = 0 Thật vậy, α ∈ U ∩ Kerf thì, chẳng hạn,

Vì (ξ) sở Imf nên x1 = x2 = = xm = 0; suy α = 0.

Do U ∩ Kerf = 0 Theo định lí 2, mục 5.2, Ch.II dimV = dimU + dimKerf - dim(U ∩ Kerf) Nhưng dim(U ∩ Kerf) = dimU = m = dimImf Vậy dimV = dimImf + dimKerf 

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f: R4 → R2 xác định bởi: f(a1, a2, a3, a4) = (a1 - a2, a3)

Tìm số chiều Imf Kerf Giải

Gọi (ε) sở tắc R4 Theo định lí , mục 2.1, Imf sinh hệ vectơ f(ε) = {f(ε1), f(ε2), f(ε3), f(ε4)} Do cần tìm hạng hệ

vectơ (f(ε) Theo định nghĩa ánh xạ f, ta có:

Dễ thấy hạng ma trận Do dimImf = Theo định lí trên, ta có:

dimKerf = dimR4 - dimImf = - =

Nhờ định lí trên, ta có mối liên hệ hai không gian vectơ đẳng cấu

2.3 Sự đẳng cấu hai không gian số chiều

Định lí Hai K-khơng gian vectơ đẳng cấu chúng có

cùng số chiều

Chứng minh “⇒” Giả sử f V ≅ W đẳng cấu Khi f đồng thời đơn cấu tồn cấu Do Kerf = Imf = W Theo định lí 2.2,

dimV = dimW + dimKerf Vì dimKerf = nên

dimV = dimW

“⇐” Giả sử dimV = dimW - n , (ε) = {ε1, , ε2, , εn} sở

của v, (ξ) = {ξ1, ξ2, , ξn} sở w Theo định lí mục

1.2, có ánh xạ tuyến tính

f: V →W s ao cho f(εi) = ξi, với i ∈ {1, , , n}

Theo định lí 2.2, Imf sinh hệ sở (ξ) Do Imf = W; nghĩa f tồn cấu Theo định lí 2.2,

dimKerf = dimV - dimImf = dimV - dimW = Theo hệ 2, mục 2.1, f đơn cấu

Vậy f: V ≅ W 

Hệ Giả sử V W hai K-khơng gian vectơ Ánh xạ tuyến tính

Chứng minh Xin dành cho bạn đọc 

Theo định lí đây, R-không gian vectơ n chiều đẳng cấu với khơng gian Rn Vì thế, muốn nghiên cứu tính chất chung

R-không gian vectơ, cần nghiên cứu R-không gian Rn Điều cho thấy tầm quan trọng khơng gian Rn

§3 CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP CÁC ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - HOMK(V, W)

Kí hiệu tập hợp ánh xạ tuyến tính từ K-khơng gian vectơ V đến

K-không gian vectơ W HomK(V, W) Ta xác định phép toán

trên HomK(V, W)

3.1 Phép cộng hai ánh xạ tuyến tính

Mệnh đề định nghĩa Với hai ánh xạ tuyến tính f, g ∈

HomK(V, W), ánh xạ f + g: V → W xác định bởi:

là ánh xạ tuyến tính.

f + g gọi tổng hai ánh xạ tuyến tính f g Chứng minh Thật vậy, với α, β ∈ V với r, s ∈ k, ta có:

Vậy f + g ánh xạ tuyến tính 

Ví dụ Cho f, g ∈ HomK(R4, R2), xác định bởi:

Xác định f + g Tìm Im(f + g) Ker(f + Giải

Như với (x1, x2) ∈ R2, chọn a1 =

2

x1 a4 = x2,

nghĩa f + g toàn cấu Vậy Im(f + g) = R2

Suy

3.2 Phép nhân ánh xạ tuyến tính với số

Mệnh đề Với ánh xạ tuyến tính f ∈ HomK(V, W) số k ∈ K, ánh xạ kf: V → W xác đinh bởi:

là ánh xạ tuyến tính

kf gọi tích ánh xạ tuyến tính f số k

Với k = - 1, ánh xạ (- 1)f gọi ánh xạ đơi f kí hiệu bởi – f

Chứng minh Xin dành cho bạn đọc 

Ví dụ Cho P2 không gian vectơ gồm đa thức đa thức có

bậc bé hay 2, thuộc R[x], ánh xạ f: P2 → R3 xác định bởi:

Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 3f đẳng cấu Giải

r(ax2 + bx + c) + s(a'x2 + b'x + c’) = (ra + sa')x2 + (rb + sb')x + rc + sc' Theo giả thiết

f(r(ax2 + bx + c) + s(a'x2 + b'x + c')) = f((ra + sa')x2 + (rb + sb')x + rc + sc')

= (ra + sa', -(rb + sb'), -(rc + sc')) = r(a, -b , -c) + s(a', -b', - c') = rf(ax2 + bx + c) + sf(a'x2 + b'x + c')

Theo hệ mục 1.1, f ánh xạ tuyến tính • Bây ta chứng minh 3f đẳng cấu Trước hết, ax2 + bx + c ∈ Ker3f

(0, 0, 0) = 3f(ax2 + bx + c) = 3(a, -b, -c) = (3a, -3b, -3c)

Suy 3a = - 3b = - 3c = hay a = b = c = Do Kerf= {0} Vậy f đơn cấu

Với (r1, r2, r3) ∈ R3 , chọn đa thức

3 r1

x2 -

3 r2

x -

3 r3

∈ P2

Điều chứng tỏ 3f toàn cấu

Vậy f: P2 ≅ R3

3.3 Không gian vectơ HomK(V, W)

Mệnh đề Phép cộng hai ánh xạ tuyến tính phép nhân ánh xạ

tuyến tính với số thoả mãn tính chất sau: f+ g = g + f,

(f+ g) + h = f+ (g + h);

f+ = f đồng cấu không; f+ (- t) = 0;

1f= f,

với f, g, h thuộc HomK(V, W), k, 1, thuộc trường K Nói cách khác HomK(V, W) K-không gian vectơ

Chứng minh Với định nghĩa hai phép tốn nói trên, bạn đọc dễ dàng kiểm tra tính chất 

3.4 Tích hai ánh xạ tuyến tính

Mệnh đề Giả sử f: V → W, g: W~ Um hai ánh xạ tuyến tính Thế thì ánh xạ gf : V → U xác định (gf)(α ) = g(f(α )), với α ∈ V, cũng ánh xạ tuyến tính

Nó gọi tích hai ánh xạ tuyến tính f g

Chứng minh Vì f g ánh xạ tuyến tính nên với α, β ∈ V

và với r, s ∈ K, ta có:

Điều chứng tỏ gf ánh xạ tuyến tính  Ví dụ Cho f R3 → R4 g: R4 → R2 xác định bởi:

Khi ánh xạ tuyến tính gf xác định bởi:

Ta thấy tích gf xác định tập nguồn g tập đích f Do V ≠ W thì, nói chung, HomK(V, W) khơng có khái niệm tích nói hai ánh xạ tuyến tính

Mệnh đề Giả sử f, g , h ánh xạ tuyến tính Khi đó:

h (gf) = (hg)f,

h(f + g) = hf + hg, (f + g)h = fh + gh, nếu phép toán hai vế đẳng thức có nghĩa.

