Bài giảng đại số tuyến tính TS. Nguyễn Duy Thuận NXB ĐH Sư Phạm

ĐỊNH THỨC KHÔNG GIAN VECTƠ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MA TRẬN DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

TS NGUYỄN DUY THUẬN (Chủ biên) ThS PHI MẠNH BAN – TS NÔNG QUỐC CHINH

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Mã số: 01.01.90/92 ĐH- 2003

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 11

CÁC KÍ HIỆU 15

Chương I: ĐỊNH THỨC 18

MỞ ĐẦU 18

§1 PHÉP THẾ 20

1.1 Định nghĩa phép thế 20

1.2 Nghịch thế 21

1.3 Dấu của phép thế 21

§2 KHÁI NIỆM MA TRẬN 24

§3 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 26

3.1 Định nghĩa 26

3.2 Tính chất của định thức 27

§4 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC 33

4.1 Định thức con - Phần bù đại số 33

4.2 Khai triển định thức theo một dòng 34

4.3 Khai triển định thức theo r dòng 38

§5 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC 42

5.1 Tính định thức cấp 3 42

5.2 Áp dụng phép khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột 43

5.3 Đưa định thức về dạng tam giác 44

5.4 Áp dụng các tính chất của định thức 47

5.5 Phương pháp quy nạp và phương pháp truy hồi 49

5.6 Tính định thức bằng máy tính bỏ túi và máy tính điện tử 51

§6 ỨNG DỤNG - HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER 55

6.1 Định nghĩa 55

6.2 Cách giải 55

Chương II: KHÔNG GIAN VECTƠ 69

MỞ ĐẦU 69

§1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN 71

1.1 Định nghĩa 71

1.2 Một số tính chất đơn giản 72

1.3 Hiệu của hai vectơ 73

§2 KHÔNG GIAN CON 74

2.1 Định nghĩa 74

2.2 Tính chất đặc trưng 74

2.3 Tổng của những không gian con 76

2.4 Giao của những không gian con 76

2.5 Không gian sinh bởi một hệ vectơ 77

§3 SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 80

3.1 Định nghĩa 80

3.2 Các tính chất 81

§4 CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ 85

4.1 Định nghĩa 85

4.2 Sự tồn tại của cơ sở 86

§5 SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ 89

5.1 Định nghĩa 89

5.2 Số chiều của không gian con 89

§6 TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ 92

6.1 Định nghĩa 92

6.2 Ma trận chuyển 93

6.3 Liên hệ giữa các tọa độ của một vectơ đối với hai cơ sở khác nhau 95

§7 HẠNG CỦA HỆ VECTƠ- HẠNG CỦA MA TRẬN 97

7.1 Hạng của hệ vectơ 97

7.2 Hạng của ma trận 98

7.3 Cách tìm hạng của ma trận 103

7.5 Tìm cơ sở, số chiều của không gian sinh bởi một hệ vectơ bằng máy tính điện tử 107

TÓM TẮT 111

BÀI TẬP 113

VÀI NÉT LỊCH SỬ 121

Chương III: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 123

MỞ ĐẦU 123

§1 ĐỊNH NGHĨA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - SỰ XÁC ĐỊNH MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 124

1.1 Các định nghĩa 124

1.2 Sự xác định một ánh xạ tuyến tính 128

§2 ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 129

2.1 Định nghĩa và tính chất 129

2.2 Liên hệ giữa số chiều của ảnh, hạt nhân và không gian nguồn 133

2.3 Sự đẳng cấu giữa hai không gian cùng số chiều 135

§3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CÁC ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - HOMK(V, W) 136

