Chương 2. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert
2.2. Biểu diễn phổ của toán tử unita
Trong phần này chúng ta sẽ nói đến một vài kết quả biểu diễn phổ của toán tử unita. Trước hết ta nói đến phổ của một toán tử unita trong đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức.
Định lý 2.3. (Phổ, [8], p. 547) Nếu U :H −→H là một toán tử tuyến tính unita trên không gian Hilbert phức H 6= {0}, thì phổ σ(U) là tập hợp con đóng của đường tròn đơn vị; do đó
|λ| = 1 với mọi λ ∈ σ(U).
Chứng minh. Ta có kUk = 1 theo định lý 1.5(b). Do đó |λ| ≤ 1 với mọi λ ∈ σ(U) theo định lý 1.8. Cũng có 0 ∈ ρ(U) vì với λ = 0 toán tử giải của U là U−1 = U∗. Toán tử U−1 là toán tử unita theo định lý 1.5(c). Do đó
U−1
= 1. Định lý 1.7 với T = U và λ0 = 0 suy ra mọi λ thỏa mãn |λ| < 1/
U−1
= 1 thuộc vào ρ(U). Do đó phổ của U phải nằm trên đường tròn đơn vị. Nó đóng theo định lý 1.6.
Có nhiều cách khác nhau để thu được các kết quả về phổ của toán tử unita U. Ở đây chúng ta sẽ tiếp cận bài toán chính là chuỗi lũy thừa và một bổ đề của F. J. Wecken. Từ đó cho một biểu diễn của toán tử unita trong những số hạng của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
Từ biểu diễn này và từ định lý 1.13 ta sẽ thu được trực tiếp những biểu diễn về phổ của U.
Bổ đề 2.1. (Chuỗi lũy thừa, [8], p. 548) Cho h(λ) =
∞
X
n=0
αnλn (αn giá trị thực) (2.4) hội tụ tuyệt đối với mọi λ thỏa mãn |λ| ≤ k. Giả sử S ∈ B(H, H) là tự liên hợp và có chuẩn kSk ≤ k; ở đây H là không gian Hilbert phức. Khi đó
h(S) =
∞
X
n=0
αnSn (2.5)
là là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn và kh(S)k ≤
∞
X
n=0
|αn|kn. (2.6)
Nếu một toán tử tuyến tính bị chặn giao hoán với S, thì cũng giao hoán với h(S).
Chứng minh. Ký hiệu hn(λ) là tổng riêng thứ n của chuỗi trong (2.4).
Vì với |λ| ≤ k chuỗi này hội tụ tuyệt đối (do đó cũng hội tụ đều), nên sự hội tụ của (2.5) suy ra từ kSk ≤ k và
XαnSn
≤X
|αn| kSkn ≤ X
|αn|kn,
bởi vì H là không gian đủ, sự hội tụ tuyệt đối kéo theo hội tụ. Ta ký hiệu tổng của chuỗi là h(S). Chú ý rằng điều này phù hợp với định lý 1.13 và 1.14 bởi vì h(λ) liên tục và hn(λ) −→ h(λ) đều với |λ| ≤ k. Toán tử h(S) là tự liên hợp. Thật vậy, hn(S) là tự liên hợp, suy ra hhn(S)x, xi
là số thực theo định lý 1.4; do đó hh(S)x, xi là thực theo tính liên tục của tích trong, suy ra h(S) là tự liên hợp theo định lý 1.4 vì H là không gian phức.
Ta chứng minh (2.6). Vì kSk ≤ k, nên theo định lý 1.10 cho [n, M] ⊂ [−k, k] và định lý 1.12(f) ta thu được
khn(S)k ≤ max
λ∈J |hn(λ)| ≤
n
X
j=0
|αj|kj ở đó J = [m, M]. Cho n −→ ∞, ta thu được (2.6)
Phát biểu cuối cùng được suy ra từ định lý 1.14.
Nếu ta có hai chuỗi lũy thừa hội tụ, thì ta có thể nhân chúng theo cách thông thường và biểu diễn kết quả một lần nữa như một chuỗi lũy thừa. Tương tự, nếu (2.4) hội tụ với mọi λ, ta có thể thay thế λ bởi một chuỗi lũy thừa hội trongà, và viết kết quả như một chuỗi lũy thừa trong à, nghĩa là bậc và sắp xếp kết quả trong lũy thừa của à. Theo nghĩa này thì những biểu diễn như cos2S, sin(arccosV), ... đã được biết đến.
Từ bổ đề vừa chứng minh, bây giờ ta sẽ thu được công cụ chính là bổ đề được suy ra bởi F.J. Wecken (1935). Chú ý rằng bổ đề này cũng có thể được sử dụng trong việc suy ra định lý phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
Bổ đề 2.2. (Bổ đề Wecken, [8], p. 549) Cho W và A là hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert phức H. Giả sử W A = AW và W2 = A2. Cho P là phép chiếu của H vào không gian không N(W −A). Khi đó:
(a) Nếu một toán tử tuyến tính bị chặn giao hoán với W −A thì
cũng giao hoán với P.
(b) W x = 0 kéo theo P x = x.
(c) Ta có W = (2P −I)A.
Chứng minh. (a) Giả sử rằng B giao hoán với W −A. Khi đó ta có P x ∈ N(W −A) với mỗi x ∈ H. Vì vậy ta thu được
(W −A)BP x = B(W −A)P x = 0
Điều này chỉ ra rằng BP x ∈ N(W −A) và kéo theo P(BP x) = BP x, nghĩa là
P BP = BP. (2.7)
Ta chứng minh P BP = P B. Vì W −A là tự liên hợp, nên ta được (W −A)B∗ = [B(W −A)]∗ = [(W −A)B]∗ = B∗(W −A).
Điều này chỉ ra rằng W − A và B∗ cũng giao hoán. Do đó, cũng như trên ta thu được P B∗P = B∗P tương tự với (2.7). Vì phép chiếu là tự liên hợp , nên suy ra
P BP = (P B∗P)∗ = (B∗P)∗ = P B.
Cùng với (2.7) ta có BP = P B.
(b) Cho W x = 0. Vì A và W là tự liên hợp và hơn nữa A2 = W2, nên ta thu được
kAxk2 = hAx, Axi =
A2x, x
=
W2x, x
= kW xk2 = 0,
nghĩa là Ax = 0. Do đó (W − A)x = 0. Điều này chỉ ra rằng x ∈ N(W −A). Như vậy, P x = x vì P là phép chiếu của H vào N(W −A).
(c) Từ giả thiết W2 = A2 và W A = AW ta có (W −A)(W +A) = W2 −A2 = 0.
Do đó (W + A)x ∈ N(W −A) với mọi x ∈ H. Vì P chiếu của H vào N(W −A), nên ta thu được
P(W +A)x = (W +A)x với mọi x ∈ H, nghĩa là
P(W + A) = (W +A).
P(W −A) = (W − A)P theo (a) và (W −A)P = 0 vì P chiếu H vào N(W −A). Do đó
2P A = P(W +A)−P(W −A) = W +A.
Ta thấy rằng 2P A−A = W, (c) được chứng minh.
Sau đây ta thiết lập biểu diễn phổ của toán tử unita
Định lý 2.4. (Định lý phổ cho toán tử unita, [8], p. 551) Cho U : H −→
H là toán tử unita trên không gian Hilbert phức H 6= {0}. Khi đó tồn tại một họ phổ C = (Eθ) trên [−π, π] thỏa mãn
U = Z π
−π
eiθdEθ = Z π
−π
(cosθ+ isinθ)dEθ. (2.8) Tổng quát hơn, với mọi hàm liên tục f xác định trên đường tròn đơn vị,
f(U) = Z π
−π
f eiθ
dEθ, (2.9)
trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa toán tử hội tụ đều và với mọi x, y ∈ H,
hf(U)x, yi = Z π
−π
f eiθ
dw(θ), w(θ) =hEθx, yi, (2.10) trong đó tích phân là tích phân Riemann-Stieljes thông thường.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng với một toán tử unita U bất kỳ thì có một toán tử tự liên hợp bị chặn S với σ(S) ⊂ [−π, π] thỏa mãn
U = eiS = cosS +isinS. (2.11) Sự tồn tại của S đã được chứng minh, (2.8) và (2.9) sẽ có được từ các định lý phổ 1.11 và 1.13. Ta tiến hành theo các bước sau
(a) Chứng minh U trong (2.11) là unita, suy ra S tồn tại.
(b) Ta viết
U = V +iW (2.12)
trong đó
V = 1
2(U +U∗), W = 1
2i(U −U∗) (2.13) và chứng minh V và W là tự liên hợp và
−I ≤ V ≤ I, −I ≤ W ≤ I. (2.14)
(c) Nghiên cứu một số tính chất của g(V) = arccosV và A = sing(V).
(d) Chứng minh toán tử S là
S = (2P −I)(arccosV), (2.15)
trong đó P là phép chiếu của H vào N(W −A).
Cụ thể như sau
(a) Nếu S bị chặn và tự liên hợp, thì cosS và sinS cũng bị chặn và liên hợp theo bổ đề 2.1. Các toán tử này là giao hoán cũng theo bổ đề đó. Điều này kéo theo U trong (2.11) là unita, vì theo định lý 1.3
U U∗ = (cosS +isinS)(cosS −isinS)
= (cosS)2 + (sinS)2
= (cos2+ sin2)(S) = I và tương tự, U∗U = I.