đẳng thức h(f + g) = hf + hg

Giả sử f, g: U → V, h: V → W, ta phải chứng tỏ h(f + g)(α) = (hf + hg)(α), với α ∈ U Theo cách xác định tổng hai ánh xạ, ta có

(f + g)(α) – f(α) + g(α) Theo cách xác định tích hai ánh xạ ta có: Vì h ánh xạ tuyến tính nên:

Lại theo định nghĩa tích hai ánh xạ, ta được: Lại theo định nghĩa tổng hai ánh xạ:

Kết cục h(f + g)(α) = (hf + hg)(α), với α ∈ U

Vậy h(f + g) = hf + hg

TÓM TẮT

V, W, U K-không gian vectơ

f: V → W, ánh xạ tuyến tính f(α + β) - f(α) + f(β),

f(rα) = rf(α) hay

f(rα) + sβ) = rf(α) + sf(β) , với α, β∈ V, r, s ∈ K Nếu (ε) = {ε1, εn} sở v hệ vectơ {δ1, , δn}

W xác định ánh xạ tuyến tính f : V → W cho f(εi) = δi,

với i ∈ {1, , n}

f đơn cấu đơn ánh, tồn cấu tồn ánh đẳng cấu đồng thời đơn cấu toàn cấu

f: V ≅ W ⇔ dimV = dimW

Ánh xạ tuyến tính f tạo nên mối liên hệ tập không gian V tập không gian W

A không gian V

f(A) = {β ∈ W | β = f(α) với α ∈ A} không gian W

B khơng gian W thì:

f lại) = {α ∈V | f(α) ∈ B } không gian V

Imf = f(V) gọi ảnh V hay ảnh f, Kerf = f-1{0w}

gọi hạt nhân f

Nếu {α1, α2, , , αm} hệ sinh khơng gian vectơ V

{(α1), f(α2), , , f(αm)} hệ sinh Imf

f : V → W toàn cấu ⇔ Imf = W, hà đơn cấu ⇔ Kerf = {0}

dimV = dimImf + dimKerf

f + g xác định bởi: (f + g) (α) - f(α) + g(α), kf xác định bởi: (kf)(α) = kf(α), với α ∈ V

BÀI TẬP

§1 ĐỊNH NGHĨA - SỰ XÁC ĐỊNH MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 Trong ánh xạ sau đây, ánh xạ 1à ánh xạ tuyến tính?

a) f: R3 → R3 xác định f(a

1, a2, a3) = (a1, 0, 0),

b) g: R3 → R3 xác định g(a1, a2, a3) = (a1, 0, a1-a2);

c) h: R3 → R3 xác dịnh h(a1, a2, a3) = (a1, a2-2 , 0);

d) k: R3 → R2 xác định k(a

1, a2, a3) = (a1, a2 + a3);

e) l: R3 → R2 xác dịnh l(a1, a2, a3) = (a1, a2a3);

f) P: R3 → R2 xác định p(a1, a2, a3) = (a1, 3a2);

g) q: R3 → R4 xác định q(a1, a2, a3) = (a1, a1-a2, 0, a2-a3);

h) t: R3 → R3 xác định t(a1, a2, a3) = (a1, a1 + a2,a3) ?

2 Trong ánh xạ tập 1, ánh xạ 1à đơn cấu, toàn cấu,

đẳng cấu ?

3 Cho ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1) 1ập thành sở

chính tắc R3 ba vectơ

δ1 = (1, 2, 0), δ2 = (1, 0, -1), δ3 (0, - 2, 2)

Ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định f(

εi) = δi = 1, 2, Tìm

ảnh vectơ α = (- 3, 0, 5), β= (2, 2, - 7), γ= (0, 5, 0) , δ = (x1, x2,

x3)

4 Cho vectơ α1 = (2, 3, 1), α2 = (0, 1, 2), α3 = (1, 0, 0), δ1 = (1,

1, -1), δ2 = (1, 1, 1), δ3 = (2, , 2) Chứng minh tồn

một ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 cho f(αi) = δi Tìm f(1, 0, 0)

5 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 thoả mãn điểu kiện:

f(1, 1, 0) = (1, -1 0) , f(1, 0, 1) = (2, 0, 1), f(0, - 1, 0) = (0, - 2, 0) Tìm α cho: f(α) - (3, 0, 0)

6 Cho ánh xạ tuyến tính f : V → W hệ vectơ a = {α1, α2, , αm}

trong V Chứng minh hệ vectơ {f(α1), (α2), , (αm)} độc lập

7 Cho V, W hai K-không gian vectơ, f : V → W đơn cấu

và hệ vectơ a = {α1, α2, , αm} độc lập tuyến tính V Chứng minh

rằng hệ vectơ {f(α1), (α2), , (αm)} độc lập tuyến tính W

8 Cho V, W hai K-không gian vectơ, f : V → W toàn cấu

và hệ vectơ b = {β1, β2, , βm} độc lập tuyến tính W Với βi

ta chọn ã ; cố định cho f(αi) = βi - 1, 2, , m Chứng minh rằng:

a) Hệ vectơ a = {α1, α2, , αm} độc lập tuyến tính V

b) Nếu hệ vectơ a sở V f đẳng cấu §2 ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 9 Xét ánh xạ tuyến tính tập

a) Tìm ảnh hạt nhân ánh xạ

b) Nhờ ảnh hạt nhân suy ánh xạ đơn cấu, tồn cấu c) Tìm số chiều ảnh, hạt nhân ánh xạ

10 Cho P2 R-không gian vectơ gồm đa thức đa thức f(x)

∈ R[x] với bậc f(x) ≤ d: P2 → P2 xác định d(f(x)) = f '(x),

f'(x) đạo hàm f(x) Tìm Imd, Kerd, dimImd, dimKerd

11 Cho A B hai K-không gian vectơ V = A × B K-khơng

gian vectơ với hai phép toán sau:

(α1, β1) + (α2, β2) = (α1 + α2, β1+ β2), k(α , β) = (kα, kβ)

(xem tập 5, Ch II) Chứng minh rằng:

a) Ánh xạ p: V → A xác định p(α, β): α tồn cấu Tìm Kerd

b) Ánh xạ u: B → V xác định u(β) = (0, β) đơn cấu Tìm

Imu

a) Hệ vectơ {f(εr+1), , f(εn)}là sở W

b) Gọi U không gian sinh hệ vectơ {εr+1, , εn} Chứng

minh

f|U: U → W đẳng cấu

§3 CÁC PHÉP TỐN TRÊN CÁC ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 13 Trong trường hợp xác định f + g, f - g, fg, gf

rồi tìm ảnh, hạt nhân, số chiều ảnh, số chiều hạt nhân chúng: a) f: R3 → R3 , f(a1, a2, a3) = (a1, a2, 0),

g: R3 → R3 , g(a

1, a2, a3) = (ai- a2' 0, a3)

b) f: R2 →→→→ R2 , f(a1, a2) = (a1 + a2, a1 - a2),

g: R2 →→→→ R2 , g(a1, a2) = (2a1, 0)

14 Cho f R4 → R3, g: R3 → R2, f(a

1, a2, a3, a4) = (a1 + a2,

a3, a4), g(a1, a2, a3) = (a1, a2 - a3,)

a) xác đinh ánh xạ gf b) Tìm Imgf, Kergf

c) gf có phải tồn cấu khơng?

