Các toán tử tuyến tính không gian bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng

Cn không gian đơn vị n chiềuC[a, b] không gian các hàm liên tục CX, Y không gian các toán tử tuyến tính compactDT miền xác định của toán tử T dim X chiều của không gian X C = Eλ họ phổ

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn Phòng sau Đại học; Các thầy giáo, cô giáotrong Khoa Toán cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 13 chuyênngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viêngiúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện

đề tài nghiên cứu khoa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâusắc tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm đã định hướng chọn đề tài và tậntình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏinhững hạn chế và còn có thiếu sót nhất định Em xin chân thành cảm

ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo vàcác bạn học viên

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Nguyễn Sơn Tùng

Lời cam đoan

Tác giả xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS TS.Nguyễn Năng Tâm, Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với

đề tài "Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gianHilbert và phổ của chúng" được hoàn thành bởi chính sự nhận thứccủa bản thân tác giả, không trùng với bất cứ Luận văn nào khác

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Nguyễn Sơn Tùng

Mục lục

Bảng ký hiệu 3

Lời nói đầu 5

Chương 1 Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert 8

1.1 Một số vấn đề cơ bản về toán tử tuyến tính bị chặn 10

1.1.1 Một số khái niệm 10

1.1.2 Lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính bị chặn 14

1.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng 18

1.3 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert, toán tử tuyến tính đối xứng và toán tử tuyến tính tự liên hợp 21

1.4 Toán tử tuyến tính đóng và bao đóng 22

Chương 2 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert 25

2.1 Tính chất phổ của toán tử tự liên hợp 25

2.2 Biểu diễn phổ của toán tử unita 30

2.3 Biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp 39

2.4 Toán tử nhân và toán tử vi phân 45

Chương 3 Toán tử không bị chặn trong cơ học lượng tử 53 3.1 Ý tưởng cơ bản 53

3.2 Toán tử moment và nguyên lý bất định Heisenberg 57

3.3 Phương trình Schr¨oudinger 63

3.4 Toán tử Hamilton 65

Kết luận 72

Tài liệu tham khảo 73

Cn không gian đơn vị n chiều

C[a, b] không gian các hàm liên tục

C(X, Y ) không gian các toán tử tuyến tính compactD(T ) miền xác định của toán tử T

dim X chiều của không gian X

C = (Eλ) họ phổ

kf k chuẩn của phiếm hàm tuyến tính bị chặn fG(T ) đồ thị của toán tử T

inf infimum (cận dưới lớn nhất)

Lp[a, b] không gian hàm

L(X, Y ) không gian toán tử tuyến tính

N(T ) không gian không của toán tử T

R đường thẳng thực hoặc trường số thực

Rn không gian Euclid n chiều

R(T ) miền giá trị của toán tử T

Rλ(T ) giải thức của toán tử T

sup supremum (cận trên nhỏ nhất)

kT k chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn T

T∗ toán tử liên hợp trong không gian Hilbert

Var(w) biến phân toàn phần của w

X∗ không gian đại số đối ngẫu của không gian vectơ X

X0 không gian đối ngẫu của không gian định chuẩn XkXk chuẩn của X

hx, yi tích trong của x và y

x ⊥ y x trực giao với y

Y⊥ phần bù trực giao của không gian con đóng Y

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một môn học rất lý thú của Toán học, có nhiều ứngdụng trong vật lý và nhiều lĩnh vực khác của Toán học (xem [5], [6], [7], [8], [9]).Toán tử tuyến tính không bị chặn xuất hiện trong nhiều ứng dụng,đáng chú ý là sự liên quan đến phương trình vi phân và cơ học lượng tử

Lý thuyết của chúng phức tạp hơn so với toán tử bị chặn Thực tế, lýthuyết của toán tử tuyến tính không bị chặn được khơi nguồn vào cuốinhững năm 1920 nhờ sự nỗ lực đặt cơ học lượng tử trên một nền tảngtoán học chính xác Sự phát triển có hệ thống của lý thuyết này là do

J Neumann (1929-30, 1936) và M H Stone (1932)

Ứng dụng của lý thuyết này vào phương trình vi phân cho ta mộtcách tiếp cận thống nhất với các vấn đề đa dạng và cũng đòi hỏi sự đơngiản hóa đáng kể

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về vấn đềnày và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đã chọn

đề tài “ Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gianHilbert và phổ của chúng”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìmhiểu sâu hơn về Giải tích hàm, từ đó hình thành tư duy logic đặc thùcủa bộ môn Khắc sâu các kiến thức về các toán tử tuyến tính không bịchặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợptrong không gian Hilbert của chúng, toán tử tuyến tính đối xứng và toán

tử tự liên hợp, toán tử tuyến tính đóng và bao đóng, các tính chất phổcủa các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert vàứng dụng của chúng trong cơ học lượng tử

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert vàphổ của chúng

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá

6 Dự kiến đóng góp mới

Trình bày một cách có hệ thống và chứng minh chi tiết về các vấn

đề liên quan đến các toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gianHilbert và phổ của chúng

Chương 1

Các toán tử tuyến tính không bị

chặn trong không gian Hilbert

Phần đầu của chương này chúng ta sẽ trình bày một số vấn đề vềtoán tử tuyến tính bị chặn liên quan trực tiếp đến phần sau của luậnvăn Tiếp theo chúng ta trình bày về toán tử tuyến tính không bị chặn

và toán tử liên hợp trong không gian Hilbert của chúng; toán tử liên hợptrong không gian Hilbert, toán tử tuyến tính đối xứng và toán tử tuyếntính tự liên hợp; toán tử tuyến tính đóng và bao đóng

Trước hết, chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản cần thiết sau:Định nghĩa 1.1 (xem [3]) Không gian định chuẩn (hay không giantuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K (K cóthể là R hoặc C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập K, kí hiệu là k·k vàđọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ);2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ K) kαxk = |α| kxk;

3) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn của vector x Ta ký hiệu không gian định chuẩn

là (X, k·k) Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta có thể ký hiệu là X.Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn Phần tử của K gọi là vô

Định nghĩa 1.2 (xem [3]) Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn

X gọi là dãy cơ bản, nếu

lim

Định nghĩa 1.3 (xem [3]) Không gian định chuẩn X gọi là không gianBanach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Định nghĩa 1.4 (xem [3]) Cho không gian tuyến tính X trên trường

K (K có thể là R hoặc C) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian Xmọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào K, ký hiệu h·, ·i, thoả mãn cáctiên đề:

là hệ tiên đề tích vô hướng, ký hiệu z là phần tử liên hợp của z

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz, [3]) Đối với mỗi x ∈ X ta đặtkxk = phx, xi

Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz

|hx, yi| ≤ kxk kyk

Định nghĩa 1.5 (xem [3]) Không gian tuyến tính trên trường K cùngvới một tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.

Nếu K = R thì H gọi là không gian tiền Hilbert thực

Nếu K = C thì H gọi là không gian tiền Hilbert phức

Định nghĩa 1.6 (xem [3]) Tập H 6= ∅ là không gian Hilbert nếu tập

H thỏa mãn:

1) H là không gian tiền Hilbert;

2) H là không gian Banach với chuẩn kxk = phx, xi, x ∈ H

1.1 Một số vấn đề cơ bản về toán tử tuyến tính bị

Toán tử vi phân T : X −→ X, trong đó X là không gian vectơ gồmtất cả các đa thức trên [a, b], xác định bởi

T x(t) = x0(t)

Toán tử tích phân T : C [a, b] −→ C [a, b] xác định bởi

T x(t) =

Z t ax(τ )dτ, t ∈ [a, b] Toán tử nhân T : C [a, b] −→ C [a, b] xác định bởi

T x(t) = tx(t)

Chú ý rằng chúng ta viết T x thay cho T (x), và từ đây chúng ta sẽ sửdụng các ký hiệu sau:

D(T ) là miền xác định của T

R(T ) là miền giá trị của T

N(T ) là không gian không của T

Định lý 1.2 (Toán tử ngược, [8], p 88) Cho X, Y cùng là không gianvectơ thực hoặc phức Cho T : D(T ) −→ Y là toán tử tuyến tính vớimiền xác định D(T ) ⊂ X và miền giá trị R(T ) ⊂ Y Khi đó:

(a) Toán tử ngược T−1 : R(T ) −→ D(T ) tồn tại nếu và chỉ nếu

T x = 0 =⇒ x = 0

(b) Nếu T−1 tồn tại thì nó là một toán tử tuyến tính

(c) Nếu dim D(T ) = n < ∞ và T−1 tồn tại thì dim R(T ) = dim D(T )

Định nghĩa 1.8 (Toán tử tuyến tính bị chặn, [8], p 91) Cho X và Y

là hai không gian định chuẩn và T : D(T ) −→ Y là một toán tử tuyến

tính, ở đó D(T ) ⊂ X Toán tử T được gọi là bị chặn nếu tồn tại một sốthực c sao cho với mọi x ∈ D(T ),

kT xk ≤ c kxk Định nghĩa 1.9 (xem [3]) Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ khônggian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Chuẩn của toán tử A,

kí kiệu là kAk, được xác định bởi

Định nghĩa 1.10 (xem [8], p 196) Cho T : H1 −→ H2 là toán tử tuyến

tính bị chặn, trong đó H1, H2 là không gian Hilbert Khi đó toán tử tựliên hợp T∗ của T trong không gian Hilbert là toán tử

