Ta xem xét hệ vật lý, như trong phần trên, ở đó ta đưa vào và phát triển toán tử vị trí
Q : D(Q) −→ L2(−∞,+∞) (3.12)
x7−→ qψ.
Một quan sát được khác rất quan trọng là moment p. Toán tử moment tương ứng là
D : D(D) −→ L2(−∞,+∞) (3.13)
x −→ h 2πi
dψ dq,
trong đó h là hằng số Planck và miền xác định D ⊂ L2(−∞,+∞) bao gồm tất cả những hàm ψ ∈ L2(−∞,+∞) liên tục tuyệt đối trên mỗi khoảng compact trên Rvà thỏa mãn Dψ ∈ L2(−∞,+∞). Một việc thúc đẩy của định nghĩa này của D có thể được đưa ra như sau.
Theo mối liên hệ khối lượng-năng lượng Einstein E = mc2 (c là vận tốc ánh sáng), một năng lượng E có khối lượng
m = E c2.
Khi đó một photon có vận tốc c và năng lượng E = hv.
Nó có moment
p = mc = hv c = h
Λ = h
2πk, (3.14)
trong đó k = 2π
Λ và Λ là bước sóng. Năm 1924, L. de Broglie đề xuất khái niệm ”vật chất sóng” thỏa mãn tính chất của ánh sáng. Do vậy, ta có thể sử dụng (3.14) trong mối liên hệ với hạt. Giả sử rằng trạng thái ψ của hệ vật lý được thỏa mãn, ta có thể áp dụng định lý tích phân Fourier cổ điển, ta có
ψ(q) = 1
√h
+∞
Z
−∞
ϕ(p)e(2πih )pqdp, (3.15)
trong đó
ϕ(p) = 1
√ h
Z +∞
−∞
ψ(q)e(−2πih )pqdq. (3.16) Từ tính chất vật lý, điều này có thể được giải thích như một biểu diễn của ψ trong những số hạng của những hàm có hằng số moment p đưa ra bởi
ψp(q) = ϕ(p)eikq = ϕ(p)e(2πih )pq, (3.17) trong đó k = 2πp
h theo (3.14) và ϕ(p) là biên độ. Liên hợp phức ψp có một dấu âm trong hàm mũ, nên
|ψp(q)|2 = ψp(q)ψp(q) =ϕ(p)ϕ(p) =|ϕ(p)|2.
Khi đó |ψp(q)|2 là mật độ xác suất của vị trí trong trạng thái ψp, ta thấy rằng |ϕ(p)|2 phải cân đối cho mật độ của động lượng và hằng số cân đối là 1. Khi đó ta xác định được ϕ(p) thỏa mãn (3.15) và (3.16), suy ra hằng số trên là 1
√h. Do vậy, theo (3.16) giá trị trung bình của động lượng, gọi là à˜ψ, là
˜ àψ =
Z +∞
−∞
p|ϕ(p)|2dp=
Z +∞
−∞
pϕ(p)ϕ(p)dp
=
Z +∞
−∞
pϕ(p) 1
√h
Z +∞
−∞
ψ(q)e(2πih )pqdqdp.
Giả sử rằng ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân và (3.15) ta có thể lấy vi phân dưới dấu tích phân ta được
˜ àψ =
Z +∞
−∞
ψ(q)
Z +∞
−∞
ϕ(p) 1
√
hpe(2πih )pqdpdq
=
Z +∞
−∞
ψ(q) h 2πi
dψ(q) dq dq.
Sử dụng (3.13) và ký hiệu à˜ψ là àψ(D) ta cú thể viết dưới dạng àψ(D) =hDψ, ψi =
Z +∞
−∞
Dψ(q)ψ(q)dq. (3.18) Điều này dẫn đến định nghĩa (3.13) của toán tử moment. Chú ý rằng ψ ∈ L2(−∞,+∞) nên với những lập luận toán học của toán tử hình thức, ta có thể cần đến những công cụ của lý thuyết độ đo, đặc biệt là một mở rộng của định lý tích phân Fourier đã được biết.
Cho S và T là toán tử tuyến tính tự liên hợp bất kỳ với miền xác định trong không gian Hilbert phức. Khi đó toán tử
C = ST −T S
được gọi là hoán tử của S và T và được xác định trên D(C) =D(ST)∩D(T S).
Trong cơ học lượng tử, hoán tử của vị trí và toán tử moment là một cơ sở quan trọng. Theo định nghĩa ta có
DQψ(q) =D(qψ(q)) = h
2πi[ψ(q) +qψ0(q)] = h
2πiψ(q) +QDψ(q).
Điều này dẫn đến hệ thức hoán tử Heisenberg DQ−QD = h
2πi
I,˜ (3.19)
trong đó I˜là toán tử đồng nhất trên miền
D(DQ−QD) = D(DQ)∩ D(QD). (3.20) Ta thừa nhận không chứng minh rằng miền xác định này trù mật trong không gian L2(−∞,+∞).
Để thu được nguyên lý bất định Heisenberg, trước hết ta chứng minh
Định lý 3.1. (Hoán tử, [8], p. 579) Cho S và T là toán tử tuyến tính tự liên hợp với miền xác định và miền giá trị trong L2(−∞,+∞). Khi đó C = ST −T S thỏa mãn
|àψ(C)| ≤ 2sdψ(S)sdψ(T) (3.21) với mọi ψ trong miền xác định của C.
Chứng minh. Ta viết à1 = àψ(S) và à2 = àψ(T) và A = S −à1I, B = T −à2I.
Khi đó ta có thể dễ dàng kiểm tra bằng tính toán trực tiếp C = ST −T S = AB−BA.
Vỡ S và T là tự liờn hợp và à1, à2 là tớch trong của dạng (3.9), nờn cỏc giá trị trung bình này là thực. Do vậy A và B là tự liên hợp. Từ định nghĩa của giá trị trung bình ta thu được
àψ(C) = h(AB−BA)ψ, ψi
= hABψ, ψi − hBAψ, ψi
= hBψ, Aψi − hAψ, Bψi.
Hai tích cuối cùng bằng nhau về giá trị tuyệt đối. Do đó theo bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức Schwarz ta có
|àψ(C)| ≤ |hBψ, Aψi|+ |hAψ, Bψi| ≤ 2kBψk kAψk.
Điều này chứng minh (3.21), bởi vì B là tự liên hợp nên theo (3.10) ta thu được
kBψk =
(T −à2I)2ψ, ψ1/2
= q
varψ(T) =sdψ(T)
và tương tự với kAψk.
Từ (3.19) ta thấy rằng hoán tử của vị trí và toán tử moment là C =
h 2πi
I˜. Do vậy |àψ(C)| = h
2π và thu được (3.21).
Định lý 3.2. (Nguyên lý bất định Heisenberg, [8], p. 580) Cho toán tử vị trí Q và toán tử moment D,
sdψ(D)sdψ(Q) ≥ h
4π. (3.22)
Về mặt vật lý, bất đẳng thức (3.22) có nghĩa là ta không thể tạo ra một phép đo đồng thời về vị trí và moment của một hạt với độ chính xác không giới hạn. Thật vậy, độ lệch chuẩn sdψ(D) và sdψ(Q) đặc trưng cho độ chính xác cả phép đo về moment và vị trí tương ứng, và (3.22) thể hiện rằng ta không thể làm giảm những thừa số vế trái tại cùng thời điểm. h là rất nhỏ, nên trong vật lý vĩ mô h
4π nhỏ không đáng kể.
Tuy nhiên, trong vật lý nguyên tử thì trường hợp này lại khác. Toàn bộ những tình huống này có thể được hiểu tốt hơn nếu ta thực hiện phép đo bất kỳ của một hệ là một sự nhiễu loạn làm thay đổi trạng thái của hệ thống, và nếu hệ là nhỏ (chẳng hạn, một electron), sự nhiễu loạn có thể nhận thấy. Tất nhiên, phép đo bất kỳ bao gồm sai số ngẫu nhiên vì không có một dụng cụ đo chính xác. Nhưng một điều có thể hình dung là sai số tạo ra có thể rất nhỏ bằng việc sử dụng nhiều thuật toán chặt chẽ của phép đo, nên ít nhất trong nguyên lý, trong phép đo đồng thời cho vị trí tức thời và moment của một hạt, mỗi phép đo có hai sai số tương ứng có thể tạo ra nhỏ hơn một giá trị dương cho trước. Bất đẳng thức (3.22) chỉ ra rằng ở đây không phải như vậy nhưng độ chính xác là
có giới hạn trong nguyên lý, không đơn thuần bởi sự sai sót của bất kỳ phương pháp đo nào.
Tổng quát hơn, định lý 3.1 chỉ ra rằng hai quan sát được bất kỳ S và T mà hoán tử của chúng không là toán tử không không thể đo đồng thời với độ chính xác không giới hạn theo nghĩa vừa giải thích, nhưng độ chính xác là có giới hạn trong nguyên lý.