15 Chứng minh rằng:

a) Tích hai đơn cấu đơn cấu; b) Tích hai tồn cấu tồn cấu; c) Tích hai đẳng cấu đẳng cấu

16 Tổng hai đơn cấu có phải đơn cấu khơng? Cho ví dụ

minh họa câu trả lời Cùng câu hỏi hai toàn cấu

17 Cho f U → V, g: V → W hai ánh xạ tuyến tính Chứng minh

rằng:

a) Nếu gf đơn cấu f đơn cấu; b) Nếu gf tồn cấu g tồn cấu

18 Cho f: V → W ánh xạ tuyến tính Chứng minh rằng:

= Iv, (1v đồng cấu đồng V)

b) Nếu f tồn cấu tồn đơn cấu g: W → V cho fg = 1w, (1w đồng cấu đồng W)

19 Cho f, g ∈ HomK(V, W) Chứng minh rằng: a) Ker(kf) + g) ⊇ Kerf ∩ Kerg;

b) Ker(kf) = Kerf với k ∈ K, k ≠

20 Cho f U →V, g: V → W hai ánh xạ tuyến tính Chứng minh

rằng:

a) Im(gf) = g(Imf); b) Ker(gf) = f-1(Kerg)

21 Cho f: V → W ánh xạ tuyến tính, A không gian

của V, B không gian W Chứng minh rằng: a) f -1(f(A)) = A + Kerf,

b) f(f-1(B)) = W ∩ Imf

22 (Bài tập tổng hợp) Cho f g hai ánh xạ từ không gian vectơ R4 đến R4 xác định :

f(a1, a2, a3, a4) = (a1, a2, - a3, a4), g(a1, a2, a3, a4) = (2a1, a2, a3, - a4)

a) chứng minh f g tự đẳng cấu R4

b) Kí hiệu h = f + g Ánh xạ tuyến tính h có phải đơn cấu, tồn cấu khơng?

c) Tìm sở (ε) Kerh sở (δ) Imh

d) Với vectơ δj sở Imh ta chọn ξj cho h(ξj)

= δj Gọi U không gian vectơ sinh vectơ ξj vừa chọn Chứng

minh R4 tổng trực tiếp U Kerh (xem tập 28, Ch II) e) Tìm vectơ (x1, x2, x3, x4) cho gf(x1, x2, x3, x4) = (- 2, 0, 1, 0)

f) Gọi W không gian R4 sinh hai vectơ α1 = (0, 2, -1,

0), α2 = (1, 0, 1, 0)

VÀI NÉT LỊCH SỬ

Như nói mục vài nét lịch sử chương II, người sáng tạo khái niệm không gian vectơ nhà toán học Đức tên Hermann Gunther Grassmann Sau đó, Peano, nhà tốn học người Italia vào năm 1888, đưa định nghĩa tiên đề không gian vectơ (hữu hạn chiều vô hạn chiều) trường số thực với kí hiệu hồn tồn đại, ông định nghĩa khái niệm ánh xạ tuyến tính từ khơng gian vào không gian khác Peano số người sáng lập phương pháp tiên đề, số người đánh giá đắn giá trị cống hiến Grassmann Sau lâu, Pinkerle thử

phát triển ứng dụng Đại số tuyến tính vào lý thuyết hàm Điều giúp ơng tìm hiểu trường hợp "liên hợp Lagrange đặc biệt" ánh xạ tuyến tính liên hợp mau chóng ảnh hưởng đến khơng việc nghiên cứu phương trình vi phân mà phương trình đạo hàm riêng Kết Pinkerle thể cơng trình Hilbert trường phái ông không gian Hilbert, thể ứng dụng

Chương IV

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

MỞ ĐẦU

Nội dung giáo trình tốn trường Phổ thơng tập hợp số, đa thức, phân thức, hàm số phương trình, có phương trình bậc Ở nghiên cứu cách giải hệ phương trình bậc hai ẩn

Một phương hướng mở rộng tốn học phổ thơng tổng qt hố hệ phương trình bậc Đó hệ phương trình tuyến tính Chương trình bày lý thuyết tổng quát hệ phương trình Ta thấy khơng địi hỏi điều kiện số phương trình, số ẩn Lý thuyết quan trọng hồn thiện nhờ khơng gian vectơ định thức Nó có nhiều ứng dụng khơng nhiều ngành tốn học khác như: Đại số, Hình học; Giải tích; Lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng; Quy hoạch tuyến tính, mà cịn nhiều lĩnh vực khoa học khác kinh tế

Nội dung chương là:

Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt, - Phương pháp giải;

- Hệ phương trình tuyến tính nhất;

- Mối liên hệ nghiệm hệ tổng quát với hệ

Đó vấn đề mà bạn đọc cần nắm vững Bạn đọc cần giải nhiều tập để có kĩ giải hệ phương trình để vận dụng chúng nghiên cứu môn khoa học khác ứng dụng vào thực tế

§1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - PHƯƠNG PHÁP GAUSS

Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa hệ phương trình tuyến tính nói đến mục 6.1, Ch.I

1.1 Định nghĩa

1) Hệ phương trình tuyến tính n ẩn hệ có dạng:

trong x1, x2, , xn ẩn; aij, bi thuộc trường số K, với i ∈ {1, 2, ,

m}, j ∈ {1, 2, , n}

aij gọi hệ số ẩn xj, bi gọi hạng tử tự

2) Một nghiệm hệ (1) n số (c1, c2, , cj, , cn) thuộc

trường K cho thay xj = cj đẳng thức hệ (1)

những đẳng thức số 3) Ma trận

được gọi ma trận hệ số hệ phương trình Ma trận

được gọi ma trận bổ sung hệ phương trình

chúng có tập nghiệm

Ta viết gọn hệ phương trình (1) dạng:

• Nếu coi cột ma trận B vectơ khơng gian Km, chẳng hạn:

thì viết hệ (1) dạng:

và gọi dạng vectơ hệ (1) Như vậy, với ngôn ngữ không gian vectơ giải hệ phương trình (1) tìm hệ số x; cách biểu diễn tuyến tính β qua hệ vectơ {α1 , α2, , αn}

• Nếu xét ánh xạ tuyến tính a xác định hệ vectơ cột a = {α1,

α2, αn} ma trận A, định nghĩa ví dụ 4, mục 2.1, Ch.III

coi ξ = (x1, x2, , xn) vectơ ẩn hệ phương trình (1) có dạng:

A(ξ) = β

Đó dạng ánh xạ tuyến tính hệ (1) Giải hệ phương trình (1) cc nghĩa tìm tập vectơ có dạng γ = (c1, c2, , cn) ∈ Kn cho a(γ)

= β, hay tìm a-1(β)

1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss (khử dần ẩn số)

Ở trường Phổ thông ta biết giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Phương pháp dựa vào định lí sau biến đổi tương đương hệ phương trình

Định lí

3) Nếu nhân phương trình với sơi khác cộng vào phương trình hệ hệ tương đương với hệ cho

Chứng minh Xin dành cho bạn đọc

Dựa vào phép biến đổi ta khử dần ẩn số hệ; nói xác là, biến hệ cho thành hệ tương đương, phương trình cuối số ẩn

Ví dụ Giải hệ phương trình:

Giải

Nhân hai vế phương trình (1) với - 2, - cộng vào phương trình (2) phương trình (3), ta hệ:

Nhân hai vế phương trình (4) với - cộng vào phương trình (5) được:

Từ (6) suy x3 = - Thay x3 = - vào phương trình (4) ta tính

x2 = Thay x2 = 0, x3 = - Vào phương trình (1) ta tìm x1 = Hệ

có nghiệm (1, 0, - 2)

Phương pháp giải gọi phương pháp khử dần ẩn số K Gauss đề xuất nên gọi phương pháp Gauss

