Các toán tử tuyến tính không gian bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng

Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn Phòng sau Đại học; Các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 13 chuyên ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này. Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi những hạn chế và còn có thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Tác giả Nguyễn Sơn Tùng Lời cam đoan Tác giả xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùng với bất cứ Luận văn nào khác. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Tác giả Nguyễn Sơn Tùng Mục lục Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Một số vấn đề cơ bản về toán tử tuyến tính bị chặn. . . . . . . 10 1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2. Lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert, toán tử tuyến tính đối xứng và toán tử tuyến tính tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4. Toán tử tuyến tính đóng và bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1. Tính chất phổ của toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Biểu diễn phổ của toán tử unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3. Biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp . . . . . . . . . 39 2.4. Toán tử nhân và toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Chương 3. Toán tử không bị chặn trong cơ học lượng tử 53 3.1. Ý tưởng cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1 3.2. Toán tử moment và nguyên lý bất định Heisenberg . . . . . . . 57 3.3. Phương trình Schr¨oudinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4. Toán tử Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2 BẢNG KÝ HIỆU A C phần bù của tập hợp A B(X, Y ) không gian các toán tử tuyến tính bị chặn B(x; r) hình cầu mở B(x; r) hình cầu đóng C mặt phẳng phức hoặc trường số phức C n không gian đơn vị n chiều C[a, b] không gian các hàm liên tục C(X, Y ) không gian các toán tử tuyến tính compact D(T ) miền xác định của toán tử T dim X chiều của không gian X C = (E λ ) họ phổ f chuẩn của phiếm hàm tuyến tính bị chặn f G(T ) đồ thị của toán tử T I toán tử đơn vị inf infimum (cận dưới lớn nhất) L p [a, b] không gian hàm l p không gian dãy L(X, Y ) không gian toán tử tuyến tính N(T ) không gian không của toán tử T 0 toán tử không Ø tập hợp rỗng R đường thẳng thực hoặc trường số thực R n không gian Euclid n chiều R(T ) miền giá trị của toán tử T R λ (T ) giải thức của toán tử T r σ (T ) bán kính phổ của toán tử T ρ(T ) tập hợp giải của toán tử T σ(T ) phổ của toán tử T σ c (T ) phổ liên tục của toán tử T σ p (T ) phổ điểm của T σ r (T ) phổ thặng dư sup supremum (cận trên nhỏ nhất) T  chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn T T ∗ toán tử liên hợp trong không gian Hilbert Var(w) biến phân toàn phần của w X ∗ không gian đại số đối ngẫu của không gian vectơ X X  không gian đối ngẫu của không gian định chuẩn X X chuẩn của X x, y tích trong của x và y x ⊥ y x trực giao với y Y ⊥ phần bù trực giao của không gian con đóng Y . 4 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Giải tích hàm là một môn học rất lý thú của Toán học, có nhiều ứng dụng trong vật lý và nhiều lĩnh vực khác của Toán học (xem [5], [6], [7], [8], [9]). Toán tử tuyến tính không bị chặn xuất hiện trong nhiều ứng dụng, đáng chú ý là sự liên quan đến phương trình vi phân và cơ học lượng tử. Lý thuyết của chúng phức tạp hơn so với toán tử bị chặn. Thực tế, lý thuyết của toán tử tuyến tính không bị chặn được khơi nguồn vào cuối những năm 1920 nhờ sự nỗ lực đặt cơ học lượng tử trên một nền tảng toán học chính xác. Sự phát triển có hệ thống của lý thuyết này là do J. Neumann (1929-30, 1936) và M. H. Stone (1932). Ứng dụng của lý thuyết này vào phương trình vi phân cho ta một cách tiếp cận thống nhất với các vấn đề đa dạng và cũng đòi hỏi sự đơn giản hóa đáng kể. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về vấn đề này và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài “ Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng”. 5 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về Giải tích hàm, từ đó hình thành tư duy logic đặc thù của bộ môn. Khắc sâu các kiến thức về các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng, toán tử tuyến tính đối xứng và toán tử tự liên hợp, toán tử tuyến tính đóng và bao đóng, các tính chất phổ của các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert và ứng dụng của chúng trong cơ học lượng tử. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá. 6 6. Dự kiến đóng góp mới Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết về các vấn đề liên quan đến các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng. 7 Chương 1 Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert Phần đầu của chương này chúng ta sẽ trình bày một số vấn đề về toán tử tuyến tính bị chặn liên quan trực tiếp đến phần sau của luận văn. Tiếp theo chúng ta trình bày về toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng; toán tử liên hợp trong không gian Hilbert, toán tử tuyến tính đối xứng và toán tử tuyến tính tự liên hợp; toán tử tuyến tính đóng và bao đóng. Trước hết, chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản cần thiết sau: Định nghĩa 1.1. (xem [3]) Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K (K có thể là R hoặc C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập K, kí hiệu là · và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ); 2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ K) αx = |α|x; 3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y. Số x gọi là chuẩn của vector x. Ta ký hiệu không gian định chuẩn là (X, ·). Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta có thể ký hiệu là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Phần tử của K gọi là vô 8 [...]... không bị chặn trong không gian Hilbert Trong chương này chúng ta trình về phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert. Trước tiên, chúng ta trình bày các tính chất phổ của toán tử tự liên hợp Tiếp theo, chúng ta trình bày về biểu diễn phổ của toán tử unita và biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp Phần cuối cùng, chúng ta trình bày về hai toán tử tuyến tính không bị chặn. .. −0 ) nếu và chỉ nếu λ0 là một giá trị riêng của T Trong trường hợp này không gian riêng tương ứng là N (T − λ0 I) = (Eλ0 − Eλ0 −0 ) (H) 1.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng Định nghĩa 1.15 (xem [4]) Một toán tử A xác định trong không gian Hilbert H gọi là không bị chặn nếu nó không phải là bị chặn 18 Ví dụ 1.3 Toán tử vi phân và toán tử nhân xác... tuyến tính bị chặn, trong đó H1 , H2 là không gian Hilbert Khi đó toán tử tự liên hợp T ∗ của T trong không gian Hilbert là toán tử T ∗ : H2 −→ H1 sao cho với mọi x ∈ H1 và y ∈ H2 , T x, y = x, T ∗ y Định lý 1.3 (Các tính chất của toán tử liên hợp trong không gian Hilbert, [8], p 198) Cho H1 , H2 là các không gian Hilbert, S : H1 −→ H2 và T : H1 −→ H2 là các toán tử tuyến tính bị chặn và một vô hướng... gian Hilbert phức và D(T ) trù mật trong H Khi đó nếu T đối xứng, thì bao đóng của nó T tồn tại và là duy nhất Định lý 1.21 ([8], p 539) Với toán tử tuyến tính đối xứng T như trong định lý 1.20 ta có T ∗ = T ∗ 23 Trong chương đầu của luận văn, chúng ta đã trình bày được một số khái niệm và tính chất của các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert 24 Chương 2 Phổ của toán tử tuyến tính. .. D(T ) Với mỗi y ∈ D (T ∗ ) như vậy toán tử liên hợp T ∗ trong không gian Hilbert khi đó được xác định bởi các số hạng của nó là y ∗ = T ∗ y 1.3 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert, toán tử tuyến tính đối xứng và toán tử tuyến tính tự liên hợp Định lý 1.17 ([8], p 531) Cho S : D(S) −→ H và T : D(T ) −→ H là các toán tử tuyến tính xác định trù mật trong không gian Hilbert phức Khi đó (a) Nếu S ⊂ T... −→ H là toán tử tuyến tính xác định trù mật trong không gian phức H Khi đó T được gọi là toán tử tuyến tính tự liên hợp nếu T = T ∗ Nhận xét 1.1 Mọi toán tử tuyến tính tự liên hợp đều đối xứng 1.4 Toán tử tuyến tính đóng và bao đóng Định nghĩa 1.19 (xem [8], p 535) Cho T : D(T ) −→ H là toán tử tuyến tính, trong đó D(T ) ⊂ H và H là không gian Hilbert phức Khi đó T được gọi là toán tử tuyến tính đóng... trên LR không bị chặn Cho A là một toán tử compact trong không gian Hilbert H vô hạn chiều Nếu A là khả nghịch, thì A−1 không bị chặn Thật vậy, cho vn ∈ H là một dãy trực giao và đặt Zn = Avn thì Zn −→ 0 nhưng A−1 Zn 0 Một toán tử tuyến tính không bị chặn có nhiều tính chất khác toán tử tuyến tính bị chặn Một kết quả nổi tiếng (định lý 1.16) dưới đây đã gợi ý rằng miền xác định của toán tử và bài toán. .. một toán tử tuyến tính (c) Nếu dim D(T ) = n < ∞ và T −1 tồn tại thì dim R(T ) = dim D(T ) Định nghĩa 1.8 (Toán tử tuyến tính bị chặn, [8], p 91) Cho X và Y là hai không gian định chuẩn và T : D(T ) −→ Y là một toán tử tuyến 11 tính, ở đó D(T ) ⊂ X Toán tử T được gọi là bị chặn nếu tồn tại một số thực c sao cho với mọi x ∈ D(T ), Tx ≤ c x Định nghĩa 1.9 (xem [3]) Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn. .. hợp giải ρ(T ) của T khác rỗng Định lý 1.9 (Phổ, [8], p 463) Phổ σ(T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H −→ H trên không gian Hilbert phức H là thực Định lý 1.10 (Chuẩn, [8], p 463) Với toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn bất kỳ T trên không gian Hilbert phức H ta có T = max (|m| , |M |) = sup | T x, x | Định lý 1.11 (Định lý phổ cho toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn, [8], p 505)... từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Chuẩn của toán tử A, kí kiệu là A , được xác định bởi A = inf C > 0 Ax ≤ C x , ∀x ∈ X Ví dụ 1.2 Toán tử đồng nhất I : X −→ X trên không gian định chuẩn X = {0} là bị chặn và có chuẩn I = 1 Toán tử không 0 : X −→ Y trên không gian định chuẩn X = {0} là bị chặn và có chuẩn 0 = 0 Định nghĩa 1.10 (xem [8], p 196) Cho T : H1 −→ H2 là toán tử tuyến tính . bày về toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng; toán tử liên hợp trong không gian Hilbert, toán tử tuyến tính đối xứng và toán tử tuyến tính tự. và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng, toán tử tuyến tính đối xứng và toán tử tự liên hợp, toán tử tuyến tính đóng và bao đóng, các tính chất phổ của các toán tử tuyến tính không. không bị chặn trong không gian Hilbert và ứng dụng của chúng trong cơ học lượng tử. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng. 5.