Các không gian với phủ và k lưới

1 Trờng đại học vinh Khoa toán ---------------------------- các không gian với phủ và k -lới khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Giáo viên hớng dẫn: PGS.TS trần văn ân Sinh viên thực hiện : thái thị mai hơng Lớp : 41E1 - toán Vinh 2005 Lời mở đầu Chúng ta đã quá quen thuộc với các Định lý về phép mêtric hoá cơ bản chẳng hạn, chúng ta có Định lý về phép mêtric hoá của Nagata-Smirnov nói rằng một không gian chính quy là cả khả mêtric nếu và chỉ nếu nó có một cơ sở mở hữu hạn -địa phơng, và các Định lý khác, đặc biệt là các Định lý về phép mêtric trên các không gian Moore, các M-không gian và các không gian mêtric phổ biến khác. Một phủ P là một k-lới đối với X nếu với tập compact K và tập mở U nào đó mà K U thì tồn tại một PP , P hữu hạn để UPK ' . Những không gian Lasnev và các không gian thơng đã biết của các không gian mêtric có thể đựơc đặc trng bởi các phơng pháp của k-lới. Trong khoá luận này chúng ta nghiên cứu lý thuyết về phép mêtric hoá theo ngôn ngữ của các tôpô yếu, các k-lới, và làm rõ một số Định lý về phép mêtric hoá cơ bản. Chúng ta giả thiết tất cả các không gian là Hausdorff và tất cả các ánh xạ là liên tục. Với mục đích nh vậy, khoá luận đợc trình bày theo các phần nh sau: Chơng 1. Trình bày một số kiến thức và tính chất cơ bản của tôpô đại c- ơng để làm cơ sở cho các phần sau. Chơng 2. Trình bày các khái niệm nh không gian Frêchet, các không gian chứa bản sao của S và các không gian đợc làm trội bởi tập con mêtric. Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS.TRầN VĂN ÂN, ngời đã trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này. Đồng thời cho tôi gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Trờng Đại Học Vinh đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trờng. Do điều kiện thời gian và những hạn chế về năng lực nên khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 4 năm 2005 2 Tác giả Chơng I Các kiến thức chuẩn bị Đ1 Một số khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa. Cho tập X . Họ các tập con của X đợc gọi là một tôpô trên X, nếu nó thoả mãn: (i) , X ; (ii) Với mọi A,B thì A B ; (iii) Với mọi họ { A : I } thì I A U . Khi đó, (X, ) đợc gọi là không gian tôpô, mỗi phần tử của X gọi là một điểm trong không gian tôpô ( X, ). Mỗi tập A gọi là một tập mở. Phần bù của tập mở đợc gọi là tập đóng. Nếu không sợ nhầm lẫn các tôpô trên X ta viết không gian X thay cho không gian ( X, ). 1.1.2. Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau: (i) và X là các tập mở; (ii) Giao của hai tập mở là một tập mở; (iii) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở. 1.1.3. Định nghĩa. Cho không gian tôpô ( X, ) và B , B đợc gọi là cơ sở của tôpô nếu với mọi V và với mọi x V, tồn tại U B sao cho x U V. 3 1.1.4. Định nghĩa. a. Cho không gian tôpô ( X, ), x X. Tập U X đợc gọi là lân cận của điểm x, nếu tồn tại V sao cho x U V. b. Gọi (x) là họ tất cả các lân cận của x, khi đó họ con B(x) của U(x) đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x, nếu với mọi V (x), tồn tại U B(x), sao cho x U V. 1.1.5. Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là điểm đếm đợc (point - countable). Nếu mỗi x X thì x đợc chứa trong nhiều nhất là đếm đợc các phần tử p P. 1.1.6. Định nghĩa . Giả sử X là một không gian tôpô và A X giao của họ tất cả các tập hợp đóng chứa A đợc gọi là bao đóng của tập hợp A. Ký hiệu A hay clA. 1.1.7. Nhận xét. (i) A là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A; (ii) Tập A X là đóng khi và chỉ khi A = A; (iii) Nếu A B X thì A B . 1.1.8. Mệnh đề. Cho không gian tôpô X, A và B là những tập hợp con của X. Khi đó: (i) = ; (ii) A A ; (iii) A B = A B ; (iv) ( A ) = A . Tập con của không gian tôpô là đóng khi và chỉ khi nó chứa mọi điểm giới hạn của nó. 1.1.9. Định nghĩa . (i) Giả sử X là không gian tôpô, và A X . 