Cụ thể, thực phương pháp ta thực phép biến đổi sau dòng ma trận bổ sung B hệ phương trình:

a) Đổi chỗ hai dòng cho nhau;

c) Nhân thành phần dòng với số cộng vào dịng khác

Đó phép biến đổi sơ cấp ma trận nói đến mục 7.4, Ch.II

Chẳng hạn, để giải hệ phương trình ví dụ 1, ta trình bày sau:

(Phần ma trận đứng bên trái gạch thẳng đứng ma trận A)

Nhân dòng thứ với - 2, - 3, cộng vào dòng thứ hai dòng thứ ba:

Nhân dòng thứ hai với - cộng vào dòng thứ ba:

Ma trận cuối ma trận bổ sung hệ phương trình cuối

Giải

Đổi chỗ dòng thứ dòng thứ hai cho nhau:

Nhân dòng thứ với - 4, - 2, - 4, cộng vào dòng thứ hai, thứ ba, thứ tư:

Nhân dòng thứ ba với - cộng vào dòng thứ hai dòng

Nhân dòng thứ hai với - cộng vào dòng thứ ba:

Rõ ràng nghiệm hệ ba phương trình đầu hệ nghiệm phương trình cuối Do cần giải hệ gồm ba phương trình đầu

Hệ có nghiệm nhất: (1, 2, -1) Ví dụ 3 Giải hệ phương trình:

Giải

Đổi chỗ dịng thứ với dòng thứ ba tiếp tục biến đổi ta được:

Ta lại cần giải hệ gồm hai phương trình đầu hệ Viết dạng:

Nếu cho x3 = c3, x4 = c4, với c3, c4 thuộc trường số K vế phải

mỗi phương trình hệ số hệ trở thành hệ Cramer định thức

2

1

− = - ≠ Do x1, x2 xác định đẳng thức:

Như hệ phương trình có nghiệm :

Vì c3, c4 nhận giá trị tuỳ ý K nên hệ có vơ số nghiệm

nói (*) nghiệm tổng quát hệ

Nếu cho c3, c4 giá trị cụ thể ta nghiệm riêng hệ

Chẳng hạn, với c3 = 0, c4 = 1, ta nghiệm riêng (-1, - 2, 0, 1)

Ví dụ Giải hệ phương trình:

Giải

Ma trận cuối ứng với hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho mà phương trình cuối là: 0x1 + 0x2 + 0x3 +

0x4 = - Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ cho vô nghiệm

1.3 Thực phương pháp Gauss máy tính điện tử

Qua ví dụ trên, ta thấy việc giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss thực cách đưa ma trận bổ sung B của hệ dạng mà ta tạm gọi “dạng thu gọn” Do giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp máy tính thực chất yêu cầu máy tính đưa ma trận B dạng thu gọn

Ví dụ Giải hệ phương trình:

Giải Tạo ma trận bổ sung B thu gọn:

{{1, - 5, 4, - 7}, {2, - 9, -1, 4}, {3, - 11, - 7, 17}} //RowReduce// MatrixForm↵

vậy nghiệm hệ phương trình (1, 0, - 2) ma trận ứng với hệ Phương trình:

Ta tiếp tục giải lại hệ phương trình ví dụ 2, 3, mục 1,

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình:

Giải

{{4, 2, 1, 7}, {1, -1, 1, -2}, {2, 3, - 3, 11}, {4, 1, - 7}}//RowReduce// MatrixForm↵

Màn hình xuất hiện: Out[] =

Nghiệm hệ là: (1, 2, -1) Ví dụ 3 Giải hệ phương trình:

Giải

{12,-2,1,-2,-10}}//RowReduce//MatrixForm↵ Màn hình xuất hiện:

Ma trận ứng vớ hệ phương trình:

Cho x3 = c3, x4 = c4, suy nghiệm tổng quát hệ là:

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình:

{{4,2,1,-3,7},{1,-1,1,2,5},{2,3,-3,1,3},{4,1,-1,5,1}} //RowReduoe//MatrixForm↵

Hệ vơ nghiệm ma trận cho thấy phương trình cuối 0x1 + 0x2

+ 0x3 + ox4 =

§2 DIỀU KIỆN ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CĨ NGHIỆM

Ta dùng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính tuỳ ý Song trường hợp tổng quát ta chưa trả lời câu hỏi: Với điều kiện hệ (1) có nghiệm? Định lí sau cho ta câu trả lời

2.1 Điều kiện có nghiệm

Điều kiện liên quan đến hạng ma trận A ma trận bổ sung B hệ phương trình, ta cần nhớ lại rằng: Hạng hệ vectơ số chiều không gian sinh hệ vectơ ấy; hạng ma trận hạng hệ vectơ cột

Định lí Kronerker-Capelli Hệ phương trình tuyến tính (1) có

nghiệm hạng(A) = hạng(B)

Chứng minh Ta kí hiệu a = {α1, α2, , , αn} hệ vectơ cột

ma trận A, b = {α1, α2, , , αn , β} hệ vectơ cột ma trận bổ sung

B hệ phương trình (1), U không gian sinh hệ vectơ a, W khơng gian sinh hệ vectơ b Vì a ⊂ b nên U ⊂ W

“⇒” Giả sử hệ có nghiệm (c1, c2, , cn) Khi β = c1α1+ c2α2 + +

cnαn Điều có nghĩa ta thêm vào hệ a vectơ β tổ hợp tuyến

tính hệ a để hệ b Theo mệnh đề mục 7.1, Ch.II, hạng(A) = hạng(a) = hạng(b) = hạng(B)

Do β ∈ U Vì tồn n số

(c1, c2, , cn) cho β = c1αl + c2α2 + + cnαn Vậy hệ (1) có

nghiệm 

Ví dụ Mọi hệ Cramer có định thức |A| ≠ Do hạng(a) = n Ma trận B có n dòng |A| định thức cấp cao khác B Vì hạng(A) = hạng(B) Vậy hệ Cramer có nghiệm

Ví dụ Xét hệ phương trình ví dụ mục 1.3 Các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A B dạng thu gọn sau đây:

Theo định lí mục 7.4, Ch.II, phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận Do ma trận cho thấy hạng(A) = = hạng(B) Vậy hệ cho có nghiệm

Ví dụ Xét hệ phương trình ví dụ mục 1.3 Các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A B dạng thu gọn sau đây:

Ta thấy hạng(a) = 3, hạng(b) = Hệ vô nghiệm

2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính định thức

A Giả sử hạng(A) = hạng(B) = r, khơng làm tính tổng qt, ta giả thiết định thức cấp cao khác A B là:

Nếu r = n hệ phương trình cho hệ Cramer, có nghiệm

Nếu r < n ta xét hệ phương trình gồm r phương trình đầu

Mọi vectơ dịng ma trận bổ sung B tổ hợp tuyến tính r vectơ dịng đầu Vì nghiệm hệ (3) nghiệm phương trình từ thứ r + đến thứ m; nghiệm hệ (1) Ngược lại, hiển nhiên nghiệm hệ (1) nghiệm hệ (3) Vì cần giải hệ (3)

Ta viết dạng:

và gọi ẩn xr+1, , xn ẩn tự

Với n - r số (cr+1, , cn) ∈ Kn-r vế phải r phương trình

này số Vì định thức D ≠ nên hệ (3) trở thành hệ Cramer, ta tìm giá trị x1, , xr, chẳng hạn, x1 = c1,

x2 = c2, , xr = c= Khi

là nghiệm hệ (4) Như giá trị c1, c2, , cr phụ thuộc

vào n - r tham số cr+1, , cn Do cr+1, , cn nhận vô số giá trị nên hệ

Vậy r < n hệ (1) có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n - r tham số Nếu coi cr+1, , cn nhận giá trị tuỳ ý nghiệm (c1, c2, , cr, cr+1)

