phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của phương trình laplace với điều kiện biên kì dị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 1 Các kiến thức cơ bản 4 1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian C k (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm . . . . . . . . . . 8 1.2 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai 10 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . . . 10 1.2.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . 13 1.3 Phương pháp biến phân xây dựng gần đúng nghiệm yếu . . 16 2 Phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (BAMs) đối với bài toán biên có biên kì dị 20 2.1 Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Các phương pháp xấp xỉ biên (BAMs) . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Cơ sở phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Các phương pháp BAMs . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Ứng dụng của phương pháp BAMs cho bài toán Motz . . . 24 2.3.1 Các phương pháp BAMs . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.4.1 Penalty BAMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2 Hybrid BAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.3 Penalty/Hybrid BAM . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Phương pháp chia miền giải bài toán biên hỗn hợp mạnh 37 3.1 Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Ứng dụng của phương pháp chia miền đối với bài toán Motz 44 3.4 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát 47 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Các ký hiệu L Toán tử elliptic. R n Không gian Euclide n chiều. Ω Miền giới nội trong không gian R n . ∂Ω Biên trơn Lipschitz. C k (Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục. L 2 (Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích. W 1,p (Ω) Không gian Sobolev với chỉ số p. H 1/2 (∂Ω) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2. H 1 0 (Ω) Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω. H −1 (∂Ω) Không gian đối ngẫu với H 1 0 (Ω). H −1/2 (∂Ω) Không gian đối ngẫu với H 1/2 (∂Ω).  .  V Chuẩn xác định trên không gian V . (.) V Tích vô hướng xác định trên không gian V . C γ (Ω) Hằng số vết. C Ω Hằng số Poincare. E Ma trận đơn vị. 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Khi mô hình bài toán mô tả các quá trình trong các môi trường liên tục thường dẫn đến các bài toán biên với các loại điều kiện biên khác nhau. Trong trường hợp khi trên một biên chỉ gồm một loại điều kiện biên, ta sẽ gặp bài toán biên hỗn hợp yếu. Đối với bài toán này đã có nhiều công trình nghiên cứu về các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn của các tác giả trên thế giới công bố nhiều năm qua. Tuy nhiên trong trường hợp khi trên một đoạn biên gồm hai loại điều kiện biên được phân cách tại một điểm nào đó trên biên, ta sẽ gặp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay còn gọi là bài toán biên với điều kiện biên kì dị. Do tính chất thay đổi của điều kiện biên sẽ sinh ra điểm kì dị tại điểm phân chia. Đối với bài toán này, các phương pháp thông thường này sẽ gặp khó khăn. Năm 2006, các tác giả Z. C. Li, Y. L. Chan, G. C. Georgiov, C. Xenophontos khi nghiên cứu về bài toán Motz đã đưa ra các phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt thường được gọi là các phương pháp BAMs [1]. Ngoài phương pháp trên việc tìm nghiệm xấp xỉ đối với bài toán với biên kì dị có thể sử dụng các sơ đồ lặp trên cơ sở của phương pháp chia miền [2, 3, 4]. Nội dung chính của luận văn là trình bày cơ sở của phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của bài toán biên với điều kiện biên kì dị bằng các phương pháp BAMs, đánh giá sai số của các phương pháp tương ứng cùng các kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz, đồng thời đưa ra phương pháp xấp xỉ theo tư tưởng chia miền xác định nghiệm của bài toán Motz tương ứng cũng như trường hợp tổng quát, tiến hành thực nghiệm tính toán, so sánh độ chính xác giữa hai phương pháp xấp xỉ biên 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 theo BAMs và phương pháp chia miền đối với bài toán Motz. Luận văn gồm 3 chương với những nội dung cơ bản như sau: Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức quan trọng về các không gian hàm và đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, khái niệm về nghiệm yếu, định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, phương pháp biến phân xác định nghiệm yếu thông qua bài toán cực trị phiếm hàm. Đây là các kiến thức quan trọng để trình bày các nội dung trong chương 2 của luận văn. Chương 2: Luận văn trình bày cơ sở toán học của các phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (các phương pháp BAMs) bao gồm mối quan hệ giữa bài toán Galerkin và bài toán cực trị phiếm hàm, ứng dụng của các phương pháp BAMs đối với các bài toán Motz đồng thời đưa ra các kết quả đánh giá sai số của phương pháp, các kết quả thực nghiệm trong các trường hợp cụ thể. Các kết quả này đã được đưa ra trong tài liệu [1]. Chương 3: Luận văn trình bày phương pháp chia miền giải bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, sự hội tụ của phương pháp. Xuất phát từ sơ đồ lặp chia miền tổng quát, luận văn đưa ra kết quả áp dụng thuật toán chia miền giải bài toán Motz, tiến hành tính toán thử nghiệm trên máy tính điện tử để xác định tốc độ hội tụ và độ chính xác của sơ đồ lặp, so sánh kết quả với các phương pháp BAMs do các giả đã đưa ra trong tài liệu [1]. Mở rộng việc áp dụng thuật toán trong trường hợp tổng quát từ đó đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của phương pháp chia miền trong việc xác định nghiệm xấp xỉ đối với các bài toán biên với điều kiện biên kì dị. Các kết quả được tính toán số trong luận văn được lập trình trên môi trường Matlab version 7.0 chạy trên máy tính PC. Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS. Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 Các kiến thức cơ bản 1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 1.1.1 Không gian C k (Ω) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R n và Ω là bao đóng của Ω. Ký hiệu C k (Ω), (k = 1, 2, ) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω. Ta đưa vào C k (Ω) chuẩn  u  C k (Ω) =  α=k max | D α u(x) |, (1.1) trong đó α = (α 1 , α 2 , , α n ) là vecto với các tọa độ nguyên không âm, | α |= α 1 + α 2 + + α n , D α u = ∂ α 1 +α 2 + +α n u ∂x α 1 1 ∂x α n n . Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k, kể cả k. Tập C k (Ω) với chuẩn (1.1) là một không gian Banach. 1.1.2 Không gian L p (Ω) Giả sử Ω là một miền trong R n và p là một số thực dương. Ta ký hiệu L p (Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trong Ω sao cho  Ω | f(x) | p dx < ∞. (1.2) Trong L p (Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như vậy các phần tử của L p (Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thoả 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 mãn (1.2) và hai hàm là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên Ω. Vì | f(x) + g(x) | p ≤ (| f(x) | + | g(x) |) p ≤ 2 p (| f(x) | p + | g(x) | p ) nên rõ ràng L p (Ω) là một không gian vectơ. Ta đưa vào L p (Ω) phiếm hàm  .  p được xác định bởi  u  p =   Ω | f(x) | p dx  1 p . Định lí 1.1. (Bất đẳng thức H¨oder) Nếu 1 < p < ∞ và u ∈ L p (Ω), v ∈ L p (Ω) thì uv ∈ L p (Ω) và  Ω | u(x)v(x) | dx ≤ u(x)  p .  v(x)  p  , trong đó p  = p p −1 , tức là 1 p + 1 p  = 1, p  được gọi là số mũ liên hợp đối với p. Định lí 1.2. ( Bất đẳng thức Minkowski) Nếu 1 < p < ∞ thì  f + g  p ≤ f  p +  g  p . Định lí 1.3. Không gian L p (Ω) với 1 ≤ p < ∞ là một không gian Banach. 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.1. Cho Ω là miền trong R n . Hàm u(x) được gọi là khả tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm cho trong Ω và với mỗi x 0 ∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x 0 để u(x) khả tích trong Ω. Định nghĩa 1.2. Cho Ω là miền trong R n . Giả sử u(x), v(x) là hai hàm khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức  Ω u ∂ k ϕ ∂x k 1 1 ∂x k n n dx = (−1) k  Ω vϕ dx 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Khái niệm nghiệm yếu của phương trình Xét phương trình − u=f (1.4) Giả sử u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C(Ω) và phương trình (1.4) thoả mãn trong miền Ω Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4) ∞ Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc D(Ω) = C0 (Ω) nhân với hai vế của (1.4) với ϕ rồi lấy tích phân trong miền Ω ta được − uϕ dx = Ω f ϕ dx (1.5) Ω Áp dụng công thưc Green vào (1.5) và kết hợp với điều kiện ϕ|∂Ω=0... nếu u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4) hệ thức (1.6) thỏa mãn Nhưng nếu f ∈ C(Ω) thì phương trình (1.4) không có nghiệm / cổ điển Vậy, ta cần mở rộng khái niệm nghiệm khi f ∈ L2 (Ω) Định nghĩa 1.8 Giả sử u ∈ H 1 (Ω), f ∈ L2 (Ω), u được gọi là nghiệm yếu của phương trình (1.4) nếu (1.6) được thoả mãn Mệnh đề 1.1 Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.4) và u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm. .. biên (BAMs) Cơ sở phương pháp Đặc điểm cơ bản của phương pháp xấp xỉ biên là nghiệm của bài toán (2.1) được tìm trong không gian con hữu hạn chiều VN = Span{Φi }N , i=1 trong đó {Φi }N là tập các hàm cơ sở độc lập tuyến tính thoả mãn phương i=1 trình ∆Φi = 0, trong Ω, (i = 1, , N ) Khi đó nghiệm xấp xỉ uN ∈ VN có dạng N aN Φi , i uN = i=0 với aN , i = 1, , N , là các hệ số cần xác định i Vì các hàm... hướng trong V được xác định bởi u, v = B(u, v) V thì nghiệm của bài toán (1.15) được cho bởi chuỗi Fourier ∞ u(x) = αi ei (x) i=1 trong đó {ek }∞ là hệ trực chuẩn theo nghĩa tích vô hướng trong V 1 24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Chương 2 Phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (BAMs) đối với bài toán biên có biên kì dị 2.1 Cơ sở của phương pháp Xét bài toán... (∂Ω) Kết hợp các điều trên ta suy ra u 1.3 1 H0 (Ω) ≤ C1 f L2 (Ω) +C2 ϕ H 1/2 (∂Ω) Phương pháp biến phân xây dựng gần đúng nghiệm yếu Nghiệm yếu được xác định bởi bài toán sau: Tìm u ∈ V sao cho B(u, v) = F (v), ∀v ∈ V (1.15) trong đó V là không gian Hilbert đầy đủ, B là dạng song tuyến tính đối xứng, xác định dương và liên tục, F là dạng tuyến tính liên tục Định lí 1.10 u là nghiệm của bài toán (1.15)... Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.4), tức là u ∈ H 1 (Ω) và ta có (1.6) với mọi hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C 2 (Ω) ta suy ra ( u + f )ϕ dx = 0, ∀u ∈ D(Ω) Ω Vì D(Ω) trù mật trong L2 (Ω), u + f trực giao với mọi ϕ ∈ D(Ω) nên u + f = 0 trong L2 (Ω) Nhưng vì u liên tục nên u + f ≡ 0 trong C(Ω) Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4) 1.2.2 Phát biểu các bài toán biên • Bài toán... nghiệm yếu của bài toán (1.7) nếu 1 u − w ∈ H0 (Ω), 16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 trong đó w là hàm thuộc H 1 (Ω), có vết bằng ϕ và 1 ∀v ∈ H0 (Ω) f v dx, u v dx = (1.8) Ω Ω Nhận xét 1.2 - Nghiệm yếu của bài toán (1.7) là nghiệm yếu của phương trình − u = f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm u ∈ H 1 (Ω) ∞ 1 thoả mãn (1.8) với. .. rạc thu được bằng cách thay thế u bằng uN ∈ VN ⊂ H 1 (Ω) ở trên đúng với ∀v ∈ VN 28Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 2.3 Ứng dụng của phương pháp BAMs cho bài toán Motz Bài toán Motz là một bài toán Laplace chuẩn, nó thường được sử dụng để kiểm tra các phương pháp số với các điều kiện biên kì dị Bài toán Motz được phát biểu như sau  u = 0 trong Ω = {(x,... các bài toán biên hỗn hợp   − u = f, x ∈ Ω,  u = ϕ, x ∈ Γ1 ,  ∂u  = h, x ∈ Γ2 ∂ν Trong trường hợp này, ta đưa vào không gian V = {v ∈ H 1 (Ω), v|Γ1 = 0} Giả sử w ∈ H 1 (Ω) : w|Γ1 = ϕ Khi đó, nghiệm yếu của phương trình − u = f với các điều kiện biên trên là hàm u ∈ H 1 (Ω) sao cho u−w ∈ V và u v dx = vf dx + vh dS, ∀v ∈ V Ω 1.2.3 Ω Γ2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu Định lí 1.9 (Định lý Lax-Milgram)... 22 1 với (v, µ) ∈ H 1 (Ω) × H − 2 (Γ1 ) là các hàm thử tuỳ ý Khi đó bài toán Galerkin có dạng u Ω quv dl − v ds + Γ2 q2 v dl − (λv + µu) dl = Γ1 Γ2 g1 µ dl Γ1 (2.5) với nghiệm (u, v) của phương trình (2.5) là cực trị của bài toán cực tiểu hoá hàm 1 I(u, λ) = [B(v, v) + G(v, v; λ, λ)] − F (v) 2 1 1 = ( v)2 ds + qv 2 dl − g2 v dl − 2 Ω 2 Γ2 Γ2 (v − g1 ) dl Γ1 (2.6) 2.2 2.2.1 Các phương pháp xấp xỉ biên . sở của phương pháp chia miền [2, 3, 4]. Nội dung chính của luận văn là trình bày cơ sở của phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của bài toán biên với điều kiện biên kì dị bằng các phương. THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN. THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM THỊ ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số