Chương 2. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert
2.4. Toán tử nhân và toán tử vi phân
Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số tính chất của hai toán tử tuyến tính không bị chặn, đó là toán tử nhân với biến số độc lập và
toán tử vi phân. Chúng ta chú ý rằng các toán tử này đóng vai trò cơ bản trong vật lý nguyên tử. (Ta sẽ tìm hiểu cụ thể trong chương sau.
Phần này khép kín và độc lập với chương sau, và ngược lại.)
Vì trong luận văn này chúng ta không nghiên cứu về lý thuyết của độ đo và tích phân Lebesgue, nên phần này chúng ta sẽ phải trình bày một số vấn đề mà không chứng minh.
Toán tử đầu tiên trong hai toán tử trên là
T : D(T) −→ L2(−∞,+∞) (2.38) x 7−→ tx
trong đó D(T) ⊂ L2(−∞,+∞).
Miền xác định D(T) gồm tất cả x ∈ L2(−∞,+∞) sao cho ta có T x ∈ L2(−∞,+∞), nghĩa là
Z +∞
−∞
t2|x(t)|2dt < ∞. (2.39) Điều này kéo theo D(T) 6= L2(−∞,+∞). Chẳng hạn, x ∈ L2(−∞,+∞) không thỏa mãn (2.39) được cho bởi
x(t) =
1/t nếu t ≥ 1 0 nếu t < 1;
do đó x ∈ D(T).
Rõ ràng, D(T) chứa tất cả các hàm x ∈ L2(−∞,+∞) bằng không khi nằm ngoài một khoảng compact. Ta có thể chỉ ra rằng tập hợp các hàm này trù mật trong L2(−∞,+∞). Do đó D(T) trù mật trong L2(−∞,+∞).
Bổ đề 2.5. (Toán tử nhân, [8], p. 563) Toán tử nhân T xác định bởi (2.38) không bị chặn.
Chứng minh. Ta lấy
xn(t) =
1 nếu n≤ t < n+ 1 0 nếu trái lại . Rõ ràng, kxnk = 1 và
kT xnk2 =
Z n+1 n
t2dt > n2. Điều này chỉ ra rằng kT xnk
kxnk > n, trong đó ta chọn n∈ N đủ lớn.
Chú ý rằng kết quả về tính không bị chặn thu được khi xử lý các hàm trên một khoảng vô hạn. So sánh trong trường hợp của một khoảng hữu hạn [a, b] toán tử
T˜ : D T˜
−→ L2[a, b] (2.40)
x 7−→ tx bị chặn. Thực tế, nếu |b| ≥ |a|, thì
T x˜
2
= Z b
a
t2|x(t)|2dt ≤ b2kxk2,
và nếu |b| < |a|, thì chứng minh tương tự. Hơn nữa, điều này cũng chỉ ra rằng x ∈ L2[a, b] kéo theo T x˜ ∈ L2[a, b]. Do đó D
T˜
= L2[a, b], nghĩa là toán tử T˜ xác định trên L2[a, b].
Định lý 2.6. (Tính tự liên hợp, [8], p. 564) Toán tử nhân T xác định bởi (2.38) là tự liên hợp.
Chứng minh. T xác định trù mật trong L2(−∞,+∞). T đối xứng bởi vì sử dụng t= t ta có
hT x, yi =
Z +∞
−∞
tx(t)y(t)dt
=
Z +∞
−∞
x(t)ty(t)dt= hx, T yi.
Do đó T ⊂ T∗ theo bổ đề 1.2, và D(T) ⊃ D(T∗). Để có điều này ta chứng minh y ∈ D(T∗) kéo theo y ∈ D(T). Lấy y ∈ D(T∗). Khi đó với mọi x ∈ D(T),
hT x, yi = hx, y∗i y∗ = T∗y (xem định nghĩa 1.16), từ đó
Z +∞
−∞
tx(t)y(t)dt =
Z +∞
−∞
x(t)y∗(t)dt.
Suy ra
Z +∞
−∞
x(t) h
ty(t) = y∗(t) i
dt= 0. (2.41)
Đặc biệt, điều này vẫn đúng với mọix ∈ L2(−∞,+∞) bằng không ngoài một khoảng bị chặn bất kỳ đã cho (a, b). Rõ ràng, một x như vậy thuộc D(T). Chọn
x(t) =
ty(t)−y∗(t) nếu t∈ (a, b) 0 nếu trái lại, từ (2.41) ta có
Z b a
|ty(t)−y∗(t)|2dt= 0.
Từ đó suy ra ty(t)−y∗(t) = 0 hầu khắp nơi trên (a, b), nghĩa là ty(t) = y∗(t) hầu khắp nơi trên (a, b). Vì (a, b) tùy ý, nên suy ra ty = y∗ ∈
L2(−∞,+∞), do đó y ∈ D(T). Chúng ta cũng có T∗y = y∗ = ty = T y.
Chú ý rằng định lý 1.19 suy ra T đóng, bởi vì T = T∗. Các tính chất phổ quan trọng của toán tử T như sau
Định lý 2.7. (Phổ, [8], p. 565) Cho T là toán tử nhân xác định bởi (2.38) và σ(T) là phổ của nó. Khi đó
(a) T không có giá trị riêng.
(b) σ(T) là toàn bộ R.
Chứng minh. (a) Với bất kỳ λ, lấy x ∈ D(T) sao cho T x = λx. Khi đó (T −λI)x = 0. Do đó, theo định nghĩa của T,
0 = k(T −λI)xk2 =
Z +∞
−∞
|t−λ|2|x(t)|2dt.
Vì |t−λ| > 0 với mọi t 6= λ, nên ta có x(t) = 0 với hầu hết t∈ R, nghĩa là x = 0. Điều này chỉ ra rằng x không phải là vectơ riêng, và λ không phải là giá trị riêng của T. Vì λ tùy ý, nên T không có giá trị riêng.
(b) Ta có σ(T) ⊂ R theo định lý 2.6 và định lý 2.2. Lấy λ ∈ R. Ta định nghĩa
vn(t) =
1 nếu λ− 1
n ≤ t ≤λ + 1 n 0 nếu trái lại
và xét xn = kvnk−1vn. Khi đó kxnk = 1. Đặt Tλ = T −λI, từ định nghĩa của T ta có
kTλxnk2 =
Z +∞
−∞
(t−λ)2|xn(t)|2dt
≤ 1 n2
Z +∞
−∞
|xn(t)|2dt= 1 n2;
ở đây chúng ta đã sử dụng (t−λ)2 ≤ 1/n2 trên một khoảng mà trong đó vn bằng không. Lấy căn bậc hai hai vế, ta có
kTλxnk ≤ 1
n. (2.42)
Vì T không có giá trị riêng, nên giải thức Rλ = Tλ−1 tồn tại, vàTλxn 6= 0 bởi vì xn 6= 0, theo định lý 1.2. Vectơ
yn = 1
kTλxnkTλxn
thuộc miền giá trị của Tλ, là miền xác định của Rλ, và có chuẩn bằng 1.
Áp dụng Rλ và sử dụng (2.42), ta thu được kRλynk= 1
kTλxnkkxnk ≥ n.
Điều này suy ra rằng giải thức Rλ không bị chặn; do đó λ ∈ σ(T). Vì λ ∈ R là tùy ý, nên σ(T) =R.
Họ phổ của T là (Eλ), trong đó λ ∈ R và
Eλ : L2(−∞,+∞) −→ L2(−∞, λ)
là phép chiếu củaL2(−∞,+∞) vàoL2(−∞, λ), được coi như một không gian con của L2(−∞,+∞); do đó
Eλx(t) =
x(t) nếu t < λ 0 nếu t≥ λ.
(2.43)
Một toán tử khác được xét trong phần này là toán tử vi phân
D : D(D) −→ L2(−∞,+∞) (2.44)
x 7−→ ix0,
trong đó x0 = dx/dt và i làm cho D tự liên hợp, như chúng ta sẽ phát biểu dưới đây (trong định lý 2.8). Theo định nghĩa, miền xác định D(D) của D bao gồm tất cả các x ∈ L2(−∞,+∞) liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng compact trên R và thỏa mãn x0 ∈ L2(−∞,+∞).
Bổ đề 2.6. (Toán tử vi phân, [8], p. 567) Toán tử vi phân D xác định bởi (2.44) là không bị chặn.
Chứng minh. D là một mở rộng của của D0 = D |Y,
trong đó Y = D(D) ∩ L2[0,1] và L2[0,1] được coi như là một không gian con của L2(−∞,+∞). Do đó nếu D0 không bị chặn, thì D cũng không bị chặn. Ta chỉ ra D0 không bị chặn.
Cho
xn(t) =
1−nt nếu 0 ≤ t≤ 1/n, 0 nếu 1/n < t ≤ 1.
Đạo hàm của nó là
x0n(t) =
−n nếu 0< t < 1/n, 0 nếu 1/n < t < 1.
Ta tính
kxnk2 = Z 1
0
|xn(t)|2dt= 1 3n và
kD0xnk2 = Z 1
0
|x0n(t)|2dt= n và thương
kD0xnk
kxnk = n√
3 > n.
Điều này chỉ ra rằng D0 không bị chặn.
Ta có sự so sánh sau. Toán tử nhân T trong (2.38) không bị chặn bởi vì (−∞,+∞) là khoảng vô hạn, trong khi toán tử nhân T˜ trong (2.40) bị chặn. Ngược lại với điều này, toán tử vi phân không bị chặn, ngay cả khi ta xét nó với L2[a, b], trong đó [a, b] là khoảng compact. Điều này được chỉ ra rõ ràng bởi chứng minh trước.
Định lý 2.8. (Tính tự liên hợp, [8], p. 569) Toán tử vi phân D xác định bởi (2.44) là tự liên hợp.
Chứng minh định lý này đòi hỏi một số công cụ từ lý thuyết của tích phân Lebesgue và có thể tìm thấy, ví dụ, trong G. Helmberg (1969), trang 130.
Cuối cùng chúng ta chú ý rằng D không có các giá trị riêng và phổ σ(D) là toàn bộ R.
Các ứng dụng của các toán tử (2.38) và (2.44) sẽ trình bày ở chương sau, trong đó các toán tử này đóng vai trò cơ bản (và các ký hiệu được thay đổi thành ký hiệu chuẩn được sử dụng trong vật lý).
Ở chương này, chúng ta đã trình bày tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp trong không gian Hilbert, trình bày một vài kết quả biểu diễn phổ của toán tử unita và toán tử tuyến tính tự liên hợp. Chúng ta đã giới thiệu hai toán tử tuyến tính không bị chặn đặc biệt cúng với một số tính chất của chúng.