được gọi nghiệm tổng quát Nếu cho cj, j = r + 1, , n, giá trị

xác định ta nghiệm riêng Ví dụ 1 Giải hệ phương trình:

Giải Tìm hạng ma trận:

Định thức D =

3

0

1 −

= 36 Do hạng(A) =

Để tính hạng B ta cần tính định thức B bao quanh D

Đó là:

Đó hệ Cramer D ≠ Áp dụng cơng thức Cramer ta tìm nghiệm là: (1, - 2, 1)

Ví dụ Giải hệ phương trình ví dụ mục 1.2

Giải Tìm hạng ma trận:

Ta thấy định thức

Tính định thức cấp ba A bao quanh D Chúng Do hạng(A) = Làm tương tự ta tìm hạng(B) = Vậy hệ có nghiệm Giải hệ (gồm phương trình ứng với dịng định thức D):

Viết hệ dạng:

Nếu cho, chẳng hạn, c3 = 0, C4 = nghiệm riêng: (1,

-2, 0, 1)

Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình:

Giải

• Nếu a ≠1, a ≠ - D ≠ 0, hệ cho hệ Cramer Dx = - (a -1)2(a+1), Dy = (a – 1)2, Dz = (a2-1)2

Hệ có nghiệm nhất:

• Nếu a - hệ phương trình có phương trình: x + y + z = hay x = - y - z +

Nghiệm tổng quát hệ (- c2 - c3 + 1, c2, c3)

có định thức có định thức

cịn ma trận bổ sung B =

4 2 1 1 − − − −

có định thức cấp ba

4 1 2 1 − − −

=9 ; nghĩa hạng(B) = ≠ hạng(A) Vậy hệ vơ nghiệm

§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 3.1 Định nghĩa

Cho hệ phương trình tuyến tính:

Hệ phương trình

Nếu viết dạng vectơ hệ (1) hệ (2) có dạng tương ứng là:

Nếu viết dạng ánh xạ tuyến tính hệ (1) hệ (2) có dạng tương ứng là:

A(ξ) = β (1), a(ξ) = (2)

Giải hệ (2) tìm tập hợp vectơ có dạng γ = (c1,

c2, , cn) ∈ Kn cho a(γ) = 0, hay tìm Kerha

Ví dụ: Hệ phương trình:

là hệ phương trình tuyến tính

Rõ ràng hệ phương trình tuyến tính có nghiệm (0, 0, 0) Nó gọi nghiệm tầm thường Nếu A ma trận hệ số B ma trận bổ sung hệ ta ln ln có: hạng(A) = hạng(B) thành phần cột cuối ma trận B

Giả sử hạng(A) = r Nếu r = n (0, 0, , 0) nghiệm Nếu r < n hệ có vơ số nghiệm, hệ có nghiệm khác (0, 0, , 0)

Bây giờ, ta xét xem tập nghiệm hệ có cấu trúc nghiệm liên quan với nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết

3.2 Không gian nghiệm hệ

Định lí Giả sử S tập nghiệm hệ phương trinh tuyến tính nhất (2) Khi đó:

1) S khơng gian không gian vectơ Kn.

2.1, Ch.III, S = Kera không gian không gian Kn

2) Giả sử hạng(A) = r Theo ví dụ 4, mục 2.1, Ch III, Ima không gian sinh hệ vectơ cột ma trận A nên từ định lí 2.2, Ch.III, suy ra: dimS = dimKera = dimKn – dimIma = n - hạng(a) = n - hạng(A) = n -

r 

Định nghĩa. Mỗi sở không gian S nghiệm hệ phương trình tuyến tính gọi hệ nghiệm

Để tìm hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính (2) ta làm sau

Giả sử r < n không làm tính tổng qt ta giả thiết định thức cấp cao khác ma trận A

Khi hệ (2) tương đương với hệ

Mỗi nghiệm hệ phụ thuộc vào n - r ẩn tự do: xr+1, xr+2, , xn

Cho xr+1 = xr+2 = = xn = ta nghiệm có dạng: ξ1 = (c11,

c12, , c1r, 1, 0, , 0)

Lần lượt cho xr+1 = 0, xr+2 = 1, xr+1 = = xn = 0, v.v Kết cục, ta

được n - r nghiệm riêng:

Đó n - r vectơ thuộc S

Do hạng hệ vectơ {ξ1, ξ2, , ξn-r} n - r Vậy hệ độc lập

tuyến tính Vì dimS = n - r nên theo hệ quả, mục 5.1, Ch.II, hệ vectơ là sở S Vậy hệ nghiệm {ξ1, ξ2, , ξn-r} hệ nghiệm

bản

Chú ý: Trong cách tìm ξj hệ nghiệm đây, không

thiết phải chọn xr+j = 1, mà chọn xr+j số khác thuận

tiện cho việc tính tốn

Ví dụ Tìm hệ nghiệm hệ phương trình:

Ma trận hệ số có định thức cấp hai

Hệ phương trình cho tương đương với hệ:

Các ẩn tự x1, x4 Giải hệ ta được:

Cho x1 = 1, x4 = 0, ta x2 = -2, x3 = Nghiệm riêng tương ứng

là (1, -2, 0, 0)

là (0,

3 2,

3 5, 1)

Vậy hệ nghiệm là:

Nếu tìm vectơ thứ hai hệ nghiệm ta cho x1 = 0, x4 =

thì ta nghiệm riêng tương ứng (0, 2, 5, 3) hệ vectơ

cũng độc lập tuyến tính có định thức

2 −

= 2.Vì dimS = nên hệ vectơ sở S; nghiệm

Chú ý: Biết hệ nghiệm {ξ1, ξ2, , ξn-r} hệ phương

trình tuyến tính biết tất nghiệm nghiệm tổ hợp tuyến tính hệ nghiệm này; tức nghiệm có dạng

Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss, tìm hệ nghiệm hệ phương trình:

Hệ cho trở thành hệ tương đương:

Nghiệm tổng quát hệ (c3 - c4, 2c3 + c4, c3, c4)

cho x3 = 1, x4 = 0, ta nghiệm riêng: (1, 2, 1, 0)

Cho x3 = 0, X4 = 1, ta nghiệm riêng: (-1, 1, 0, 1)

Hệ nghiệm là:   

1) 0, 2, (-1,

0) 1, 2, (1,

Ta xét tiếp mối liên hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính hệ liên kết Nhắc lại nghiệm hệ phương trình tuyến tính n ẩn vectơ không gian Kết

3.3 Liên hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính nghiệm hệ liên kết

Định lí Nếu γ ∈ Kn nghiệm riêng hệ phương trình tuyến tính nghiệm hệ tổng γ với nghiệm hệ

thuần liên kết.

