Chương 2. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert
2.1. Tính chất phổ của toán tử tự liên hợp
Như ta đã biết: Cho T : H −→ H là một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert H. Khi đó có một số λ thuộc tập giải ρ(T) của T nếu và chỉ nếu tồn tại một số c > 0 thỏa mãn với mọi x ∈ H,
kTλxk ≥ ckxk. Bây giờ chúng ta sẽ tổng quát hóa định lý trên.
Định lý 2.1. (Giá trị chính quy, [8], p. 541) Cho T : D(T) −→ H là toán tử tuyến tính tự liên hợp xác định trù mật trong không gian Hilbert phức H. Khi đó một số λ thuộc tập giải ρ(T) của T nếu và chỉ nếu tồn
tại một số c > 0 thỏa mãn với mọi x ∈ D(T),
kTλxk ≥ ckxk, (2.1)
trong đó Tλ = T −λI.
Chứng minh. (a) Cho λ ∈ ρ(T). Khi đó theo định nghĩa 1.13, giải thức Rλ = (T −λI)−1 tồn tại và bị chặn, đặt kRλk = k > 0. Từ đó, vì RλTλx = x với x ∈ D(T), nên ta có
kxk = kRλTλxk ≤ kRλk kTλxk = kkTλxk. Chia hai vế cho k ta được kTλxk ≥ ckxk, trong đó c = 1
k.
(b) Ngược lại, giả sử rằng (2.1) đúng với c > 0 và mọi x ∈ D(T). Ta xét không gian vectơ
Y = {y | y = Tλx, x ∈ D(T)}, nghĩa là miền giá trị của Tλ, và chỉ ra rằng
(α) Tλ : D(T) −→ Y là song ánh;
(β) Y trù mật trong H; (γ) Y đóng.
Những điều này sẽ đồng thời suy ra giải thức Rλ = Tλ−1 xác định trên toàn bộ H. Khi đó tính bị chặn của Rλ dễ dàng được suy ra từ (2.1), do đó λ ∈ ρ(T). Cụ thể như sau
(α) Xét tùy ý x1, x2 ∈ D(T) thỏa mãn Tλx1 = Tλx2. Vì Tλ là tuyến tính nên từ (2.1) thu được
0 = kTλx1 −Tλx2k = kTλ(x1 −x2)k ≥ ckx1 −x2k.
Vìc > 0nênkx1 −x2k = 0. Do đóx1 = x2, suy ra toán tử Tλ : D(T) −→
Y là song ánh.
(β) Ta chứng minh rằng Y bằng cách chỉ ra rằng x0⊥Y kéo theo x0 = 0. Giả sử x0⊥Y. Khi đó với mọi y = Tλx ∈ Y,
0 = hTλx, x0i = hT x, x0i −λhx, x0i. Do đó với mọi x ∈ D(T),
hT x, x0i =
x, λx0 .
Theo định nghĩa của toán tử liên hợp trong không gian Hilbert suy ra x0 ∈ D(T∗) và
T∗x0 = λx0.
Vì T là tự liên hợp nên D(T∗) =D(T) và T∗ = T; do đó T x0 = λx0.
x0 6= 0 suy ra λ là một giá trị riêng của T, và khi đó λ = λ phải là giá trị thực. Do đó T x0 = λx0, nghĩa là Tλx0 = 0. Nhưng bây giờ (2.1) dẫn đến một mâu thuẫn
0 = kTλx0k ≥ ckx0k =⇒ kx0k = 0.
Theo đó Y⊥ = {0}, suy ra Y = H.
(γ) Ta chứng minh Y đóng. Lấy y0 ∈ Y. Khi đó tồn tại một dãy (yn) trong Y sao cho yn −→ y0. Vì yn ∈ Y nên ta có yn = Tλxn với xn ∈ D(Tλ) = D(T). Theo (2.1),
kxn−xmk ≤ 1
c kTλ(xn −xm)k = 1
c kyn −ymk.