3.1 Phép cộng hai ánh xạ tuyến tính 136

3.2 Phép nhân một ánh xạ tuyến tính với một số 137

3.3 Không gian vectơ HomK(V, W) 138

3.4 Tích hai ánh xạ tuyến tính 139

TÓM TẮT 141

BÀI TẬP 143

VÀI NÉT LỊCH SỬ 147

Chương IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 148

Mở đầu 148

§1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - PHƯƠNG PHÁP GAUSS 149

1.1 Định nghĩa 149

1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (khử dần ẩn số) 150

1.3 Thực hiện phương pháp Gauss trên máy tính điện tử 156

§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 165

3.1 Định nghĩa 165

3.2 Không gian nghiệm của hệ thuần nhất 166

3.3 Liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và nghiệm của hệ thuần nhất liên kết 170

3.4 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng máy tính điện tử 171

TÓM TẮ T 174

BÀI TẬP 175

VÀI NÉT LỊCH SỬ 181

Chương V: MA TRẬN 183

MỞ ĐẦU 183

§1 MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 184

1.1 Định nghĩa 184

1.2 Liên hệ giữa HomK(V, W) với Mat(m.n)(K) 186

§2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP MA TRẬN 188

2.1 Phép cộng 188

2.2 Phép nhân một ma trận với một số 189

2.3 Phép trừ 190

2.4 Không gian vectơ Mat(m,n)(K) 190

2.5 Tích của hai ma trận 191

2.6 Thực hiện các phép toán ma trận bằng máy tính bỏ túi và mây tính điện tử 196

§3 ĐẠI SỐ MATN(K) CÁC MA TRẬN VUÔNG CẤP N 200

3.1 Định thức của tích hai ma trận 200

3.2 Ma trận nghịch đảo 202

3.3 Tìm ma trận nghịch đảo 204

3.4 Một vài ứng dụng đầu tiên của ma trận nghịch đảo 210

3.5 Ma trận của một đẳng cấu 211

§4 SỰ THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH KHI THAY ĐỔI CƠ SỞ - MA TRẬN ĐỒNG DẠNG 212

4.1 Sự thay đổi của ma trận của một ánh xạ tuyến tính khi thay đổi cơ sở212 4.2 Ma trận đồng dạng 213

§5 VECTƠ RIÊNG-GIÁ TRỊ RIÊNG 215

5.1 Vectơ riêng- Giá trị riêng 215

5.2 Da thức đặc trưng - Cách tìm vectơ riêng 217

5.3 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng bằng máy tính điện tử 222

§6 CHÉO HOÁ MA TRẬN 224

6.1 Định nghĩa 224

6.2 Điều kiện để một ma trận chéo hoá được 224

6.3 Định lí 227

TÓM TẮT 228

BÀI TẬP 230

VÀI NÉT LỊCH SỬ 240

Chương VI: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH DẠNG TOÀN PHƯƠNG 241

MỞ ĐẦU 241

§1 DẠNG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 242

1.1 Định nghĩa, ví dụ 242

§2 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 249

2.1 Định nghĩa 249

2.2 Ma trận của dạng toàn phương 250

2.3 Dạng toàn phương xác định 251

§3 ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 252

3.1 Định nghĩa 252

3.2 Định lý 252

3.3 Dưa dạng toàn phương về dạng chinh tác bằng máy tính điện tử 257

3.4 Định lý quán tính 259

§4 KHÔNG GIAN VECTƠ ƠCLIT 262

4.1 Định nghĩa không gian vectơ Ơclit 262

4.2 Cơ sở trực chuẩn 263

4.3 Không gian con bù trực giao 268

TÓM TẮT 280

§1 DẠNG TUYẾN TÍNH, DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 280

1.1 Định nghĩa 280

1.2 Ma trận của dạng song tuyến tính 281

1.3 Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau 281

§2 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 282

2.1 Dạng toàn phương 282

2.2 Ma trận của dạng toàn phương 282

2.3 Dạng toàn phương xác định 282

§3 ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 283

3.1 Định nghĩa 283

3.2 Định lý 283

3.3 Dùng phần mềm Maple để đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 283 3.4 Định lý quán tính 284

§4 KHÔNG GIAN VECTƠ ƠCLIT 285

4.1 Định nghĩa 285

4.2 Cơ sở trực chuẩn 285

4.3 Không gian con bù trực giao 286

4.4 Hình chiếu của một vectơ lên không gian con 286

4.5 Phép biến đổi trực giao - Ma trận trực giao 286

4.6 Phép biến đổi đối xứng 287

4.7 Ứng dụng 287

BÀI TẬP 288

§1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 288

§2 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 289

VÀI NÉT LỊCH SỬ 293

Chương VII: QUY HOẠCH TUYẾN ANH 294

MỞ DẦU 294

§1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 295

1.1 Một vài bài toán thực tế 295

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính 297

1.3 Ý nghĩa hình học và phương pháp đồ thị 302

§2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ CÁC THUẬT TOÁN CỦA NÓ 306

