tính symplectic từ V → V) của không gian vectơ symplectic (V, Ω) là tác động bắc cầu và giải tích trên Grassman Lagrăng Λ(V).
Chứng minh. Xét g ∈ Sp(V,Ω) ⇒ g là đẳng cấu tuyến tính , g*Ω = Ω.
L∈Λ(V) tức L có chiều n và ∀x, y ∈ L ta có Ω(x, y) = 0. Ta sẽ có g(L) ∈Λ(V)
Thật vậy, rõ ràng dim g(L) = L = n (do g là đẳng cấu tuyến tính) ∀x, y ∈ L ta có Ω(g(x), g(y)) = g*Ω (x,y)
= Ω(x, y) = 0
Vậy ta đã có Sp(V,Ω) là tác động về bên phải với Grassman Lagrăng Λ(V). Ta chứng minh tác động này là tác động bắc cầu.
Giả sử L và L' là hai phần tử của Λ(V) .{e1, e2, , e… 2n} và {e ,e ,...e }1' '2 '2n là hai cơ sở chính tắc của (V, Ω) sao cho{e1, e2, , e… n} và {e ,e ,...e }1' '2 'n lần lợt là cơ sở của L và của L'. Lúc này bao giờ cũng tồn tại ánh xạ g : V → V sao cho g(ei) = '
1
e . Trong đó g là ánh xạ tuyến tính, ta chứng minh cho g là symplectic. Xét Ω (g(x), g(y) = Ω 2n 2n i i j j i j i 1 i 1 g x e , y e x(x ) y(y ) = = ữữ ∑ ∑ ' ' i j i j i,j 1,2n x y (e ,e ) = = ∑ Ω i j i j i, j 1,2n x y (e ,e ) = = ∑ Ω (do {e1, , e… 2n}, ' ' 1 2n
{e ,...,e } là 2 cơ sở chính tắc của không gian symplectic (V,Ω)). = 2n 2n i i j j i 1 i 1 x e , y e = = Ω ữ ∑ ∑ = Ω(x, y)
Vậy g*Ω = Ω hay g là symplectic.
Và rõ ràng g(L) = L'. Nh vậy tác động của nhóm symplectic Sp(V,Ω) lên
Grassman Lagrăng là bắc Λ(V) cầu.
Chứng minh nó giải tích: Kiểm tra rằng khi cho L1 của Λ(V), ánh xạ (g, L)
a g(L) trên một lân cận nhỏ tuỳ ý của (e, L1) trong Sp(V,Ω) ì Λ(V) là giải tích. Trong đó e là phần tử đơn vị của Sp(V,Ω). Giả sử L2 là một không gian con Lagrăng khác của V bù với L1. Vậy ΛL2(V) nằm trong Λ(V) và chứa
L1, và mọi phần tử L của lân cận này là đồ thị của ánh xạ tuyến tính đối xứng từ L1 lên L2. Đồng nhất V với L1⊕ L2.
Ta có L = {x1+ A(x1) x1 ∈ L1}
Ký hiệu P1, P2 là các phép chiếu từ V tơng ứng lên L1 và L2. Lúc này g ∈ Sp(V,Ω)
ta có: g(L) = {P g (Id1o o L1od)(x ) P g (Id1 + 2o o L1od)(x ) x L }1 1∈ 1
Khi g là một phần tử thuộc lân cận của e = Idv, P g (Id d)1o o + là giải tích và ta có thể viết
g(L) = {x + d'(x) x ∈ L1}. Với d' = P g (Id2o o L1+d) (P g (Ido 1o o L1+d)−1 từ đó chỉ ra rằng tác động đã cho là giải tích.
Phần 3. Không gian con Lagrăng đặc biệt trên không gian Symplectic
Giả sử (V, Ω) là một không gian vectơ Symplectic có chiều là 2n. Nh vậy theo định lý 2.4 chơng I trên (V, Ω) luôn tồn tại của cấu trúc J từ: V → V sao cho J2 = - Idv và GJ (u, v) = Ω (u, Jv) là một tích vô hớng trên V x V.
3.1. Mệnh đề. Không gian con n chiều L của V là không gian con Lagrăng nếu và chỉ nếu GJ(Ju, v) = 0 ∀u ∈ L , ∀v ∈ L nếu và chỉ nếu GJ(Ju, v) = 0 ∀u ∈ L , ∀v ∈ L
Chứng minh. Dễ thấy do GJ(Ju, v) = Ω(Ju, Jv)
= Ω(u, v) (theo mệnh đề 2.3 chơng I) Vậy L là Lagrăng ⇔Ω(u, v) = 0 ∀u, v ∈ L
⇔ GJ(Ju, v) = 0 ∀u, v ∈ L Ký hiệu U(n) là nhóm biến đổi Unita của V . Tức U(n) = {f tuyến tính V → V|G(u,v) = G(f(u), f(v)
và f(Ju) = Jf(u) ∀u ∈ v}
4.2. Mệnh đề .
Nhóm U(n) tác động bắc cầu lên Λ(V)
Chứng minh. Xét f ∈ U(n), L ∈Λ(V) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∀u, v ∈ L ⇔Ω(u, v) = 0
⇔ G(Ju, v) = 0
⇔ G(f(Ju), (v)) = 0
⇔ G(Jf(u), f(v) = 0 ∀u, v ∈ L (do f ∈U(n)
⇔ f(L) là Lagrăng Vậy U(n) là một tác động lên Λ(V)
Giả sử L có cơ sở trực chuẩn {e1, e2… en} , L' có cơ sở trực chuẩn
' ' '
1 2 n
{e ,e ...e }
lúc này V có 2 cơ sở trực chuẩn Symplectic {e1, e2… en, Je1, Je2…Jen}
và ' ' ' ' ' ' 1 2 n 1 2 n {e ,e ...e , Je , Je ...Je }. Xét đẳng cấu tuyến tính A: V → V ei → ' i e Jej → ' j Je
Dễ thấy A ∈ U(n) và A(L)=L
Vậy U(n) tác động bắc cầu lên Λ(V)
Ký hiệu B = {A ∈ U(n)| detCA = 1}.Với mỗi L ∈Λ(V)
tập BL = {AL|A ∈ B}⊂Λ(V) đợc gọi là tập các không gian con Lagrăng đặc biệt của Λ(V) ứng với L.