Vì (yn) hội tụ nên (xn) là dãy Cauchy. Vì H là không gian đủ nên (xn) hội tụ, xn −→ x0. Vì T là tự liên hợp nên đóng theo định lý 1.19. Định lý 1.18(a) suy ra x0 ∈ D(T) và Tλx0 = y0. Điều này chỉ ra rằng y0 ∈ Y. Vì y0 ∈ Y là tùy ý nên Y đóng.
Từ (β) và (γ) suy ra Y = H. Từ đây và (α) ta thấy rằng giải thức Rλ tồn tại và xác định trên toàn bộ H:
Rλ = Tλ−1 : H −→ D(T).
Rλ là tuyến tính theo định lý 1.2. Tính bị chặn của Rλ suy ra từ (2.1), vì với mọi y ∈ H và tương ứng x = Rλy ta có y = Tλx và theo (2.1),
kRλyk = kxk ≤ 1
c kTλxk = 1 c kyk, suy ra kRλk ≤ 1
c. Theo định nghĩa suy ra λ ∈ ρ(T).
Ta tổng quát hóa định lý 1.9, bằng việc sử dụng định lý vừa chứng minh trên, bây giờ chúng ta có thể chỉ ra phổ của một toán tử tuyến tính tự liên hợp (có thể không bị chặn) là tập giá trị thực:
Định lý 2.2. (Phổ, [8], p. 544) Phổ σ(T) của toán tử tuyến tính tự liên hợp T : D(T) −→ H là tập giá trị thực và đóng; ở đây H là không gian Hilbert phức và D(T) trù mật trong H.
Chứng minh. (a) Tính thực của σ(T). Với mọi x 6= 0 trong D(T) ta có hTλx, xi = hT x, xi −λhx, xi
và, vì hx, xi và hT x, xi là số thực nên
hTλx, xi = hT x, xi −λhx, xi.
Ta viết λ = α+iβ với α và β là số thực. Khi đó λ = α−iβ, và thu được hTλx, xi − hTλx, xi = λ−λ
hx, xi = 2iβkxk2.
Vế trái bằng −2iImhTλx, xi. Vì phần ảo của một số phức không thể vượt quá giá trị tuyệt đối, nên theo bất đẳng thức Schwarz ta có
|β| kxk2 ≤ |hTλx, xi| ≤ kTλxk kxk.
Chia cho kxk 6= 0 ta được |β| kxk ≤ kTλxk. Chú ý rằng bất đẳng thức vẫn đúng với mọi x ∈ D(T). Nếu λ không là số thực, β 6= 0, thì λ ∈ ρ(T) theo định lý trước. Do đó σ(T) phải là tập giá trị thực.
(b) Tính đóng của σ(T). Ta chỉ ra σ(T) là đóng bằng cách chứng minh rằng tập giải ρ(T) là mở. Để làm điều này ta xét bất kỳ λ0 ∈ ρ(T) và chỉ ra rằng mọi λ đủ đóng tới λ0 đều thuộc ρ(T).
Theo bất đẳng thức tam giác,
kT x−λ0xk = kT x−λx+ (λ−λ0)xk ≤ kT x−λxk+ |λ−λ0| kxk. Điều này có thể được viết là
kT x−λxk ≥ kT x−λ0xk − |λ −λ0| kxk. (2.2) Vì λ0 ∈ ρ(T), nên theo định lý 2.1 tồn tại một số c > 0 sao cho với mọi x ∈ D(T),
kT x−λ0xk ≥ ckxk. (2.3)
Bây giờ ta giả sử λ đóng tới λ0, giả sử |λ −λ0| ≤ c
2. Khi đó từ (2.2) và (2.3) suy ra với mọi x ∈ D(T),
kT x−λxk ≥ ckxk − 1
2ckxk = 1
2ckxk.
Do đó λ ∈ ρ(T) theo định lý 2.1. Vì λ thỏa mãn |λ−λ0| ≤ c
2 nhưng không tùy ý, nên điều này chỉ ra rằng λ0 có một lân cận thuộc hoàn toàn vào ρ(T). Vì λ0 ∈ ρ(T) là tùy ý, nên ta suy ra ρ(T) là mở. Do đó σ(T) = C−ρ(T) là đóng.