Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng tö thøc... Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.[r]
(1)1
chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức bẩy đẳng thức đáng nhớ I) Nhân đơn thức với đa thức:
1 KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A B + A C Bài tập áp dụng:
Bài Làm tính nh©n:
a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);
c) 2x
2
y(2x3
- 5xy
2
- 1); d)
7 x(1,4x - 3,5y);
e) 2xy(
2 3x
2
- 4xy +
4 5y
2
); f)(1 + 2x - x2
)5x;
g) (x2
y - xy + xy2
+ y3
) 3xy2
; h) 3x
2
y(15x - 0,9y + 6);
i)
x4
(2,1y2
- 0,7x + 35);
Bài Đơn giản biểu thức tính giá trị chúng
a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) víi a =
b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) víi x = 2,1
c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - víi a = -0,2
d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) víi b = Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh sau:
a) 3y2
(2y - 1) + y - y(1 - y + y2
) - y2
+ y; b) 2x2
.a - a(1 + 2x2
) - a - x(x + a); c) 2p p2
-(p3
- 1) + (p + 3) 2p2
- 3p5
; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a)
Bµi Đơn giản biểu tức:
a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;
c) (-1 2x)
3
- x(1 - 2x - 8x
2
); d) (0,2a3
)2
- 0,01a4
(4a2
- 100)
Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x a) x(2x + 1) - x2
(x + 2) + (x3
- x + 3);
b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);
Bµi Chứng minh biểu thức sau 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x) Bµi tập nâng cao
Bài Tính giá trị biểu thøc: a) P(x) = x7
- 80x6
+ 80x5
- 80x4
+….+ 80x + 15 víi x = 79 b) Q(x) = x14
- 10x13
+ 10x12
- 10x11
+ …+ 10x2
- 10x + 10 víi x = c) M(x) = x3
- 30x2
- 31x + víi x = 31 d) N(x) = x5
- 15x4
+ 16x3
- 29x2
+ 13x víi x = 14 Bµi Chøng minh r»ng :
a) 356 - 355 chia hÕt cho 34 b) 434 + 435 chia hÕt cho 44
Bµi Cho a b số nguyên Chứng minh rằng: a) nÕu 2a + b 13 vµ 5a - 4b 13 th× a - 6b 13; b) nÕu 100a + b th× a + 4b 7;
c) nÕu 3a + 4b 11 th× a + 5b 11;
II) Nhân đa thức với đa thức
1 Kiến thức bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D; Bài tập áp dơng:
Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
(2)2 c)
2x
2
y2
(2x + y)(2x - y); d) (1
2x - 1) (2x - 3);
e) (x - 7)(x - 5); f) (x - 2)(x +
1
2)(4x - 1); g) (x + 2)(1 + x - x2
+ x3
- x4
) - (1 - x)(1 + x +x2
+ x3
+ x4
); h) (2b2
- - 5b + 6b3
)(3 + 3b2
- b); i) (4a - 4a4
+ 2a7
)(6a2
- 12 - 3a3
); Bµi 2.Chøng minh:
a) (x - 1)(x2
- x + 1) = x3
- 1; b) (x3
+ x2
y + xy2
+ y3
)(x - y) = x3
- y3
; Bài Thực phép nhân:
a) (x + 1)(1 + x - x2
+ x3
- x4
) - (x - 1)(1 + x + x2
+ x3
+ x4
); b) ( 2b2 - - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)
e) (2a3
- 0,02a + 0,4a5
)(0,5a6
- 0,1a2
+ 0,03a4
) Bài Viết biểu thức sau d-ới dạng đa thức:
a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);
Bµi Chứng minh giá trị biểu thức sau không phơ thc vµo biÕn y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);
Bài Tìm x, biÕt:
a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2
+ 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);
d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2) Bài tập nâng cao
Bi Chng minh hng đẳng thức: a3
+ b3
+ c3
- 3abc = (a + b + c)(a2
+ b2
+ c2
- ab - bc - ca) Bµi Cho a + b + c = Chøng minh M = N = P víi :
M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b); Bµi Sè 350
+ cã lµ tÝch cđa hai số tự nhiên liên tiếp không ?
HD: Tr-ớc hết chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp chia cho d- Thật nêu hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho tích chúng chia hết cho 3, hai số khơng chia hết cho tích chúng chia cho d- ( tự chứng minh) Số 350
+ chia cho d- nªn tích hai số tự nhiên liên tiÕp
Bµi 10 Cho A = 29
+ 299
Chøng minh r»ng A 100 HD: Ta cã A = 29
+ 299
= 29
+ (211
)9
= (2 + 211
)(28
- 27
.211
+ 26
.222
- …-2.277
+ 288
)
11
Thõa sè thø nhÊt + 2050
4100 100 Thõa sè thø hai ch½n A A
III) Các đẳng thức đáng nhớ 1) Kiến thức bản:
1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
1.2) (A - B)2
= A2
- 2.AB + B2
1.3) A2
- B2
= (A - B)(A + B) 1.4) (A + B)3
= A3
+ 3A2
B + 3AB2
+ B3
1.5) (A - B)3
= A3
- 3A2
B + 3AB2
+ B3
1.6) A3
+ B3
= (A + B)(A2
- AB + B2
) 1.7) A3
- B3
= (A - B)(A2
+ AB + B2
(3)3 Bµi TÝnh
a) (x + 2y)2
; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2
d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 f) (x - 1
2 )
2
Bài Viết biểu thức sau d-ới dạng bình ph-ơng tổng:
a) x2
+ 6x + 9; b) x2
+ x +
4; c) 2xy
2
+ x2
y4
+
Bµi Rót gän biĨu thøc: a) (x + y)2
+ (x - y)2
; b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2
+ (x + y)2
; c) (x - y + z)2
+ (z - y)2
+ 2(x - y + z)(y - z)
Bài ứng dụmg đẳng thức đáng nhớ để thực phép tính sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2);
c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;
e) (a - x - y)3
- (a + x - y)3
; f) (1 + x + x2
)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2
); Bài HÃy mở dấu ngoặc sau:
a) (4n2
- 6mn + 9m2
)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2
- 4b + 49); c) (25a2
+ 10ab + 4b2
)(5a - 2b); d)(x2
+ x + 2)(x2
- x - 2) Bµi TÝnh giá trị biểu thức:
a) x2
- y2
t¹i x = 87 víi y = 13; b) x3
- 3x2
+ 3x - Víi x = 101; c) x3 + 9x2 + 27x + 27 víi x = 97;
d) 25x2 - 30x + víi x = 2;
e) 4x2 - 28x + 49 víi x =
Bµi Đơn giản biểu thức sau tính giá trị cđa chóng: a) 126 y3
+ (x - 5y)(x2
+ 25y2
+ 5xy) víi x = - 5, y = -3; b) a3
+ b3
- (a2
- 2ab + b2
)(a - b) với a = -4, b = Bài Sử dụng đẳng thức đáng nhớ để thực phép tính sau:
a) (a + 1)(a + 2)(a2
+ 4)(a - 1)(a2
+ 1)(a - 2); b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
c) (1 - x - 2x3
+ 3x2
)(1 - x + 2x3
- 3x2
); d) (a6
- 3a3
+ 9)(a3
+ 3);
e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1)
Bài Tìm x, biết:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;
c) 3(x + 2)2
+ (2x - 1)2
- 7(x + 3)(x - 3) = 36; d)(x - 3)(x2
+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; e) (x + 1)3
- (x - 1)3
- 6(x - 1)2
= -19
Bài 10.Tính nhẩm theo đẳng thức số sau: a) 192
; 282
; 812
; 912
; b) 19 21; 29 31; 39 41; c) 292
- 82
; 562
- 462
; 672
- 562
; Bài 11 Chứng mih đẳng thức sau:
a) a2
+ b2
= (a + b)2
- 2ab; b) a4
+ b4
= (a2
+ b2
)2
- 2a2
b2
;
c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2]
Các toán nâng cao
Bài 12 Chứng minh đẳng thức sau: X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;