Nói chung, nghiệm tổng qt hệ phương trình tuyến tính tổng nghiệm riêng nghiệm tổng quát hệ nhất liên kết.

hệ (2) Khi đó:

Điều có nghĩa γ +δ = (c1 + d1, c2 + d2, , cn + dn)

nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1)

Ngược lại, giả sử κ = (k1, k2, , kn) nghiệm tuỳ ý hệ

phương trình tuyến tính (1); nghĩa ∑

=

=

n

1 j

j

jα B

k

Điều có nghĩa δ nghiệm hệ (2) Hơn từ δ = κ - γ Suy κ = γ + δ 

Chú ý Ý nghĩa định lí là: Nếu biết nghiệm riêng hệ phương trình tuyến tính biết hệ nghiệm hệ liên kết biết tất nghiệm hệ phương trình tuyến tính Nhờ điều mà máy tính giải hệ phương trình tuyến tính tuỳ ý

3.4 Giải hệ phương trình tuyến tính máy tính điện tử

Khi giải hệ phương trình tuyến tính (1) với hạng(A) ≠ hạng(B) máy trả lời hệ vô nghiệm Khi hạng(A) - hạng(B) - r < n máy cho nghiệm riêng Nhưng máy cho hệ nghiệm hệ liên kết nên ta tìm cơng thức nghiệm tổng qt hệ phương trình tuyến tính

Theo chương trình tính tốn cài đặt máy tính bạn có nhiều phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Ở xin giới thiệu phương pháp đơn giản nhất, theo chương trình "MATHEMATICA 4.0""

Giải Tạo ma trận hệ số, đánh lệnh:

A={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}}↵ Màn hình xuất hiện:

Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} • Giải hệ phương trình, đánh lệnh:

LinearSolve[A,{1,5,- 910}]↵ Màn hình xuất hiện:

Out[2]-{-2,-7,0,0}

Đó nghiệm riêng hệ cho

• Tìm hệ nghiệm hệ liên kết, đánh lệnh: NullSpace[A] ↵

Màn hình xuất hệ nghiệm hệ nhất: Out[3]={{1,5,0,1}, {-1,-5,2,0}}

Muốn tìm nghiệm tổng quát hệ cho ta việc lấy tổng nghiệm riêng hệ cho với tổ hợp tuyến tính hệ nghiệm hệ phương trình liên kết:

(x1, x2, x3, x4) = (-2, -7, 0, 0) + c3(-1, -5, 2, 0) + c4(1, 5, 0, 1) = (-2-c3+

c4, -7- 5c3 + 5c4, 2c3, c4)

Chú ý: Nếu quan sát nghiệm tổng quát với nghiệm tổng quát ví dụ 2, mục 2.2, ta thấy chúng khác Song thay c3 c3

=

2

c3 ta cơng thức nghiệm tổng qt ví dụ 2, mục 2.2 Hơn

Ví dụ Giải hệ phương trình:

Giải • Tạo ma trận hệ số

A={{3,-17-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} ↵ Màn hình xuất hiện:

Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} • Giải hệ phương trình, đánh lệnh:

LinearSolve[A,{1,5,-9,10}}] ↵ Màn hình xuất hiện:

LinearSolve: nosol: Linear equation encountered which has no solution

Out[2]=linearsolve[{{3,-1,-1,2},1,-1,-2,4~1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}},{1,5,-9,10}]

TÓM TẮT

Chương trình bày lý thuyết hệ phương trình tuyến tính

Về phương diện lý thuyết, nhờ kiến thức không gian vectơ định thức, chương cho ta biết: hệ có nghiệm hạng(A) = hạng(B), A ma trận hệ số hệ phương trình, B ma trận bổ sung

Trong trường hợp hệ có n ẩn, hạng(A) = hạng(B) = n hệ Cramer, có nghiệm nhất; hạng(a) = hạng(b) - r < n hệ có vô số nghiệm mà giá trị ẩn phụ thuộc vào n - r ẩn tự Khi đó, cho ẩn tự giá trị xác định ta nghiệm riêng coi ẩn tự tham số ta nghiệm tổng quát

Về phương diện thực hành, ta có hai cách giải hệ phương trình tuyến tính: phương pháp Gauss khử dần ẩn số phương pháp dùng định thức Khi dùng phương pháp định thức ta cần giải hệ phương trình gồm phương trình ứng với dòng định thức cấp cao khác Các ẩn tự ẩn mà hệ số nằm định thức cấp cao khác

BÀI TẬP

§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾNTÍNH PHƯƠNG PHÁP GAUSS 1 Giải hệ phương trình phương pháp Gauss

§2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CĨ NGHIỆM

3 Xét xem hệ phương trình sau có nghiệm hay khơng:

4 Đối với hệ phương trình sau, tìm giá trị tham số a, b để hệ

có nghiệm:

5 Tìm điều kiện cần đủ để hệ phương trình

có nghiệm

6 Chứng minh với giá trị a, b, c hệ phương trình

ln ln có nghiệm

8 Giải hệ phương trình sau phương pháp định thức:

9 Với điều kiện ba đường thẳng phân biệt

a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0, a3x + b3y + c3 = đồng quy?

10 Viết phương trình đường trịn qua ba điểm: A(2, 1), C(0, 2),

C(0, 1)

11 Tìm hệ số a, b, c, d để đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx +

d qua bốn điểm:

M1(1, 0), M2(0, -1), M3(-1, - 2), M4(2, 7)

12 xác đinh tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c biết f(1) = -1,

13 Trong không gian vectơ R4 cho hệ vectơ:

Hãy biểu thị tuyến tính vectơ α = (- 12, 3, 8, -2) qua hệ vectơ cho

14 Trong không gian vectơ R3 cho hai sở:

Tìm ma trận chuyển từ sở (ε) sang sở (ξ) Tìm tọa độ vectơ α = (-1, 2, 0) sở (ξ)

15 Trong không gian vectơ R3 cho hai sở:

Tìm ma trận chuyển từ sở (ξ) sang sở (ε)

§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 16 Giải hệ phương trình sau:

17 Dùng hệ phương trình tuyến tính định nghĩa hệ vectơ phụ

18 Các hệ vectơ sau:

hệ hệ nghiệm hệ phương trình

19 Tìm hệ nghiệm số chiều không gian nghiệm hệ

phương trình:

Biết nghiệm riêng hệ a) (

3

,

3

, 0, 0, 0), hệ bị (

3

,

6

, 0, 0, 0) Đối với hệ phương trình:

• Tìm nghiệm tổng qt hệ nhờ hệ nghiệm hệ liên kết tương ứng;

• Nhờ nghiệm tổng quát vừa tìm được, tìm nghiệm riêng mà thành phần tọa độ số nguyên

21 Cho hệ ba phương trình bậc nhất:

VÀI NÉT LỊCH SỬ

Phương trình tuyến tính hệ phương trình tuyến tính tốn cổ đại số Ngay từ buổi sơ khai toán học người ta giải toán phép nhân phép chia, tức tìm nghiệm phương trình dạng ax = b Việc giải phương trình bậc nhà toán học Babilon cổ Hilạp biết đến Các tác phẩm tốn học Điơphăng đỉnh cao thành tựu nghiên cứu tốn học thời kì (thế kỉ thứ ba trước cơng ngun) Sau vấn đề phương trình lại phát triển nhà toán học ấn độ Ariabkhata (thế kỉ thứ Vi), Bramagupta (thế kỉ thứ VII) Khaskara (thế kỉ thứ XII) Người ta thấy toán phương trình bậc Trung Quốc từ kỉ thứ II trước cơng ngun

Nói tóm lại, phương trình tuyến tính biết đến từ sớm Tuy nhiên lại phát triển muộn, người ta coi để đưa phương trình tuyến tính dạng ax = b cần biết quy tắc chuyển Bố hạng từ vế sang vế rút gọn số hạng đồng dạng đủ, muốn giải hệ nhiều phương trình tuyến tính cần khử dần ẩn Do thời gian dài không phát triển