Định nghĩa 1.11 (xem [8], p 201) Một toán tử tuyến tính bị chặn

T : H −→ H trên không gian Hilbert H được gọi là

tự liên hợp hay toán tử Hermite nếu T∗ = T ,

unita nếu T là song ánh và T∗ = T−1,

chuẩn tắc nếu T T∗ = T∗T

Định lý 1.4 (Tính tự liên hợp, [8], p 203) Cho T : H −→ H là mộttoán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H Khi đó

(a) Nếu T là tự liên hợp, thì hT x, xi là thực với mọi x ∈ H

(b) Nếu H là không gian phức và hT x, xi là thực với mọi x ∈ H, thìtoán tử T là tự liên hợp

Định lý 1.5 (Toán tử unita, [8], p 205) Cho toán tử U : H −→ H và

V : H −→ H là toán tử unita; ở đây H là không gian Hilbert Khi đó:(a) U là đẳng cự; do đó kU xk = kxk với mọi x ∈ H,

(b) kU k = 1, với H 6= {0},

(c) U−1(= U∗) là toán tử unita,

(d) U V là toán tử unita,

(e) U là chuẩn tắc,

(f) Một toán tử tuyến tính bị chặn T trên không gian Hilbert phức

H là toán tử unita nếu và chỉ nếu T là đẳng cự và toàn ánh

Định nghĩa 1.12 (xem [8], p 527) Toán tử tuyến tính T : D(T ) −→ Hđược gọi là xác định trù mật trong H nếu miền xác định D(T ) trù mậttrong H

1.1.2 Lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.13 (xem [4]) Cho X 6= {0} là không gian định chuẩnphức và T : D(T ) −→ X là toán tử tuyến tính với miền xác địnhD(T ) ⊂ X Giá trị chính quy λ của T là một số phức thỏa mãn

(R1) Rλ(T ) tồn tại,

(R2) Rλ(T ) bị chặn,

(R3) Rλ(T ) xác định trên một tập hợp trù mật trong X

Tập hợp giải ρ(T ) của T là tập hợp tất cả các giá trị chính quy λ của

T Phần bù của nó σ(T ) = C − ρ(T ) trong không gian phức C được gọi

là phổ của T và một λ ∈ σ(T ) gọi là giá trị phổ của T Hơn nữa, phổσ(T ) được chia thành ba tập hợp rời nhau như sau

Phổ điểm hay phổ rời rạc σp(T ) là tập hợp sao cho Rλ(T ) không tồn

tại một λ ∈ σp(T ) được gọi là giá trị riêng của T

Phổ liên tục σc(T ) là tập hợp sao cho Rλ(T ) tồn tại và thỏa mãn (R3)nhưng không thỏa mãn (R2), nghĩa là Rλ(T ) không bị chặn

Phổ thặng dư σr(T ) là tập hợp sao cho Rλ(T ) tồn tại (và có thể bịchặn hoặc không bị chặn) nhưng không thỏa mãn (R3), nghĩa là miềnxác định của Rλ(T ) không trù mật trong X

Bổ đề 1.1 (Miền xác định của Rλ, [8], p 373) Cho X là không gianBanach phức, T : X −→ X là toán tử tuyến tính, và λ ∈ ρ(T ) Giả sử(a) T đóng hoặc (b) T bị chặn Khi đó Rλ(T ) xác định trên toàn bộkhông gian X và bị chặn.

Định nghĩa 1.14 (xem [8], p 494) Họ phổ là một họ các tham số

C = (Eλ)λ∈R của các hình chiếu Eλ xác định trên không gian Hilbert H

phụ thuộc vào một tham số thực λ và thỏa mãn

* Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính bị chặn

Định lý 1.6 (Phổ đóng, [8], p 376) Tập hợp giải ρ(T ) của toán tửtuyến tính bị chặn T trên không gian Banach phức X là tập mở; do đóphổ σ(T ) là tập đóng

Định lý 1.7 (Giải thức, [8], p 377) Với X và T như trong định lý 1.6

và mọi λ0 ∈ ρ(T ) giải thức Rλ(T ) có biểu diễn

Rλ =

∞X

Định lý 1.8 (Phổ, [8], p 377) Phổ σ(T ) của toán tử tuyến tính bị chặn

T : X −→ X trên không gian Banach phức X là compact và chứa trongđĩa được cho bởi

|λ| ≤ kT k

Do đó tập hợp giải ρ(T ) của T khác rỗng

Định lý 1.9 (Phổ, [8], p 463) Phổ σ(T ) của toán tử tuyến tính tự liênhợp bị chặn T : H −→ H trên không gian Hilbert phức H là thực.Định lý 1.10 (Chuẩn, [8], p 463) Với toán tử tuyến tính tự liên hợp

bị chặn bất kỳ T trên không gian Hilbert phức H ta có

kT k = max (|m| , |M |) = sup |hT x, xi| Định lý 1.11 (Định lý phổ cho toán tử tuyến tính tự liên hợp bịchặn, [8], p 505) Cho T : H −→ H là toán tử tuyến tính tự liên hợp bịchặn trên không gian Hilbert phức Khi đó

