Toán 8 Đề thi học kì 2 [WWW.VIETMATHS.COM] ôn tập đại số 8 THEO chuyên đề

Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng tö thøc... Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.[r]

(1)

1

chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức bẩy đẳng thức đáng nhớ I) Nhân đơn thức với đa thức:

1 KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A B + A C Bài tập áp dụng:

Bài Làm tính nh©n:

a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);

c) 2x

2

y(2x3

- 5xy

2

- 1); d)

7 x(1,4x - 3,5y);

e) 2xy(

2 3x

2

- 4xy +

4 5y

2

); f)(1 + 2x - x2

)5x;

g) (x2

y - xy + xy2

+ y3

) 3xy2

; h) 3x

2

y(15x - 0,9y + 6);

i) 

x4

(2,1y2

- 0,7x + 35);

Bài Đơn giản biểu thức tính giá trị chúng

a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) víi a = 

b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) víi x = 2,1

c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - víi a = -0,2

d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) víi b = Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh sau:

a) 3y2

(2y - 1) + y - y(1 - y + y2

) - y2

+ y; b) 2x2

.a - a(1 + 2x2

) - a - x(x + a); c) 2p p2

-(p3

- 1) + (p + 3) 2p2

- 3p5

; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a)

Bµi Đơn giản biểu tức:

a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;

c) (-1 2x)

3

- x(1 - 2x - 8x

2

); d) (0,2a3

)2

- 0,01a4

(4a2

- 100)

Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x a) x(2x + 1) - x2

(x + 2) + (x3

- x + 3);

b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);

Bµi Chứng minh biểu thức sau 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);

b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x) Bµi tập nâng cao

Bài Tính giá trị biểu thøc: a) P(x) = x7

- 80x6

+ 80x5

- 80x4

+….+ 80x + 15 víi x = 79 b) Q(x) = x14

- 10x13

+ 10x12

- 10x11

+ …+ 10x2

- 10x + 10 víi x = c) M(x) = x3

- 30x2

- 31x + víi x = 31 d) N(x) = x5

- 15x4

+ 16x3

- 29x2

+ 13x víi x = 14 Bµi Chøng minh r»ng :

a) 356 - 355 chia hÕt cho 34 b) 434 + 435 chia hÕt cho 44

Bµi Cho a b số nguyên Chứng minh rằng: a) nÕu 2a + b 13 vµ 5a - 4b 13 th× a - 6b 13; b) nÕu 100a + b th× a + 4b 7;

c) nÕu 3a + 4b 11 th× a + 5b 11;

II) Nhân đa thức với đa thức

1 Kiến thức bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D; Bài tập áp dơng:

Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

(2)

2 c)

2x

2

y2

(2x + y)(2x - y); d) (1

2x - 1) (2x - 3);

e) (x - 7)(x - 5); f) (x - 2)(x +

1

2)(4x - 1); g) (x + 2)(1 + x - x2

+ x3

- x4

) - (1 - x)(1 + x +x2

+ x3

+ x4

); h) (2b2

- - 5b + 6b3

)(3 + 3b2

- b); i) (4a - 4a4

+ 2a7

)(6a2

- 12 - 3a3

); Bµi 2.Chøng minh:

a) (x - 1)(x2

- x + 1) = x3

- 1; b) (x3

+ x2

y + xy2

+ y3

)(x - y) = x3

- y3

; Bài Thực phép nhân:

a) (x + 1)(1 + x - x2

+ x3

- x4

) - (x - 1)(1 + x + x2

+ x3

+ x4

); b) ( 2b2 - - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);

c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);

d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)

e) (2a3

- 0,02a + 0,4a5

)(0,5a6

- 0,1a2

+ 0,03a4

) Bài Viết biểu thức sau d-ới dạng đa thức:

a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);

Bµi Chứng minh giá trị biểu thức sau không phơ thc vµo biÕn y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);

Bài Tìm x, biÕt:

a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2

+ 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);

d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2) Bài tập nâng cao

Bi Chng minh hng đẳng thức: a3

+ b3

+ c3

- 3abc = (a + b + c)(a2

+ b2

+ c2

- ab - bc - ca) Bµi Cho a + b + c = Chøng minh M = N = P víi :

M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b); Bµi Sè 350

+ cã lµ tÝch cđa hai số tự nhiên liên tiếp không ?

HD: Tr-ớc hết chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp chia cho d- Thật nêu hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho tích chúng chia hết cho 3, hai số khơng chia hết cho tích chúng chia cho d- ( tự chứng minh) Số 350

+ chia cho d- nªn tích hai số tự nhiên liên tiÕp

Bµi 10 Cho A = 29

+ 299

Chøng minh r»ng A 100 HD: Ta cã A = 29

+ 299

= 29

+ (211

)9

= (2 + 211

)(28

- 27

.211

+ 26

.222

- …-2.277

+ 288

) 



 

 

11

Thõa sè thø nhÊt + 2050

4100 100 Thõa sè thø hai ch½n A A

III) Các đẳng thức đáng nhớ 1) Kiến thức bản:

1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

1.2) (A - B)2

= A2

- 2.AB + B2

1.3) A2

- B2

= (A - B)(A + B) 1.4) (A + B)3

= A3

+ 3A2

B + 3AB2

+ B3

1.5) (A - B)3

= A3

- 3A2

B + 3AB2

+ B3

1.6) A3

+ B3

= (A + B)(A2

- AB + B2

) 1.7) A3

- B3

= (A - B)(A2

+ AB + B2

(3)

3 Bµi TÝnh

a) (x + 2y)2

; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2

d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 f) (x - 1

2 )

2

Bài Viết biểu thức sau d-ới dạng bình ph-ơng tổng:

a) x2

+ 6x + 9; b) x2

+ x +

4; c) 2xy

2

+ x2

y4

+

Bµi Rót gän biĨu thøc: a) (x + y)2

+ (x - y)2

; b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2

+ (x + y)2

; c) (x - y + z)2

+ (z - y)2

+ 2(x - y + z)(y - z)

Bài ứng dụmg đẳng thức đáng nhớ để thực phép tính sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2);

c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;

e) (a - x - y)3

- (a + x - y)3

; f) (1 + x + x2

)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2

); Bài HÃy mở dấu ngoặc sau:

a) (4n2

- 6mn + 9m2

)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2

- 4b + 49); c) (25a2

+ 10ab + 4b2

)(5a - 2b); d)(x2

+ x + 2)(x2

- x - 2) Bµi TÝnh giá trị biểu thức:

a) x2

- y2

t¹i x = 87 víi y = 13; b) x3

- 3x2

+ 3x - Víi x = 101; c) x3 + 9x2 + 27x + 27 víi x = 97;

d) 25x2 - 30x + víi x = 2;

e) 4x2 - 28x + 49 víi x =

Bµi Đơn giản biểu thức sau tính giá trị cđa chóng: a) 126 y3

+ (x - 5y)(x2

+ 25y2

+ 5xy) víi x = - 5, y = -3; b) a3

+ b3

- (a2

- 2ab + b2

)(a - b) với a = -4, b = Bài Sử dụng đẳng thức đáng nhớ để thực phép tính sau:

a) (a + 1)(a + 2)(a2

+ 4)(a - 1)(a2

+ 1)(a - 2); b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);

c) (1 - x - 2x3

+ 3x2

)(1 - x + 2x3

- 3x2

); d) (a6

- 3a3

+ 9)(a3

+ 3);

e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1)

Bài Tìm x, biết:

a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;

c) 3(x + 2)2

+ (2x - 1)2

- 7(x + 3)(x - 3) = 36; d)(x - 3)(x2

+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; e) (x + 1)3

- (x - 1)3

- 6(x - 1)2

= -19

Bài 10.Tính nhẩm theo đẳng thức số sau: a) 192

; 282

; 812

; 912

; b) 19 21; 29 31; 39 41; c) 292

- 82

; 562

- 462

; 672

- 562

; Bài 11 Chứng mih đẳng thức sau:

a) a2

+ b2

= (a + b)2

- 2ab; b) a4

+ b4

= (a2

+ b2

)2

- 2a2

b2

;

c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2]

Các toán nâng cao

Bài 12 Chứng minh đẳng thức sau: X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;

Bµi 13 H·y viÕt biểu thức d-ới dạng tổng ba bình ph-ong: (a + b + c)2

+ a2

+ b2

+ c2

Bµi 14 Cho (a + b)2

= 2(a2

+ b2

) Chøng minh r»ng a = b Bµi 15 Cho a2

+ b2

+ c2

= ab + bc + ca Chøng minh r»ng a = b =c Bµi 16 Cho ( a + b + c)2

= 3(ab + bc + ca) Chøng minh r»ng a = b = c Bµi 17 Cho a + b + c = (1)

a2

+ b2

+ c2

= (2) TÝnh a4 + b4 + c4

(4)

4 a) a4

+ b4

+ c4

= 2(a2

b2

+ b2

c2

+c2

a2

); b) a4

+ b4

+ c4

= 2(ab + bc + ca)2

;

c) a4+ b4 + c4 =   2 2

2 a b c

;