Bµi 13 H·y viÕt biểu thức d-ới dạng tổng ba bình ph-ong: (a + b + c)2
+ a2
+ b2
+ c2
Bµi 14 Cho (a + b)2
= 2(a2
+ b2
) Chøng minh r»ng a = b Bµi 15 Cho a2
+ b2
+ c2
= ab + bc + ca Chøng minh r»ng a = b =c Bµi 16 Cho ( a + b + c)2
= 3(ab + bc + ca) Chøng minh r»ng a = b = c Bµi 17 Cho a + b + c = (1)
a2
+ b2
+ c2
= (2) TÝnh a4 + b4 + c4
(4)4 a) a4
+ b4
+ c4
= 2(a2
b2
+ b2
c2
+c2
a2
); b) a4
+ b4
+ c4
= 2(ab + bc + ca)2
;
c) a4+ b4 + c4 = 2 2
2 a b c
;
Bài 19 Chứng minh biểu thức sau luôn có giá trị d-ơng với giá trị biÕn a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x +
Bài 20 Tìm giá trị nhỏ c¸c biĨu thøc sau: a) A = x2
- 3x + 5; b) B = (2x -1)2
+ (x + 2)2
;
Bµi 21 Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = - x2
+ 2x; b) B = 4x - x2
; Bµi 22 Cho x + y = 2; x2
+ y2
= 10 Tính giá trị biểu thức x3
+ y3
Bµi 23 Cho x + y = a; xy = b
Tính giá trị biểu thức sau theo a b:
a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5;
Bµi 24 a) cho x + y = Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy
b) cho x - y = Tính giá trị biểu thức: x3
- y3
- 3xy Bµi 25 Cho a + b = Tính giá trị biểu thức sau:
M = a3
+ b3
+ 3ab(a2
+ b2
) + 6a2
b2
(a + b) Bµi 26 Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a) A = (3x + 1)2
- 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2
; b) B = (3 + 1)(32
+ 1)(34
+ 1)(38
+ 1)(318
+ 1)(332
+ 1); c) C = (a + b - c)2
+ (a - b + c)2
- 2(b - c)2
;
d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;
e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;
g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;
h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a)
Bài 28 Chứng minh đẳng thức sau: a) (a + b + c)2
+ a2
+ b2
+ c2
= (a + b)2
+(b + c)2
+ (c + a)2
; b) (a + b + c)3
- a3
- b3
- c3
= 3(a + b)(b + c)(c + a) Bµi 29 Cho a + b + c = chøng minh r»ng: a3
+ b3
+ c3
= 3abc Bµi 30 Chøng minh r»ng:
a) nÕu n tổng hai số ph-ơng 2n tổng hai số ph-ơng b) 2n tổng hai số ph-ơng n tổng hai số ph-ơng c) n tổng hai số ph-ơng n2 tổng hai số ph-ơng
Bài 31 a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - ch÷ sè 0) Chøng minh r»ng: ab + số ph-ơng
b) Cho dÃy số có số hạng đầu 16, số hạng sau số tạo thành cách viết chèn số 15 vào số hạng liền tr-ớc :
16, 1156, 111556, …
Chứng minh số hạng dãy số ph-ơng
Bµi 32 Chøng minh r»ng ab + lµ số ph-ơng với a = 1112(n chữ số 1), b = 1114(n chữ số 1)
Bài 33 Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè Chøng minh r»ng a + b + c + số ph-ơng
Bài 34 Chứng minh biểu thức sau số ph-ơng: a) A =
2
11 22
n n
b) B =
2
11 44
n n
Bài 35 Các số sau bình ph-ơng cđa sè nµo ? a) A = 99 00 25
n n
; b) B = 99 9800 01
n n
;
c) C =
1
44 488 89
n n
; d) D =
1
11 122 25
n n
(5)5
chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử
I) Ph-ơng pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C *) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử
(6)6
2
2 2
3
10
2 2
2
a) 3x - 3y
b) 2x 5x x y
c)14x 21xy 28x y
d)4x 14x
e)5y 15y
f)9x y 15x y 21xy
g)x(y 1) y(y 1)
h)10x(x y) 8y(y x)
i)3x (x 1) 2(x 1)
j)a(b c) 3b 3c
k)a(c d) c d
l)b(a c) 5a 5c
m)b(a c) 5a 5c
n)a(m n) m n
o)mx
2
2
2 2
2
my 5x 5y
p)ma mb a b
q)1 xa x a
r)(a b) (b a)(a b)
t)a(a b)(a b) (a b)(a ab b )
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)2x(x+3)+2(x+3)
b)4x(x-2y)+8y(2y-x)
c) y (x y) zx zy
d)3x(x 7) 11x (x 7) 9(
2
2
2
2
2
m m n n
5
2
x 7)
e)(x 5) 3(x 5)
f)2x(x 3) (x 3)
g)x(x 7) (7 x)
h)3x(x 9) (9 x)
i)5x(x 2) (2 x)
j)4x(x 1) 8x (x 1)
k)p q p q p q p.q
o)5x (x 2z) 5x (2z x)
p)10x(x y) 8y(y x)
q)21x 12xy
r)2x(x 1) 2(x 1)
t)4x(x 2y) 8y(2y x)
2
2
3
2
2 2 2
5
Bµi 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x x;
b)21x y 12xy ;
c)x x 2x;
d)3x x x x ; e)x y z xy z x yz;
f )2x x x ; g)4x x 2y 8y 2y x
Bài 4: Tính giá trị biểu thức a) 15.91,5+ 150.0,85
b) 5x (x 2z)
2
2
5x (2z x)t¹i x= 1999; y= 2000; z= -1 Bài 4: Tìm x, biÕt
a) 5x(x-2)-(2-x)= b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1)
1
c) x(2x-1)+ x
3
d)x(x 4) (x 4) e)x 5x 0;
f )3x(x 2) 2(2 x) 0;
g)5x(3x 1) x(3x 1) 2(3x 1) Bµi 5:Chøng minh r
2
»ng
a) Bình phương số lẻ chia cho dư
b) Bình phương số lẻ chia cho dư
Bµi 6: chøng minh r»ng: n n 2n n
lu«n chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n
(7)7 A2
+ 2AB + B2
= (A + B)2
2 A2
- 2AB + B2
= (A + B)2
3 A2 - B2 = (A - B)(A + B)
4 A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3
5 A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3
6 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
7 A3
- B3
= (A - B)(A2
+ AB +B2
) 2)Bµi tËp:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2
- 9; b) 4x2
- 25; c) x6
- y6
d) 9x2
+ 6xy + y2
; e) 6x - - x2
; f) x2
+ 4y2
+ 4xy g) 25a2
+ 10a + 1; h)10ab + 0,25a2
+ 100b2
i)9x2
-24xy + 16y2
j) 9x2
- xy + 36y
2
k)(x + y)2
- (x - y)2
l)(3x + 1)2
- (x + 1)2
n) x3
+ y3
+ z3
- 3xyz
Bµi 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3
+ 8; b) 27x3
-0,001 c) x6
- y3
; d)125x3
- e) x3
-3x2
+ 3x -1; f) a3
+ 6a2
+ 12a + Bài 3: Phân tích đa thức thành nh©n tư
a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;
b) M = 4abcda2b2c2d224cd a 2b2 ab c2d22
Bµi TÝnh nhanh: a) 252
- 152
; b) 872
+ 732
- 272
- 132
c) 732
-272
; d) 372
- 132
e) 20092 - 92
Bài Tìm x, biÕt
a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25
c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1
e) x3
+ 3x2
= -3x -
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x8
- 12x4
+ 18; b) a4
b + 6a2
b3
+ 9b5
; c) -2a6
- 8a3
b - 8b2
; d) 4x + 4xy6
+ xy12
Bài Chứng minh đa thức sau nhận giá trị không âm a) x2
- 2xy + y2
+ a2
; b) x2
+ 2xy + 2y2
+ 2y + 1; c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;
d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;
Bài Chứng minh đa thức sau không âm với giá trị chữ: a) x2 + y2 - 2xy + x - y +
b) 2x2
+ 9y2
+ 3z2
+ 6xy - 2xz + 6yz c) 8x2
+ y2
+ 11z2
+ 4xy - 12 xz - 5yz d) 5x2
+ 5y2
+ 5z2
+ 6xy - 8xz - 8yz
Bµi Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2
- 25 chia hÕt cho
III) Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử ph-ơng pháp nhóm h¹ng tư
1) Kiến thức bản: Tìm cách tách đa thức cho thành nhóm hạng tử thích hợp cho phân tích nhóm hạng tử thành nhân tử xuất nhân tử chung
2) Bài tập áp dụng:
Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2
- xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2
-3xy - 5x + 5y d) x2
+ 4x - y2
+ 4; e) 3x2
+ 6xy + 3y2