(a) T có biểu diễn phổ

T =

Z M m−0λdEλ,

trong đó C = (Eλ) là họ phổ liên hợp với T ; tích phân được hiểu là toán

tử hội tụ đều [hội tụ trong chuẩn trên B(H, H)] và với mọi x, y ∈ H

hT x, yi =

Z M m−0λdw(λ), w(λ) = hEλx, yi ,

trong đó tích phân là tích phân Riemann-Stieltijes thông thường

(b) Tổng quát hơn, nếu p là đa thức của λ có các hệ số thực

p(λ) = αnλn + αn−1λn−1 + · · · + α0,

thì toán tử p(T ) được xác định bởi

p(T ) = αnTn + αn−1Tn−1 + · · · + α0I

có biểu diễn phổ

p(T ) =

Z M m−0p(λ)dEλ

và với mọi x, y ∈ H,

hp(T )x, yi =

Z M m−0p(λ)dw(λ), w(λ) = hEλx, yi

(Mở rộng tới các hàm liên tục sẽ xét trong định lý 1.13.)

Chú ý: m−0 được viết để chỉ ra rằng phải đưa vào xem xét tại λ = m,xảy ra nếu Em 6= 0 (và m 6= 0); do đó lấy bất kỳ a < m, ta có thể viết

Z M aλdEλ =

Z M m−0λdEλ = mEm +

Z M mλdEλ

Z M mp(λ)dEλ

Định lý 1.12 ([8], p 509) Cho T như định lý 1.11 và p, p1, p2 là các đathức có các hệ số thực Khi đó

(a) p(T ) là tự liên hợp

(b) Nếu p(λ) = αp1(λ) + βp2(λ), thì p(T ) = αp1(T ) + βp2(T )

(c) Nếu p(λ) = p1(λ)p2(λ), thì p(T ) = p1(T )p2(T )

(d) Nếu p(λ) ≥ 0 với mọi λ ∈ [m, M ], thì p(T ) ≥ 0

(e) Nếu p1(λ) ≥ p2(λ) với mọi λ ∈ [m, M ], thì p1(T ) ≥ p2(T )

(f) kp(T )k ≤ max

λ∈J |p(λ)|, trong đó J = [m, M ]

(g) Nếu một toán tử tuyến tính bị chặn giao hoán với T , thì cũnggiao hoán với p(T )

Định lý 1.13 (Định lý phổ, [8], p 514) Cho T : H −→ H là toán tửtuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức và f là hàmgiá trị thực liên tục trên [m, M ] Khi đó f (T ) có biểu diễn phổ

f (T ) =

Z M m−0

f (λ)dEλ,

trong đó C = (Eλ) là họ phổ liên hợp với T , tích phân được hiểu là toán

tử hội tụ đều, và với mọi x, y ∈ H

hf (T )x, yi =

Z M m−0

f (λ)dw(λ), w(λ) = hEλx, yi ,

trong đó tích phân là tích phân Riemann-Stieltijes thông thường

Định lý 1.14 ([8], p 516) Định lý 1.12 vẫn đúng nếu p, p1, p2 được thay

thế bởi các hàm giá trị thực liên tục f, f1, f2 trên [m, M ]

Định lý 1.15 (Giá trị riêng, [8], p 517) Cho T : H −→ H là toán

tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức H và

C = (Eλ) là họ phổ tương ứng Khi đó λ 7→ Eλ gián đoạn tại bất kỳ

λ = λ0 (nghĩa là, Eλ0 6= Eλ0−0) nếu và chỉ nếu λ0 là một giá trị riêng của

T Trong trường hợp này không gian riêng tương ứng là

N(T − λ0I) = (Eλ0 − Eλ0−0) (H)

1.2 Toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên

hợp trong không gian Hilbert của chúng

Định nghĩa 1.15 (xem [4]) Một toán tử A xác định trong không gianHilbert H gọi là không bị chặn nếu nó không phải là bị chặn

Ví dụ 1.3 Toán tử vi phân và toán tử nhân xác định trên LR không bịchặn.

Cho A là một toán tử compact trong không gian Hilbert H vô hạnchiều Nếu A là khả nghịch, thì A−1 không bị chặn Thật vậy, cho vn ∈ H

là một dãy trực giao và đặt Zn = Avn thì Zn −→ 0 nhưng A−1Zn 9 0.