Bài 19 Chứng minh biểu thức sau luôn có giá trị d-ơng với giá trị biÕn a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x +

Bài 20 Tìm giá trị nhỏ c¸c biĨu thøc sau: a) A = x2

- 3x + 5; b) B = (2x -1)2

+ (x + 2)2

;

Bµi 21 Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = - x2

+ 2x; b) B = 4x - x2

; Bµi 22 Cho x + y = 2; x2

+ y2

= 10 Tính giá trị biểu thức x3

+ y3

Bµi 23 Cho x + y = a; xy = b

Tính giá trị biểu thức sau theo a b:

a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5;

Bµi 24 a) cho x + y = Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy

b) cho x - y = Tính giá trị biểu thức: x3

- y3

- 3xy Bµi 25 Cho a + b = Tính giá trị biểu thức sau:

M = a3

+ b3

+ 3ab(a2

+ b2

) + 6a2

b2

(a + b) Bµi 26 Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

a) A = (3x + 1)2

- 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2

; b) B = (3 + 1)(32

+ 1)(34

+ 1)(38

+ 1)(318

+ 1)(332

+ 1); c) C = (a + b - c)2

+ (a - b + c)2

- 2(b - c)2

;

d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;

e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;

g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;

h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a)

Bài 28 Chứng minh đẳng thức sau: a) (a + b + c)2

+ a2

+ b2

+ c2

= (a + b)2

+(b + c)2

+ (c + a)2

; b) (a + b + c)3

- a3

- b3

- c3

= 3(a + b)(b + c)(c + a) Bµi 29 Cho a + b + c = chøng minh r»ng: a3

+ b3

+ c3

= 3abc Bµi 30 Chøng minh r»ng:

a) nÕu n tổng hai số ph-ơng 2n tổng hai số ph-ơng b) 2n tổng hai số ph-ơng n tổng hai số ph-ơng c) n tổng hai số ph-ơng n2 tổng hai số ph-ơng

Bài 31 a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - ch÷ sè 0) Chøng minh r»ng: ab + số ph-ơng

b) Cho dÃy số có số hạng đầu 16, số hạng sau số tạo thành cách viết chèn số 15 vào số hạng liền tr-ớc :

16, 1156, 111556, …

Chứng minh số hạng dãy số ph-ơng

Bµi 32 Chøng minh r»ng ab + lµ số ph-ơng với a = 1112(n chữ số 1), b = 1114(n chữ số 1)

Bài 33 Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè Chøng minh r»ng a + b + c + số ph-ơng

Bài 34 Chứng minh biểu thức sau số ph-ơng: a) A =

2

11 22

n n

 b) B =

2

11 44

n n



Bài 35 Các số sau bình ph-ơng cđa sè nµo ? a) A = 99 00 25

n n

; b) B = 99 9800 01

n n

;

c) C =

1

44 488 89

n n

; d) D =

1

11 122 25

n n

(5)

5

chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử

I) Ph-ơng pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C *) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử

(6)

6  

 

 

           

     

2

2 2

3

10

2 2

2

a) 3x - 3y

b) 2x 5x x y

c)14x 21xy 28x y

d)4x 14x

e)5y 15y

f)9x y 15x y 21xy

g)x(y 1) y(y 1)

h)10x(x y) 8y(y x)

i)3x (x 1) 2(x 1)

j)a(b c) 3b 3c

k)a(c d) c d

l)b(a c) 5a 5c

m)b(a c) 5a 5c

n)a(m n) m n

o)mx         

   

     

  

   

2

2 2

2

my 5x 5y

p)ma mb a b

q)1 xa x a

r)(a b) (b a)(a b)

t)a(a b)(a b) (a b)(a ab b )

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a)2x(x+3)+2(x+3)

b)4x(x-2y)+8y(2y-x)

c) y (x y) zx zy

d)3x(x 7) 11x (x 7) 9(

   

   

     

     

  

  

  

   

  

2

m m n n

5

2

x 7)

e)(x 5) 3(x 5)

f)2x(x 3) (x 3)

g)x(x 7) (7 x)

h)3x(x 9) (9 x)

i)5x(x 2) (2 x)

j)4x(x 1) 8x (x 1)

k)p q p q p q p.q

o)5x (x 2z) 5x (2z x)

p)10x(x y) 8y(y x)

q)21x 12xy

r)2x(x 1) 2(x 1)

t)4x(x 2y) 8y(2y  x)

   

2

3

2

2 2 2

5

Bµi 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x x;

b)21x y 12xy ;

c)x x 2x;

d)3x x x x ; e)x y z xy z x yz;

f )2x x x ; g)4x x 2y 8y 2y x

Bài 4: Tính giá trị biểu thức a) 15.91,5+ 150.0,85

b) 5x (x 2z) 



 

  

 

  

  



2

5x (2z x)t¹i x= 1999; y= 2000; z= -1 Bài 4: Tìm x, biÕt

a) 5x(x-2)-(2-x)= b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1)

1

c) x(2x-1)+ x

3

d)x(x 4) (x 4) e)x 5x 0;

f )3x(x 2) 2(2 x) 0;

g)5x(3x 1) x(3x 1) 2(3x 1) Bµi 5:Chøng minh r

 

 

   

 

   

     

   

2

»ng

a) Bình phương số lẻ chia cho dư

b) Bình phương số lẻ chia cho dư

Bµi 6: chøng minh r»ng: n n 2n n

lu«n chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n

  

(7)

7 A2

+ 2AB + B2

= (A + B)2

2 A2

- 2AB + B2

= (A + B)2

3 A2 - B2 = (A - B)(A + B)

4 A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3

5 A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3

6 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)

7 A3

- B3

= (A - B)(A2

+ AB +B2

) 2)Bµi tËp:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2

- 9; b) 4x2

- 25; c) x6

- y6

d) 9x2

+ 6xy + y2

; e) 6x - - x2

; f) x2

+ 4y2

+ 4xy g) 25a2

+ 10a + 1; h)10ab + 0,25a2

+ 100b2

i)9x2

-24xy + 16y2

j) 9x2

- xy + 36y

2

k)(x + y)2

- (x - y)2

l)(3x + 1)2

- (x + 1)2

n) x3

+ y3

+ z3

- 3xyz

Bµi 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3

+ 8; b) 27x3

-0,001 c) x6

- y3

; d)125x3

- e) x3

-3x2

+ 3x -1; f) a3

+ 6a2

+ 12a + Bài 3: Phân tích đa thức thành nh©n tư

a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;

b) M = 4abcda2b2c2d224cd a 2b2 ab c2d22

   

Bµi TÝnh nhanh: a) 252

- 152

; b) 872

+ 732

- 272

- 132

c) 732

-272

; d) 372

- 132

e) 20092 - 92

Bài Tìm x, biÕt

a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25

c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1

e) x3

+ 3x2

= -3x -

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x8

- 12x4

+ 18; b) a4

b + 6a2

b3

+ 9b5

; c) -2a6

- 8a3

b - 8b2

; d) 4x + 4xy6

+ xy12

Bài Chứng minh đa thức sau nhận giá trị không âm a) x2

- 2xy + y2

+ a2

; b) x2

+ 2xy + 2y2

+ 2y + 1; c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;

d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;

Bài Chứng minh đa thức sau không âm với giá trị chữ: a) x2 + y2 - 2xy + x - y +

b) 2x2

+ 9y2

+ 3z2

+ 6xy - 2xz + 6yz c) 8x2

+ y2

+ 11z2

+ 4xy - 12 xz - 5yz d) 5x2

+ 5y2

+ 5z2

+ 6xy - 8xz - 8yz

Bµi Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2

- 25 chia hÕt cho

III) Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử ph-ơng pháp nhóm h¹ng tư

1) Kiến thức bản: Tìm cách tách đa thức cho thành nhóm hạng tử thích hợp cho phân tích nhóm hạng tử thành nhân tử xuất nhân tử chung

2) Bài tập áp dụng:

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2

- xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2

-3xy - 5x + 5y d) x2

+ 4x - y2

+ 4; e) 3x2

+ 6xy + 3y2

- 3z2

; f) x2

-2xy + y2

- z2

+ 2zt - t2

; g) x2

- x - y2

- y; h) x2

- 2xy + y2

- z2

; i) 5x - 5y + ax - ay; j) a3

- a2

x - ax + xy; k) 7a2

(8)

8 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử;

a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2

+ ax2

-y - ax +cx2

- cy; c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by;

Bµi Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2; b) a4 + ab3 - a3b - b4;

c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; c) x4 + x3 y - xy3 - y4;

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) 70a - 84b - 20ab - 24b2

; b) 12y - 9x2

+ 36 - 3x2

y; c) 21bc2

- 6c - 3c3

+42b; d) 30a3

- 18a2

b - 72b + 120a Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x3

+ 3x2

y + x +3x2

y + y + y3

; b) x3

+ y(1 - 3x2

) + x(3y2

- 1) - y3

;

c) 27x3

+ 27x2

+ 9x +1 + x +

3; d) x(x + 1)

2

+ x(x - 5) - 5(x +1)2

Bµi T×m x, biÕt: a) x3

+ x2

+ x + = 0; b) x3

- x2

- x + = 0; c) x2

- 6x + = 0; d) 9x2

+ 6x - = e) x(x - 2) + x - = 0; f) 5x(x - 3) - x + = Bài Tính nhanh giá trị ®a thøc sau;

a) x2

- 2xy - 4z2

+ y2

t¹i x = 6; y = -4; z = 45 b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2

+ 48 x = 0,5 Bài Tính nhanh :

a) 37,5 6,5 - 7,5 3,4 - 6,6 7,5 + 3,5 37,5; b) 452 + 402 - 152 + 80.45

Bµi Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) Bài 10 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x3

z + x2

yz - x2

z2

- xyz2

; b) pm+2

q - pm+1

q3

- p2

qn+1

+ pqn+3

IV) Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều ph-ơng pháp

1) Kiến thức bản:

- t nhõn t chung - Dùng đẳng thức

- Nhãm nhiỊu h¹ng tư ph-ơng pháp khác 2) Bài tập áp dụng:

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tö:

a) x3 - 2x2 + x; b) 2x2 + 4x + - 2y2; c) 2xy - x2 - y2 + 16;

d) a4 + a3 + a3b + a2b e) a3 + 3a2 + 4a + 12; f) a3 + 4a2 + 4a + 3;

g) x2

y + xy2

+ x2

z + xz2

+ y2

z + yz2

+ 2xyz; h) a2

+ b2

+ 2a - 2b - 2ab; i) 4a2

- 4b2

- 4a + 1; j) a3

+ 6a2

+ 12a + 8; k) (a + b + c)3

- (a + b - c)3

- ( a - b + c)3

- (-a + b +c)3

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) (2x + 3y)2

- 4(2x + 3y); b) (x + y)3

- x3

- y3

; c) (x - y + 4)2

- (2x + 3y - 1)2

; d) (a2

+ b2

- 5)2

- 4(ab + 2)2

e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);

f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc;

g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2; h) x5 - 5x3 + 4x;

i) x3 - 11x2 + 30x; j) 4x4 - 21x2y2 + y4;

k) x3 + 4x2 - 7x - 10; l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15;

n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2

+ 8x + 7)(x2

+ 8x + 15) + 15; o) (x2

+ 3x + 1)(x2

+ 3x + 2) - Bµi 2: T×m x, biÕt

a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0; c) x3 - 1

4x = 0; d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = e) x2(x - 3) +12 - 4x =0

Bài Tính nhanh giá trị biểu thøc:

a) x2

+ 2x +

1

16 t¹i x = 49,75; b) x

2

- y2

- 2y - x = 93 y =

(9)

9 Bµi a) Sè 717

+ 17 - chia hÕt cho Hái sè 718

+ 18.3 - có chia hết cho khơng? b) Biến đổi thành tích biểu thức:

A = + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2]

Bài Chứng minh đẳng thức sau:

1) x6 + 3x2y2 + y6 = Víi x2 + y2 =

2) x4 + x2y2 + y4 = a2 - b2 víi x2 + y2 = a, xy = b

3) (a3

+ b3

- a3

b3

)3

+ 27a6

b6

= víi ab = a + b 4) p2

+ (p - a)2

+ (p - b)2

+ (p - c)2

= a2

+ b2

+ c2

víi a + b + c = 2p Bài Tính giá trị biểu thức:

a) A = 217

- 216

- 215

- 214

- …- 22

- - b) B = x17

- 12x16

+ 12x15

- 12x14

+…- 12x2

+ 12x - víi x = 11 Bµi Rót gän:

a) A = 3(22

+ 1)(24

+ 1)(28

+ 1)(216

+ 1)(232

+ 1)(264

+ 1) b) Më réng: B = 3(221)(2221)(223 1)(224 1) (22n 1)

Bµi Chøng minh:

a5

(b2

+ c2

) + b5

(a2

+ c2

) + c5

(a2

+ b2

) = 2(a

3

+ b3

+ c3

)(a4

+ b4

+ c4

) víi a + b + c =

Bµi Chøng minh: 2(a5

+ b5

+ c5

) = 5abc(a2

+ b2

+ c2

) víi a + b + c = Bài 10 Tổng số nguyên a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho Chøng minh r»ng

A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho

V) Một số ph-ơng pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử 1) Ph-ơng pháp tách số hạng thành nhiều số hạng khác 1.1) Đa thức dạng f(x) = ax2 + bx + c

- B-íc 1: Tìm tích ac

- B-ớc 2: Phân tích a.c tích hai thứa số nguyên cách - B-íc 3: Chän hai thõa sè mµ tỉng b»ng b

Các tập áp dụng dạng này:

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x2

- 4x - 3; b) x2

- 4x + 3; c) x2

+ 5x + 4; d) x2

- x - 6; e) x2

+ 8x+ 7; f) x2

- 13 x + 36; g) x2

+3x - 18; h) x2

- 5x - 24; i) 3x2

- 16x + 5; j) 8x2

+ 30x + 7; k) 2x2

- 5x - 12; l) 6x2

- 7x - 20 1.2) §a thøc tõ bËc ba trở lên ng-ời ta dùng ph-ơng pháp tìm nghiệm cđa ®a thøc

a) Chú ý: đa thức f(x) có nghiệm x = a chứa thừa số x - a Trong a -ớc số an,, với f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an

b) VÝ dơ: Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 -

Lần l-ợt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thÊy f(2) = 23

- 22

- = Đa thức có nghiệm x =2, chứa thừa số x -

Ta t¸ch nh- sau: C¸ch 1: x3

- x2

- = x3

- 2x2

+ x2

- 2x + 2x - = x2

(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x2

+ x + 2) C¸ch 2: x3

- x2

- = x3

- - x2

+ = (x - 2)(x2

+ 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + - x - 2)

= (x - 2)(x2 + x + 2)

2) Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ: Khi đa thức phức tạp, có bậc cao, ta đặt ẩn phụ nhằm “ giảm bậc” đa thức để phân tích

2.1) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a) f(x) = (x2

+ x + 1)(x2

+ x + 2) - 12 b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 HD: a) Đặt y = x2

+ x + 1, đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2

+ y - 12 = (y - 3)(y + 4) Thay ng-ợc trở lại y = x2

+ x + vào đa thức f(x) ta đ-ợc: f(x) = (x2

+ x + - 3)(x2

+ x + + 4) = (x2

+ x + 5)(x2

+ x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2

+ x + 5) b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24

= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24

= y(y + 2) - 24 víi y = x2 + 5x +

= y2 + 2y - 24

(10)

10 Thay ng-ợc trở lại y = x2

+ 5x + ta đ-ợc f(x) = (x2

+ 5x + - 4)(x2

+ 5x + + 6) = (x2

+5x)(x2

+ 5x + 10) = x(x + 5)(x2

+ 5x + 10)

3) Ph-ơng pháp thêm, bớt hạng tử thích hợp để làm xuất đẳng thức hiệu hai bình ph-ơng *) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x8 + x4 + 1;

b) x4 + 4;

HD: a) x8

+ x4

+ = x8

+ 2x4

+ - x4

= (x4

+ 1)2

- x4

= (x4

+ x2

+1)(x2

- x2

+ 1) = [(x4

+ 2x2

+ 1) - x2

][(x4

+ 2x2

+ 1) - 3x2

] = [(x2

+ 1)2

- x2

][(x2

+ 1)2

- ( x)2

]

= (x2

+1 - x)(x2

+ - x)(x2

+ + x)(x2

+ + x) *) Bài tập áp dụng :

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: a) f(x) = x4

+ 324 b) f(x) = x8

+ 1024; c) f(x) = x8

+ 3x4

+

Bài a) Phân tích n4

+

b) ¸p dơng: Rót gän S =

4 4

1 1

1 19

4 4

1 1

2 20

4 4

       

    

    

       

    

    

4) Ph-ơng pháp xét giá trị riêng: Tr-ớc hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại

a) Ví dụ: Phân tích thành thừa số: P = x2

(y - z) + y2

(z - x) + z2

(x - y) Gi¶i:

Thư thay x bëi y th× P = y2

(y - z) - y2

(z - y) = Nh- vËy P chøa thõa sè x = y

nếu thay x y, y z, z x P khơng đổi Do P chứa thừa số có dạng (x - y), (y - z), (z - x) P có dạng P = k(x - y)(y - z)(z - x)

Vì đăngt thức x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với x, y, z,

Nên ta gán x = 2, y = 1, z = vào đẳng thức ta đ-ợc: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k  k = -1 P = -(x - y)(y - z)(z - x)

Các tập áp dụng dạng Bài 1: Phân tích thõa sè nguyªn tè

a) 6x2 - 11x + 3; b) 2x2 + 3x - 27;

c) 2x2 - 5xy + 3y2; d) 2x2 -5xy - 3y2

Bài Phân tích thõa sè nguyªn tè: a) x3

+ 2x - 3; b) x3

- 7x + 6; c) x3

+ 5x2

+ 8x + 4; d) x3

- 9x2

+ 6x + 16; e) x3

- x2

- 4; f) x3

- x2

- x - 2; g) x3

+ x2

- x + 2; h) x3

- 6x2

- x + 30 Bài Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng nhiỊu c¸ch)

x3

- 7x -

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 27x3

- 27x2

+ 18x - 4; b) 2x3

- x2

+ 5x + Bài Phân tích đa thức thành nh©n tư:

a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;

c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24;

e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4

f) (x2

+ y2

+ z2

)(x + y + z)2

+ (xy + yz + zx)2

; g) 2(x4

+ y4

+ z4

) - (x2

+ y2

+ z2

)2

- 2(x2

+ y2

+ z2

)(x + y + z)2

+ (x + y + z)4

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng ph-ơng pháp đổi biến - Đặt ẩn phụ)

a) (a + b + c)3

- 4(a3

+ b3

+ c3

) - 12abc HD: Đặt x = a + b, y = a - b

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 4x4 - 32x2 + 1; b) x6 + 27;

(11)

11 e) 4x4

+ 1; f) 64x4

+ y4

; g) x4

+ 324; h) x8

+ x + 1; i) x7 + x5 + 1; j) x8 + x4 + 1;

k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; l) x3 + 3xy + y3 -

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử ph-ơng pháp hệ số bất định

a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10

c) x4

- 7x3

+ 14x2

- 7x + 1; c) x4

- 8x + 63 Bµi Phân tích đa thức thành nhân tử:

x8

+ 98x2

+

Bµi 10 Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng ph-ơng pháp xét giá trị d-ơng) a) M = a(b + c - a)2

+ b(c + a - b)2

+ c( a + b - c)2

+ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) b) N = a(m - a)2

+ b(m - b)2

+ c(m - c)2

- abc víi 2m = a + b + c

chuyên đề chia đa thức cho đa thức

I) Chia đơn thức cho đơn thức (tr-ờng hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B) 1) Ph-ơng pháp:

- Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B

- Chia luỹ thừa biến A cho luỹ thừa biến có B - Nhân kết tìm đ-ợc với

1) VÝ dơ vµ bµi tËp:

Bµi Lµm phÐp tÝnh chia: a) 10015

: 10012

; b) (-79)33

: (- 79)32

;

c)

16 14

1 : 2        

    ; d)

21 18

3

:

5

            Bài Chia đơn thức:

a) -21xy5z3 : 7xy2z3; b) (

2 

a3b4c5) : 3

2a

2bc5;

c) x2yz : xyz; d) x3y4 : x3y;

e) 18x2y2z : 6xyz; f) 5a3b : (-2a2b);

g) 27x4y2z : 9x4y; h) 9x2y3 : (-3xy2);

i) ( 

m2

n4

) : 2m

2

n2

; j) 5x4

y3

z2

: 3xyz2

;

k) (-7a3

b4

c5

) : (-21b3

c2

); l)

2(a - b)

5

: 2(b - a)

2

;

n) (x + y)2

: (x + y); m)(x - y)5

: (y - x)4

;

o) (x - y +z)4

: (x - y + z)3

; ¬) 0,5am

bn

c3

: ( 

a2

bc);

p) 1,8an+3

bn+2

cn +1

: (-0,9an+1

bn-1

c) Bài Tính giá trị biểu thøc sau:

(-x2

y5

)2

: (-x2

y5

) t¹i x =

2 vµ y = -1 Bµi Thùc hiƯn phÐp chia:

a) (xy2 - 4

3x

2y3 + 6

5x

3y2) : 2xy; b) (x3 - 3x2y +5xy2) : (

3 

x);

c) (3 4a

3

b6

c2

+ 5a

4

b3

c - 10a

5

b2

c3

) : 5a

3

bc;

d) [3(a - b)5

- 6(a - b)4

+ 21(b - a)3

+ 9(a - b)2

] : 3(a - b)2

e) (u4

- u3

v + u2

v2

- uv3

) : (u2

+ v2

)

Bài Với giá trị n thực đ-ợc phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm đ-ợc thực phép chia

a)x2n : xn + 3; b) 3xny2 : 4x2y;

c) 6x3y5 : 5xny2; d) xnyn+2 : 3x3y4

II) Chia đa thức cho đơn thức

1) Ph-ơng pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B

(12)

12 2) Bµi tập áp dụng:

Bài Thực phép tính:

a) (7 35 - 34 + 36) : 34; b) (163 - 642) : 83;

Bµi Lµm tÝnh chia:

a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2; b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy);

c) (x3

y3

- 2x

2

y3

- x3

y2

) : 3x

2

y2

; d) (24x4

y3

- 40x5

y2

- 56x6

y3

) : (-24x4

y2

);

e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + 2

3a

4);

f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2

g) [7(a - b)5

+ 5(a - b)3

] : (b - a)2

; h) [7(a - 3b)3

+ (a - 3b)] : (2a - 6b); i) (x3

+ 3x2

y+ 3xy2

+ y3

) : (2x + 2y) Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + 15

4 a

2mnbn-1cp+2x) : (-3a3-mb5c4);

b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc;

c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy

d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hÕt cho 17 ( n thuéc N)

Bµi Lµm tÝnh chia: a) [5(a - b)3

+ 2(a - b)2

] : (b - a)2

b) 5(x - 2y)3

: (5x - 10y); c) (x3

- 8y3

) : (x + 2y); d) [5(a + b)7

- 12(a + b)5

+ 7(a + b)11

] : 4(-a - b)3

e) [3(a - b)4

(2a + b)3

+ 10(a - b)5

- (a - b)6

(2a + b)] : 5(a - b)3

Bµi Rút gọn tính giá trị biểu thức với x = -2

A = (2x2

- x) : x + (3x3

- 6x2

) : 3x2

+ III) Chia đa thc mt bin ó sp xp:

1) Ph-ơng pháp chung:

- Chia hạng tử cao đa thức bị chia cho hạng tử cao đa thức chia đ-ợc hạng tử cao th-ơng

- Nhân hạng tử cao th-ơng với ®a thøc chia råi lÊy ®a thøc bÞ chia trõ tích vừa tìm đ-ợc, ta đ-ợc d- thứ

- Chia hạng tử cao đa thức d- thứ cho hạng tử cao đa thức chia ta đ-ợc hạng tử thứ hai th-ơng

- Nhân hạng tử thứ hai th-ơng với ®a thøc chia råi lÊy d- thø nhÊt trõ ®i tích vừa tìm đ-ợc, ta đ-ợc d- thứ hai

- Lặp lại trình khi:

+) nÕu d- cuèi cïng b»ng th× phÐp chia có d- đ-ợc gọi phép chia hÕt

+) d- cuối khác bậc đa thức d- thấp bậc đa thức chia phép chia đ-ợc gọi phép chia có d-

2) Ký hiƯu:

A(x) lµ đa thức bị chia; B(x) đa thức chia; Q(x) đa thức th-ơng; R(x) đa thức d-;

Ta lu«n cã: A(x) = B(x) Q(x) + R(x);

- NÕu R(x) = th× A(x) = B(x) Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt

- NÕu R(x) 0 th× A(x) = B(x) Q(x) + R(x),( bËc cđa R(x) nhỏ bậc B(x)) gọi phép chia có d-

3) Bài tập áp dụng: Bài Lµm tÝnh chia:

a) (6x2

+ 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3

- 3x2

+ x - 3) : (x - 3); c) (2x4

+ x3

- 5x2

- 3x - 3) : (x2

- 3);

Bài Sắp sếp đa thức sau theo luỹ giảm dần thừa biến: a) (12x2

- 14x + - 6x3

+ x4

) : (1 - 4x + x2

); b) (x5

- x2

- 3x4

+ 3x + 5x3

- 5) : (5 + x2

- 3x); c) (2x2

- 5x3

+ 2x+ 2x4

- 1) : (x2

- x - 1); d) (x3

- 7x + - x2

) : (x - 3);

(13)

13 f) (x3

+ 2x2

- 3x + 9) : (x + 3); g) (9x4

- 6x3

+15x2

+ 2x - 1) : (3x2

- 2x + 5); h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);

i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2);

j) (-3x2 + 10x3 - x - + 12x4) : (x + + 3x2);

k) (5x + 3x2 - + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2);

l) (2x3

+ 5x2

- 2x + 3) : (2x2

- x + 1); n) (2x3

- 5x2

+ 6x - 15) : (2x - 5); m) (x4

- x - 14) : (x - 2)

Bài Không thực phép chia, hÃy xem phép chia sau có phép chia hết không tìm đa thức d- tr-ờng hợp không chia hết;

a) (x3

+ 2x2

- 3x + 9) : (x + 3); b) (9x4

- 6x3

+15x2

+ 2x - 1) : (3x2

- 2x + 5) HD:

a) KÝ hiÖu sè d- lµ r, ta cã thĨ biÕt: x3 + 2x2 - 3x + = (x + 3).q(x) + r

Trong đẳng thức đặt x = -3, ta đ-ợc: r = (-3)3

+ 2(-3)2

- 3(-3) + = vËy d- phÐp chia lµ

b) Ta thấy th-ơng b-ớc thứ phép chia 3x đa thức d- thứ 2x - Vì 2x - có bậc nhỏ 3x2

- 2x + nên thực tiếp phép chia đ-ợc Do phép chia không phép chia hết đa thức d- 2x -

Bài Không thực phép chia, xét xem phép chia sau có phép chia hết không tìm đa thức d- tr-ờng hợp không chia hết

a) (8x2

- 6x + 5) : (x -

2); b) 6x

2

- 3x + 3) : (2x - 1);

c) (x4

+ x3

+ x2

+ x - 4) : (x - 1); d) (18x5

+ 9x4

- 3x3

+ 6x2

+ 3x - 1) :(6x2

+ 3x - 1) Bµi TÝnh nhanh:

a) (9a2

- 16b2

) : (4b - 3a); b) (25a2

- 30ab + 9b2

) : (3b - 5a); c) (27a3

- 27a2

+ 9a - 1) : (9a2

- 6a + 1);

d) (64a3

- 27b

3

) : (16a2

+ 3ab +

1 9b

2

)

4) Một số ph-ơng pháp khác để tìm đa thức th-ơng đa thức d-: 4.1) Ph-ơng pháp đặt phép chia:

VÝ dô:

Xác định số hữu tỷ a b để đa thức x3

+ ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2

+ x + Gi¶i

Thùc hiƯn phÐp chia

x3 + ax + b x2 + x -

x3 + x2 - 2x

-x2 + (a +2)x + b x -

-x2

- x + (a + 3)x + (b -2)

Để chia hết, đa thức d- phải đồng băng 0, nên :

3

2

a a

b b

   

 

    

 

vËy víi a = -3; b = th× x3

+ ax + b chia hÕt cho x2

+ x + 4.2) Ph-ơng pháp hệ số bất định

- Nếu hai đa thức f(x) g(x) với giá trị biến số x ng-ời ta goi hai đa thức đẳng hai đa thức đồng Kí hiệu f(x)  g(x)

- Hai đa thức (đã viết d-ới dạng thu gọn) đ-ợc gọi đồng (hằng đẳng) hệ số đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức

*) VÝ dô:

Xác định số hữu tỷ a b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x +

(14)

14

Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc hai, nên th-ơng nhị thức bậc nhất, hạng tử bậc x3

: x2

= x

Gọi th-ơng phép chia x + c, ta cã: x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c)

x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c

Hai đa thức đồng nên :

1

2

c c

c a a

c b b

   

 

     

 

   

 

VËy víi a = -3, b = th× x3

+ ax + b chia hÕt cho x2

+ x - 2, th-ơng x - 4.3) Ph-ơng pháp xét giá trị riêng

*) VÝ dô:

Xác định số hữu tỷ a b để đa thức x3

+ ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2

+ x + Giải

Gọi th-ơng phÐp chia x3

+ ax + b cho x2

+ x - lµ Q(x), ta cã: x3

+ ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)

Vì đẳng thức với x, nên lần l-ợt cho x = 1, x = -2 ta đ-ợc :

1

8 2

a b a b a

a b a b b

       

  

 

        

  

Víi a = -3; b = th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - th-ơng x -

4.4) Ph-ơng pháp vận dụng vào định lý Bơdu

a) Định lý: Số d- phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a giá trị đa thức f(x) x = a.(Nghĩa r = f(a))

b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a vµ chØ f(a) = Các tập áp dụng cho ph-ơng pháp trªn

Bài Xác định a b để đa thức x4

- 6x3

+ ax2

+ bx + bình ph-ơng đa thức HD: sử dụng ph-ơng pháp hệ số bất định, ta có đáp số

x4

- 6x3

+ 7x2

+ 6x + = (x2

- 3x - 1)2

x4

- 6x3

+ 11x2

- 6x + = (x2

- 3x +1)2

Bài Xác định a b để đa thức x4

- 3x3

+ 2x2

- ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2

- x - HD: sử dụng ph-ơng pháp giá trị riêng, ta đ-ợc kết a = 2; b = -

Bài Xác định hệ số a b cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 + x + 1;

b) 2x3

+ ax + b chia cho x + d- -6, chia cho x - d- 21 HD: ta cã kÕt qu¶

a) a = 1; b = 1; b) a = 3; b = -1

Bài Tìm giá trị nguyên x để: a) Giá trị biểu thức x3

+ 3x2

+ 3x - chia hết cho giá trị biểu thức x + 1; b) Giá trị biểu thức 2x2

+ x - chia hết cho giá trị cđa biĨu thøc x - HD

a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + d- lµ -3

Suy -3 (x + 1) x{0; -2; 2; -4} b) x  {3; 1; 5; -1}

Bài Cho đa thức A(x) = a2

x3

+ 3ax2

- 6x - 2a (a thuộc Q) Xác định a cho A(x) chia hết cho x + HD

*) Cách (Đặt phép chia đa thức)

A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho đa thức (x + 1) đ-ợc th-ơng

a2x2 + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) đa thức d- -a2 + a +

- Để đa thức A(x) chia hết cho đa thức x + đa thức d- phải 0, tức -a2

+ a + = 0, giải ph-ơng trình ta đ-ợc a = -2; a = *) Cách (Dùng ph-ơng phỏp h s bt nh)

+) Tìm hạng tử bËc cao nhÊt a2

x3

: x = a2

x2

, h¹ng tư bËc thÊp nhÊt -2a : = -2a +) BiĨu diƠn A(x) = (a2

x2

+ bx - 2a)(x + 1), sau dùng ph-ơng pháp đồng để tìm a = -2; a = kết luận

(15)

15 a) 10x2

- 7x + a chia hÕt cho2x - 3; b) 2x2

+ ax + chia cho x - d- 4; c) ax5 + 5x4 - chia hÕt cho x -

Bài Xác định số a b cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + 1;

b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10;

c) ax4

+ bx3

+ chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2

; d) x4

+ chia hÕt cho x2

+ ax + b Bài Tìm số a b cho x3

+ ax + b chia cho x + th× d- 7, chia cho x - th× d- -

Chuyên đề phân thức đại số

I) Phân thức đại số: 1) Kiến thức bản:

a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng A B, A, B đa thức, B đa thức khác đa thức

A lµ tư thøc (tư) B mẫu thức

Mỗi đa thức đ-ợc coi đa thức có mẫu b) Hai phân tức bẳng nhau:

Với hai phân thức A B vµ

C

D, ta nãi A B =

C

D nÕu A.D = B.C 2) Bµi tËp:

Bài Dùng định nghĩa hai phân thức chứng minh đẳng thức sau:

a)

2 3

7

5 35

x y x y xy

 ; b)  

 

2

x x x

x x x

 



 ;

c)

2

3

x x x

x x

   

  ; d)

3

4

10 5

x x x x

x

  

 ;

e)5 20

y xy

x

 ; f)  

 

3

2

x x x

x

 

 ;

g)  22 1

1

x x

x

x x

   

  ; h)

2

1

x x x x

x x

    

  ;

i)

3

8

2

x

x x

    

Bà i Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, tìm đa thức A đẳng thức sau

a)

2

6

A x x

x x

 

  ; b)

2

4 7

x x x

A x

     ;

c)

2

4

1

x x A

x x x

  

   ; d)

2

x x x x

x x A

 



 

Bài Bạn Lan viết đẳng thức sau đố bạn nhóm học tập tìm chỗ sai Em sửa sai cho

a)

2

5 13

2

x x x

x x

   

  ; b)

2

1

3

x x

x x x

      ;

c)

2

1

x x

 



  ; d)

2

2 3

3

x x x x

   



    Bài Ba phân thức sau có kh«ng?

2

; ;

1

x x x x

   

    Bài Tìm tập xác định phân thức sau:

a)

5x 2; b)

2

3 x

x x

   ;

c) 2 x

x  x; d)

2 x

x x

(16)

16 Bài tìm giá trị biến để biểu thức sau

a) 32 x x



 ; b)

2 x x x   ; c) 2 x x x  

 ; d)

2 2 4 x x x x    ; e)

4

1

2

x x x

x x x x

  

    ; f)

4 10 x x x x     Bài Tìm giá trị nguyên biến để phân thức sau nhận giá trị nguyên:

a) 2

x  x ; b)

6

x  ; c)

  1 x x   ; II) Tính chất phân thức đại số:

1) KiÕn thøc c¬ b¶n: a) TÝnh chÊt:

- TÝnh chÊt 1:

A A M

B  B M (M đa thức khác đa thức 0)

- TÝnh chÊt 2: : :

A A M

B B M (M nhân tử chung khác 0)

b) Quy tắc đổi dấu: A A

B B

 

 2) Bµi tËp ¸p dơng:

Bài Dùng tính chất phân thức, điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức sau:

a)

2

5

x x x

x  

 ; b)

2

8 24

x x x

x     ; c)   2

3

x xy

x y y x

 

  ; d)

2

x xy y

x y y x

      ; e) 2 1 x x x x  

  ; f)

2

5 5 2

x y x y

y x

   

Bài Biến đổi phân thức sau thành phân thức có tử thức đa thức A cho tr-ớc

a) 42 3, A= 12x +9x

x x



 ; b)   

2

8

, 15

x x A x x x       ;

Bài Dùng tính chất phân thức để biến đổi cặp phân thức sau thành cặp phân thức có tử thức

a) x  vµ

1 x

x 

; b)

4 x x  vµ 25 x x   ;

Bài Dùng tính chất phân thức quy tắc đổi dấu để biến đổi cặp phân thức sau thành cặp phân thức có mẫu thức:

a) x x  vµ

7

x x 

 ; b)

4 x x  vµ

3 x x  ;

c) 2 16 x  x vµ

4

x x



 ; d)   

x

x x vµ    x x x ; Bài Các phân thức sau cã b»ng kh«ng?

a)

3 3

x y xy vµ

2

x

y ; b)

2

x

xy vµ

2 2

x x y ;

c)

( 1)(3 ) x

x x



  vµ

1 ( 1)( 3)

x

x x



  ; d)

3( 1) (1 )

x x  

 vµ

3( 1) ( 1) x x   ; Bµi HÃy viết phân thức sau d-ới dạng phân thức có mẫu thức - x3;

a)

2

1 x

x  ; b)

x

x  ; c)

1 x x x   

(17)

17 a) 2 xy x x 

 ; b)

2 1 x x   ; c) 2 y x x y 

 ; d)

2 x x    

Bài Viết phân thức sau d-ới dạng phân thức có mẫu thức:

a) x vµ 2 x

x  ; b)

x y vµ

y x ;

c) 2x3 y3

x y

  vµ

x

xy; d)

1 x x y



vµ 1 x4 5 x y

Bài Viết phân thức sau d-ới dạng phân thức có tư thøc:

a)1 x vµ

2 x x



 ; b)

x y vµ

y x ; c) 2 2 x y x xy 

 vµ

x y x 

; d)

3

x y xy vµ

2

x y xy;

III) Rút gọn phân thức 1) Ph-ơng pháp:

- Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung - Chia tử mẫu cho nhân tử chung

2) Bài tập áp dụng:

Bài Rút gọn phân thức sau:

a)

5

2

14 (2 )

21 (2 )

xy x y

x y x y



 ; b)

3

8 (3 1) 12 (1 )

xy x x x   ; c) 2 20 45 (2 3) x x 

 ; d)

2 10 2(2 ) x xy y x   ; e) 80 125

3( 3) ( 3)(8 )

x x

x x x



    ; f)

2

9 ( 5) 4 x x x     ; g) 3

32 64

x x x

x  

 ; h)

3 5 x x x   ; i) 2 4 x x x x  

  J)

2

10 ( )

15 ( )

xy x y xy x y



 ;

k)

2

x xy x y

  

   ; l)

2

3 12 12 x x x x    ; n) 2

7 14 3

x x

 

 ; m)

2

2a 2ab ac ad bc bd

    ; o) 2 x xy y x 

 ; ¬) 2

2 2

x y

x xy y



  ;

p) 23 a a



 ; q)

2 15 x x x x     ; v) 4 2 x x x x 

 ; u)

7 x x x   ; -) 2

( 2) ( 2) 16

x x

x   

; x)

2 2 24,5 0,5 3,5 0,5 x y x xy   ; y) 2

3

a a a

a

  

 ; z) 2 2

( )( ) ( )( )

a b c d

b a d c

    Bài Chứng minh đẳng thức sau:

a)

2

x y xy y xy y

x xy y x y

  



   ; b)

2

3 2

3

2

x xy y

x x y xy y x y

 



   

(18)

18 a) 45 (3 )3

15 ( 3)

x x

x x 

 ; b)

2

3

y x

x x y xy y



  

Bài Tính giá trị biểu thức sau:

a)

4

2

ax a x a ax x



  víi a = 3, x =

3; b)

3

6

x x x

x x

 

 víi x = 98

c) 3 3 x x x x 

 víi x =

 ; d)

4 3 2 x x x x 

 víi x =  ; e) 2 10 16 ab a b ab 

 víi a = 6, b =

1

7; f)

7 15 a a a 

 víi a = 0,1;

g) 22 2 0, 0,8

x y



 víi x + 2y = 5; h)

2

9 1, 4,

x y



 víi 3x - 9y =

Bµi Cho 3a2

+ 3b2

= 10ab b > a > Tính giá trÞ cđa biĨu thøc P = a b a b Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

a)

2

( )( )

x y x y ay ax



  ; b)

2 3 6

ax x y ay

; Bài tập nâng cao

Bài Rút gọn biểu thức

a)

4

2 2

m m



  ; b)

2

3

ab a a b

a b b  

 ;

c) 1

xy x y

y z yz

  

   ; d)

ax ay bx by ax ay bx by

      ;

e)

2 2 2

2

a b c ab

a b c ac

  

   ; f)

2

a b

a a b b

    ; g) 2

a

a a



  ; h)

3 2 2 2

2 2

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b

a b c b c a c a b

          ; i) 2 ( ) ( )

x a b x ab

x a b x ab

  

   ; j)

2 2

x a b bc ax c

x b a bx ac c

          ;

k)

3

2

3

x x x

x x

  

  ; l)

2 x x x x    n)

2x 2x

x x

a b



 ; m)

2

1 (2 )

a b a b     ; o) 3 3 3 x y x y   ; ¬) 4 2 2 2 m n n m   ; p)

2 2

2

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b

ab ac b bc

    

   ; q)

3

2 12 45 19 33

x x x

      ;

u)

3 3

2 2

3 ( ) ( ) ( )

x y z xyz

x y y z z x

  

     ; -)

3 3

2 2

3 ( ) ( ) ( )

x y z xyz

x y y z z x

  

     Bài Tìm giá trị x để phân thức sau

a)

4

1

2

x x x

x x x x

  

    ; b)

4 10 x x x x     Bµi Viết gọn biểu thức sau d-ới dạng phân thức

A = (x2

- x + 1)(x4

- x2

+ 1)(x8

- x4

+ 1)(x16

- x8

+ 1)(x32

- x16

+ 1) HD: Nh©n biĨu thøc A víi x2

+ x + 1, từ xuất biểu thức liên hợp

Bµi 10 Rót gän

2 2

( ) ( ) ( )

x y z

y z z x x y

 

     biÕt r»ng x + y + z =

Bài 11 Tính giá trị phân thức A = 3

x y



 , biÕt r»ng 9x

2

+ 4y2

(19)

19 HD

Ta cã A2

=

2

9 12 20 12

9 12 20 12 32

x y xy xy xy xy

     

  

Do 2y < 3x < 3x2y0,3x2y  0 A vËy A = 

Bµi 12 Rót gän biĨu thøc: P =

4 4

(1 4)(5 4)(9 4) (21 4) (3 4)(7 4)(11 4) (23 4)

   

HD XÐt n4

+ = (n2

+ 2)2

- 4n2

= (n2

+2n + 2)(n2

- 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]

Do P = ( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1 (1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 577

        

    

      

Bài 13 Cho phân số A =

1, 00 01 (mÉu cã 99 ch÷ sè 0) TÝnh giá trị A với 200 chữ số thập phân HD

Ta cã A =

100 100

10

10 Nhân tử mẫu với 10

100 - 1, ta đ-ợc:

A=

100 100 100 100

200

100 100 200

10 (10 1) 99 00

0, 99 00

10 99

  



(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn phân số)

Bài 14 Cho phân thức: M =

2 2 2

2

( )( ) ( )

( ) ( )

a b c a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

            a) Tìm giá trị a, b, c để phân thức có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M

HD:

a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa mẫu thức kác

XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) =  a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca =

 2a2

+ 2b2

+ 2c2

+2ab + 2bc + 2ca =  (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 =

 a + b = b + c = c + a  a = b = c

vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa a, b, c không đồng thời 0, tức a2

+ b2

c2 

b) Do (a + b + c)2

= a2

+ b2

+ c2

+ 2ab + 2bc + 2ca, dặt a2

+ b2

+ c2

= x; ab + bc + ca = y Khi (a + b + c)2

= x + 2y

Ta cã M =

2 2

( ) ( )

2

x x y y x xy y x y

x y a b c ab bc ca

x y y x y x y

              

(Điều kiện a2

+ b2

c2

 0) IV) Quy đồng mẫu thức

1) T×m mÉu thức chung nhiều phân thức: - Phân tích mẫu thành nhâ tử (nếu cần) - Lập tích nhân tử số chữ:

+) Nhân tử số BCNN số mẫu +) Nhân tử chữ luỹ thừa với số mũ lớn 2) Bài tập áp dụng

Các tập nâng cao

Bi Quy đồng mẫu thức phân thức sau:

a) 252 , 14 5

14x y 21xy ; b)

11 ,

102x y 34xy ;

c) 14, 2 23 12

x y

xy x y  

; d) 13 2, 2 14, 13

6

x x

x y x y xy

(20)

20 e) 24 , 52 2 , 25

10 x

x y x y xy 

; f) 4 , ;

2 ( 3) ( 1)

x x

x x x x

 

 

g) 3, 2 ( 2) ( 2)

x x

x x x



  ; h)

5

,

3x 12x (2x4)(x3) Bài Quy đông mẫu thức phân thức sau

a) 72 ,5 32

2

x x

x x x

 

  ; b) 2

1

,

2

x x

x x x x

 

   ;

c)

2

3

4

, ,

1 1

x x x

x x x x

 

    ; d) 2

7 , ,

5 x y

x x y y x



  ;

e)

2

3 2

5

, ,

6 12 4

x x

x  x  x x  x x ; f) 2

1

, ,

1

x x x

x x x x x

 

    ;

g) 2 2, 2 2

6 4

a x a x

x ax a x ax a

 

    ; h) ,

a d a d

a ab ad bd a ab ad bd

 

      ;

i) 2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2

2 2

x y z

x  xyy z x y  yzz x  xzy z ;

j) 31 , , 2

1 2

x  x x  x ; k)

2

, ,

2

x x y

x y

x y x xy y





   ;

l)

2

2 2

2 1

, ,

6 7

x x x

x x x x x x

 

      Bài Quy đồng mẫu thức phân thức:

a) a x b3 , 2 x b a2, 2 axb a xb axb

  

; b) 2 2, 2

4

x x a

x ax a x ax

 

   ;

c) 2 2, 2 2

6 4

a x a x

x ax a x ax a

 

    ; d) , 2

a b a c

a bc ac ab a bc ac b

 

      ;

e) 3 , 2 , 2 27 9

x x x

x x x x x

 

     ; f) 2

2

, ,

3 2

x x x

x x x x x x

 

        Bài Quy đồng mẫu thức phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện)

a) , , 2 2 2

x x

x x x

 

   ; b)

2

2 3

2

, ,

x a x x

x a x ax a x a

  

     ;

c) 243 , 2, 182

4 2

x

x x x x x x; d) 4

1

, ,

2

x x x

x x x x x x

 

    ;

e) 2 2 , 2 2, 2 2

3

x y xy

x  xy y  x  xyy x  xy y Bài Rút gọn quy đồng mẫu thức phân thức sau

a)

2

5 ,

4

x x x x

x x x

   

    ; b)

3

2

,

4 4

x x x x x

x x x x x x

    

      ;

c)

3

2 26 10 12 ,

5 17 13 16

x x x x x x

     

      ;

d)

2 2 3

2 2 2

2 2

,

2 ( ) ( ) ( )

x y z xy yz zx x y z xyz

x y z yz x y y z z x

       

       

Bµi Cho biĨu thøc B = 2x3

+ 3x2

- 29x + 30 hai phân thức 2 , 2 2 15 10

x x

x x x x

     a) Chia đa thức B lần l-ợt cho mẫu hai phân thức cho

b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức cho

x  x x  x Chøng tá r»ng cã thĨ chän ®a thøc

x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức cho Hãy quy đồng mẫu

thøc

V) Phép cộng phân thức đai số

(21)

- Quy đồng mẫu thức phân thức

- Cộng hai phân thức mẫu (sau quy đồng) 3) Bài tập ỏp dng:

Bài Cộng phân thức mÉu thøc:

a) 23 23 3

6 6

x y x

x y x y x y

    

; b)

2

( 1) ( 1)

x x

x x x x

  

  ;

c)

2

3

x x x

x x x x

  

    ; d)

2

38 4 2 17 17

x x x x

         Bµi Cộng phân thức khác mẫu thức:

a) 52 2 11

6x y12xy 18xy ; b) 3

15

x y x

x y x y xy

  

  ;

c) 3 3 22 2

x x

x x x x

 

 

  ; d)

3

2

1 1

x x x

x x x x

  

    ;

e) 2 24

2

y x

x xy y  xy; f) 2

1 14

2 ( 4)( 2) x

x x x x x



 

     ;

g) 1 ( 2)(4 7)

x  x x ; h)

1 1

3 ( 3)( 2) ( 2)(4 7) x  x x  x x ; Bài Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung thực phép cộng

a) 62 2

x

x x x



 

   ; b)

1 3 2 2

x x x

x x x x

  

 

  ;

c) 2 12 2

6 9

x

x  x  xx  x  ; d)

2

3

2

1 1

x

x x x x

  

    ;

e) 42 2

2

x x xy

x yx y y x Bµi Céng phân thức:

a) 1

(xy y)( z)(yz z)( x)(zx x)( y);

b) 3

(yx z)( x)(yx y)( z)(yz x)( z);

c) 1

( )( ) ( )( ) ( )( ) x xy xz  y yx yz  z zx zy ;

d) 3

(ax c)( x)(ax a c)(  )(a c x c )(  ) ;

e) 1

( )( ) ( )( ) ( )( ) a a b a c  b b a b c  c c a c b  Bài Làm tính cộng phân thức

a) 11 13 15 17 3 4

x x

 



  ; b)

2

2 2

2 32

2

x x x

x x x x x

 

 

   ;

c) 2 21 3

1

x

x  x x x x ; d)

4

3

1

x

x x x

x   

 ;

e) 52 32 3

2

x

x y xy  y ; f)

1 ( 3)

x x

x x x

 



  ;

g) 32 25 25

x x

x x x

  

  ; h)

4

2

1 1

x x

x 

 

 ;

i)

2

3

4 17

1 1

x x x

x x x x

  

 

(22)

22 A = 1

5 ( 5) x

x x x x

  

  , B =

3 x  Chøng tá r»ng A = B

Bµi Tính giá trị biểu thức :

a) A = 3 21 2

1

x

x x xx x

    víi x = 10;

b) B =

4

3

2

x

x x x

x   

với x = -99 Các tập nâng cao

2

5 x

x x



  viÕt đ-ợc thành

2 ( 1)

a b

x  x

HD: Dùng hai ph-ơng pháp (hệ số bất định xét giá trị riêng) để tìm a b sau quy đồng

Bài Chứng minh biểu thức sau không phơ thc vµo x

a) x y y z z x

xy yz zx

  

  ; b)

( )( ) ( )( ) ( )( )

y z x

xy yz  yz zx  zx xy Bµi 10 Cộng phân thức :

2 2 2

1 1

(b c a )( ac b bc)(c a b )( ab c ac)(a b c )( bc a ab)

(§Ị thi häc sinh giái líp toµn qc 1980) Bµi 11 Rót gän biĨu thøc :

A = 1 2 4 8 1x1x1x 1x 1x Bài 12 Tìm số A, B, C để có :

2

3

2

( 1) ( ) ( 1)

x x A B C

x x a x x

    

   

Bài 13 Chứng minh đẳng thức :

2 2

2 2 2

3

9 3

a ab a ab b a an ab bn

a b ab a b bn a an ab

       

     

VI) Phép trừ phân thức đại số 1) Phân thức đối:

- Hai phân thức đ-ợc gọi đối tổng chúng

- C«ng thøc: A A

B B



  vµ A A

B B



 

2) PhÐp trõ:

- Quy tắc: Muốn trừ phân thức A

D, ta céng A

B với phân thức đối C D

- C«ng thøc: A C A C

B D B D

   

3) Bµi tập áp dụng:

a)

2

x x

xy xy

  

; b)3 3 5 153

4

x x

x y x y

   ;

c) 2 2

x x

  

  ; d) 2

9 5

2( 1)( 3) 2( 1)( 3)

x x

x x x x

  

    ;

e)

2

2 2

xy x

x y  y x ; f)

2

5x y 5y x

x y xy

  

;

g)

5 10 10

x x

x  x ; h) 2

9

x

x x x

 

  ;

j)

4

2

3

1

x x

x

x    

 ; i) 2

2 6 x

x x x

 

(23)

23 k) 1 (1 2 )

3

x x x x

x x x

    

   ; l) 2

3 1

( 1) 1

x x

x x x

       ;

n)

2

5 3

2

x

x x x



 

  ; m) 2

3

2 1

x x

x x x x x

   

     Bài Theo định nghĩa phép trừ, viết

A C E A C E

B D F B D F

      

áp dụng điều để làm phép tính sau:

a) 1 62 3

x

x x x



 

   ; b) 2

18

( 3)( 9) 9 x x x  x x x Bài rút gọn biÓu thøc :

a)

2

3

3 1

1 1

x x x

x x x x

    

    ; b)

2

1

x

x x x

  

   ;

c) 236

6

x

x x  x  x Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

a)

(x1)(x2)(x2)(x3)(x3)(x1);

b) 1

( )( ) ( )( ) ( )( ) A

a a b a c b b a b c a c c b

  

   

Bài Tính giá trị c¸c biĨu thøc:

a) A =

2

1

x

x x x

  

   víi x = 99;

b) B = 1 2 2 4

x x

x x x

   

   với x = Các toán nâng cao

Bài Rút gọn biểu thức :

a) A =

( ) ( )( ) ( )( )

a a a

x xa  xa x a  x a x a x a;

b) B = 1

2.55.88.11 (3n2)(3n5);

HD: Thùc nhân hai vế với ta đ-ợc 3.B = 3 2.55.88.11 (3n2)(3n5)

Từ ta có 1 (3n2)(3n5)3n23n5

XÐt tõng sè h¹ng thĨ : 1 2.5 

3 1 5.8  …

3 1

(3n2)(3n5)3n23n5

3 3

2.55.88.11 (3n2)(3n5)=

1 3( 1) 2(3 5) 2(3 5)

n n

n n n

  

  

  

Hay 3.B = 3( 1) 2(3 5) 2(3 5)

n n

B

n n

   

 

c) C = 1 1.22.33.4 n n( 1) HD : Thực nh- phần

(24)

24 ( )( ) ( )( ) ( )( )

x z x y y z

x y y z x z y z x y x z

    

     

Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh :

a) 1

( )( ) ( )( ) ( )( ) A

a b a c b a b c c a c b

  

      ;

b) 1

( )( ) ( )( ) ( )( ) B

a a b a c b b a b c c c a c b

  

      ;

c)

( )( ) ( )( ) ( )( )

bc ac ab

C

  

      ;

d)

2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c

D

  

      ;

Bài Xác định số hữu tỷ a, b, c cho:

a) 2 2

( 1)( 1) 1

ax b c

x x x x



 

    ;

Đáp số: Dùng ph-ơng pháp đồng ta đ-ợc a =

 , c = 2, b =

1 

b)

( 1)( 2)

a b c

x x x  x x  x ; (§S :

1

; 1;

2

a b  c )

c) 21 2

( 1) ( 2) ( 1)

a b c

x x  x  x x (§S: a = -1; b = 1; c = 1) Bµi 10 Cho abc = (1)

1 1 a b c

a b c

     (2)

Chøng minh sè a, b, c tån t¹i mét sè b»ng HD

Tõ (2) :a b c bc ac ab abc     

Do abc = nªn a + b + c = ab + bc + ca (3)

§Ĩ chøng minh sè a, b, c cã mét sè b»ng ta chóng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = XÐt (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)

= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)

Từ (1) (3) suy biểu thức 0, tồn ba thừa số a - 1, b - 1, c - 0, tồn ba số a, b, c

Bµi 11 Cho 3y - x = Tính giá trị biểu thức : A =

2

x x y

y x

 

 

HD : A =3 ( 6)

2

y x x

y x

    

Bài 12 Tìm x, y, z biÕt :

2 2 2

2

x y z x y z

  

HD:

Tõ

2 2 2

2

x y z x y z

   suy :

2 2 2

0

2 5

x x y y z z

     

     

     

     

2 2

3

0

10x 15y 20z x y z  

Bài 13 Tìm x, y biÕt: x2 y2 12 12

x y

   

HD

Ta cã

2

2 2

1 1 1

4 2 0

x y x y x y

     

                 

     

(25)

25

2

1

1 1

x

x x

y y

y

 

  

 

 

 

  



Có bốn đáp số nh- sau:

x 1 -1 -1

y -1 -1

Bµi 14 Cho biÕt : 1

a   (1), b c 2 1

2

a b c  (2) Chøng minh r»ng a + b + c = abc HD

Tõ (1) suy : 12 12 12 1

a b c ab ac bc

 

      

 

Do (2) nªn : 1 1 a b c a b c abc

ab ac bc abc

 

        

Bµi 15 Cho x y z

a   (1) ,b c

a b c

x (2) Tính giá trị biểu thøc: y z

2 2

a b c

x  y z HD

Tõ (1) suy : bcx + acy + abz = (3)

Tõ (2) suy :

2 2

a b c ab ac bc

x y z xy xz yz

 

      

 

Do :

2 2

2 2 4

a b c abz acy bcx

x y z xyz

 

    

Bµi 16 Cho (a + b + c)2

= a2

+ b2

+ c2

vµ a, b, c kh¸c CMR: 13 13 13 a b c  abc HD

Tõ gi¶ thiÕt suy : ab + bc + ca =

Do : ab bc ca 1

abc a b c

      

Sau chứng minh x + y + z = x3

+ y3

+ z3

= 3xyz

Bµi 17 Cho a b c b c a

b     Chøng minh r»ng ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng c a a b c HD

Tõ gi¶ thiÕt suy : a2

c + ab2

+ bc2

= b2

c + ac2

+a2

b a c b2(  ) a c( 2b2)bc c b(   )

2

(c b a)( ac ab bc) (c b a b a c)( )( )           

Tóm lại thừa số c- b, a - b, a - c Do ba số a, b, c tồn hai số Bài 18 Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị nguyên :

a)

3

2

3

x x x

A

x

   

 ; (§S :

2

A x

x   

   x  2; 2; 4;8) b)

4

2

x x x x

B

x x

    

  ; (§S :  

2

3

4 0;

( 1)

B x x

x

    

 )

c)

4

2

3 2

x x x x

C

x

    

 (§S :  

2

3

2

C x x x

x

     

Bµi 19 Rót gän biÓu thøc : 1 2 4 8

1 1 1

A

x x x x x

    

    

HD

Rút gọn cách quy đồng đôi :

2 2 4

1 2 4

1 1 1 1 1 1

A

x x x x x x x x x x x x

           

(26)

26 = 8 8 1616

1x 1x 1x

Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa Bài 20 Rút gọn biểu thức :

B =

 2

2

3

(1.2) (2.3) ( 1) n

n n    

 HD

Ta t¸ch phân thức thành hiệu phân thức dùng ph-ơng pháp khử liên tiếp, ta đ-ợc :

2

2 2 2

2 ( 1) 1

( 1) ( 1) ( 1)

k k k

k k k k k k

     

  

Do B = 12 12 12 12 12 2 1 2 ( 2)2 2 ( 1) ( 1) ( 1)

n n

n n n n



        

  

VII) Phép nhân phân thức đại số

1) KiÕn thøc c¬ b¶n:

A C A C

B D B D 2) Tính chất bản:

- Giao ho¸n: A C C A B D  D B

- KÕt hỵp: A C E A C E

B D F B D F

      

   

   

- Phân phối phép cộng: A C E A C A E

B D F B D B F

     

 

 

3) Bµi tập bản:

Bài Làm tính nhân phân thøc :

a)

3

2

10 121 11 25

x y

y  x ; b)

5

2

24 21

7 12

y x

x y

 

  

 ;

c)

3

4

18 15

25

y x

x y

   

  

   

   ; d)

4 20 ( 10) ( 2)

x x

     ;

e)

2

3

2 20 50

3 4( 5)

x x x

x x

  



  ; f)

2 3

2 2

(x xy) x y

x y x y x y xy

 



   ;

g)

2

16

( 1)( 1)( 1)

x x x

x

  

 h)

2

6 27 9

x x x

       ;

i) 2 2 ( 3)

5x 10xy20y  x  y ; j)

2 2

2

x ax bx ab x ax a

x ax bx ab x bx b

    



     ;

k)

2

a ax ba bx a ax bx ab a ax ab bx a ax bx ab

      

      ; l)

2

3 4

x ax a x x x ax a

x a ax x x x ax a

             Bài Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy đ-ợc nhân tử chung)

a)

2

3 12 27

x x x x

x x

   



  ; b)

2

6 25 10

5

x x x

  



  ;

c)

2

3

1 (1 )

x x x

x x

Bài Phân tích tử thức mẫu thức (nếu cần dùng ph-ơng pháp thêm bớt hạng tử tách số thành hai số hạng) rút gọn biÓu thøc :

a)

2

x x x

   

   ; b) 2

1

x x

x x x x

      ;

c)

2

2 36

4 24

x x

x x x

 



  

(27)

27 a)

3

2 1954 21

1975 1975

x x x x

 

  

    ;

b) 19 19 1945 1945

x x x x

   

  

   

c)

2 2 2

2

( ) ( )

x y x y y x y

x y x x y x

     

  ;

Bµi Rót gän biĨu thøc :

a)

4

3

15 4

2 14 15

x x x x

  

 

    ; b)

7 2

3

1

x x x x x

x x x x

   

 

   

c) x y (x2 y2)

x y x y

 

 

   

  ;

Bài Rút gọn tính giá trị biÓu thøc :

2

1

x y x y

y x x xy y x y

   

 

     

 

  víi x = 15, y = Bµi Chøng minh r»ng :

     32 16

2 16

2

1

1 1

1

x x

x x x x x x x x

x x

          

Toán 8 Đề thi học kì 2 [WWW.VIETMATHS.COM] ôn tập đại số 8 THEO chuyên đề

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan