Chương 2. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert
2.3. Biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp
Bây giờ ta sẽ tìm hiểu một biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp T : D(T) −→ H trên không gian Hilbert phức H, trong đó D(T) trù mật trong H và T có thể không bị chặn.
Để làm điều này ta kết hợp với T toán tử
U = (T −iI)(T + iI)−1. (2.26) U được gọi là biến đổi Cayley của T.
Toán tử U là unita, như ta chứng minh trong bổ đề 2.3 dưới đây, và quan trọng là chúng ta có thể thu được định lý phổ cho T (có thể không
bị chặn) từ định lý phổ cho toán tử bị chặn U (xem định lý 2.4).
T có phổ của nó σ(T) trên trục thực của không gian phức C (xem định lý 2.2), trong khi phổ của một toán tử unita nằm trên đường tròn đơn vị của C (xem định lý 2.3). Một ánh xạ C −→ C biến trục thực thành đường tròn đơn vị là
u = t−i
t+i (2.27)
và đây là gợi ý cho (2.26).
Ta sẽ chứng minh U là unita.
Bổ đề 2.3. (Biến đổi Cayley, [8], p. 556) Biến đổi Cayley (2.26) của toán tử tuyến tính tự liên hợp T : D(T) −→ H tồn tại trên H và là toán tử unita; ở đây H 6= {0} là không gian Hilbert phức.
Chứng minh. Vì T tự liên hợp, nên σ(T) là thực. Do đó i và −i thuộc vào tập hợp giải ρ(T). Suy ra, theo định nghĩa của ρ(T), toán tử ngược (T +iI)−1 và (T −iI)−1 tồn tại trên một tập hợp con trù mật của H và là các toán tử bị chặn. Từ định ký 1.19 suy ra T đóng bởi vì T = T∗, và từ bổ đề 1.1 ta thấy rằng các toán tử ngược này xác định trên toàn bộ H, nghĩa là
R(T +iI) =H, R(T −iI) =H. (2.28) Từ đó ta có, vì I xác định trên toàn bộ H, nên
(T +iI)−1(H) = D(T +iI) = D(T) = D(T −iI) hay
(T −iI) (D(T)) =H.
Điều này suy ra rằng U trong (2.26) là một song ánh của H vào chính nó. Theo định lý 1.5(f), ta chứng minh U là đẳng cự. Để làm được điều này, chúng ta lấy tùy ý x ∈ H, đặt y = (T + iI)−1x và sử dụng hy, T yi = hT y, yi. Khi đó ta thu được kết quả bằng cách tính toán trực tiếp:
kU xk2 = k(T −iI)yk2
= hT y−iy, T y −iyi
= hT y, T yi+ihT y, yi −ihy, T yi+hiy, iyi
= hT y+iy, T y +iyi
= k(T +iI)yk2
=
(T +iI) (T +iI)−1x
2
= kxk2.
Từ đó, theo định lý 1.5(f) suy ra U là unita.
Vì biến đổi Cayley U của T là unita, nên U có một biểu diễn phổ (xem định lý 2.4), và từ đó chúng ta có thể thu được một biểu diễn phổ của T. Để làm được điều này ta phải biết biểu diễn T qua các số hạng của U như thế nào:
Bổ đề 2.4. (Biến đổi Cayley, [8], p. 557) Cho T như trong bổ đề 2.3 và U xác định bởi (2.26). Khi đó
T = i(I +U)(I −U)−1. (2.29) Hơn nữa, 1 không là giá trị riêng của U.
Chứng minh. Cho x ∈ D(T) và
y = (T + iI)x. (2.30)
Khi đó
U y = (T −iI)x
bởi vì (T +iI)−1(T +iI) = I. Cộng và trừ vế với vế ta được
(a) (I +U)y = 2T x (2.31)
(b) (I −U)y = 2ix.
Từ (2.28) và (2.30) ta thấy rằng y ∈ R(T + iI) = H, và (2.31)(b) chỉ ra rằng I −U ánh xạ H vào D(T). Từ (2.31)(b) ta cũng thấy rằng nếu (I −U)y = 0, thì x = 0, suy ra y = 0 theo (2.30). Do đó (I −U)−1 tồn tại theo định lý 1.2, và xác định trên miền giá trị của I −U, là D(T) theo (2.31)(b). Do đó (2.31)(b) kéo theo
y = 2i(I −U)−1x [x ∈ D(T)]. (2.32) Thay vào (2.31)(a) ta được
T x = 1
2(I +U)y
= i(I +U)(I −U)−1x với mọi x ∈ D(T). (2.29) được chứng minh.
Hơn nữa, vì (I − U)−1 tồn tại, nên 1 không thể là giá trị riêng của biến đổi Cayley U.
Công thức (2.29) biểu diễn T như một hàm của toán tử unita U. Do đó chúng ta có thể áp dụng định lý 2.4, và thu được kết quả sau
Định lý 2.5. (Định lý phổ cho toán tử tuyến tính tự liên hợp, [8], p.
558) Cho T : D(T) −→ H là toán tử tuyến tính tự liên hợp, trong đó H 6= {0} là không gian Hilbert phức và D(T) trù mật trong H. Cho U là biến đổi Cayley (2.26) của T và (Eθ) là họ phổ trong biểu diễn phổ (2.8) của −U. Khi đó với mọi x ∈ D(T),
hT x, xi = Z π
−π
tanθ
2dw(θ) w(θ) =hEθx, xi (2.33)
=
Z +∞
−∞
λdv(λ) v(λ) =hFλx, xi trong đó Fλ = E2 arctanλ.
Chứng minh. Từ định lý phổ 2.4 ta có
−U = Z π
−π
eiθdEθ = Z π
−π
(cosθ+isinθ)dEθ. (2.34) Trong phần (a) của chứng minh ta chỉ ra rằng (Eθ) liên tục tại −π và π. Tính chất này sẽ cần trong phần (b) để chúng ta thiết lập (2.33).
(a) (Eθ) là họ phổ của một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn mà ta gọi là S. Khi đó
−U = cosS + isinS. (2.35) Từ định lý 1.15 ta biết rằng một θ0, mà tại đó (Eθ) không liên tục, là một giá trị riêng của S. Khi đó tồn tại một x 6= 0 sao cho Sx = θ0x. Do đó với đa thức q bất kỳ,
q(S)x = q(θ0)x và với hàm liên tục bất kỳ g trên [−π, π],
g(S)x = g(θ0)x. (2.36)
Vì σ(S) ⊂ [−π, π], nên ta có E−π−0 = 0. Do đó nếu E−π 6= 0, thì −π sẽ là giá trị riêng của S. Theo (2.35) và (2.36), toán tử U có giá trị riêng
−cos(−π)−isin(−π) = 1,
mâu thuẫn với bổ đề 2.4. Tương tự, Eπ = I, và nếu Eπ−0 6= I, thì cũng có 1 là một giá trị riêng của U.
(b) Cho x ∈ H và y = (I −U)x. Khi đó y ∈ D(T) vì I −U : H −→
D(T), như đã được chỉ ra trong bổ đề 2.4. Từ (2.29) suy ra
T y = i(I +U)(I −U)−1y = i(I +U)x.
Vì kU xk = kxk theo định lý 1.5, nên sử dụng (2.34) ta thu được hT y, yi = hi(I +U)x,(I −U)xi
= i(hU x, xi − hx, U xi)
= i
hU x, xi − hU x, xi
= −2ImhU x, xi
= 2 Z π
−π
sinθdhEθx, xi. Do đó
hT y, yi = 4 Z π
−π
sin θ 2cosθ
2dhEθx, xi. (2.37) Từ một vài dòng cuối cùng của chứng minh định lý 2.4 ta nhớ rằng (Eθ) là họ phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn S trong (2.35). Do đó Eθ và S giao hoán, suy ra Eθ và U giao hoán theo bổ đề 2.1. Sử dụng
(2.4) ta thu được
hEθy, yi = hEθ(I −U)x,(I −U)xi
= h(I −U)∗(I −U)Eθx, xi
= Z π
−π
1 +e−iϕ
1 +eiϕ
dhEϕz, xi, trong đó z = Eθx. Vì EϕEθ = Eϕ khi ϕ≤ θ và
1 +e−iϕ
1 +eiϕ
=
eiϕ/2 +e−iϕ/2 2
= 4 cos2 ϕ 2, nên ta thu được
hEθy, yi = 4 Z θ
−π
cos2 ϕ
2dhEϕx, xi.
Sử dụng công thức này, tính liên tục của Eθ tại ±π và quy tắc biến đổi tích phân Stieljes, ta có
Z π
−π
tan θ
2dhEθy, yi = Z π
−π
tan θ 2
4 cos2 θ 2
dhEθx, xi
= 4 Z π
−π
sinθ 2cos θ
2dhEθx, xi.
Tích phân cuối cùng giống như trong (2.37), suy ra công thức đầu tiên trong (2.33), trừ với ký hiệu (y thay cho x). Công thức thứ hai được suy ra theo phép biến đổi chỉ số θ = 2 arctanλ. Chú ý rằng (Fλ) thật sự là một họ phổ; đặc biệt, Fλ −→ 0 khi λ −→ −∞ và Fλ −→ 1 khi λ −→ +∞.