Một toán tử tuyến tính không bị chặn có nhiều tính chất khác toán

tử tuyến tính bị chặn Một kết quả nổi tiếng (định lý 1.16) dưới đây đãgợi ý rằng miền xác định của toán tử và bài toán mở rộng toán tử sẽđóng vai trò đặc biệt Thực tế chúng ta sẽ thấy rằng khá nhiều tính chấtcủa một toán tử phụ thuộc vào miền xác định và có thể thay đổi qua sự

mở rộng hay hạn chế

Khi định lý đó được khám phá bởi E Hellinger và O Toeplitz (1910),

nó gây ra sự bối rối vì định lý thiết lập một quan hệ giữa hai tính chất,

đó là tính chất xác định khắp nơi và tính chất bị chặn

Trong trường hợp của toán tử tuyến tính bị chặn T trên không gianHilbert H, tính tự liên hợp của T định nghĩa bởi

Đây là một tính chất rất quan trọng Định lý đó chỉ ra rằng một toán

tử tuyến tính không bị chặn T thỏa mãn (1.1) không thể xác định trêntoàn bộ H

Định lý 1.16 (Định lý Hellinger-Toeplitz, [8], p 525) Nếu toán tửtuyến tính T xác định trên toàn bộ không gian Hilbert phức H và thỏamãn (1.1) với mọi x, y ∈ H, thì T bị chặn

Chứng minh Nếu trái lại H sẽ chứa một dãy (yn) sao cho

kynk = 1 và kT ynk −→ ∞

Ta xét hàm fn được định nghĩa bởi

fn(x) = hT x, yni = hx, T yni ,

trong đó n = 1, 2, , và ta sử dụng (1.1) Mỗi fn xác định trên toàn bộ

H và tuyến tính Với mỗi n cố định hàm fn bị chặn vì theo bất đẳng

Trong lý thuyết của toán tử bị chặn, toán tử liên hợp T∗ của toán tử

T trong không gian Hilbert đóng một vai trò cơ bản Vì vậy chúng takhái quát hóa khái niệm quan trọng này với toán tử không bị chặn

Định nghĩa 1.16 (xem [8], p 527) Cho T : D(T ) −→ H là toán

tử tuyến tính xác định trù mật (có thể không bị chặn) trong khônggian Hilbert phức H Khi đó toán tử liên hợp trong không gian Hilbert

T∗ : D (T∗) −→ H của T được xác định như sau: Miền xác định D (T∗)của T∗ gồm tất cả các y ∈ H sao cho tồn tại y∗ ∈ H thỏa mãn

hT x, yi = hx, y∗i

với mọi x ∈ D(T ) Với mỗi y ∈ D (T∗) như vậy toán tử liên hợp T∗ trong

không gian Hilbert khi đó được xác định bởi các số hạng của nó là

y∗ = T∗y

1.3 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert, toán

tử tuyến tính đối xứng và toán tử tuyến tính tự liên hợp

Định lý 1.17 ([8], p 531) Cho S : D(S) −→ H và T : D(T ) −→ H làcác toán tử tuyến tính xác định trù mật trong không gian Hilbert phức.Khi đó

(a) Nếu S ⊂ T , thì T∗ ⊂ S∗

(b) Nếu D (T∗) trù mật trong H, thì T ⊂ T∗∗

Định nghĩa 1.17 (xem [8], p 533) Cho T : D(T ) −→ H là toán tửtuyến tính xác định trù mật trong không gian phức H Khi đó T đượcgọi là toán tử tuyến tính đối xứng nếu với mọi x, y ∈ D(T ),

hT x, yi = hx, T yi

Bổ đề 1.2 (Toán tử đối xứng, [8], p 533) Một toán tử tuyến tính Txác định trù mật trong không gian Hilbert phức H là đối xứng nếu vàchỉ nếu

Nhận xét 1.1 Mọi toán tử tuyến tính tự liên hợp đều đối xứng

1.4 Toán tử tuyến tính đóng và bao đóng

Định nghĩa 1.19 (xem [8], p 535) Cho T : D(T ) −→ H là toán tửtuyến tính, trong đó D(T ) ⊂ H và H là không gian Hilbert phức Khi

đó T được gọi là toán tử tuyến tính đóng nếu đồ thị của nó

G(T ) = {(x, y) | x ∈ D(T ), y = T x}

đóng trong H × H, trong đó chuẩn trên H × H được xác định bởi

k(x, y)k =kxk2 + kyk2

1 2

và kết quả từ tích trong xác định bởi

h(x1, y1) , (x2, y2)i = hx1, x2i + hy2, y2i

Định lý 1.18 (Toán tử tuyến tính đóng, [8], p 536) Cho T : D(T ) −→

H là toán tử tuyến tính, trong đó D(T ) ⊂ H và H là không gian Hilbertphức Khi đó

