Các không gian với chuẩn dương và chuẩn âm

               ,     .  , t            PGS.TS. .    2   . , N10  12 .                          ,           10 12      2  3  4 bert 6 1.1. Kh 6 1.1.1 . 6 1.1.2  10 1.1.3  Hilbert 11 1.2. Hilbert 12 1.2.1  n E 12 1.2.2  2 l 15 1.3.  18 1.3.1  18 1.3.2  20 1.3.3  22 1.3.4  23   25 2.1.   25 2.2.  27 2.3. Vector  31 2.4   2 ,,L a b   2 2 W,ab 32 2.4   2 ,L a b 32 2.4   2 2 W,ab 38 2.4     2 22 L , , W ,a b a b 42  45  46 4  1. :     [5, 6].  Tuy ,   [7].              Berez 1963, khi  [8, 9].          . 2. :           2 ,.L a b : 1.  2.    . 3. . 4.    2 ,.L a b 5 vi :      2 ,.L a b 5: Ngh,   .     2 ,.L a b :                ,      gian         2 ,.L a b 6   1.1. KHilbert: 1.1.1. Không gian tiền Hilbert: :  X  K  K     .  gian X  X  ,K     .,. ,   1)      , , , ;  x y X y x x y 2)        , , , , , ;    x y z X x y z x z y z 3)       , , , ;        x y X K x y x y 4)    ,0x X x x    x      gian  ,X   ,0xx   .  x  , , x y z     ,xy  x  .y ,    : K          K . : (z):  xX  : ( , ).x x x (1.1.1)  ,x y X  ( , ) .x y x y (1.1.2)  ,xy  7 Chứng minh:   ( , ) 0xy (1.1.2) .  ( , ) 0xy    :   0 ( , ) , ( , )    x x y y x x y y 2 ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )( , )( , )       x x y y x x y y x x y x y y y 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) .    x x y x y y  .    4 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) . .     x y x y x y x y x y x y x y , ( , ) . ( , ).x y x y x y X    ,xy   + N ,xy     ,.x y x y  ,xy       , , 0 .         y x y x x x y          2 , , ,x y x y y y y y y             .y y y y x y      ,xy    ,.x y x y    , x y x y  ,xy  .     ,xy       ,,  xy     xy , : 0.         ,  0       xy .   8    2 , . yx z x y y Do  xy    .  z Suy ra:               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 , , , , ,, 0 , ,                x y x y x y x y y x y x z z x y x y x y x y y y y y y   ,.x y x y  ,    , x y x y  ,xy   X       ,,x x x .xX (1.1.3) Chứng minh:    : 1)   xX   , 0,x x x   ,0  x x x x        Hilbert  X (Do    ,xx ); 2)      ( , ) ( , ) ,               x X K x x x x x x x         , , , , ;          x x x x x x x x x 3)   ,x y X   ( , ) ( , ) ,x y x y x y x y x x y y                            , , , , , , , , , ,           x x y y x y x x x y y x y y x x x y y x y y           2 22 , , , , 2 ;          x x y x x y y y x x y y x y x y  X . .1.3 9     ,xy  ,xy 1.1.3). Chứng minh:    n xX  ,x     n yX  .y :     * 0 n C n y C                 , , , , , , n n