4 Tập A X \ A đợc gọi là tập biên của tập hợp A và ký hiệu A. (ii) Mỗi điểm x A đợc gọi là điểm biên của A. 1.1.10. Định lý. Điểm x X đợc gọi là điểm biên của A khi và chỉ khi với lân cận U bất kỳ của x, ta có U A và U (X \ A) . 1.1.11. Định nghĩa. Giả sử A là một tập hợp con của không gian tôpô X, điểm x X đợc gọi là điểm tụ của tập hợp A nếu x \ { }A x . Tập hợp tất cả các điểm tụ của tập A ký hiệu là A d . Điểm x là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi một lân cận bất kỳ U của x đều chứa ít nhất một điểm y của A khác x. 1.1.12. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X. Khi đó điểm xX đợc gọi là điểm cô lập của X nếu { } x là tập mở. 1.1.13. Định nghĩa. Cho không tôpô X. Dãy {x n : n N} đợc gọi là hội tụ về điểm x, nếu với lân cận V bất kỳ của x thì bắt đầu từ lúc nào đó, các phần tử của dãy {x n } đều nằm trong V. Lúc đó, ta gọi x là điểm hội tụ của dãy {x n }. 1.1.14. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô và {x n : n N} là dãy trong X hội tụ về điểm x X. Khi đó, {x n : n N} {x} là tập compact. Chứng minh. Đặt A = {x n : n N} {x}. Giả sử {A : I} là một phủ mở của A, khi đó tồn tại 0 I sao cho x 0 A mà dãy {x n } hội tụ về x và 0 A là tập mở nên tồn tại n 0 N sao cho x n 0 A , với mọi n n 0 . Do đó {x n : n n 0 }{x} 0 A . Bây giờ với mỗi x i A, i = 1,2, .,n 0 -1, ta chọn A i {A : I} sao cho x i A i , khi đó ta có. 5 {x n : n N} {x} 1 1 n i i A = ữ U 0 A , hay {A i : i = 1,2, ., n 0 - 1, 0 } là phủ mở hữu hạn của A. Do đó A là tập compact. 1.1.15. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X và tập A X. Điểm x X đợc gọi là điểm giới hạn của tập A nếu mọi lân cận U x của x đều chứa một điểm khác x trong tập A. Ký hiệu A là tập hợp tất cả các điểm giới hạn của X. 1.1.16. Nhận xét. Nh vậy x X là điểm giới hạn của A nếu với mọi U x là lân cận của x thì (U x \ {x}) A . Một điểm x không là điểm giới hạn đợc gọi là điểm cô lập. 1.1.17. Định nghĩa. Cho X, Y là hai không gian tôpô. (i) ánh xạ f: X Y đợc gọi là ánh xạ liên tục nếu nghịch ảnh của mỗi tập mở là một tập mở; (ii) ánh xạ f: X Y đợc gọi là ánh xạ đóng (mở) nếu với mỗi tập đóng (mở) A X thì f(A) đóng (mở) trong Y. 1.1.18. Mệnh đề. Cho X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f: X Y. Khi đó các Mệnh đề sau tơng đơng: (i) f liên tục; (ii) f -1 (V) mở trong X, với mọi tập V mở trong Y; (iii) f -1 (V) đóng trong X, với mọi tập V đóng trong Y; (iv) f( A ) ( ) f A với mọi tập A X; (v) ( ) 1 f B f -1 ( B ) với mọi tập B Y. 1.1.19. Mệnh đề. Nếu ánh xạ f: X Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y là ánh xạ liên tục và đóng khi đó. 6 (i) f( A ) = ( ) f A với mọi tập A Y; (ii) ( ) 1 f B f -1 ( B ) với mọi tập B Y. Chứng minh. (i) f( A ) = ( ) f A . Do f liên tục nên theo Mệnh đề 1.1.16 ta có f( A ) ( ) f A . (1) Mặt khác, do A A suy ra f(A) f( A ) nên ( ) f A ( ) f A . Theo giả thiết f là ánh xạ đóng mà A là tập đóng nên f ( A ) cũng là tập đóng, do đó ( ) f A = f( A ). Vậy ( ) f A f( A ). (2) Từ (1) và (2) suy ra f( A ) = ( ) f A . (ii) f -1 ( B ) = ( ) 1 f B . Do f liên tục nên theo Mệnh đề 1.1.16 ta có ( ) 1 f B f -1 ( B ). (3) Mặt khác theo câu (i) có ( ) f A f( A ) với mọi A X, ta lấy A = f -1 (B). Khi đó ( ) ( ) 1 f f B f ( ) ( ) 1 f B , hay B f ( ) ( ) 1 f B . Suy ra f -1 ( B ) ( ) 1 f B . (4) Từ (3) và (4) ta có f -1 ( B ) = ( ) 1 f B . 1.1.20. Mệnh đề. Cho f: X Y là ánh xạ đóng. Giả sử A X sao cho mọi tập con của A đều đóng trong X. Khi đó mọi tập con của f(A) đều đóng trong Y. Chứng minh. Giả sử F là tập con bất kỳ của f(A). Khi đó tồn tại B A sao cho f (B) = F. Do mọi tập con của A đều đóng, suy ra B đóng. Mà f là ánh xạ đóng nên f (B) đóng. Vậy F đóng, với mọi F f (A). 7 1.1.21. Định nghĩa. (i) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của tập con A trong X nếu A {P: P P }. Ta viết P thay cho {P: P P } (ii) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của X nếu X = P. 1.1.22. Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô và P là một phủ của X. Phủ B của X đợc gọi là cái mịn của P nếu mỗi phần tử của phủ B đợc chứa trong phần tử nào đó của phủ P. 1.1.23. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X. Họ P các tập con của X đợc gọi là một lới trong X nếu P là một phủ của X sao cho với mọi x X và moi tập mở U chứa x tồn tại một phần tử P P sao cho x P U. 1.1.24. Bổ đề. Giả sử f: X Y là ánh xạ liên tục, đóng với X là không gian chính quy. Nếu Y và f -1 (y) là các không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất với mọi y Y thì X cũng là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất. Chứng minh. Giả sử x X, y = f(x) và {V n } là cơ sở lân cận giảm tại y trong không gian Y và {U n } là cơ sở lân cận giảm tại x trong f -1 (y), với mỗi n ta chọn tập mở W n trong X sao cho x W n f -1 (V n ), W n f -1 (y) U n và 1n W + W n . Ta sẽ chứng minh {W n } là cơ sở lân cận đếm đợc tại x trong X. Giả sử ngợc lại {W n } không là cơ sở lân cận tại x. Khi đó, tồn tại một lân cận G của x trong X sao cho W n \ G , với mọi n. Với mỗi n ta lấy một x n W n \ G. Khi đó, dãy {x n } không có điểm tụ trong X. Thật vậy, vì X là T 2 -không gian nên f -1 (y) cũng là T 2 -không gian với mọi y Y. Do đó {x} = 1 1 n n n n W U = = = I I .Vì vậy nếu z là điểm 8 tụ của dãy {x n } thì z = x nhng điều này mâu thuẫn vì tồn tại một lân cận G của x mà G không chứa điểm x n nào cả. Do dãy{x n } không có điểm tụ nào trong X nên mọi tập con của nó đều đóng. Bây giờ ta chọn số n 0 để W n f -1 (y) G. Với mọi n > n 0 và giả sử A = {x n : n > n 0 } Khi đó dãy {x n } không có điểm tụ trong X nên A là tập đóng trong X. Vì x G nên x A. Do đó, y = f(x) f(A) = B. Mặt khác vì {V n } là cơ sở lân cận giảm tại điểm y, W n f -1 (V n ), với mọi n và x n W n nên y B = ( ) f A . Điều này kéo theo y B \ B vì thế tập hợp B = f(A) không đóng trong Y. Từ đó suy ra f không phải là ánh xạ đóng. Điều này mâu thuẫn với giả thiết, vì thế điều giả sử là sai. Vậy họ{W n } là cơ sở lân cận tại điểm x. 1.1.25. Định nghĩa. Tập con G của không gian tôpô X đợc gọi là G -tập nếu G là giao của đếm đợc các tập mở trong X. Từ nay về sau tất cả các không gian đợc giả thiết là T 2 -không gian và các ánh xạ là liên tục. 9 Đ2 Một số không gian đặc biệt 1.2.1. Định nghĩa. (i) Không gian X đợc gọi là T 1 -không gian, nếu mỗi phần tử 2x X thì {x} là tập đóng. (ii) Không gian X đợc gọi là T 2 -không gian (Hausdoff), nếu mỗi cặp điểm khác nhau x 1 , x 2 X, tồn tại một lân cận U của x 1 và một lân cận V của x 2 sao cho U V = . (iii) Không gian X đợc gọi là không gian chính quy nếu với mỗi điểm x X, mỗi tập đóng F sao cho x F, tồn tại các tập mở U vàV sao cho x U, F V và U V = . (iv) Không gian X đợc gọi là T 3 -không gian nếu X là T 1 -không gian và chính quy. 1.2.2. Nhận xét. Nếu không gian tôpô X là T 3 -không gian thì nó là T 2 - không gian và nếu X là T 2 -không gian thì nó là T 1 -không gian. 1.2.3. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian compact nếu với mỗi phủ mở của nó chứa một phủ con hữu hạn. Không gian tôpô X đợc gọi là paracompact nếu nó là không gian chính quy và mỗi phủ mở của nó là cái mịn hữu hạn địa phơng. Không gian mêtric là không gian tôpô paracompact. 1.2.4. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất nếu với mọi x X, tồn tại cơ sở đếm đợc tại x. Không gian mêtric là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất. 1.2.5. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian mêtric hoá đợc nếu tồn tại một mêtric trên X, sao cho tôpô sinh bởi mêtric này trùng với tôpô ban đầu của không gian X. 10 . k -không gian nếu A X là đóng trong X khi và chỉ khi A K là tập đóng trong K với mọi tập compact K X. 11 Chơng II Các không gian với phủ và k- lới Đ1 Các không. 2 - không gian và nếu X là T 2 -không gian thì nó là T 1 -không gian. 1.2.3. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian compact nếu với mỗi phủ