(a) T đóng nếu và chỉ nếu

xn → x [xn ∈ D(T )] và T x → y

cùng với nhau suy ra x ∈ D(T ) và T x = y

(b) Nếu T đóng và D(T ) đóng, thì T bị chặn

(c) Cho T bị chặn Khi đó T đóng nếu và chỉ nếu D(T ) đóng

Định lý 1.19 ([8], p 536) Toán tử liên hợp T∗ trong không gian Hilbert

được xác định trong định nghĩa 1.16 là đóng

Định nghĩa 1.20 (xem [4]) Nếu toán tử tuyến tính T có một mở rộng

T1 là toán tử tuyến tính đóng, thì T được gọi là đóng được, và T1 được

gọi là một mở rộng tuyến tính đóng của T

Một mở rộng tuyến tính đóng T của toán tử tuyến tính đóng được Tđược gọi là cực tiểu nếu mọi mở rộng tuyến tính đóng T1 của T là mở

rộng tuyến tính đóng của T Mở rộng cực tiểu T này của T , nếu tồn tại,được gọi là bao đóng của T

Nhận xét 1.2 Nếu T tồn tại thì nó là duy nhất

Định lý 1.20 (Bao đóng, [8], p 537) Cho T : D(T ) −→ H là toán

tử tuyến tính, trong đó H là không gian Hilbert phức và D(T ) trù mậttrong H Khi đó nếu T đối xứng, thì bao đóng của nó T tồn tại và làduy nhất

Định lý 1.21 ([8], p 539) Với toán tử tuyến tính đối xứng T như trongđịnh lý 1.20 ta có

T
∗ = T∗

Trong chương đầu của luận văn, chúng ta đã trình bày được một sốkhái niệm và tính chất của các toán tử tuyến tính không bị chặn trongkhông gian Hilbert.

Chương 2

Phổ của toán tử tuyến tính không

bị chặn trong không gian Hilbert

Trong chương này chúng ta trình về phổ của toán tử tuyến tính không

bị chặn trong không gian Hilbert.Trước tiên, chúng ta trình bày các tínhchất phổ của toán tử tự liên hợp Tiếp theo, chúng ta trình bày về biểudiễn phổ của toán tử unita và biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tựliên hợp Phần cuối cùng, chúng ta trình bày về hai toán tử tuyến tínhkhông bị chặn là toán tử nhân và toán tử vi phân

2.1 Tính chất phổ của toán tử tự liên hợp

Như ta đã biết: Cho T : H −→ H là một toán tử tuyến tính tự liênhợp bị chặn trong không gian Hilbert H Khi đó có một số λ thuộc tậpgiải ρ(T ) của T nếu và chỉ nếu tồn tại một số c > 0 thỏa mãn với mọi

x ∈ H,

kTλxk ≥ c kxk

Bây giờ chúng ta sẽ tổng quát hóa định lý trên

Định lý 2.1 (Giá trị chính quy, [8], p 541) Cho T : D(T ) −→ H làtoán tử tuyến tính tự liên hợp xác định trù mật trong không gian Hilbertphức H Khi đó một số λ thuộc tập giải ρ(T ) của T nếu và chỉ nếu tồn

tại một số c > 0 thỏa mãn với mọi x ∈ D(T ),

Vì c > 0 nên kx1 − x2k = 0 Do đó x1 = x2, suy ra toán tử Tλ : D(T ) −→

Y là song ánh

(β) Ta chứng minh rằng Y bằng cách chỉ ra rằng x0⊥Y kéo theo

x0 = 0 Giả sử x0⊥Y Khi đó với mọi y = Tλx ∈ Y ,

0 = hTλx, x0i = hT x, x0i − λ hx, x0i

Do đó với mọi x ∈ D(T ),

hT x, x0i = 0 Theo định nghĩa của toán tử liên hợp trong không gian Hilbert suy ra

x0 ∈ D (T∗) và

T∗x0 = λx0

Vì T là tự liên hợp nên D (T∗) = D(T ) và T∗ = T ; do đó

T x0 = λx0

x0 6= 0 suy ra λ là một giá trị riêng của T , và khi đó λ = λ phải là giá

trị thực Do đó T x0 = λx0, nghĩa là Tλx0 = 0 Nhưng bây giờ (2.1) dẫnđến một mâu thuẫn

0 = kTλx0k ≥ c kx0k =⇒ kx0k = 0

Theo đó Y⊥ = {0}, suy ra Y = H

(γ) Ta chứng minh Y đóng Lấy y0 ∈ Y Khi đó tồn tại một dãy

(yn) trong Y sao cho yn −→ y0 Vì yn ∈ Y nên ta có yn = Tλxn với

xn ∈ D (Tλ) = D(T ) Theo (2.1),

kxn− xmk ≤ 1

c kTλ(xn − xm)k = 1

c kyn − ymk

Vì (yn) hội tụ nên (xn) là dãy Cauchy Vì H là không gian đủ nên (xn)

hội tụ, xn −→ x0 Vì T là tự liên hợp nên đóng theo định lý 1.19 Định

lý 1.18(a) suy ra x0 ∈ D(T ) và Tλx0 = y0 Điều này chỉ ra rằng y0 ∈ Y

Vì y0 ∈ Y là tùy ý nên Y đóng

Từ (β) và (γ) suy ra Y = H Từ đây và (α) ta thấy rằng giải thức

Rλ tồn tại và xác định trên toàn bộ H:

Rλ = Tλ−1 : H −→ D(T )

Rλ là tuyến tính theo định lý 1.2 Tính bị chặn của Rλ suy ra từ (2.1),

vì với mọi y ∈ H và tương ứng x = Rλy ta có y = Tλx và theo (2.1),

kRλyk = kxk ≤ 1

c kTλxk = 1

c kyk ,suy ra kRλk ≤ 1

c Theo định nghĩa suy ra λ ∈ ρ(T ).

Ta tổng quát hóa định lý 1.9, bằng việc sử dụng định lý vừa chứngminh trên, bây giờ chúng ta có thể chỉ ra phổ của một toán tử tuyếntính tự liên hợp (có thể không bị chặn) là tập giá trị thực:

Định lý 2.2 (Phổ, [8], p 544) Phổ σ(T ) của toán tử tuyến tính tự liênhợp T : D(T ) −→ H là tập giá trị thực và đóng; ở đây H là không gianHilbert phức và D(T ) trù mật trong H

Chứng minh (a) Tính thực của σ(T ) Với mọi x 6= 0 trong D(T ) ta có

hTλx, xi = hT x, xi − λ hx, xi

và, vì hx, xi và hT x, xi là số thực nên

hTλx, xi = hT x, xi − λ hx, xi

Ta viết λ = α + iβ với α và β là số thực Khi đó λ = α − iβ, và thu được

hTλx, xi − hTλx, xi = λ − λ
hx, xi = 2iβ kxk2

Vế trái bằng −2i Im hTλx, xi Vì phần ảo của một số phức không thể

vượt quá giá trị tuyệt đối, nên theo bất đẳng thức Schwarz ta có

|β| kxk2 ≤ |hTλx, xi| ≤ kTλxk kxk

Chia cho kxk 6= 0 ta được |β| kxk ≤ kTλxk Chú ý rằng bất đẳng thức

vẫn đúng với mọi x ∈ D(T ) Nếu λ không là số thực, β 6= 0, thì λ ∈ ρ(T )theo định lý trước Do đó σ(T ) phải là tập giá trị thực

(b) Tính đóng của σ(T ) Ta chỉ ra σ(T ) là đóng bằng cách chứngminh rằng tập giải ρ(T ) là mở Để làm điều này ta xét bất kỳ λ0 ∈ ρ(T )

và chỉ ra rằng mọi λ đủ đóng tới λ0 đều thuộc ρ(T )

Theo bất đẳng thức tam giác,

kT x − λxk ≥ c kxk − 1

2c kxk =

1

2c kxk

Do đó λ ∈ ρ(T ) theo định lý 2.1 Vì λ thỏa mãn |λ − λ0| ≤ c

2 nhưngkhông tùy ý, nên điều này chỉ ra rằng λ0 có một lân cận thuộc hoàn

toàn vào ρ(T ) Vì λ0 ∈ ρ(T ) là tùy ý, nên ta suy ra ρ(T ) là mở Do đóσ(T ) = C − ρ(T ) là đóng

2.2 Biểu diễn phổ của toán tử unita

Trong phần này chúng ta sẽ nói đến một vài kết quả biểu diễn phổcủa toán tử unita Trước hết ta nói đến phổ của một toán tử unita trongđường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức

Định lý 2.3 (Phổ, [8], p 547) Nếu U : H −→ H là một toán tử tuyếntính unita trên không gian Hilbert phức H 6= {0}, thì phổ σ(U ) là tậphợp con đóng của đường tròn đơn vị; do đó

|λ| = 1 với mọi λ ∈ σ(U )

Chứng minh Ta có kU k = 1 theo định lý 1.5(b) Do đó |λ| ≤ 1 vớimọi λ ∈ σ(U ) theo định lý 1.8 Cũng có 0 ∈ ρ(U ) vì với λ = 0 toán

tử giải của U là U−1 = U∗ Toán tử U−1 là toán tử unita theo định lý

1.5(c) Do đó U−1 = 1 Định lý 1.7 với T = U và λ0 = 0 suy ra mọi

λ thỏa mãn |λ| < 1/ U−1 = 1 thuộc vào ρ(U ) Do đó phổ của U phảinằm trên đường tròn đơn vị Nó đóng theo định lý 1.6

Có nhiều cách khác nhau để thu được các kết quả về phổ của toán

tử unita U Ở đây chúng ta sẽ tiếp cận bài toán chính là chuỗi lũy thừa

và một bổ đề của F J Wecken Từ đó cho một biểu diễn của toán tửunita trong những số hạng của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

Từ biểu diễn này và từ định lý 1.13 ta sẽ thu được trực tiếp những biểudiễn về phổ của U

Bổ đề 2.1 (Chuỗi lũy thừa, [8], p 548) Cho

h(λ) =

∞X

n=0

αnλn (αn giá trị thực) (2.4)

hội tụ tuyệt đối với mọi λ thỏa mãn |λ| ≤ k Giả sử S ∈ B(H, H) là tựliên hợp và có chuẩn kSk ≤ k; ở đây H là không gian Hilbert phức Khiđó

h(S) =

∞X

n=0

Nếu một toán tử tuyến tính bị chặn giao hoán với S, thì cũng giao hoánvới h(S)

Chứng minh Ký hiệu hn(λ) là tổng riêng thứ n của chuỗi trong (2.4)

Vì với |λ| ≤ k chuỗi này hội tụ tuyệt đối (do đó cũng hội tụ đều), nên

sự hội tụ của (2.5) suy ra từ kSk ≤ k và

X

αnSn ≤X|αn| kSkn ≤ X|αn| kn,

bởi vì H là không gian đủ, sự hội tụ tuyệt đối kéo theo hội tụ Ta kýhiệu tổng của chuỗi là h(S) Chú ý rằng điều này phù hợp với định lý1.13 và 1.14 bởi vì h(λ) liên tục và hn(λ) −→ h(λ) đều với |λ| ≤ k Toán

tử h(S) là tự liên hợp Thật vậy, hn(S) là tự liên hợp, suy ra hhn(S)x, xi

là số thực theo định lý 1.4; do đó hh(S)x, xi là thực theo tính liên tụccủa tích trong, suy ra h(S) là tự liên hợp theo định lý 1.4 vì H là khônggian phức.

Ta chứng minh (2.6) Vì kSk ≤ k, nên theo định lý 1.10 cho [n, M ] ⊂[−k, k] và định lý 1.12(f) ta thu được

khn(S)k ≤ max

λ∈J |hn(λ)| ≤

nX

j=0

|αj| kj

ở đó J = [m, M ] Cho n −→ ∞, ta thu được (2.6)

Phát biểu cuối cùng được suy ra từ định lý 1.14

Nếu ta có hai chuỗi lũy thừa hội tụ, thì ta có thể nhân chúng theocách thông thường và biểu diễn kết quả một lần nữa như một chuỗi lũythừa Tương tự, nếu (2.4) hội tụ với mọi λ, ta có thể thay thế λ bởi mộtchuỗi lũy thừa hội trong µ, và viết kết quả như một chuỗi lũy thừa trong

µ, nghĩa là bậc và sắp xếp kết quả trong lũy thừa của µ Theo nghĩa nàythì những biểu diễn như cos2S, sin(arccos V ), đã được biết đến

Từ bổ đề vừa chứng minh, bây giờ ta sẽ thu được công cụ chính là bổ

đề được suy ra bởi F.J Wecken (1935) Chú ý rằng bổ đề này cũng cóthể được sử dụng trong việc suy ra định lý phổ của toán tử tuyến tính

cũng giao hoán với P

(b) W x = 0 kéo theo P x = x

(c) Ta có W = (2P − I)A

Chứng minh (a) Giả sử rằng B giao hoán với W − A Khi đó ta có

P x ∈ N(W − A) với mỗi x ∈ H Vì vậy ta thu được

(W − A)BP x = B(W − A)P x = 0Điều này chỉ ra rằng BP x ∈ N(W − A) và kéo theo P (BP x) = BP x,nghĩa là

Ta chứng minh P BP = P B Vì W − A là tự liên hợp, nên ta được

(W − A)B∗ = [B(W − A)]∗ = [(W − A)B]∗ = B∗(W − A)

Điều này chỉ ra rằng W − A và B∗ cũng giao hoán Do đó, cũng như

trên ta thu được P B∗P = B∗P tương tự với (2.7) Vì phép chiếu là tựliên hợp , nên suy ra

P (W + A) = (W + A).

P (W − A) = (W − A)P theo (a) và (W − A)P = 0 vì P chiếu H vàoN(W − A) Do đó

2P A = P (W + A) − P (W − A) = W + A

Ta thấy rằng 2P A − A = W , (c) được chứng minh

Sau đây ta thiết lập biểu diễn phổ của toán tử unita

Định lý 2.4 (Định lý phổ cho toán tử unita, [8], p 551) Cho U : H −→

H là toán tử unita trên không gian Hilbert phức H 6= {0} Khi đó tồntại một họ phổ C = (Eθ) trên [−π, π] thỏa mãn

Tổng quát hơn, với mọi hàm liên tục f xác định trên đường tròn đơn vị,

f (U ) =

Z π

−π

trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa toán tử hội tụ đều và với mọi

Chứng minh Ta sẽ chứng minh rằng với một toán tử unita U bất kỳthì có một toán tử tự liên hợp bị chặn S với σ(S) ⊂ [−π, π] thỏa mãn