(b) Tính tự liên hợp của V và W trong (2.13) suy ra từ định lý 1.3.
Vì U U∗ = U∗U(= I), nên ta có
V W = W V. (2.16)
Cũng có kUk = kU∗k = 1 theo định lý 1.5, kéo theo (2.13)
kVk ≤ 1, kWk ≤ 1. (2.17)
Do đó theo bất đẳng thức Schwarz ta được
|hV x, xi| ≤ kV xk kxk ≤ kVk kxk2 ≤ hx, xi,
nghĩa là − hx, xi ≤ hV x, xi ≤ hx, xi. Điều này chứng minh công thức đầu tiên trong (2.14). Công thức thứ hai cũng tương tự. Hơn nữa, từ (2.13)
V2 +W2 = I (2.18)
bằng cách tính toán trực tiếp.
(c) Ta xét
g(λ) = arccosλ = π
2 −arcsinλ = π
2 −λ − 1
6λ3 − ã ã ã .
Chuỗi Maclaurin bên vế phải hội tụ với|λ| ≤ 1. (Sự hội tụ tạiλ = 1được suy ra với chú ý rằng chuỗiarcsinλcó các hệ số dương, do đó dãy đơn điệu các tổng riêng sn, khi λ > 0, bị chặn trên (0,1), vì sn(λ) < arcsinλ < π
2 nên với mọi n cố định ta có sn(λ) −→ sn(1) ≤ π
2 khi λ −→ 1. Sự hội tụ tại λ = −1 cũng suy ra tương tự như tại λ = 1.)
Vì kVk ≤ 1 theo (2.17), nên bổ đề 2.1 suy ra toán tử g(V) = arccosV = π
2I −V − 1
6V3 − ã ã ã (2.19) tồn tại và là tự liên hợp. Bây giờ ta xác định
A= sing(V). (2.20)
Đây là chuỗi lũy thừa trong V. Bổ đề 2.1 suy ra A là tự liên hợp và giao hoán với V và theo (2.16) cũng giao hoán với W. Vì theo (2.19),
cosg(V) = V, (2.21)
nên ta có
V2 +A2 = cos2+ sin2
(g(V)) = I.
So sánh với (2.18) ta được W2 = A2. Do đó ta có thể áp dụng bổ đề Wecken 2.2 và thu được
W = (2P −I)A, (2.22)
W x = 0 kéo theo P x = x, và P giao hoán với V và với g(V) vì các toán tử này giao hoán với W −A.
(d) Bây giờ ta xác định
S = (2P −I)g(V) = g(V)(2P −I). (2.23) Rõ ràng,S là tự liên hợp. Ta chứng minh S thỏa mãn (2.11). Đặtk = λ2 và định nghĩa h1, h2 như sau
h1(k) = cosλ = 1− 1
2!λ2 +ã ã ã (2.24) λh2(k) = sinλ = λ− 1
3!λ3 +ã ã ã .
Các hàm này tồn tại với mọik. Vì P là phép chiếu, nên ta có (2P−I)2 = 4P −4P +I = I, suy ra từ (2.23) ta được
S2 = (2P −I)2g(V)2 = g(V)2. (2.25) Do đó theo (2.21),
cosS = h1 S2
= h1 g(V)2
= cosg(V) =V.
Ta thấy rằng sinS = W. Sử dụng (2.24), (2.20) và (2.22) ta thu được sinS = Sh2 S2
= (2P −I)g(V)h2 g(V)2
= (2P −I) sing(V)
= (2P −I)A= W.
Ta chỉ ra rằng σ(S) ⊂ [−π, π]. Vì |arccosλ| ≤ π, nên ta suy ra từ định lý 1.14 kSk ≤ π. Vì S là tự liên hợp và bị chặn, nên σ(S) là thực và định lý 1.8 suy ra kết quả.
Cho (Eθ) là họ phổ của S. Khi đó (2.8) và (2.9) suy ra rừ (2.11) và định lý phổ 1.13 với toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
Đặc biệt chú ý, ta có thể lấy −π (thay cho −π−0) là giới hạn dưới của tích phân trong (2.8) và (2.9) không hạn chế một cách tổng quát.
Lý do như sau. Nếu ta có một họ phổ, đặt là E˜θ
, thỏa mãn E˜−π 6= 0, thì ta phải lấy −π − 0 là giới hạn dưới của phép lấy tích phân trong các tích phân này. Tuy nhiên, thay cho
E˜θ
ta có thể sử dụng Eθ được định nghĩa như sau
Eθ =
0 nếu θ = −π
E˜θ −E˜−π nếu −π < θ < π I nếu θ = π.
Eθ liên tục tại θ = −π, suy ra giới hạn dưới của phép lấy tích phân −π trong (2.8) và (2.9) là đúng thứ tự.