Lý thuyết hệ phương trình tuyến tính sau phát triển nhu cầu tính tốn, chẳng hạn phải xác định phương trình đường cong qua điểm cho trước Vì lúc đầu người ta biết đến hệ phương trình có số phương trình số ẩn; có xuất hệ phương trình mà số phương trình khác số ẩn người ta coi toán đặt tốn tồi Ngược lại, nhờ có đại số tuyến tính nói chung hệ phương trình tuyến tính nói riêng mà Hình học giải tích hồn thiện đến mức mẫu mực

tính mà ngày gọi cơng thức Cramer Chính Sylvester đưa khái niệm hạng ma trận chưa đặt tên gọi cho ma trận

Chương V

MA TRẬN

MỞ ĐẦU

Ta biết ma trận góp phần vào việc nghiên cứu lý thuyết hệ phương trình tuyến tính Bây ta tiếp tục tìm hiểu ma trận sâu nữa; đặc biệt nghiên cứu mối liên hệ ma trận ánh xạ tuyến tính Ta thấy rằng, ma trận ánh xạ tuyến tính liên hệ mật thiết với Khi cố định hai sở hai khơng gian vectơ ánh xạ tuyến tính hai khơng gian cho ma trận ngược lại, ma trận xác định ánh xạ tuyến tính

Nhờ có ma trận mà ta xác định giá trị riêng vectơ riêng ánh xạ tuyến tính; xác định không gian bất biến ứng với giá trị riêng Ma trận xác định dạng ánh xạ tuyến tính đặc biệt dùng đến chương Vi phép biến đổi đối xứng, biến đổi trực giao Trái lại, nhờ vectơ riêng giá trị riêng ánh xạ tuyến tính mà đưa ma trận trở dạng đơn giản; ma trận chéo

Nội dưng chương là: - Các phép toán ma trận;

- Ma trận nghịch đảo ma trận vuông; - Giá trị riêng, vectơ riêng;

- Chéo hoá ma trận

Bạn đọc cần nắm vững vấn đề chúng áp dụng vào chương sau nhiều lĩnh vực khoa học khác

Để học tốt chương bạn đọc cần nắm vững kiến thức không gian vectơ ánh xạ tuyến tính

§1 MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1.1 Định nghĩa Giả sử V W hai K-không gian vectơ với sở

lần lượt (ε) = {ε1, , ε2, , εn}, (ξ) = {ξ1, ξ2, , ξm} f: V → W

ánh xạ tuyến tính mà

được gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f hai sở (ε) (ξ) Có thể viết gọn đẳng thức (1) sau:

Chú ý: Vì (ξ) sở W nên thành phần an xác định nhất; ma trận A xác định

Ví dụ Giả sử Iv = V → V đồng cấu đồng không gian

vectơ V, (ε) = {ε1, , ε2, , εn} sở V Khi đó:

I gọi ma trận đơn vị

Ma trận vuông I = (aij) gọi ma trận đơn vị

Ví dụ 2 Nếu V, W hai K-không gian vectơ với dimV = n, dimW = m đồng cấu có ma trận sở V W ma trận

O kiểu (m,n) đây:

O gọi ma trận không, tức ma trận mà thành phần

bằng

Ví dụ Giả sử R2 R3 chọn sở tắc:

f: R2 → R3 xác định f(a1, a2) = (a1, 3a2, a2 - 5a1) Khi đó:

Do ma trận f hai sở

Ví dụ Giả sử P3, P2 không gian gồm đa thức đa thức

thuộc R[x] có bậc tương ứng không vượt 3, không vượt d: P3

→ P2 phép lấy đạo hàm, (ε) = {1, x, x2, x3}, (ξ) = {1, x, x2}

cơ sở P3 P2 Thế thì:

d(x2) = 2x = 0.1 + 2x + 0x2 d(x3) = 3x2 = 0.1 + 0x + 3x2

Do ma trận d hai sở

Trên ta thấy cố định hai sở (ε) (ξ) V W, ánh xạ tuyến tính f V → W xác định ma trận Ngược lại ta thấy, ma trận xác định ánh xạ tuyến tính

1.2 Liên hệ HomK(V, W) với Mat(m.n)(K)

Mệnh đề Giả sử V, W hai K-không gian vectơ

(ε) = {ε1, , ε2, , εn}, (ξ) = {ξ1, ξ2, , ξm}

lần lượt sở cơm ích V W Khi đó:

1) Mỗi ma trận kiểu (m, n) xác định ánh xạ tuyến tính f: V → W

2) Có song ánh Φ: HomK(V, W) → Mat(m, n)(K)

Chứng minh 1) Giả sử

Đặt a1jξ1 + a2jξ2 + ,+ amjξm}, với j ∈ {1, 2, , n } theo định

lí 1.2, Ch.III, có ánh xạ tuyến tính f xác định

định ma trận A Xác định ánh xạ

Φ: HomK(V, W) →→→ Mat→ (m, n)(K) Φ(f) = A

Với A∈Mat(m, n)(K), có ánh xạ tuyến tính f mà A

ma trận nó; tức Φ(f) = A Do Φ tồn ánh Vì f xác định A nên Φ đơn ánh

§2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP MA TRẬN

Ta biết tập hợp HomK(V, W) có phép cộng hai ánh xạ tuyến

tính phép nhân ánh xạ tuyến tính với số Hơn nữa, cố định hai sở V W, ta có song ánh

Φ: HomK(V, W) → Mat(m,n)(K)

Bây ta muốn định nghĩa phép toán ma trận cho "phù hợp" với phép tốn ánh xạ tuyến tính; chẳng hạn ma trận tổng hai ánh xạ phải tổng hai ma trận ánh xạ

2.1 Phép cộng

Mệnh đề định nghĩa Giả sử A = (aij)(m,n) B = (bij)(m,n)

là ma trận hai ánh xạ tuyến tính f, g ∈ HomK(V, W) hai

cơ sở (ε) (ξ) chọn V W Thêm ma trận ánh xạ tuyến tính f + g hai sở C = (aij + bij)(m,n).

Ma trận C gọi tổng hai ma trận A B, kí hiệu A + B Chứng minh Theo giả thiết

Vậy ma trận f + g hai sở cho (aij + bij)(m,n) Quy

2.2 Phép nhân ma trận với số

Mệnh đề định nghĩa Giả sửa = (aij)(m,n) ma trận ánh xạ

tuyến tính f ∈ HomK(V, W) hai sở (ε) (ξ) chọn V

và W k ∈ K Thế ma trận ánh xạ tuyến tính kf hai sở là ma trận C = (kaij)(m,n).

Ma trận C gọi tích ma trận A với số k, kí hiệu kA. Chứng minh Xin dành cho bạn đọc €

2.3 Phép trừ

Định nghĩa

Ma trận (-1) A gọi đối ma trận A Kí hiệu –A.