2.1 Một số tính chất của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc 306

2.2 Phương pháp đơn hình 313

2.3 Giải các bài toán quy hoạch tuyến tính bằng máy tính điện tử ( Theo lập trình tính toán với Mathematica 4.0) 335

TÓM TẮT 339

BÀI TẬP 340

VÀI NÉT LỊCH SỬ 346

LỜI GIẢI -HƯỚNG DẪN -TRẢ LỜI 347

TÀI LIỆU THAM KHẢO 385

LỜI NÓI ĐẦU

Ở thời đại của chúng ta, khoa học và kĩ thuật phát triển như vũ bão Chúng đòi hỏi ngành giáo dục phải luôn luôn đổi mới kịp thời để đáp ứng mọi nhu cầu về tri thức khoa học của thanh thiếu niên, giúp họ có khả năng lao động và sáng tạo trong cuộc sống sôi động Hiện nay chương trình và sách giáo khoa bậc phổ thông ở nước ta đã bắt đầu và đang thay đổi để phù hợp với đòi hỏi ấy Trường Cao đẳng Sư phạm, cái nôi đào tạo giáo viên THCS, cần phải có những đổi mới tương ứng về chương trình và sách giáo khoa Vì mục đích đó, bộ sách giáo khoa mới

ra đời, thay thế cho bộ sách giáo khoa cũ

Cuốn sách Đại số tuyến tính biên soạn lần này, nằm trong khuôn khổ của cuộc đổi mới ấy Nó nhằm làm một giáo trình tiêu chuẩn chung cho các trường Cao đẳng Sư phạm trong cả nước theo chương trình mới (chương trình 2002), đòi hỏi không những phải đổi mới những nội dung kiến thức (nếu cần) và cả phương pháp giảng dạy của giảng viên cũng như phương pháp học tập của sinh viên Mặt khác, qua một thời gian dài thực hiện chương trình và sách giáo khoa cũ, đến nay đã có thể đánh giá những ưu, khuyết điểm của nó, sự phù hợp của nó với trình độ đầu vào của sinh viên các trường Cao đẳng Sư phạm Do đó cuốn sách biên soạn lần này cũng thừa hưởng những ưu điểm và khắc phục những thiếu sót của những cuốn sách cũ

Đối tượng sử dụng cuốn sách này là sinh viên và giảng viên các trường Cao đẳng Sư phạm trong cả nước, các giáo viên THCS cần được bồi dưỡng để đạt trình độ chuẩn hoá Cuốn sách cũng có thể được dùng cho các trường Đại học và Cao đẳng khác và cho tất cả những ai muốn tự học môn học này

Cơ sở để lựa chọn nội dung của giáo trình này là yêu cầu đầu ra và trình độ đầu vào của sinh viên Cao đẳng Sư phạm hiện nay, đồng thời cũng cần tính đến vai trò của môn học đối với các môn khoa học khác như Giải tích, Hình học, Vật lý, Hoá học,v.v , và tạo điều kiện cho người học có thể học lên cao hơn Cụ thể, giáo trình này phải trang bị được cho người giáo viên toán tương lai ở trường THCS những kiến thức cần thiết, đầy đủ, vững vàng về Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt những phần liên quan trong chương trình toán THCS Tuy nhiên, nội dung và phương pháp trình bày những nội dung ấy lại phải phù hợp với trình độ

nhận thức và khả năng tiếp nhận sinh viên Mặt khác, giáo trình này cũng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc có thể học được những môn khoa học khác như đã nói trên; đồng thời đáp ứng mong muốn của những sinh viên có hoài bão nâng cao hơn nữa trình độ của mình Vì thế, nội dung cuốn sách chứa đựng những điều rất cơ bản mà mọi sinh viên cần nắm vững, nhưng cũng có những phần không đòi hỏi mọi sinh viên đều phải hiểu

Môn quy hoạch tuyến tính có sử dụng nhiều kiến thức đại số tuyến tính Nhiều sách Đại số tuyến tính trên thế giới xếp nó như một chương của mình dưới đề mục "Bất phương trình tuyến tính" Trong chương trình Cao đẳng Sư phạm mới của hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn, nội dung của môn Quy hoạch tuyến tính có giảm bớt Nó cũng được xếp vào một chương trong giáo trình Đại số tuyến tính này

Cuốn sách này gồm bảy chương:

Chương I Trình bày định nghĩa, các tính chất của định thức và các phương pháp cơ bản tính định thức Đó là một phương tiện để nghiên cứu không gian vectơ và lý thuyết hệ phương trình tuyến tính

Chương II và chương III Nghiên cứu không gian vectơ và các ánh xạ giữa các không gian ấy - ánh xạ tuyến tính Nó là cơ sở của Đại số tuyến tính Nó giúp cho việc hoàn thiện lý thuyết hệ phương trình tuyến tính

