tìm NGHIỆM THỰC gần ĐÚNG của PHƯƠNG TRÌNH một BIẾN

NGHIỆM THỰC gần ĐÚNG của PHƯƠNG TRÌNH một BIẾN

Chương II TÌM NGHIỆM THỰC GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT BIẾN 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm 1.1 Nghiệm của phương trình:  Nếu f(  ) = 0 thì  là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0  Ý nghĩa hình học của nghiệm: - Các nghiệm của phương trình f(x) = 0 là hoành độ giao điểm của đường cong (C): y = f(x) với trục hòanh. M )0,( 1  y=f(x) )0,( 2  x y  1 ,  2 là nghiệm của phương trình f(x)=0 Hình 2.1 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)  Có thể biến đổi phương trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x). Khi đó nghiệm của f(x)=0 là các hoành độ giao điểm của 2 đường cong (C 1 ): y=g(x) và ( C2 ): y=h(x) Hình 2.2 y (C 1 ): y=g(x) M 1  2  (C 2 ): y=H(x) N 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) Định lý: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a) trái dấu với f(b), tức là: f(a).f(b)<0 Thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thực trong [a,b] y y=g(x) a b N f(b) f(a) x  1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) 1.2) Khoảng phân ly nghiệm: (a,b) gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0 nếu trên (a,b) phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm thực. Ví dụ 1.1: Trên (-2, -1) phương trình x 3 -3x+1=0 chỉ có duy 1 nghiệm  (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm. Định lý: Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không đổi dấu trên (a,b), và f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất một nghiệm trên (a,b).  Suy ra, (a,b) là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) y a b  y=f(x) x y a b  y=f(x) x b y a  y=f(x) x y a  y=f(x) f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0 f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0 f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0 f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) Ví dụ 1.2: Xét hàm f(x) = x 3 -3x+1. Ta có: f’(x) = 3x 2 – 3=0   x = -1 hoặc x = 1 Bảng xét dấu f’(x) f’(x)>0, x (-2,-1) hơn nữa f(-2). f(-1)=(-1).(3)=-3<0 Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm Tương tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly nghiệm - -1 1  x f’(x) 0 0 + - + 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) 1.3) Tìm khỏang phân ly nghiệm của phương trình: - Nếu f’(x) liên tục, xét dấu của f(x) tại 2 mút của miền xác định và tại những điểm mà f’(x) = 0  Ước lượng khỏang phân ly nghiệm. - Hoặc vẽ đồ thị của hàm y=f(x) trên giấy kẻ ô vuông  Ước lượng nghiệm gần đúng (hòanh độ giao điểm của đồ thị với trục hòanh) - Trường hợp y=f(x) khó vẽ đồ thị, có thể biến đổi y=f(x) về hàm tương đương h(x)=g(x). Vẽ đồ thị y=h(x) và y=g(x)  Ước lượng các hòanh độ giao điểm -> xác định khỏang phân ly nghiệm. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) Ví dụ 1.3: Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phương trình 5x 3 - 19x + 3 = 0 Xét f(x) = 5x 3 - 19x + 3  Tính f’(x) = 15x 2 – 19; f’(x) = 0   Bảng biến thiên 15 19 ; 15 19 21  xx Vậy có thể lấy (-3;-2); (0;1); (1,5;2) là các khỏang phân ly nghiệm của phương trình 5x3 - 19x + 3 = 0. 15 19  15 19 f(x) 0 + 0 - + f’(X) + - X 17,26  -11,26 -  Nếu f(x 0 )=0  x 0 là nghiệm đúng.  Dừng.  Nếu f(x 0 )  0 và sai số x 0   thì x 0 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số x 0  Dừng. 2.Phương pháp chia đôi (Bisection) Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình trong (a,b), sai số  . 2 0 ba x   Chọn x 0 là điểm giữa [a,b] làm nghiệm gần đúng. y x 0 a b f(x) x 2.1. Nội dung của phương pháp: 