- 3z2
; f) x2
-2xy + y2
- z2
+ 2zt - t2
; g) x2
- x - y2
- y; h) x2
- 2xy + y2
- z2
; i) 5x - 5y + ax - ay; j) a3
- a2
x - ax + xy; k) 7a2
(8)8 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử;
a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2
+ ax2
-y - ax +cx2
- cy; c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by;
Bµi Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2; b) a4 + ab3 - a3b - b4;
c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; c) x4 + x3 y - xy3 - y4;
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) 70a - 84b - 20ab - 24b2
; b) 12y - 9x2
+ 36 - 3x2
y; c) 21bc2
- 6c - 3c3
+42b; d) 30a3
- 18a2
b - 72b + 120a Bài Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x3
+ 3x2
y + x +3x2
y + y + y3
; b) x3
+ y(1 - 3x2
) + x(3y2
- 1) - y3
;
c) 27x3
+ 27x2
+ 9x +1 + x +
3; d) x(x + 1)
2
+ x(x - 5) - 5(x +1)2
Bµi T×m x, biÕt: a) x3
+ x2
+ x + = 0; b) x3
- x2
- x + = 0; c) x2
- 6x + = 0; d) 9x2
+ 6x - = e) x(x - 2) + x - = 0; f) 5x(x - 3) - x + = Bài Tính nhanh giá trị ®a thøc sau;
a) x2
- 2xy - 4z2
+ y2
t¹i x = 6; y = -4; z = 45 b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2
+ 48 x = 0,5 Bài Tính nhanh :
a) 37,5 6,5 - 7,5 3,4 - 6,6 7,5 + 3,5 37,5; b) 452 + 402 - 152 + 80.45
Bµi Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) Bài 10 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x3
z + x2
yz - x2
z2
- xyz2
; b) pm+2
q - pm+1
q3
- p2
qn+1
+ pqn+3
IV) Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều ph-ơng pháp
1) Kiến thức bản:
- t nhõn t chung - Dùng đẳng thức
- Nhãm nhiỊu h¹ng tư ph-ơng pháp khác 2) Bài tập áp dụng:
Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tö:
a) x3 - 2x2 + x; b) 2x2 + 4x + - 2y2; c) 2xy - x2 - y2 + 16;
d) a4 + a3 + a3b + a2b e) a3 + 3a2 + 4a + 12; f) a3 + 4a2 + 4a + 3;
g) x2
y + xy2
+ x2
z + xz2
+ y2
z + yz2
+ 2xyz; h) a2
+ b2
+ 2a - 2b - 2ab; i) 4a2
- 4b2
- 4a + 1; j) a3
+ 6a2
+ 12a + 8; k) (a + b + c)3
- (a + b - c)3
- ( a - b + c)3
- (-a + b +c)3
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (2x + 3y)2
- 4(2x + 3y); b) (x + y)3
- x3
- y3
; c) (x - y + 4)2
- (2x + 3y - 1)2
; d) (a2
+ b2
- 5)2
- 4(ab + 2)2
e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);
f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc;
g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2; h) x5 - 5x3 + 4x;
i) x3 - 11x2 + 30x; j) 4x4 - 21x2y2 + y4;
k) x3 + 4x2 - 7x - 10; l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15;
n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2
+ 8x + 7)(x2
+ 8x + 15) + 15; o) (x2
+ 3x + 1)(x2
+ 3x + 2) - Bµi 2: T×m x, biÕt
a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0; c) x3 - 1
4x = 0; d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = e) x2(x - 3) +12 - 4x =0
Bài Tính nhanh giá trị biểu thøc:
a) x2
+ 2x +
1
16 t¹i x = 49,75; b) x
2
- y2
- 2y - x = 93 y =
(9)9 Bµi a) Sè 717
+ 17 - chia hÕt cho Hái sè 718
+ 18.3 - có chia hết cho khơng? b) Biến đổi thành tích biểu thức:
A = + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2]
Bài Chứng minh đẳng thức sau:
1) x6 + 3x2y2 + y6 = Víi x2 + y2 =
2) x4 + x2y2 + y4 = a2 - b2 víi x2 + y2 = a, xy = b
3) (a3
+ b3
- a3
b3
)3
+ 27a6
b6
= víi ab = a + b 4) p2
+ (p - a)2
+ (p - b)2
+ (p - c)2
= a2
+ b2
+ c2
víi a + b + c = 2p Bài Tính giá trị biểu thức:
a) A = 217
- 216
- 215
- 214
- …- 22
- - b) B = x17
- 12x16
+ 12x15
- 12x14
+…- 12x2
+ 12x - víi x = 11 Bµi Rót gän:
a) A = 3(22
+ 1)(24
+ 1)(28
+ 1)(216
+ 1)(232
+ 1)(264
+ 1) b) Më réng: B = 3(221)(2221)(223 1)(224 1) (22n 1)
Bµi Chøng minh:
a5
(b2
+ c2
) + b5
(a2
+ c2
) + c5
(a2
+ b2
) = 2(a
3
+ b3
+ c3
)(a4
+ b4
+ c4
) víi a + b + c =
Bµi Chøng minh: 2(a5
+ b5
+ c5
) = 5abc(a2
+ b2
+ c2
) víi a + b + c = Bài 10 Tổng số nguyên a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho Chøng minh r»ng
A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho
V) Một số ph-ơng pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử 1) Ph-ơng pháp tách số hạng thành nhiều số hạng khác 1.1) Đa thức dạng f(x) = ax2 + bx + c
- B-íc 1: Tìm tích ac
- B-ớc 2: Phân tích a.c tích hai thứa số nguyên cách - B-íc 3: Chän hai thõa sè mµ tỉng b»ng b
Các tập áp dụng dạng này:
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x2
- 4x - 3; b) x2
- 4x + 3; c) x2
+ 5x + 4; d) x2
- x - 6; e) x2
+ 8x+ 7; f) x2
- 13 x + 36; g) x2
+3x - 18; h) x2
- 5x - 24; i) 3x2
- 16x + 5; j) 8x2
+ 30x + 7; k) 2x2
- 5x - 12; l) 6x2
- 7x - 20 1.2) §a thøc tõ bËc ba trở lên ng-ời ta dùng ph-ơng pháp tìm nghiệm cđa ®a thøc
a) Chú ý: đa thức f(x) có nghiệm x = a chứa thừa số x - a Trong a -ớc số an,, với f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an
b) VÝ dơ: Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 -
Lần l-ợt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thÊy f(2) = 23
- 22
- = Đa thức có nghiệm x =2, chứa thừa số x -
Ta t¸ch nh- sau: C¸ch 1: x3
- x2
- = x3
- 2x2
+ x2
- 2x + 2x - = x2
(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x2
+ x + 2) C¸ch 2: x3
- x2
- = x3
- - x2
+ = (x - 2)(x2
+ 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + - x - 2)
= (x - 2)(x2 + x + 2)
2) Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ: Khi đa thức phức tạp, có bậc cao, ta đặt ẩn phụ nhằm “ giảm bậc” đa thức để phân tích
2.1) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a) f(x) = (x2
+ x + 1)(x2
+ x + 2) - 12 b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 HD: a) Đặt y = x2
+ x + 1, đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2
+ y - 12 = (y - 3)(y + 4) Thay ng-ợc trở lại y = x2
+ x + vào đa thức f(x) ta đ-ợc: f(x) = (x2
+ x + - 3)(x2
+ x + + 4) = (x2
+ x + 5)(x2
+ x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2
+ x + 5) b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24
= y(y + 2) - 24 víi y = x2 + 5x +
= y2 + 2y - 24
(10)10 Thay ng-ợc trở lại y = x2
+ 5x + ta đ-ợc f(x) = (x2
+ 5x + - 4)(x2
+ 5x + + 6) = (x2
+5x)(x2
+ 5x + 10) = x(x + 5)(x2
+ 5x + 10)
3) Ph-ơng pháp thêm, bớt hạng tử thích hợp để làm xuất đẳng thức hiệu hai bình ph-ơng *) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x8 + x4 + 1;
b) x4 + 4;
HD: a) x8
+ x4
+ = x8
+ 2x4
+ - x4
= (x4
+ 1)2
- x4
= (x4
+ x2
+1)(x2
- x2
+ 1) = [(x4
+ 2x2
+ 1) - x2
][(x4
+ 2x2
+ 1) - 3x2
] = [(x2
+ 1)2
- x2
][(x2
+ 1)2
- ( x)2
]
= (x2
+1 - x)(x2
+ - x)(x2
+ + x)(x2
+ + x) *) Bài tập áp dụng :
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: a) f(x) = x4
+ 324 b) f(x) = x8
+ 1024; c) f(x) = x8
+ 3x4
+
Bài a) Phân tích n4
+
b) ¸p dơng: Rót gän S =
4 4
4 4
1 1
1 19
4 4
1 1
2 20
4 4
4) Ph-ơng pháp xét giá trị riêng: Tr-ớc hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại
a) Ví dụ: Phân tích thành thừa số: P = x2
(y - z) + y2
(z - x) + z2
(x - y) Gi¶i:
Thư thay x bëi y th× P = y2
(y - z) - y2
(z - y) = Nh- vËy P chøa thõa sè x = y
nếu thay x y, y z, z x P khơng đổi Do P chứa thừa số có dạng (x - y), (y - z), (z - x) P có dạng P = k(x - y)(y - z)(z - x)
Vì đăngt thức x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với x, y, z,
Nên ta gán x = 2, y = 1, z = vào đẳng thức ta đ-ợc: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 P = -(x - y)(y - z)(z - x)
Các tập áp dụng dạng Bài 1: Phân tích thõa sè nguyªn tè
a) 6x2 - 11x + 3; b) 2x2 + 3x - 27;
c) 2x2 - 5xy + 3y2; d) 2x2 -5xy - 3y2
Bài Phân tích thõa sè nguyªn tè: a) x3
+ 2x - 3; b) x3
- 7x + 6; c) x3
+ 5x2
+ 8x + 4; d) x3
- 9x2
+ 6x + 16; e) x3
- x2
- 4; f) x3
- x2
- x - 2; g) x3
+ x2
- x + 2; h) x3
- 6x2
- x + 30 Bài Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng nhiỊu c¸ch)
x3
- 7x -
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 27x3
- 27x2
+ 18x - 4; b) 2x3
- x2
+ 5x + Bài Phân tích đa thức thành nh©n tư:
a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;
c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24;
e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4
f) (x2
+ y2
+ z2
)(x + y + z)2
+ (xy + yz + zx)2
; g) 2(x4
+ y4
+ z4
) - (x2
+ y2
+ z2
)2
- 2(x2
+ y2
+ z2
)(x + y + z)2
+ (x + y + z)4
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng ph-ơng pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ)
a) (a + b + c)3
- 4(a3
+ b3
+ c3
) - 12abc HD: Đặt x = a + b, y = a - b
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 4x4 - 32x2 + 1; b) x6 + 27;
(11)11 e) 4x4
+ 1; f) 64x4
+ y4
; g) x4
+ 324; h) x8
+ x + 1; i) x7 + x5 + 1; j) x8 + x4 + 1;
k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; l) x3 + 3xy + y3 -
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử ph-ơng pháp hệ số bất định
a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
c) x4
- 7x3
+ 14x2
- 7x + 1; c) x4
- 8x + 63 Bµi Phân tích đa thức thành nhân tử:
x8
+ 98x2
+
Bµi 10 Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng ph-ơng pháp xét giá trị d-ơng) a) M = a(b + c - a)2
+ b(c + a - b)2
+ c( a + b - c)2
+ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) b) N = a(m - a)2
+ b(m - b)2
+ c(m - c)2
- abc víi 2m = a + b + c
chuyên đề chia đa thức cho đa thức
I) Chia đơn thức cho đơn thức (tr-ờng hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B) 1) Ph-ơng pháp:
- Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B
- Chia luỹ thừa biến A cho luỹ thừa biến có B - Nhân kết tìm đ-ợc với
1) VÝ dơ vµ bµi tËp:
Bµi Lµm phÐp tÝnh chia: a) 10015
: 10012
; b) (-79)33
: (- 79)32
;
c)
16 14
1 : 2
; d)
21 18
3
:
5
Bài Chia đơn thức:
a) -21xy5z3 : 7xy2z3; b) (
2
a3b4c5) : 3
2a
2bc5;
c) x2yz : xyz; d) x3y4 : x3y;
e) 18x2y2z : 6xyz; f) 5a3b : (-2a2b);
g) 27x4y2z : 9x4y; h) 9x2y3 : (-3xy2);
i) (
m2
n4
) : 2m
2
n2
; j) 5x4
y3
z2
: 3xyz2
;
k) (-7a3
b4
c5
) : (-21b3
c2
); l)
2(a - b)
5
: 2(b - a)
2
;
n) (x + y)2
: (x + y); m)(x - y)5
: (y - x)4
;
o) (x - y +z)4
: (x - y + z)3
; ¬) 0,5am
bn
c3
: (
a2
bc);
p) 1,8an+3
bn+2
cn +1
: (-0,9an+1
bn-1
c) Bài Tính giá trị biểu thøc sau:
(-x2
y5
)2
: (-x2
y5
) t¹i x =
2 vµ y = -1 Bµi Thùc hiƯn phÐp chia:
a) (xy2 - 4
3x
2y3 + 6
5x
3y2) : 2xy; b) (x3 - 3x2y +5xy2) : (
3
x);
c) (3 4a
3
b6
c2
+ 5a
4
b3
c - 10a
5
b2
c3
) : 5a
3
bc;
d) [3(a - b)5
- 6(a - b)4
+ 21(b - a)3
+ 9(a - b)2
] : 3(a - b)2
e) (u4
- u3
v + u2
v2
- uv3
) : (u2
+ v2
)
Bài Với giá trị n thực đ-ợc phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm đ-ợc thực phép chia
a)x2n : xn + 3; b) 3xny2 : 4x2y;
c) 6x3y5 : 5xny2; d) xnyn+2 : 3x3y4
II) Chia đa thức cho đơn thức
1) Ph-ơng pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B
(12)12 2) Bµi tập áp dụng:
Bài Thực phép tính:
a) (7 35 - 34 + 36) : 34; b) (163 - 642) : 83;
Bµi Lµm tÝnh chia:
a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2; b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy);
c) (x3
y3
- 2x
2
y3
- x3
y2
) : 3x
2
y2
; d) (24x4
y3
- 40x5
y2
- 56x6
y3
) : (-24x4
y2
);
e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + 2
3a
4);
f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2
g) [7(a - b)5
+ 5(a - b)3
] : (b - a)2
; h) [7(a - 3b)3
+ (a - 3b)] : (2a - 6b); i) (x3
+ 3x2
y+ 3xy2
+ y3
) : (2x + 2y) Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + 15
4 a
2mnbn-1cp+2x) : (-3a3-mb5c4);
b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc;
c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy
d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hÕt cho 17 ( n thuéc N)
Bµi Lµm tÝnh chia: a) [5(a - b)3
+ 2(a - b)2
] : (b - a)2
b) 5(x - 2y)3
: (5x - 10y); c) (x3
- 8y3
) : (x + 2y); d) [5(a + b)7
- 12(a + b)5
+ 7(a + b)11
] : 4(-a - b)3
e) [3(a - b)4
(2a + b)3
+ 10(a - b)5
- (a - b)6
(2a + b)] : 5(a - b)3
Bµi Rút gọn tính giá trị biểu thức với x = -2
A = (2x2
- x) : x + (3x3
- 6x2
) : 3x2
+ III) Chia đa thc mt bin ó sp xp:
1) Ph-ơng pháp chung:
- Chia hạng tử cao đa thức bị chia cho hạng tử cao đa thức chia đ-ợc hạng tử cao th-ơng
- Nhân hạng tử cao th-ơng với ®a thøc chia råi lÊy ®a thøc bÞ chia trõ tích vừa tìm đ-ợc, ta đ-ợc d- thứ
- Chia hạng tử cao đa thức d- thứ cho hạng tử cao đa thức chia ta đ-ợc hạng tử thứ hai th-ơng
- Nhân hạng tử thứ hai th-ơng với ®a thøc chia råi lÊy d- thø nhÊt trõ ®i tích vừa tìm đ-ợc, ta đ-ợc d- thứ hai
- Lặp lại trình khi:
+) nÕu d- cuèi cïng b»ng th× phÐp chia có d- đ-ợc gọi phép chia hÕt
+) d- cuối khác bậc đa thức d- thấp bậc đa thức chia phép chia đ-ợc gọi phép chia có d-
2) Ký hiƯu:
A(x) lµ đa thức bị chia; B(x) đa thức chia; Q(x) đa thức th-ơng; R(x) đa thức d-;
Ta lu«n cã: A(x) = B(x) Q(x) + R(x);
- NÕu R(x) = th× A(x) = B(x) Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt
- NÕu R(x) 0 th× A(x) = B(x) Q(x) + R(x),( bËc cđa R(x) nhỏ bậc B(x)) gọi phép chia có d-
3) Bài tập áp dụng: Bài Lµm tÝnh chia:
a) (6x2
+ 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3
- 3x2
+ x - 3) : (x - 3); c) (2x4
+ x3
- 5x2
- 3x - 3) : (x2
- 3);
Bài Sắp sếp đa thức sau theo luỹ giảm dần thừa biến: a) (12x2
- 14x + - 6x3