Chương IV Hệ phương trình tuyến tính Đó là một trong những hướng mở rộng của phương trình được học ở trường phổ thông Với chương này, lý thuyết hệ phương trình tuyến tính được coi là hoàn thiện

Chương V. Nghiên cứu ma trận và mối liên hệ giữa ma trận với không gian vectơ Nhờ nó mà các ánh xạ tuyến tính được nghiên cứu sâu sắc hơn

Chương VI Nghiên cứu dạng song tuyến tính và dạng toàn phương, một phần của lý thuyết dạng trong Đại số tuyến tính nhưng lại có ảnh hưởng sâu sắc đến Hình học, Phương trình vi phân và Phương trình đạo hàm riêng

Chương VII: Nghiên cứu một số bài toán của Quy hoạch tuyến tính

môn, chương trình chỉ yêu cầu sinh viên nắm được những điều rất cơ bản Chẳng hạn, đối với chương Định thức yêu cầu chỉ là hiểu được định nghĩa định thức, nắm vững các tính chất để tính được các định thức thông thường, không cần hiểu kĩ chứng minh của các tính chất này Song đối với hệ đào tạo giáo viên chỉ dạy Toán thì đòi hỏi cao hơn cả về nội dung và cả về rèn luyện và phát triển tư duy toán học Tuy nhiên những đòi hỏi này được thực hiện đến đâu còn tuỳ thuộc vào trình độ sinh viên

ở từng địa phương Đó là phần mềm dẻo mà các trường vận dụng linh hoạt Phần Quy hoạch tuyến tính ở đây chỉ dùng cho hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn

Mỗi chương đều có phần mở đầu nêu lên những yêu cầu và cách học tập của chương ấy Cuối mỗi chương có phần tóm tắt đôi nét chính nội dung của chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại Phần bài tập có một số lượng có thể vượt quá yêu cầu chung đôi chút vì các tác giả cuốn sách mong muốn giúp cho những bạn đọc ham thích môn học này có thêm cơ hội rèn luyện kĩ năng Vì vậy, đối với số đông sinh viên thì giảng viên cần chỉ dẫn cho họ những bài cụ thể Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải càng nhiều bài tập càng tất Các phần in chữ nhỏ không đòi hỏi sinh viên phải đọc Chúng chỉ dành cho những ai thích thú tìm hiểu

Để học được giáo trình này, người học cần được bổ sung kiến thức

về số phức khi mà chương trình Toán ở THPT chưa đề cập tới; hơn nữa cũng cần có khái niệm về các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt và bắt nhịp được với cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức toán học bậc THPT

Giáo trình này được học vào năm thứ nhất sau phần cấu trúc đại số của giáo trình Nhập môn Toán học Cao cấp

Khi giảng dạy giáo trình này, có thể kết hợp nhiều hình thức như thuyết trình của giảng viên, hướng dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức

xêmina, v.v Chẳng hạn, có thể tổ chức xêmina ở các mục: Các phương

pháp tính định thức; Giải hệ phương trình tuyến tính; Các phép tính về

ma trận Một điều mà các tác giả muốn lưu ý thêm đối với các giảng viên là: vì giáo trình còn được sử dụng để tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn đề dẫn dắt người học, có nhiều ví dụ Do đó khi giảng bài ở lớp, các giảng viên nên lựa chọn những điều cần thiết nhất để có đủ thời gian truyền đạt những kiến thức cơ bản, những phần còn lại dành cho sinh viên tự học Cũng như đã nói trên, Đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng,

do đó sinh viên cần có kĩ năng vận dụng kiến thức và kỹ năng tính toán

Muốn thế việc thực hành của sinh viên cần được coi trọng Nên cố gắng giảm bớt thời gian học lý thuyết ở lớp để giành thêm thời gian cho việc giải bài tập của sinh viên, và nếu có thể thu xếp được một tỉ lệ giữa thời gian dạy lý thuyết và thời gian làm bài tập là 1/1 thì càng tốt

Đối với người học, khi học giáo trình này luôn luôn có giây và bút trong tay để tự mình mô tả các khái niệm dựa theo những định nghĩa; tự mình chứng minh các định lí sau khi đã tìm hiểu kĩ giả thiết và kết luận; vận dụng các khái niệm, các định lí để tự mình trình bày các ví dụ cho trong sách Cuối mỗi chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng nó

để củng cố và hệ thống lại kiến thức đã học được ở chương ấy Cũng cần nói thêm rằng Đại số tuyến tính là một trong những ngành khoa học cổ nhất nhưng cũng rất hiện đại Những điều được trình bày ở đây chỉ là những điều cơ bản nhất, mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà chủ yếu là trường số thực) Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới

Trong cuốn sách này chữ K được kí hiệu chung cho cả ba trường số, trường số hữu tỉ Q, trường số thực R và trường số phức C, mỗi khi muốn

nói một điều gì chung cho cả ba trường số ấy

Cuối cùng, các tác giả hi vọng rằng cuốn sách đáp ứng được những đòi hỏi của chương trình, những mong muốn của bạn đọc Tuy nhiên, cuốn sách chưa tránh khỏi hết mọi khiếm khuyết Vì thế, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của bạn đọc để có thể sửa chữa những sai sót làm cho cuốn sách ngày càng hoàn thiện và ngày càng hữu ích hơn Xin chân thành cảm ơn!

Các tác giả

i i j j

M r

i

i j j

A

A = {α1, α2, , αm} Hệ vectơ gồm các vectơ α1, α2, αm

hạng(AA) Hạng của hệ vectơ A A.

(ε) ={ε1 ε2, , εn} Cơ sở (ε) của không gian vectơ

dimKV Số chiều của K- không gian vectơ V

f: V → W Ánh xạ tuyến tính từ không gian V đến không

gian W

f(X) Ảnh của tập X qua ánh xạ tuyến tính f

Imf Ảnh của không gian V hay ảnh của ánh xạ

tuyến tính f

Kerf hay f-1(0) Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f

HomK(V, W) Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V đến W

f + g Tổng của hai ánh xạ tuyến tính f và g

Ai Vectơ dòng thứ i của ma trận A

Aj Vectơ cột thứ j của ma trận A

ta thấy hai phương pháp trên kém tổng quát Song nếu dùng khái niệm

định thức cấp hai thì việc trình bày trở nên sáng sủa, gọn gàng

Ta sẽ thấy rằng khi khái niệm định thức cấp n, (với n là một số nguyên dương tuỳ ý) được xây dựng, thì nó có một vai trò rất to lớn Nó còn được áp dụng vào hầu hết các chương trong giáo trình này; đặc biệt,

nó góp phần đưa vấn đề giải hệ phương trình bậc nhất trở thành một lý thuyết Nó còn được áp dụng trong nhiều bộ môn khoa học khác như Hình học, Giải tích, Vật lí, Hoá học, v.v

Chính vì thế mà ta cần nắm vững các tính chất của định thức và các phương pháp tính định thức, làm nhiều bài tập rèn luyện kĩ năng tính định thức để có thể vận dụng tốt khi học tập và nghiên cứu bộ môn Đại

số tuyến tính này cũng như những môn khoa học khác

Để định nghĩa định thức cấp n ta cần các khái niệm phép thế và ma trận

Yêu cầu chính của chương này là:

Hơn nữa, trong chương này ta cần dùng một vài kí hiệu sau: Tổng của n số: a1 + a2 + a3 + + an-1 + an, (n ≥ 1 ), được viết gọn là ∑

=

n 1 i i

a , đọc là "xích ma ai, i chạy từ 1 đến n" Tổng quát hơn, nếu chỉ số chạy khắp một tập I nào đó thì ta viết là ∑

∈I i i

a , và đọc là "xích ma ai, thuộc I"

Ví dụ : a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = ∑

=

7 1 i i

a , đọc là “xích ma ai, i chạy từ 1 đến 7”

• Tích của n số: a1a2a3 an (n ≥ 1), được viết gọn là ∏

=

n 1 i i

§1 PHÉP THẾ

Ở đây ta chỉ dùng khái niệm phép thế như một phương tiện để nghiên cứu định thức chứ chưa nghiên cứu sâu về nó Để học chương này bạn đọc chỉ cần hiểu và nhớ định nghĩa các dạng phép thế và tính chất về dấu của nó, không cần nhớ chứng minh

1.1 Định nghĩa phép thế

a) Giả sử tập hợp X n = {1, 2, 3, , n}, ( n ≥ 1 ) Một song ánh σ : X n

→ Xn được gọi là một phép thế trên tập X n

Nói riêng, song ảnh đồng nhất được gọi là phép thế đồng nhất

b) Một phép thế τ trên tập X n được gọi là một chuyển trí hai phần tử

i, j thuộc X n nếu τ(i) = j, τ(j) = i và τ(k) = k, với mọi k ∈ X n , k ≠ i, k ≠ i

Nó còn được kí hiệu bởi (i, j)

Nói một cách đơn giản, một chuyển trí chỉ hoán vị hai phần tử nào đó của Xn, còn giữ nguyên mọi phần tử khác