n n n n x y x y x y x y x y x y     n n n x x y x y y      * . nn C x x x y y n      Suy ra,     lim , , . nn n x y x y   : Hilbert .X  ,x y X  xy    , 0.xy  : gian  Hilbert X   ,AX .A  xX  ,A  xy ()yA  .xA 1.1.5:   Hilbert X  .EX  FX  X  E  E  X  .F X E  F  ,X   X  :   1 2 1 2 : , .X F E x x x x F x E          ,EF              ,X  FE   1.1.6:   Hilbert .X  )    1 n n eX    :   ij ,,   ij ee 10 ij   ij 0    ,ij ij 1    ,ij   , 1,2, .ij :    1 n n e  trong   Hilbert X  ,X  X    1.1.2. Một số tính chất đơn giản: 1)    ,0    x X x         , 0. , 0. , 0;x X x x x x x       2)     , , ( , )        x y X K x y x y      ,     x y X K        , , , ( , );x y y x y x x y        3)    , , , ( , ) ( , )x y z X x y z x y x z         ,,x y z X      , , ( , ) ( , ) ( , ) ( , );x y z y z x y x z x x y x z       4)   x   xX     X v   xX        , 0. , 0 , 0    x x x x x  ;x   5) xX  xx  x   v xx    ,0xx   ;x   6)  , j x y X ( 1,2,3, , )jn  , j xy 1,2 ,jn    j K ( 1,2,3, , )jn  1 n jj j xy       1 1 1 , . ( , . ) .( , ) 0; n n n j j j j j j j j j x y x y x y                7)  xX    n yX  yX theo  (1.1.1).   n xy ()  nN  .xy [...]...  1, 1 1   1 K p q ê  ó bấ ẳ ứ 1  E nế á â q l E, p â 1  p  q p q x(t ) y (t ) d     x(t ) d     y (t ) d   , E  E  bấ ẳ ứ ề ữ ố ӧl e : 25 hương 2 KHÔNG G AN VỚ HUẨN DƯƠNG VÀ VỚ HUẨN ÂM 2.1 huẩn dương và chuẩn âm: G ả ử H0 l b ô ô ẩ (.,.)0 , H  l b  lbe ô ô ô lbe (.,.) , H  l ẩ (.,.)0 ô ù hô u 0  u  , u  H ỗ f  H0 ,lê ụ (2.1.2) ê H (u, f )0 l f  sup uH  \  u ... 1.7, ặ l  J 1vl  H  , ị ứ ế l : l (u)  (u, vl )  (u, l )0 ể ê , ế l 0 ố ữ á gian H  ô ô e á gian H  ĩ ế yế l ề ô ụ 1 , ụ e ứ ó yế H , lê á ó ế ô r H ( ị á ì l  0 ữ ô ê r ơ lê y ơ ụ l  vl  ê ô  l  ẩ â )l ô H  Vì ứ ê ô y, ô 2.4 Áp dụng ối với các không gian L2  a, b , W22  a, b : 2.4.1 Không gian L2  a, b : K T  b  a  : L2  a, b   f :  a, b  |  f (t ) 2 dt  ... 0 ), l( f  g )  sup ẩ â H  trong H 0 lf  0  f  ; ê t ìá ơ , f  H 0 f ô á ị   l f , f  H 0 H0 b ị lý 1 l 27 K ó ẩ ô ô l H0 ầy ô H ẩ ẽ l ẩ ơ ẩ ô e gian H 0 ẩ â ô _ ẩ â T ẩ ẽ ô b ẩ â ô ù ô ẩ â á ị ê ây 2.2 Không gian với chuẩn âm: Định lý 2.1.3: Á b ứ : B(u, f )  (u, f )0 , u  H  , f  H 0 yế l ,lê (2.1.4) ụ Chứng minh: *C ứ B(u, f ) l T yế y, u, v  H  ,  ,   K : ó: + B( u... H T á ử lê H H ô l :  x, x  , x  H ; ó ô Định nghĩa 1.1.9: Cho gian Hilbert X x  yế lbe ề ử x, y, z .,. ; ẩ ô ầ K; ô ô l ỡ á ê bị ồ ả H yế H 3) H  l á ử ố ứ ô 12 1.2 Mộ số không gian Hilber :   1.2.1 Không gian E n  x   xk k 1 xk  , k  1, n  n  *K ô n En ù P é é   á : En  En  En : “+”:  x, y   x  y   xk  yk k 1 n P é  En  En â : “ ”:   , x    x    xk k... (k  1, 2, , n)   xkm  xk   2 2 k 1  n  x k k 1 m  xk 2   , m  m1  m0  x m  x    lim x m  x  0 m Suy ra, gian E n l y ơ bả ô  x   m  m 1 ụ x ẩ : ô E n Nê ô 15 x  ( x, x )  n x k 1 V y, ô En l ô  2 k Hilbert   1.2.2 Không gian l2   x   xk k 1 xk  ,  xk    :   *K ô  k 1 l2 ù P é 2 é á : l2  l2  l2 : “+”:  x, y   x  y   xk  yk k 1... ụ ô x 1.1.3 Khái niệm không gian Hilbert: Định nghĩa 1.1.8: T ấy l ô 1) H 2) H lbe , ế ô l T l ô ô o X A l á ử lbe á ô lbe Y yế T á ửlê á bị ặ á ử B á ô ô Y ử A, ế :  Ax, y    x, By  , x  X , y Y T á ửlê ý B Định nghĩa 1.1.10: T á Hilbert ó H l ử l A yế lê bị ặ A á ế :  Ax, y    x, Ay  , x, y  H T á ử lê H H ô l :  x, x  , x  H ; ó ô Định nghĩa 1.1.9: Cho gian Hilbert X x  yế... k 1 ê 2  x k ụ l2 2 ây ứ (1.4.4) y   , n  n0 ô k 1 V y, k ế q ả ê y ơ bả Suy ra x  ( x, x )  2 ô x l l2 ô ẩ : ô l2 l ô lbe 1.3 Mộ số ịnh lý quan rọng: 1.3.1 Định lý về hình chiếu lên không gian con: Định lý 1.3.1: C H K ó ầ ử bấ ô lbe ỳ xH b ể H0 l H ễ á y ô ấ : x  y  z, y  H 0 , z  H 0 P ầ ô ử y H0 bể ễ (1.3.1) (1.3.1) l ì ế phầ ử x lê 19 Chứng minh: *C ứ ồ bể ặ d  uinf x  u ,... y '), x  X  A  ay  by '  aA y  bA y ' *C ứ T y, lê ụ : e A ứ ồ A y  f y  ( x, A y)  sup xX , x 1 T á ử A bị á *C ứ T l xX , x 1 ử yế (1.3.4) bị ặ ê A l á ử yế lê ụ A  A : y, gian Ax  y A y sup A  A ặ Do A l  Ax, y   ó: A ứ ô Y ó á ô A X, l ê á e ử ầ A   A   ử lê yế , bị ứ á ặ á ồ ử A á ô á ô ử A ta X ứ : Y  Ax, y    x, A y    A x, y  , x  X... 2.1.6: V f (2.1.7) b ô Hilbert  ô lbe e  ẩ lbe b H l  f , ô ó,  2 If 0 é H , H0 , H l ô ó: , f  H0 ;  u 0  u  , u  H ; H  H0  H ; Chứng minh: * f   f * T bấ u 0 , f  H0 ( ẳ  T e gian H  l ứ ị ê bấ lý 1.1, ị ẳ lý 1 ) ứ ( 1.1) y , H ù  u 0  u  , u  H ; ả á l ế ầ ầy ụ ô 1.1, H   H 0 H0 e ẩ , H0 K ô ê H0  H H0 ù 31 H D ó H  H0  H ù H H0 , ù H0 trong H  Định lý... bf y  x '  ; T e bấ ẳ ứ S w z ó: f y  x   ( Ax, y)  A y x , x  X ; n ĩ l ồ ế y fy ấ ầ yế bị ặ fy  A y T e ị lý R e z, ử y  X sao cho: f y  x   (x, y ), x  X , f y  y ; ặ y  A y gian á ô A ứ : X ( Ax, y)  ( x, A y), x  X , y Y T e ị ĩ , A l á ửlê á ử A Y ô 23 *C ứ yế A T y, A l : yế ì: y, y ' Y , a, b  K ó:  x, A  ay  by '  ( Ax, ay  by ')  a( Ax, y)  b( . 1.1.1. Không gian tiền Hilbert: :  X  K  K     .  gian X .  . n E N gian n E : 15 2 1 ( , ) . n k k x x x x    ,  n E  Hilbert. 1.2.2. Không gian   2 2 1 1 ,:      .    12 1.2: 1.2.1. Không gian       1 , 1, . n n kk k E x x x k n n        *  n E 