+ x4
) : (1 - 4x + x2
); b) (x5
- x2
- 3x4
+ 3x + 5x3
- 5) : (5 + x2
- 3x); c) (2x2
- 5x3
+ 2x+ 2x4
- 1) : (x2
- x - 1); d) (x3
- 7x + - x2
) : (x - 3);
(13)13 f) (x3
+ 2x2
- 3x + 9) : (x + 3); g) (9x4
- 6x3
+15x2
+ 2x - 1) : (3x2
- 2x + 5); h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);
i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2);
j) (-3x2 + 10x3 - x - + 12x4) : (x + + 3x2);
k) (5x + 3x2 - + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2);
l) (2x3
+ 5x2
- 2x + 3) : (2x2
- x + 1); n) (2x3
- 5x2
+ 6x - 15) : (2x - 5); m) (x4
- x - 14) : (x - 2)
Bài Không thực phép chia, hÃy xem phép chia sau có phép chia hết không tìm đa thức d- tr-ờng hợp không chia hết;
a) (x3
+ 2x2
- 3x + 9) : (x + 3); b) (9x4
- 6x3
+15x2
+ 2x - 1) : (3x2
- 2x + 5) HD:
a) KÝ hiÖu sè d- lµ r, ta cã thĨ biÕt: x3 + 2x2 - 3x + = (x + 3).q(x) + r
Trong đẳng thức đặt x = -3, ta đ-ợc: r = (-3)3
+ 2(-3)2
- 3(-3) + = vËy d- phÐp chia lµ
b) Ta thấy th-ơng b-ớc thứ phép chia 3x đa thức d- thứ 2x - Vì 2x - có bậc nhỏ 3x2
- 2x + nên thực tiếp phép chia đ-ợc Do phép chia không phép chia hết đa thức d- 2x -
Bài Không thực phép chia, xét xem phép chia sau có phép chia hết không tìm đa thức d- tr-ờng hợp không chia hết
a) (8x2
- 6x + 5) : (x -
2); b) 6x
2
- 3x + 3) : (2x - 1);
c) (x4
+ x3
+ x2
+ x - 4) : (x - 1); d) (18x5
+ 9x4
- 3x3
+ 6x2
+ 3x - 1) :(6x2
+ 3x - 1) Bµi TÝnh nhanh:
a) (9a2
- 16b2
) : (4b - 3a); b) (25a2
- 30ab + 9b2
) : (3b - 5a); c) (27a3
- 27a2
+ 9a - 1) : (9a2
- 6a + 1);
d) (64a3
- 27b
3
) : (16a2
+ 3ab +
1 9b
2
)
4) Một số ph-ơng pháp khác để tìm đa thức th-ơng đa thức d-: 4.1) Ph-ơng pháp đặt phép chia:
VÝ dô:
Xác định số hữu tỷ a b để đa thức x3
+ ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2
+ x + Gi¶i
Thùc hiƯn phÐp chia
x3 + ax + b x2 + x -
x3 + x2 - 2x
-x2 + (a +2)x + b x -
-x2
- x + (a + 3)x + (b -2)
Để chia hết, đa thức d- phải đồng băng 0, nên :
3
2
a a
b b
vËy víi a = -3; b = th× x3
+ ax + b chia hÕt cho x2
+ x + 4.2) Ph-ơng pháp hệ số bất định
- Nếu hai đa thức f(x) g(x) với giá trị biến số x ng-ời ta goi hai đa thức đẳng hai đa thức đồng Kí hiệu f(x) g(x)
- Hai đa thức (đã viết d-ới dạng thu gọn) đ-ợc gọi đồng (hằng đẳng) hệ số đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức
*) VÝ dô:
Xác định số hữu tỷ a b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x +
(14)14
Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai, nên th-ơng nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc x3
: x2
= x
Gọi th-ơng phép chia x + c, ta cã: x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c)
x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c
Hai đa thức đồng nên :
1
2
2
c c
c a a
c b b
VËy víi a = -3, b = th× x3
+ ax + b chia hÕt cho x2
+ x - 2, th-ơng x - 4.3) Ph-ơng pháp xét giá trị riêng
*) VÝ dô:
Xác định số hữu tỷ a b để đa thức x3
+ ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2
+ x + Giải
Gọi th-ơng phÐp chia x3
+ ax + b cho x2
+ x - lµ Q(x), ta cã: x3
+ ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)
Vì đẳng thức với x, nên lần l-ợt cho x = 1, x = -2 ta đ-ợc :
1
8 2
a b a b a
a b a b b
Víi a = -3; b = th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - th-ơng x -
4.4) Ph-ơng pháp vận dụng vào định lý Bơdu
a) Định lý: Số d- phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a giá trị đa thức f(x) x = a.(Nghĩa r = f(a))
b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a vµ chØ f(a) = Các tập áp dụng cho ph-ơng pháp trªn
Bài Xác định a b để đa thức x4
- 6x3
+ ax2
+ bx + bình ph-ơng đa thức HD: sử dụng ph-ơng pháp hệ số bất định, ta có đáp số
x4
- 6x3
+ 7x2
+ 6x + = (x2
- 3x - 1)2
x4
- 6x3
+ 11x2
- 6x + = (x2
- 3x +1)2
Bài Xác định a b để đa thức x4
- 3x3
+ 2x2
- ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2
- x - HD: sử dụng ph-ơng pháp giá trị riêng, ta đ-ợc kết a = 2; b = -
Bài Xác định hệ số a b cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 + x + 1;
b) 2x3
+ ax + b chia cho x + d- -6, chia cho x - d- 21 HD: ta cã kÕt qu¶
a) a = 1; b = 1; b) a = 3; b = -1
Bài Tìm giá trị nguyên x để: a) Giá trị biểu thức x3
+ 3x2
+ 3x - chia hết cho giá trị biểu thức x + 1; b) Giá trị biểu thức 2x2
+ x - chia hết cho giá trị cđa biĨu thøc x - HD
a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + d- lµ -3
Suy -3 (x + 1) x{0; -2; 2; -4} b) x {3; 1; 5; -1}
Bài Cho đa thức A(x) = a2
x3
+ 3ax2
- 6x - 2a (a thuộc Q) Xác định a cho A(x) chia hết cho x + HD
*) Cách (Đặt phép chia đa thức)
A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho đa thức (x + 1) đ-ợc th-ơng
a2x2 + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) đa thức d- -a2 + a +
- Để đa thức A(x) chia hết cho đa thức x + đa thức d- phải 0, tức -a2
+ a + = 0, giải ph-ơng trình ta đ-ợc a = -2; a = *) Cách (Dùng ph-ơng phỏp h s bt nh)
+) Tìm hạng tử bËc cao nhÊt a2
x3
: x = a2
x2
, h¹ng tư bËc thÊp nhÊt -2a : = -2a +) BiĨu diƠn A(x) = (a2
x2
+ bx - 2a)(x + 1), sau dùng ph-ơng pháp đồng để tìm a = -2; a = kết luận
(15)15 a) 10x2
- 7x + a chia hÕt cho2x - 3; b) 2x2
+ ax + chia cho x - d- 4; c) ax5 + 5x4 - chia hÕt cho x -
Bài Xác định số a b cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + 1;
b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10;
c) ax4
+ bx3
+ chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2
; d) x4
+ chia hÕt cho x2
+ ax + b Bài Tìm số a b cho x3
+ ax + b chia cho x + th× d- 7, chia cho x - th× d- -
Chuyên đề phân thức đại số
I) Phân thức đại số: 1) Kiến thức bản:
a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng A B, A, B đa thức, B đa thức khác đa thức
A lµ tư thøc (tư) B mẫu thức
Mỗi đa thức đ-ợc coi đa thức có mẫu b) Hai phân tức bẳng nhau:
Với hai phân thức A B vµ
C
D, ta nãi A B =
C
D nÕu A.D = B.C 2) Bµi tËp:
Bài Dùng định nghĩa hai phân thức chứng minh đẳng thức sau:
a)
2 3
7
5 35
x y x y xy
; b)
2
2
2
2
x x x
x x x
;
c)
2
3
3
x x x
x x
; d)
3
4
10 5
x x x x
x
;
e)5 20
y xy
x
; f)
3
2
x x x
x
;
g) 22 1
1
x x
x
x x
; h)
2
2
1
x x x x
x x
;
i)
3
8
2
x
x
x x
Bà i Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, tìm đa thức A đẳng thức sau
a)
2
6
A x x
x x
; b)
2
4 7
x x x
A x
;
c)
2
2
4
1
x x A
x x x
; d)
2
2
2
2
x x x x
x x A
Bài Bạn Lan viết đẳng thức sau đố bạn nhóm học tập tìm chỗ sai Em sửa sai cho
a)
2
5 13
2
x x x
x x
; b)
2
1
3
x x
x x x
;
c)
2
2
1
x x
x x
; d)
2
2
2 3
3
x x x x
x x x x
Bài Ba phân thức sau có kh«ng?
2
2
2
; ;
1
x x x x
x x x x
Bài Tìm tập xác định phân thức sau:
a)
5x 2; b)
2
3 x
x x
;
c) 2 x
x x; d)
2 x
x x
(16)16 Bài tìm giá trị biến để biểu thức sau
a) 32 x x
; b)
2 x x x ; c) 2 x x x
; d)
2 2 4 x x x x ; e)
4
1
2
x x x
x x x x
; f)
4 10 x x x x Bài Tìm giá trị nguyên biến để phân thức sau nhận giá trị nguyên:
a) 2
x x ; b)
6
x ; c)
1 x x ; II) Tính chất phân thức đại số:
1) KiÕn thøc c¬ b¶n: a) TÝnh chÊt:
- TÝnh chÊt 1:
A A M
B B M (M đa thức khác đa thức 0)
- TÝnh chÊt 2: : :
A A M
B B M (M nhân tử chung khác 0)
b) Quy tắc đổi dấu: A A
B B
2) Bµi tËp ¸p dơng:
Bài Dùng tính chất phân thức, điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức sau:
a)
2
5
x x x
x
; b)
2
8 24
x x x
x ; c) 2
3
3
x xy
x y y x
; d)
2
2
2
x xy y
x y y x
; e) 2 1 x x x x
; f)
2
5 5 2
x y x y
y x
Bài Biến đổi phân thức sau thành phân thức có tử thức đa thức A cho tr-ớc
a) 42 3, A= 12x +9x
x x
; b)
2
8
, 15
x x A x x x ;
Bài Dùng tính chất phân thức để biến đổi cặp phân thức sau thành cặp phân thức có tử thức
a) x vµ
1 x
x
; b)
4 x x vµ 25 x x ;
Bài Dùng tính chất phân thức quy tắc đổi dấu để biến đổi cặp phân thức sau thành cặp phân thức có mẫu thức:
a) x x vµ
7
x x
; b)
4 x x vµ
3 x x ;
c) 2 16 x x vµ
4
x x
; d)
x
x x vµ x x x ; Bài Các phân thức sau cã b»ng kh«ng?
a)
3 3
x y xy vµ
2
x
y ; b)
2
x
xy vµ
2 2
x x y ;
c)
( 1)(3 ) x
x x
vµ
1 ( 1)( 3)
x
x x
; d)
3( 1) (1 )
x x
vµ
3( 1) ( 1) x x ; Bµi HÃy viết phân thức sau d-ới dạng phân thức có mẫu thức - x3;
a)
2
1 x
x ; b)
x
x ; c)
1 x x x
(17)17 a) 2 xy x x
; b)
2 1 x x ; c) 2 y x x y
; d)
2 x x
Bài Viết phân thức sau d-ới dạng phân thức có mẫu thức:
a) x vµ 2 x
x ; b)
x y vµ
y x ;
c) 2x3 y3
x y
vµ
x
xy; d)
1 x x y
vµ 1 x4 5 x y
Bài Viết phân thức sau d-ới dạng phân thức có tư thøc:
a)1 x vµ
2 x x
; b)
x y vµ
y x ; c) 2 2 x y x xy
vµ
x y x
; d)
3
x y xy vµ
2
x y xy;
III) Rút gọn phân thức 1) Ph-ơng pháp:
- Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung - Chia tử mẫu cho nhân tử chung
2) Bài tập áp dụng:
Bài Rút gọn phân thức sau:
a)
5
2
14 (2 )
21 (2 )
xy x y
x y x y
; b)
3
8 (3 1) 12 (1 )
xy x x x ; c) 2 20 45 (2 3) x x
; d)
2 10 2(2 ) x xy y x ; e) 80 125
3( 3) ( 3)(8 )
x x
x x x
; f)
2
9 ( 5) 4 x x x ; g) 3
32 64
x x x
x
; h)
3 5 x x x ; i) 2 4 x x x x
J)
2
10 ( )
15 ( )
xy x y xy x y
;
k)
2
x xy x y
x xy x y
; l)
2
3 12 12 x x x x ; n) 2
7 14 3
x x
x x
; m)
2
2a 2ab ac ad bc bd
; o) 2 x xy y x
; ¬) 2
2 2
x y
x xy y
;
p) 23 a a
; q)
2 15 x x x x ; v) 4 2 x x x x
; u)
7 x x x ; -) 2
( 2) ( 2) 16
x x
x
; x)
2 2 24,5 0,5 3,5 0,5 x y x xy ; y) 2
3
a a a
a
; z) 2 2
( )( ) ( )( )
a b c d
b a d c
Bài Chứng minh đẳng thức sau:
a)
2
2
2
2
x y xy y xy y
x xy y x y
; b)
2
3 2
3
2
x xy y
x x y xy y x y
(18)18 a) 45 (3 )3
15 ( 3)
x x
x x
; b)
2
3
3
y x
x x y xy y
Bài Tính giá trị biểu thức sau:
a)
4
2
ax a x a ax x
víi a = 3, x =
3; b)
3
6
x x x
x x
víi x = 98
c) 3 3 x x x x
víi x =
; d)
4 3 2 x x x x
víi x = ; e) 2 10 16 ab a b ab
víi a = 6, b =
1
7; f)
7 15 a a a
víi a = 0,1;
g) 22 2 0, 0,8
x y
x y
víi x + 2y = 5; h)
2
9 1, 4,
x y
x y
víi 3x - 9y =
Bµi Cho 3a2
+ 3b2
= 10ab b > a > Tính giá trÞ cđa biĨu thøc P = a b a b Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
a)
2
( )( )
x y x y ay ax
; b)
2 3 6
ax x y ay
ax x y ay
; Bài tập nâng cao
Bài Rút gọn biểu thức
a)
4
2 2
m m
m m
; b)
2
3
ab a a b
a b b
;
c) 1
xy x y
y z yz
; d)
ax ay bx by ax ay bx by
;
e)
2 2 2
2
a b c ab
a b c ac
; f)
2
2
a b
a a b b
; g) 2
a
a a
; h)
3 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
; i) 2 ( ) ( )
x a b x ab
x a b x ab
; j)
2 2
2 2
2 2
x a b bc ax c
x b a bx ac c
;
k)
3
2
3
x x x
x x
; l)
2 x x x x n)
2x 2x
x x
a b
a b
; m)
2
1 (2 )
a b a b ; o) 3 3 3 x y x y ; ¬) 4 2 2 2 m n n m ; p)
2 2
2
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
ab ac b bc
; q)
3
3
2 12 45 19 33
x x x
x x x
;
u)
3 3
2 2
3 ( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y y z z x
; -)
3 3
2 2
3 ( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y y z z x
Bài Tìm giá trị x để phân thức sau
a)
4
4
1
2
x x x
x x x x
; b)
4 10 x x x x Bµi Viết gọn biểu thức sau d-ới dạng phân thức
A = (x2
- x + 1)(x4
- x2
+ 1)(x8
- x4
+ 1)(x16
- x8
+ 1)(x32
- x16
+ 1) HD: Nh©n biĨu thøc A víi x2
+ x + 1, từ xuất biểu thức liên hợp
Bµi 10 Rót gän
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
x y z
y z z x x y
biÕt r»ng x + y + z =
Bài 11 Tính giá trị phân thức A = 3
x y
x y
, biÕt r»ng 9x
2
+ 4y2
(19)19 HD
Ta cã A2
=
2
2
9 12 20 12
9 12 20 12 32
x y xy xy xy xy
x y xy xy xy xy
Do 2y < 3x < 3x2y0,3x2y 0 A vËy A =
Bµi 12 Rót gän biĨu thøc: P =
4 4
4 4
(1 4)(5 4)(9 4) (21 4) (3 4)(7 4)(11 4) (23 4)
HD XÐt n4
+ = (n2
+ 2)2
- 4n2
= (n2
+2n + 2)(n2
- 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
Do P = ( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1 (1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 577
Bài 13 Cho phân số A =
1, 00 01 (mÉu cã 99 ch÷ sè 0) TÝnh giá trị A với 200 chữ số thập phân HD
Ta cã A =
100 100
10
10 Nhân tử mẫu với 10
100 - 1, ta đ-ợc:
A=
100 100 100 100
200
100 100 200
10 (10 1) 99 00
0, 99 00
10 99
(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn phân số)
Bài 14 Cho phân thức: M =
2 2 2
2
( )( ) ( )
( ) ( )
a b c a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a) Tìm giá trị a, b, c để phân thức có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M
HD:
a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa mẫu thức kác
XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca =
2a2
+ 2b2
+ 2c2
+2ab + 2bc + 2ca = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 =
a + b = b + c = c + a a = b = c
vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa a, b, c không đồng thời 0, tức a2
+ b2
c2
b) Do (a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2bc + 2ca, dặt a2
+ b2
+ c2
= x; ab + bc + ca = y Khi (a + b + c)2
= x + 2y
Ta cã M =
2 2
2 2
( ) ( )
2
x x y y x xy y x y
x y a b c ab bc ca
x y y x y x y
(Điều kiện a2
+ b2
c2
0) IV) Quy đồng mẫu thức
1) T×m mÉu thức chung nhiều phân thức: - Phân tích mẫu thành nhâ tử (nếu cần) - Lập tích nhân tử số chữ:
+) Nhân tử số BCNN số mẫu +) Nhân tử chữ luỹ thừa với số mũ lớn 2) Bài tập áp dụng
Các tập nâng cao
Bi Quy đồng mẫu thức phân thức sau:
a) 252 , 14 5
14x y 21xy ; b)
11 ,
102x y 34xy ;
c) 14, 2 23 12
x y
xy x y
; d) 13 2, 2 14, 13
6
x x
x y x y xy
(20)20 e) 24 , 52 2 , 25
10 x
x y x y xy
; f) 4 , ;
2 ( 3) ( 1)
x x
x x x x
g) 3, 2 ( 2) ( 2)
x x
x x x
; h)
5
,
3x 12x (2x4)(x3) Bài Quy đông mẫu thức phân thức sau
a) 72 ,5 32
2
x x
x x x
; b) 2
1
,
2
x x
x x x x
;
c)
2
3
4
, ,
1 1
x x x
x x x x
; d) 2
7 , ,
5 x y
x x y y x
;
e)
2
3 2
5
, ,
6 12 4
x x
x x x x x x ; f) 2
1
, ,
1
x x x
x x x x x
;
g) 2 2, 2 2
6 4
a x a x
x ax a x ax a
; h) ,
a d a d
a ab ad bd a ab ad bd
;
i) 2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2
2 2
x y z
x xyy z x y yzz x xzy z ;
j) 31 , , 2
1 2
x x x x ; k)
2
2
, ,
2
x x y
x y
x y x xy y
;
l)
2
2 2
2 1
, ,
6 7
x x x
x x x x x x
Bài Quy đồng mẫu thức phân thức:
a) a x b3 , 2 x b a2, 2 axb a xb axb
; b) 2 2, 2
4
x x a
x ax a x ax
;
c) 2 2, 2 2
6 4
a x a x
x ax a x ax a
; d) , 2
a b a c
a bc ac ab a bc ac b
;
e) 3 , 2 , 2 27 9
x x x
x x x x x
; f) 2
2
, ,
3 2
x x x
x x x x x x
Bài Quy đồng mẫu thức phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện)
a) , , 2 2 2
x x
x x x
; b)
2
2 3
2
, ,
x a x x
x a x ax a x a
;
c) 243 , 2, 182
4 2
x
x x x x x x; d) 4
1
, ,
2
x x x
x x x x x x
;
e) 2 2 , 2 2, 2 2
3
x y xy
x xy y x xyy x xy y Bài Rút gọn quy đồng mẫu thức phân thức sau
a)
2
2
5 ,
4
x x x x
x x x
; b)
3
3
2
,
4 4
x x x x x
x x x x x x
;
c)
3
3
2 26 10 12 ,
5 17 13 16
x x x x x x
x x x x x x
;
d)
2 2 3
2 2 2
2 2
,
2 ( ) ( ) ( )
x y z xy yz zx x y z xyz
x y z yz x y y z z x
Bµi Cho biĨu thøc B = 2x3
+ 3x2
- 29x + 30 hai phân thức 2 , 2 2 15 10
x x
x x x x
a) Chia đa thức B lần l-ợt cho mẫu hai phân thức cho
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức cho
Bµi Cho hai ph©n thøc: 2 , 2
x x x x Chøng tá r»ng cã thĨ chän ®a thøc
x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Hãy quy đồng mẫu
thøc
V) Phép cộng phân thức đai số
(21)21 2) Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau:
- Quy đồng mẫu thức phân thức
- Cộng hai phân thức mẫu (sau quy đồng) 3) Bài tập ỏp dng:
Bài Cộng phân thức mÉu thøc:
a) 23 23 3
6 6
x y x
x y x y x y
; b)
2
2
2
( 1) ( 1)
x x
x x x x
;
c)
2
2
3
3
x x x
x x x x
; d)
2
2
38 4 2 17 17
x x x x
x x x x
Bµi Cộng phân thức khác mẫu thức:
a) 52 2 11
6x y12xy 18xy ; b) 3
15
x y x
x y x y xy
;
c) 3 3 22 2
x x
x x x x
; d)
3
3
2
1 1
x x x
x x x x
;
e) 2 24
2
y x
x xy y xy; f) 2
1 14
2 ( 4)( 2) x
x x x x x
;
g) 1 ( 2)(4 7)
x x x ; h)
1 1
3 ( 3)( 2) ( 2)(4 7) x x x x x ; Bài Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung thực phép cộng
a) 62 2
x
x x x
; b)
1 3 2 2
x x x
x x x x
;
c) 2 12 2
6 9
x
x x xx x ; d)
2
3
2
1 1
x
x x x x
;
e) 42 2
2
x x xy
x yx y y x Bµi Céng phân thức:
a) 1
(xy y)( z)(yz z)( x)(zx x)( y);
b) 3
(yx z)( x)(yx y)( z)(yz x)( z);
c) 1
( )( ) ( )( ) ( )( ) x xy xz y yx yz z zx zy ;
d) 3
(ax c)( x)(ax a c)( )(a c x c )( ) ;
e) 1
( )( ) ( )( ) ( )( ) a a b a c b b a b c c c a c b Bài Làm tính cộng phân thức
a) 11 13 15 17 3 4
x x
x x
; b)
2
2 2
2 32
2
x x x
x x x x x
;
c) 2 21 3
1
x
x x x x x ; d)
4
3
1
x
x x x
x
;
e) 52 32 3
2
x
x y xy y ; f)
1 ( 3)
x x
x x x
;
g) 32 25 25
x x
x x x
; h)
4
2
1 1
x x
x
;
i)
2
3
4 17
1 1
x x x
x x x x
(22)22 A = 1
5 ( 5) x
x x x x
, B =
3 x Chøng tá r»ng A = B
Bµi Tính giá trị biểu thức :
a) A = 3 21 2
1
x
x x xx x
víi x = 10;
b) B =
4
3
2
x
x x x
x
với x = -99 Các tập nâng cao
Bài Tìm số a b cho ph©n thøc
2
5 x
x x
viÕt đ-ợc thành
2 ( 1)
a b
x x
HD: Dùng hai ph-ơng pháp (hệ số bất định xét giá trị riêng) để tìm a b sau quy đồng
Bài Chứng minh biểu thức sau không phơ thc vµo x
a) x y y z z x
xy yz zx
; b)
( )( ) ( )( ) ( )( )
y z x
xy yz yz zx zx xy Bµi 10 Cộng phân thức :
2 2 2
1 1
(b c a )( ac b bc)(c a b )( ab c ac)(a b c )( bc a ab)
(§Ị thi häc sinh giái líp toµn qc 1980) Bµi 11 Rót gän biĨu thøc :
A = 1 2 4 8 1x1x1x 1x 1x Bài 12 Tìm số A, B, C để có :
2
3
2
( 1) ( ) ( 1)
x x A B C
x x a x x
Bài 13 Chứng minh đẳng thức :
2 2
2 2 2
3
9 3
a ab a ab b a an ab bn
a b ab a b bn a an ab
VI) Phép trừ phân thức đại số 1) Phân thức đối:
- Hai phân thức đ-ợc gọi đối tổng chúng
- C«ng thøc: A A
B B
vµ A A
B B
2) PhÐp trõ:
- Quy tắc: Muốn trừ phân thức A
B cho ph©n thøc C
D, ta céng A
B với phân thức đối C D
- C«ng thøc: A C A C
B D B D
3) Bµi tập áp dụng:
Bài Làm tính trừ ph©n thøc:
a)
2
x x
xy xy
; b)3 3 5 153
4
x x
x y x y
;
c) 2 2
x x
x x
; d) 2
9 5
2( 1)( 3) 2( 1)( 3)
x x
x x x x
;
e)
2
2 2
xy x
x y y x ; f)
2
2
5x y 5y x
x y xy
;
g)
5 10 10
x x
x x ; h) 2
9
9
x
x x x
;
j)
4
2
2
3
1
x x
x
x
; i) 2
2 6 x
x x x
(23)23 k) 1 (1 2 )
3
x x x x
x x x
; l) 2
3 1
( 1) 1
x x
x x x
;
n)
2
2
5 3
2
x
x x x
; m) 2
3
2 1
x x
x x x x x
Bài Theo định nghĩa phép trừ, viết
A C E A C E
B D F B D F
áp dụng điều để làm phép tính sau:
a) 1 62 3
x
x x x
; b) 2
18
( 3)( 9) 9 x x x x x x Bài rút gọn biÓu thøc :
a)
2
3
3 1
1 1
x x x
x x x x
; b)
2
2
1
1
1
x
x x x
;
c) 236
6
x
x x x x Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a)
(x1)(x2)(x2)(x3)(x3)(x1);
b) 1
( )( ) ( )( ) ( )( ) A
a a b a c b b a b c a c c b
Bài Tính giá trị c¸c biĨu thøc:
a) A =
2
2
1
1
1
x
x x x
víi x = 99;
b) B = 1 2 2 4
x x
x x x
với x = Các toán nâng cao
Bài Rút gọn biểu thức :
a) A =
( ) ( )( ) ( )( )
a a a
x xa xa x a x a x a x a;
b) B = 1
2.55.88.11 (3n2)(3n5);
HD: Thùc nhân hai vế với ta đ-ợc 3.B = 3 2.55.88.11 (3n2)(3n5)
Từ ta có 1 (3n2)(3n5)3n23n5
XÐt tõng sè h¹ng thĨ : 1 2.5
3 1 5.8 …
3 1
(3n2)(3n5)3n23n5
3 3
2.55.88.11 (3n2)(3n5)=
1 3( 1) 2(3 5) 2(3 5)
n n
n n n
Hay 3.B = 3( 1) 2(3 5) 2(3 5)
n n
B
n n
c) C = 1 1.22.33.4 n n( 1) HD : Thực nh- phần
(24)24 ( )( ) ( )( ) ( )( )
x z x y y z
x y y z x z y z x y x z
Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh :
a) 1
( )( ) ( )( ) ( )( ) A
a b a c b a b c c a c b
;
b) 1
( )( ) ( )( ) ( )( ) B
a a b a c b b a b c c c a c b
;
c)
( )( ) ( )( ) ( )( )
bc ac ab
C
a b a c b a b c c a c b
;
d)
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
D
a b a c b a b c c a c b
;
Bài Xác định số hữu tỷ a, b, c cho:
a) 2 2
( 1)( 1) 1
ax b c
x x x x
;
Đáp số: Dùng ph-ơng pháp đồng ta đ-ợc a =
, c = 2, b =
1
b)
( 1)( 2)
a b c
x x x x x x ; (§S :
1
; 1;
2
a b c )
c) 21 2
( 1) ( 2) ( 1)
a b c
x x x x x (§S: a = -1; b = 1; c = 1) Bµi 10 Cho abc = (1)
1 1 a b c
a b c
(2)
Chøng minh sè a, b, c tån t¹i mét sè b»ng HD
Tõ (2) :a b c bc ac ab abc
Do abc = nªn a + b + c = ab + bc + ca (3)
§Ĩ chøng minh sè a, b, c cã mét sè b»ng ta chóng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = XÐt (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)
= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)
Từ (1) (3) suy biểu thức 0, tồn ba thừa số a - 1, b - 1, c - 0, tồn ba số a, b, c
Bµi 11 Cho 3y - x = Tính giá trị biểu thức : A =
2
x x y
y x
HD : A =3 ( 6)
2
y x x
y x
Bài 12 Tìm x, y, z biÕt :
2 2 2
2
x y z x y z
HD:
Tõ
2 2 2
2
x y z x y z
suy :
2 2 2
0
2 5
x x y y z z
2 2
3
0
10x 15y 20z x y z
Bài 13 Tìm x, y biÕt: x2 y2 12 12
x y
HD
Ta cã
2
2 2
2 2
1 1 1
4 2 0
x y x y x y
x y x y x y
(25)25
2
1
1
1 1
x
x x
y y
y
Có bốn đáp số nh- sau:
x 1 -1 -1
y -1 -1
Bµi 14 Cho biÕt : 1
a (1), b c 2 1
2
a b c (2) Chøng minh r»ng a + b + c = abc HD
Tõ (1) suy : 12 12 12 1
a b c ab ac bc
Do (2) nªn : 1 1 a b c a b c abc
ab ac bc abc
Bµi 15 Cho x y z
a (1) ,b c
a b c
x (2) Tính giá trị biểu thøc: y z
2 2
2 2
a b c
x y z HD
Tõ (1) suy : bcx + acy + abz = (3)
Tõ (2) suy :
2 2
2 2
a b c ab ac bc
x y z xy xz yz
Do :
2 2
2 2 4
a b c abz acy bcx
x y z xyz
Bµi 16 Cho (a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
vµ a, b, c kh¸c CMR: 13 13 13 a b c abc HD
Tõ gi¶ thiÕt suy : ab + bc + ca =
Do : ab bc ca 1
abc a b c
Sau chứng minh x + y + z = x3
+ y3
+ z3
= 3xyz
Bµi 17 Cho a b c b c a
b Chøng minh r»ng ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng c a a b c HD
Tõ gi¶ thiÕt suy : a2
c + ab2
+ bc2
= b2
c + ac2
+a2
b a c b2( ) a c( 2b2)bc c b( )
2
(c b a)( ac ab bc) (c b a b a c)( )( )
Tóm lại thừa số c- b, a - b, a - c Do ba số a, b, c tồn hai số Bài 18 Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị nguyên :
a)
3
2
3
x x x
A
x
; (§S :
2
2
A x
x
x 2; 2; 4;8) b)
4
2
2
x x x x
B
x x
; (§S :
2
2
3
4 0;
( 1)
B x x
x
)
c)
4
2
3 2
x x x x
C
x
(§S :
2
2
2
3
2
C x x x
x
Bµi 19 Rót gän biÓu thøc : 1 2 4 8
1 1 1
A
x x x x x
HD
Rút gọn cách quy đồng đôi :
2 2 4
1 2 4
1 1 1 1 1 1
A
x x x x x x x x x x x x
(26)26 = 8 8 1616
1x 1x 1x
Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa Bài 20 Rút gọn biểu thức :
B =
2
2
3
(1.2) (2.3) ( 1) n
n n
HD
Ta t¸ch phân thức thành hiệu phân thức dùng ph-ơng pháp khử liên tiếp, ta đ-ợc :
2
2 2 2
2 ( 1) 1
( 1) ( 1) ( 1)
k k k
k k k k k k
Do B = 12 12 12 12 12 2 1 2 ( 2)2 2 ( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n n n
VII) Phép nhân phân thức đại số
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
A C A C
B D B D 2) Tính chất bản:
- Giao ho¸n: A C C A B D D B
- KÕt hỵp: A C E A C E
B D F B D F
- Phân phối phép cộng: A C E A C A E
B D F B D B F
3) Bµi tập bản:
Bài Làm tính nhân phân thøc :
a)
3
2
10 121 11 25
x y
y x ; b)
5
2
24 21
7 12
y x
x y
;
c)
3
4
18 15
25
y x
x y
; d)
4 20 ( 10) ( 2)
x x
x x
;
e)
2
3
2 20 50
3 4( 5)
x x x
x x
; f)
2 3
2 2
(x xy) x y
x y x y x y xy
;
g)
2
16
( 1)( 1)( 1)
x x x
x
h)
2
2
6 27 9
x x x
x x x
;
i) 2 2 ( 3)
5x 10xy20y x y ; j)
2 2
2 2
2
x ax bx ab x ax a
x ax bx ab x bx b
;
k)
2
2
a ax ba bx a ax bx ab a ax ab bx a ax bx ab
; l)
2
2
3 4
3 4
x ax a x x x ax a
x a ax x x x ax a
Bài Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy đ-ợc nhân tử chung)
a)
2
3 12 27
x x x x
x x
; b)
2
2
6 25 10
5
x x x
x x x
;
c)
2
2
3
1 (1 )
x x x
x x
Bài Phân tích tử thức mẫu thức (nếu cần dùng ph-ơng pháp thêm bớt hạng tử tách số thành hai số hạng) rút gọn biÓu thøc :
a)
2
2
x x x
x x x
; b) 2
1
x x
x x x x
;
c)
2
2 36
4 24
x x
x x x
(27)27 a)
3
2 1954 21
1975 1975
x x x x
x x x x
;
b) 19 19 1945 1945
x x x x
x x x x
c)
2 2 2
2
( ) ( )
x y x y y x y
x y x x y x
;
Bµi Rót gän biĨu thøc :
a)
4
3
15 4
2 14 15
x x x x
x x x x
; b)
7 2
3
3
1
x x x x x
x x x x
c) x y (x2 y2)
x y x y
;
Bài Rút gọn tính giá trị biÓu thøc :
2
2
1
x y x y
y x x xy y x y
víi x = 15, y = Bµi Chøng minh r»ng :
32 16
2 16
2
1
1 1
1
x x
x x x x x x x x
x x