Với hai ma trận A B, tổng A + (-B) gọi hiệu A B Kí kiệu A - B

Như vậy, với A = (aij)(m,n) B - (bij)(m,n) ta có: - B = (- bij)(m,n),

A - B = (aij-bij)(m,n)

2.4 Không gian vectơ Mat(m,n)(K)

Bạn đọc dễ dàng chứng minh rằng, HomK(V, W),

tập hợp Mat(m,n)(K) K-không gian vectơ

Mệnh đề Phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số

thuộc trường K có tính chất sau: 1) A + B = B + A;

2) (A + B) + C = A + (B + C); 3) A + = A;

4) A + (-A) = 0;

5) k(A + B) = kA + kB; 6) (k + 1)A = kA + lA; 7) (k1)A = k(1a);

8) 1.A = A, (1 đơn vị trường K), với A, B, C ∈ Mat(m,n)(K), k, l ∈ K

mãn điều kiện 2X + A = B

Giải Áp dụng mệnh đề 2.4, cộng - A vào hai vế đẳng thức 2X + A - B, ta có :

2.5 Tích hai ma trận

Mệnh đề Giả sử không gian U, V, W chọn sở

cô định, A = (aij)(m,n) ma trận ánh xạ tuyến tính f: V → W, B =

(bjk)(n,p) ma trận ánh xạ tuyến tính g: U → V Thế ma trận

ánh xạ tuyến tính fg ma trận

Ma trận C gọi tích hai ma trận A B, kí hiệu AB Chứng minh

Giả sử (ε) = {ε1, , ε2, , εp} sở U, (ξ) = {ξ1, ξ2, , ξn}

sở V, (ξ) = {ξ2, , ξm} sở W Theo định nghĩa ma trận

Quy tắc nhân hai ma trận Muốn tìm thành phần cik ma trận tích

AB ta phải lấy thành phần aij dòng thứ i ma trận A nhân

với thành phần bjk cột thứ k ma trận B cộng lại.

Có thể mơ tả sơ đồ sau:

Chú ý:

1) Theo định nghĩa, tích AB xác định số cột ma trận A số dòng ma trận B

Ví dụ Giả sử (ε) = {ε1, , ε2, , εn} (ξ) = {ξ1, ξ2, , ξn} hai

cơ sở K-không gian vectơ V, T = (tij) ma trận chuyển từ sở (ε)

sang sở (ξ) (x1, x2, , xn), (y1, y2, , yn) tọa độ vectơ α

đối với sở (ε) sở (ξ) Thế theo định lí 6.3, Ch II:

Nếu viết hai vectơ tọa độ dạng ma trận cột

thì đẳng thức viết là:

hay X = TY

đối với hai sở

tọa độ vectơ α ∈ V sở (ε) tọa độ f(ε) sở (ξ) viết dạng ma trận cột

Thế

Mặt khác

Ví dụ Xét hệ phương trình tuyến tính

hay AX = b

Ví dụ Giả sử A = (aij)(m,n) In ma trận đơn vị cấp n Khi đó:

Tương tự, Im ma trận đơn vị cấp m ImA = A

Mệnh đề Với ma trận A, B, C số k ∈ K, ta có đẳng thức sau (nếu phép tốn có nghĩa):

1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC);

3) k(AB) = (kA)B = A(kB)

Chứng minh 1) Coi ma trận A, B, C ma trận ánh xạ tuyến tính h: U → X, g: W → U, f: V → W (với sở chọn K-không gian vectơ V, W, U, X) Theo mệnh đề 1, mục 2.5, (AB)C ma trận ánh xạ tuyến tính (hg)f, cịn A(BC) ma trận ánh xạ h(gf) Theo mệnh đề 2, mục 3.4, Ch.III, (hg)f-h(gf) Nhờ song ánh

Φ: HomK(V, X) ≅ Mat(m,q)(K), (trong m = dimX, q = dimV),

suy (AB)C = Φ((hg)f) = Φ h(gf)) = A(BC) 2) 3) chứng minh tương tự €

2.6 Thực phép toán ma trận máy tính bỏ túi mây tính điện tử

a) Dùng máy tính bỏ túi CASIO-fx570MS Tính A + B, A - B, 6A

Giải Tính A + B • Chọn MODE ma trận: MODE MODE MODE • Tạo ma trận A kiểu (2,3)

ma trận,số thứ hai kí hiệu ma trận A) • Chọn thành phần A:

• Tạo ma trận B kiểu (2,3):

• Thực phép cộng:

Ở cửa sổ máy tính xuất hiện: - Đó thành phần tổng hai ma trận Nháy trỏ sang phải ta thành phần c12 Tiếp tục nháy

con trỏ sang phải lần thành phần Ma trận A + B =

29 11 10

17

− − - Tính A - B tương tự - Tính 6A

• Chọn MODE ma trận:

• Tạo ma trận A kiểu (2,3)

• Chọn thành phần A:

Màn hình xuất hiện: 18 Đó thành phần ma trận 6A Nháy trỏ sang phải, lần thành phần theo thứ tự: c12, c13, c21

Ví dụ Nhân ma trận

Màn hình xuất hiện: 146 Đó thành phần tích Tiếp tục nháy chở sang phải ta thành phần ma trận tích

b) Dùng máy tính điện tử

Ta thực theo chương trình MATHEMATICA 4.0 A = {{3, 5,II}, {- 4, 0, 9}}↵

Màn hình xuất hiện:

Out[1]= {{3, 5,11}, {-4, 0, 9}} B={{ - 8, 12, O},{14, - 7, 20}}↵ Màn hình xuất hiện:

Out[2]= {{ - 8, 12, 0},{14, - 7, 20}} A+B//1MatrixForm↵

Màn hình xuất hiện:

6A//MatnxForm↵

§3 ĐẠI SỐ MATN(K) CÁC MA TRẬN VNG CẤP N

Ta kí hiệu tập hợp ma trận vuông cấp n với thành phần thuộc trường K Matn(K) Theo mệnh đề 2.4, Matn(K) K-không gian vectơ Hơn nữa, Matn(K) tích hai ma trận ln ln xác định; nhiên, phép nhân khơng giao hốn Theo mệnh đề 2, mục 2.5, phép nhân có tính kết hợp phân phối phép cộng có ma trận đơn vị

Trong ví dụ 6, mục 3.1, chứng minh ma trận đơn vị I có tính chất: AI = A = IA, với A ∈ Matn(K) Như vậy, Matn(K) không gian vectơ đồng thời vành có đơn vị, khơng giao hốn

Người ta nói, Matn(K) đại số trường K hay K-đại số

Vì ma trận thuộc A ∈ Matn(K) ma trận vng nên có

định thức |A|

Ta xét mối liên hệ định thức phép toán Matn(K) Bạn đọc cho ví dụ chứng tỏ rằng: với A, B hai

ma trận vuông cấp n số k ∈ K, nói chung: 1) |A + B| ≠ |A| + |B|

2) |kA| ≠ k |A|

Trái lại, ta lại có: |AB| = |A|.|B| với ma trận A,B thuộc Matn(K)

3.1 Định thức tích hai ma trận

Định lí. Định thức tích hai ma trận vng tích định thức hai ma trận ấy.

Ta xét định thức

Trong định thức D, định thức góc bên trái định thức |A|, định thức khác tạo n dòng đầu có cột với các thành phán 0; tương tự, định thức góc bên phải định thức |B|, định thức khác tạo n dòng cuối Theo định lí Laplace, D = (-1)2(1+2+ +n) |A|.|B| = |A|.|B|

Bây nhân dòng thứ n + với a11, dòng thứ n + với

a12, , dòng thứ n + j với a1j, dòng thử 2n với a1n, cộng vào dịng

đầu Khi dịng đầu D biến thành

0, 0, , 0, c11, c12, , c1n

Tổng quát, nhân dòng thứ n +1 với a1i, , dòng thứ n + i với aij, ,

dòng thứ 2n với ain cộng vào dòng thứ i dịng thứ i D biến

thành

0, 0, , 0, ci1, ci2, , cin

Theo tính chất định thức, phép biến đổi không thay đổi định thức D