Tập hợp tất cả các phép thế trên tập Xn được kí hiệu bởi Sn

Phép thế σ : Xn → Xn được biểu diễn như sau:

trong đó σ(i) là ảnh của phần tử i ∈ Xn được viết ở dòng dưới, trong cùng một cột với i

4323

21

là phép thế trên tập X4 = {1, 2, 3, 4} xác định bởi:

434

21

trên tập X4) Vì thế số các phép thế trên tập Xn bằng số các hoán vị trên tập ấy; nghĩa là bằng n! Như vậy, tập Sn có n! phần tử

Ví dụ 2 S3 có 3! = 1.2.3 = 6 phần tử Đó là những phép thế sau:

1.2 Nghịch thế

Định nghĩa Gi ả sử mà một phép thế trên tập X n Với i,j ∈ X n , i ≠ j,

ta nói cặp (σ(i), σ(j)) là một nghịch thế của σ nếu i <j nhưng σ(i) > σ(j)

21

21

có 3 nghịch thế là: (3, 2), (3, 1), (2, 1)

1.3 Dấu của phép thế

Định nghĩa Ta g ọi phép thế σ là một phép thế chẵn nên nó có một số chẵn nghịch thế σ được gọi là phép thế lẻ nếu nó có một số lẻ nghịch thế

Ta gán cho mỗi phép thế chẵn một giá trị bằng +1, mỗi phép thế lẻ một giá trị bằng -1

Giá trị này của phép thế σ được gọi là dấu của σ và được kí hiệu bởi sgn(σ)

Như vậy, theo định nghĩa, sgn(σ) =

21

là một

là một phép thế chẵn vì nó có 2 nghịch thế Do đó sgn(τ) = -1, sgn(σ) = 1

Bạn đọc hãy tự xác định dấu của các phép thế σ1 và τj trong ví dụ 2, ở mục 1.1

1, nếu số nghịch thế là số chẵn

- 1, nếu số nghịch thế là số lẻ trong đó {i, j} chạy khắp tập các tập con gồm hai phần tử của Xn Rõ ràng số nhân tử ở tử số và mẫu bằng nhau Ta sẽ chứng minh: nếu tử số

có nhân tử i - j thì mẫu cũng có i - j hoặc j - i Vì σ là một song ánh nên ứng với nhân tử i - j tồn tại h, k ∈ Xn sao cho σ(h) = i, σ(k) - j Nếu tử số

có h - k thì mẫu số có σ(h) - σ(k) hay i - j, nếu tử số có k - h thì mẫu số

Nhưng

(j)σ(i)

ji

−

−

là số âm nếu (σ(i), σ(i)) là một nghịch thế và là số dương nếu trái lại Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 2 Với hai phép thêm σ và µ trên X n ta có:

sgn(σµ) = sgn(σ)sgn(µ) Chứng minh Theo định nghĩa và hệ quả ở mục 1.3,

Hệ quả 3 Mọi chuyển trí đều là phép thế lẻ

6543

4351

21

Các nghịch thế đứng ở

dòng thứ hai, tức là dòng chứa các τ(i) Số 1 bé hơn và số 6 thì lớn hơn mọi số trong dòng nên chúng không tham gia vào nghịch thế Do đó chỉ có:

§2 KHÁI NIỆM MA TRẬN

Mỗi định thức cấp hai được xác định khi biết không những các số tạo nên nó mà cả cách sắp xếp chúng trong một bảng số, ta gọi là ma trận Dưới đây là định nghĩa của ma trận

như sau:

được gọi là một ma trận kiểu (m, n)

Mỗi số aij được gọi là một thành phần của ma trận Nó nằm ở dòng thứ i và cột thứ j

Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ in hoa: A, B,

Có thể viết ma trận (1) một cách đơn giản bởi

A = (aij)(m,n).

Khi đã biết rõ m và n thì còn có thể viết là A = (aij)

Nếu ma trận chỉ có một dòng (một cột) thì ta gọi nó là ma trận dòng (ma trận cột)

Nếu m = n thì ma trận được gọi là ma trận vuông cấp n và viết là A = (aij)n

01

là một ma trận kiểu (2, 3)

Định nghĩa 2. Ta gọi ma trận

là ma trận chuyển vị của ma trận (1) và kí hiệu là tA

Như vậy ma trận tA thu được từ A bằng cách đổi dòng thứ i của A thành cột thứ i của tA và nếu A là ma trận kiểu (m, n) thì ma trận chuyển

vị tA ma trận kiểu (n, m)

§3 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC

Ta thấy định thức cấp hai

22 21

12 12

a a

a a

= a11a22 – a12a21 là một tổng Hãy xem đấu ở mỗi hạng tử được chọn như thế nào Đối với mỗi hạng tử, nếu viết các chỉ số thứ nhất ở dòng trên, còn chỉ số thứ hai ở dòng dưới thì được một phép thế:

sgn(α) = 1 vì α có 0 nghịch thế; sgn(τ) = - 1 vì τ là một chuyển trí Trên

tập X2 = {1, 2} chỉ có hai phép thêm α và τ Như vậy, có thể viết:

Tổng quát, người ta định nghĩa định thức cấp n, (n > 0), như sau:

3.1 Định nghĩa

Với ma trận vuông

ta gọi tổng

hay |A| hay det(A)

Trong cách kí hiệu này ta cũng nói mỗi a ij là một thành phần, các thành phần a i1 , a i2 , a in tạo thành dòng thứ i, các thành phần a 1j , a 2j , ,

a nj tạo thành cột thứ j của định thức

Khi ma trận A có cấp n ta cũng nói |A| là một định thức cấp n

Ta thấy, mỗi hạng tử của định thức cấp n là một tích của n thành phần cùng với một dấu xác định; trong mỗi tích không có hai thành phần nào cùng dòng hoặc cùng cột

Ví dụ 1 Nếu A = (a11) là một ma trận vuông cấp một thì định thức cấp một

3.2 Tính chất của định thức

Bạn đọc cần hiểu và nhớ kĩ các tính chất sau đây của định thức để áp dụng và chỉ cần biết chứng minh của vài tính chất đơn giản để hiểu kĩ định nghĩa của định thức

Tính chất 1 Nếu định thức

mà mọi thành phần ở dòng thứ i đều có dạng a ij= '

ij

a + '' ij

a thì

Chứng minh Kí hiệu hai định thức ở vế phải lần lượt là D’ và D"

Theo định nghĩa định thức ta có:

Tính chất 2 Nếu mọi thành phần ở dòng thứ i của định thức có thừa

số chung c thì có thể đặt c ra ngoài dấu định thức; tức là:

Chứng minh Kí hiệu định thức ở vế trái bởi D', ở vế phải bởi D, ta

có: D’ = ∑

∈ Sn

σ

)sgn(σ a1σ(1) (caiσ(i) anσ(n) = ∑

∈ Snσ

)sgn(σ a1σ(1) anσ(n) = cD 

Ví dụ

31

75393

75

Chứng minh Kí hiệu định thức ở vế trái bởi D', định thức ở vế phải

bởi D và coi Dĩ là định thức của ma trận (b’), trong đó:

với mọi j ∈ {1, 2, , n}

Đặt τ = (h, k), ta có: τ(h) = k, τ(k) = h, τ(i) = i, với i ≠ h, i ≠ k

Do đó :

Khi σ chạy khắp Sn thì µ = στ cũng vậy Từ đó suy ra rằng

Tính chất 4 Nếu đinh thức có hai dòng giống nhau thì đinh thức ấy

bằng 0.

Chứng minh Giả sử định thức D có dòng thứ i giống dòng thứ k

Theo tính chất 3, đổi chỗ hai dòng này cho nhau ta được D’ = - D Nhưng định thức D’ cũng là định thức D Như vậy, D = - D Suy ra 2D =

0 Vậy D = 0 

Tính chất 5 Nếu đinh thức có hai dòng mà các thành phần (cùng

cột) tương ứng tỉ lệ thì định thức ấy bằng 0.

Chứng minh Xin dành cho bạn đọc 

Tính chất 6 Nếu nhân mỗi thành phần ở dòng thứ i với cùng một

sức rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k thì được một định thức mới bằng đinh thức đã cho.

Chứng minh Cho

Giả sử nhân mỗi thành phần của dòng thứ i với c rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k Thế thì ta được

Theo các tính chất 1 và 5, ta có:

Ví dụ Cho định thức

296

132 Nhân dòng thứ nhất với -3 rồi cộng vào dòng thứ hai ta được:

Tính chất 7 Với t A là ma trận chuyển vị của ma trận A thì

|tA| = |A|

tức là, hai ma trận chuyển vị của nhau thì có định thức bằng nhau.

Chứng minh Đặt tA = (bij) Thế thì bij = aij với mọi i, j ∈ {1, 2, , n} Theo định nghĩa của định thức, ta có:

Mỗi µ có một ánh xạ ngược σ Với mỗi i, đặt r = σ(i), ta có µσ(i) =

µσ(i) = i Do đó

vì µσ là phép thế đồng nhất nên 1 = sgn(σ) = sgn(µ)sgn(σ) Suy ra:

sgn(µ) = sgn(σ) (2) Hơn nữa khi µ chạy khắp Sn thì σ cũng vậy Nhờ (1) và (2) có thể viết:

Chú ý Nhờ tính chất 7, nếu ta thay từ "dòng" bởi từ "cột" trong các

1 và gọi là một định thức con cấp r của D

2) Nếu xoá đi r dòng và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập thành một định thức kí hiệu bởi r r

j j i i

M~ 11 và gọi là định thức con bù của định thức

Nếu chọn hai dòng: thứ nhất và thứ ba, hai cột: thứ hai và thứ ba thì:

14

53

M23

13 = là một định thức con cấp hai của D;

76

92

92

− là phần bù đại số của 23

13

M

4.2 Khai triển định thức theo một dòng

Đinh lí. Cho định thức D cấp n có các thành phần là a ij Với mỗi i∈{1, 2, , n}, ta đều có:

Ta nói đó là cách khai triển định thức theo dòng thứ i

Chứng minh 1) Trường hợp i = n và các anj = 0 với mọi j c ∈ {1, 2, , n-1)

Khi đó:

Do đó trong tổng này chỉ còn các hạng tử ứng với những phép thế σ ∈ Sn

mà σ(n) = n; nghĩa là:

Thu hẹp của mỗi σ ấy là một phép thế trên tập Xn-1 = {1, 2, , n - 1}; ngược lại, mỗi phép thế µ ∈ Sn-1 lại sinh ra một phép thế σ trên tập Xn = {1, 2, , n - 1, n} xác định bởi:

σ(n) = n, σ(i) = µ(i) với mọi i ∈ {1, 2, , n - 1}

1) 1µµ(

n iµµ(i 2µµ(2

n iµµ(i 2µµ(2

Tiếp tục đổi chỗ liên tiếp n - i lần hai cột liền nhau để chuyển cột thứ

Với i cố định, ta coi aij = 0 + + 0 + aij + 0 + + 0, trong đó có n - 1

số 0 và aij là số hạng thứ i Theo tính chất 2 của định thức, ta có thể viết:

Định lí trên đây cho phép đưa việc tính định thức cấp n về việc tính những định thức cấp thấp hơn và có thể tính được định thức cấp tuỳ ý

Ví dụ Tính định thức:

Giải

1) Khai triển định thức theo dòng thứ nhất ta có:

Vậy D = 2.(- 29) + 5.23 + (- 5) = - 58 + 115 - 5 = 52

2) Nhận thấy dòng thứ ba của định thức chỉ có hai thành phần khác 0

là a32 = 4 và a33 = - 3, nên ta khai triển định thức theo dòng này sẽ giảm nhẹ việc tính toán Cụ thể:

C = 4A32 + (- 3)A33

Để tính định thức cấp 3 cuối cùng này, ta lại khai triển theo cột thứ hai Vì số 1 nằm ở dòng 1 cột 2 nên phần bù đại số của nó là:

Vậy C - 4.(- 52) + (-3).23 = - 277

4.3 Khai triển định thức theo r dòng

Định lí Laplace Nếu trong định thức D đã chọn r dòng cố định i1 , i 2 , i r M 1 , M 2 , , M s là tất cả các định thức con cấp r của D chọn trong r dòng này và A 1 , A 2 , , A s là những phần bù đại số tương ứng thì

Để cho đơn giản kí hiệu

TrongMi 1 i r, a1j, đứng ở dòng 1 cột t Khai triển Mi 1 i r theo dòng đầu,

ta có:

trong đó, 1r r

j j

D sau khi đã xoá cột thứ it (Bạn đọc hãy tự vẽ ra để giúp mình dễ hiểu) Nhưng 1j r

~

M thu được từ D bằng cách xoá đi dòng 1 và cột jt Do đó các thành phần còn lại ở các cột thứ jt+1, it+1 + 1, , n trong D trở thành các thành phần ở cột thứ it+1 - 1, jt+1, n - 1 trong 1j r

Chú ý rằng sau khi thay đổi các dòng như vậy thì các định thức con cấp r lấy trong r dòng đầu vẫn là các định thức con 11 rr

j j i i

M của định thức

đã cho Do đó, theo chứng minh trên: