NGHIỆM THỰC gần ĐÚNG của PHƯƠNG TRÌNH một BIẾN
Chương II TÌM NGHIỆM THỰC GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT BIẾN 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm 1.1 Nghiệm của phương trình: Nếu f( ) = 0 thì là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0 Ý nghĩa hình học của nghiệm: - Các nghiệm của phương trình f(x) = 0 là hoành độ giao điểm của đường cong (C): y = f(x) với trục hòanh. M )0,( 1 y=f(x) )0,( 2 x y 1 , 2 là nghiệm của phương trình f(x)=0 Hình 2.1 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) Có thể biến đổi phương trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x). Khi đó nghiệm của f(x)=0 là các hoành độ giao điểm của 2 đường cong (C 1 ): y=g(x) và ( C2 ): y=h(x) Hình 2.2 y (C 1 ): y=g(x) M 1 2 (C 2 ): y=H(x) N 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) Định lý: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a) trái dấu với f(b), tức là: f(a).f(b)<0 Thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thực trong [a,b] y y=g(x) a b N f(b) f(a) x 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) 1.2) Khoảng phân ly nghiệm: (a,b) gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0 nếu trên (a,b) phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm thực. Ví dụ 1.1: Trên (-2, -1) phương trình x 3 -3x+1=0 chỉ có duy 1 nghiệm (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm. Định lý: Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không đổi dấu trên (a,b), và f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất một nghiệm trên (a,b). Suy ra, (a,b) là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) y a b y=f(x) x y a b y=f(x) x b y a y=f(x) x y a y=f(x) f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0 f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0 f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0 f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) Ví dụ 1.2: Xét hàm f(x) = x 3 -3x+1. Ta có: f’(x) = 3x 2 – 3=0 x = -1 hoặc x = 1 Bảng xét dấu f’(x) f’(x)>0, x (-2,-1) hơn nữa f(-2). f(-1)=(-1).(3)=-3<0 Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm Tương tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly nghiệm - -1 1 x f’(x) 0 0 + - + 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) 1.3) Tìm khỏang phân ly nghiệm của phương trình: - Nếu f’(x) liên tục, xét dấu của f(x) tại 2 mút của miền xác định và tại những điểm mà f’(x) = 0 Ước lượng khỏang phân ly nghiệm. - Hoặc vẽ đồ thị của hàm y=f(x) trên giấy kẻ ô vuông Ước lượng nghiệm gần đúng (hòanh độ giao điểm của đồ thị với trục hòanh) - Trường hợp y=f(x) khó vẽ đồ thị, có thể biến đổi y=f(x) về hàm tương đương h(x)=g(x). Vẽ đồ thị y=h(x) và y=g(x) Ước lượng các hòanh độ giao điểm -> xác định khỏang phân ly nghiệm. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) Ví dụ 1.3: Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phương trình 5x 3 - 19x + 3 = 0 Xét f(x) = 5x 3 - 19x + 3 Tính f’(x) = 15x 2 – 19; f’(x) = 0 Bảng biến thiên 15 19 ; 15 19 21 xx Vậy có thể lấy (-3;-2); (0;1); (1,5;2) là các khỏang phân ly nghiệm của phương trình 5x3 - 19x + 3 = 0. 15 19 15 19 f(x) 0 + 0 - + f’(X) + - X 17,26 -11,26 - Nếu f(x 0 )=0 x 0 là nghiệm đúng. Dừng. Nếu f(x 0 ) 0 và sai số x 0 thì x 0 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số x 0 Dừng. 2.Phương pháp chia đôi (Bisection) Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình trong (a,b), sai số . 2 0 ba x Chọn x 0 là điểm giữa [a,b] làm nghiệm gần đúng. y x 0 a b f(x) x 2.1. Nội dung của phương pháp: