Một phương pháp biến phân để xác định nguồn nhiệt phụ thuộc biến không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN HIỂN MỘT PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT PHỤ THUỘC BIẾN KHÔNG GIAN Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SÜ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. ĐINH NHO HÀO VINH – 2009 1 Mục lục Trang Lời nói đầu . 3 Chơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Các không gian hàm . 6 1.2 Một số kiến thức về lý thuyết nửa nhóm các toán tử . 9 1.3 Đạo hàm Fréchet 14 1.4 Một số kiến thức về bài toán ngợc .15 1.5 Phơng trình Parabolic tuyến tính . 18 Chơng 2. Một phơng pháp biến phân để xác định nguồn nhiệt phụ thuộc biến không gian 21 2.1 Các giả thiết cho bài toán ngợc 21 2.2 Phơng pháp biến phân 24 2.3 Xấp xỉ nghiệm bài toán xác định nguồn bằng phơng pháp Galerkin .32 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo . 39 Lời nói đầu 2 Lý thuyết phơng tình vi phân đạo hàm riêng là một lĩnh vực toán học có nhiều ứng dụng thực tế. Đó là mô hình của nhiều hiện tợng trong tự nhiên, khoa học, kĩ thuật, công nghệ, y học, địa vật lý,Chính vì vậy đây là một lĩnh vực toán học vừa có ý nghĩa lý thuyết vừa có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc, nên ngoài những nghiên cứu định tính về phơng trình vi phân đạo hàm riêng, ngời ta còn quan tâm đến những nghiên cứu định lợng, tức là phơng pháp số để giải chúng, cũng nh so sánh lời giải xấp xỉ với bài toán thực tế. J.S. Hadamard là ngời đầu tiên chia các phơng trình đạo hàm riêng thành hai loại, đó là bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh. Một bài toán đợc gọi là đặt chỉnh nếu nh nó có lời giải, lời giải đó là duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện (theo một tôpô có ý nghĩa thực tế nào đó). Nếu một trong ba điều kiện này không đợc thỏa mãn thì bài toán đợc gọi là đặt không chỉnh. Một bài toán đặt không chỉnh sẽ khó khăn hơn rất nhiều so với bài toán đặt chỉnh, vì khi giải quyết bài toán đặt chỉnh nếu sai số là khá bé thì ta có thể bỏ qua mà không sợ vấp phải sai số quá lớn của nghiệm thu đợc. Đối với bài toán đặt không chỉnh thì vấn đề hoàn toàn khác, sai số của dữ kiện nhỏ bao nhiêu ta cũng phải tính đến, vì một sai số dù nhỏ cũng có thể làm làm cho bài toán vô nghiệm, hoặc nếu có nghiệm thì nó có thể lệch xa với nghiệm chính xác. Trong thực tế ta thờng xuyên gặp bài toán đặt không chỉnh, một trong những bài toán th- ờng dẫn đến bài toán đặt không chỉnh là bài toán ngợc. Bài toán ngợc là bài toán xác định lại mô hình qua các dữ kiện đo đạc gián tiếp. Ta có thể gặp các bài toán ngợc thông qua các mô hình của những quá trình trong thực tế, ví dụ: Bài toán xác định nguồn gây ô nhiễm, khi biết thực trạng, mức độ ô nhiễm môi trờng tại một thời điểm nào đó, bài toán xác định mật giao thông tại một thời điểm trong quá khứ khi biết mật độ đó tại một số thời điểm khác, bài toán xác định nhiệt độ tại một vị trí bất kì của một thanh kim loại tại một thời điểm t nào đó trong quá khứ, khi biết sự phân bổ đó tại thời điểm t = T, Do ý nghĩa thực tiễn của nó, bài toán ngợc luôn lôi cuốn các chuyên gia phơng trình vi phân đạo hàm riêng nghiên cứu, và nó đang trở thành đề tại thời sự từ 3 những năm 60 của thế kỷ trớc đến nay. Tại Việt Nam cũng có nhiều nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu bài toán này nh: Đặng Đình áng, Đặng Đức Trọng, Đinh Nho Hào, Với các bài toán đặt không chỉnh ngời ta không thể dùng các kĩ thuật thông th- ờng để xấp xỉ nghiệm chính xác của nó, mà phải sử dụng các phơng pháp hiệu chỉnh khác nhau để tìm ra nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm chính xác nhất. Trong Luận văn này chúng tôi nghiên cứu bài toán ngợc xác định hệ số bên phải của ph- ơng trình parabolic fLuu t =+ (L là toán tử eliptic) thời điểm ban đầu )()0,( xxu = và thời điểm cuối qua quan sát tại )(),( xTxu T = . Bài toán này thờng xuyên xuất hiện trong lý thuyết truyền nhiệt khi ta cần phải tìm nguồn, hoặc trong bài toán xác định nguồn gây ô nhiễm qua các quan sát tại những thời điểm khác nhau. Chúng tôi sẽ nghiên bài toán này bằng phơng pháp biến phân do Đinh Nho Hào đề xuất ([9],[10]) sau đó đợc Johansson và Lesnic áp dụng cho bài toán ngợc này. Với mục đích đó Luận văn đợc trình bày theo hai chơng Ch ơng 1 . Một số kiến thức chuẩn bị Chơng này chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản cần dùng trong Luận văn: các không gian hàm, lý thuyết nửa nhóm toán tử, phơng trình vi phân đạo hàm riêng, đạo hàm Fréchet, bài toán ngợc Ch ơng 2 . Một phơng pháp biến phân để xác định nguồn nhiệt phụ thuộc biến không gian Chơng này trình bày bài toán biến phân, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm, xây dựng phơng pháp lặp để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán ngợc của ph- ơng trình loại paraboclic tuyến tính, sau đó xấp xỉ bài toán biến phân bằng phơng pháp Galerkin để có thể gải số bài toán và chứng minh sụ hội tụ của sơ đồ. Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của Thầy giáo GS. TSKH. Đinh Nho Hào, qua đây tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy - ngời đã dành nhiều thời gian quý báu của mình hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn. Ngoài ra trong quá trình học tập và hoàn thành luận 4 văn, tác giả cũng đã nhận đợc sự chỉ bảo nhiệt tình của NCS Nguyễn Văn Đức và nhóm seminar phơng trình vi phân đạo hàm riêng Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, các Thầy cô trong Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Trờng Đại học Vinh, đặc biệt là PGS. TS Đinh Huy Hoàng, PGS. TS Trần Văn Ân, PGS. TS Phạm Ngọc Bội, PGS. TS Tạ Khắc C, PGS. TS Tạ Quang Hải, TS Vũ Thị Hồng Thanh, TS Phan Lê Na và các anh chị Học viên Cao học Khóa 15 Toán Giải Tích Trờng Đại học Vinh. Qua đây tác giả xin đợc gửi lời cảm ơn đến tất cả các Thầy cô giáo và bạn bè, đồng nghiệp. Vinh, tháng 11 năm 2009. Tác giả Chơng 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 Trong chơng này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản nhằm phục vụ cho chơng 2. Bao gồm: các không gian hàm, lý thuyết nửa nhóm, đạo hàm Fréchet, lý thuyết bài toán đặt không chỉnh, bài toán ngợc 1.1. Các không gian hàm 1.1.1 Định nghĩa. Cho là miền con mở của n , ta nói rằng miền con ' là miền trong ngặt của và viết ,' nếu . Kí hiệu ),,0( TQ T ì= với .0 > T 1.1.2 Định nghĩa ([2],[5]). a) L p ( ), < p1 là tập hợp các hàm đo đợc f(x) trong sao cho .)( < dxxf p b) Với mọi ),( p Lf ta định nghĩa .))(( 1 )( p p L dxxff p = Khi đó L p ( ) là không gian Banach. Đặc biệt L 2 ( ) là không gian Hilbert với tích vô hớng .)()(, dxxgxfgf = 1.1.3 Định nghĩa ([2],[5]). a) Hàm f xác định trên đợc gọi là bị chặn hầu khắp nơi trên nếu tồn tại hằng số k sao cho kxf )( h.n.n trên . b) )( L là tập hợp tất các hàm đo đợc f xác định trên sao cho f bị chặn hầu khắp nơi trên . c) Với mọi ),( Lf ta định nghĩa kxfkxfessf x == )(:inf{:)(sup h.k.n trên }. 1.1.4 Định nghĩa ([2],[5]). a) Hàm f xác định h.k.n trên đợc gọi là khả tích địa phơng trên nếu )'( p Lf với mọi miền trong ngặt .' 6 b) ),( , locp L ,1 p là tập hợp các hàm f xác định h.k.n trên , khả tích địa phơng trên . Chú ý rằng ),()( ,1 locp LL ;1 p )( , locp L là không gian tôpô nhng nó không là không gian Banach. 1.1.5 Định nghĩa ([2],[5]). a) Ta gọi giá của hàm f xác định trên , kí hiệu bởi supp f, là tập hợp supp f = .}0)(:{ xfx Khi supp f compact thì ta nói f có giá compact trong . b) )( 0 C là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong . c) )( k C là tập hợp tất cả các hàm f trên sao cho f(x) và ),(xf với ,k là liên tục đều trên . Với mỗi ),( k Cf ta định nghĩa = l x C xff k )(sup )( trong đó ), .,,( 21 n = đợc gọi là đa chỉ số, là véctơ n chiều với các tọa độ là số nguyên không âm, n +++= . 21 và ).( . )( 1 . 1 1 xf xx xf n n n = ++ Khi đó ( )( k C , )( . k C ) là không gian Banach. Ta định nghĩa ).()( 0 = CC 1.1.6 Định nghĩa ([2],[5]). (Đạo hàm yếu) Cho là đa chỉ số. Giả sử rằng ),(, ,1 loc Lgf và ,)()()1()()( = dxxxgdxxxf ),( 0 C thì g đợc gọi là đạo hàm yếu (hoặc đạo hàm suy rộng) của f trong , và đợc ký hiệu bởi .f 1.1.7 Định lý ([5]). Đạo hàm yếu có các tính chất: a) Đạo hàm yếu (nếu có) là duy nhất (sai khác trên một tập có độ đo bằng 0). b) Nếu )(, .121 loc Lff và tồn tại đạo hàm yếu )(, .12211 == loc Lfgfg 7 thì tồn tại )( 2211 fcfc + và ,)( 221122112211 gcgcfcfcfcfc +=+=+ 21 ,cc C. c) Nếu )( .2 loc Lf có đạo hàm yếu gf = và g có đạo hàm yếu hg = thì tồn tại đạo hàm yếu f + và .hf = + d) Nếu fg = trong thì fg = trong ' với mọi .' e) f xác định trực tiếp cho chỉ số , mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tồn tại. Các đạo hàm cấp thấp hơn của f có thể không tồn tại. 1.1.8 Định nghĩa ([2]). (Không gian Sobolev). a) )( k p W là tập tất cả các hàm )( p Lf sao cho với mọi đa chỉ số , ,k đạo hàm yếu f tồn tại và ).( p Lf b) Với mọi ),( l p Wf ta định nghĩa = k k p p W fess dxf f l p ,sup ,)( 1 )( ).( ),1( = < p p 1.1.9 Định lý. ( )( k p W , )( . l p W ) là không gian Banach. 1.1.10 Định nghĩa ([2],[5]). Ta định nghĩa a) ),()( 2 = kk WH (k = 0, 1,). b) )( 0 k H là bao đóng của )( 0 C theo chuẩn trong ).( k H 1.1.11 Định lý. )( k H là không gian Hilbert với tích vô hớng .)()(, dxxgxfgf k = 1.1.12 Định nghĩa [11]. Không gian ))();,0(()( 1 2 0.1 = HTLQH T là không gian Hilbert, gồm các phần tử u(x, t) thuộc )( 2 T QL sao cho các đạo hàm yếu ,, .,2,1; ni x u i = là bình phơng khả tích trên . T Q Với tích vô hớng và chuẩn đ- ợc xác định bởi 8 ,)(),( )( 0,1 += T T Q xx QH dxdtvuuvvu .),( )( )( 0,1 0,1 T T QH QH uuu = 1.1.13 Định nghĩa [11]. ))();,0(()( 1 02 0,1 0 = HTLQH T là không gian con của )( 0.1 T QH với các hàm bằng 0 trên biên ).,0( TS T ì= )( 0,1 0 T QH là trù mật trong ).( 0.1 T QH 1.1.14 Định nghĩa ([5]). (Không gian H -1 ) Ta định nghĩa H -1 ( ) là không gian đối ngẫu của ).( 1 0 H Với mỗi ),( 1 Hf ta định nghĩa }.1),(:,sup{ )( 1 0 )( 1 0 1 = HH uHuuff 1.1.15 Định lý ([5]). (Đặc trng của không gian H -1 ) Giả sử ),( 1 Hf khi đó tồn tại các hàm n fff , .,, 10 L 2 ( ) sao cho i) ,)(, 1 0 dx x v fvfvf n i i i = += (v )( 1 0 H ). ii) Hơn nữa, :)inf{( 2 1 1 2 )( 1 dxff n i i H = = các i f thỏa mãn (i) }. 1.2 Một số kiến thức về lý thuyết nửa nhóm các toán tử Kí hiệu X là không gian Banach phức với chuẩn ,. L(X) là không gian Banach tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên X. 1.2.1 Định nghĩa ([2],[16]). Cho ánh xạ T(.) : + L(X). 9 Họ 0 ))(( t tT các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X đợc gọi là một nửa nhóm nếu nó thỏa mãn = = + . , 0 IT TTT stst .0, st (1.1) Nếu )(:(.) XLRT và (1.1) đúng với mọi Rst , thì họ Rt tT ))(( đợc gọi là một nhóm. 1.2.2 Định nghĩa ([2],[16]). Nửa nhóm 0 )( tt T trên không gian Banach X đợc gọi là liên tục đều (hay liên tục theo chuẩn) nếu T(.) : + L(X) t Tt là liên tục đối với tôtô sinh bởi chuẩn trên L(X). 1.2.3 Định lý ([2]). Mọi nửa nhóm liên tục đều 0 )( tt T trên không gian Banach X đều có dạng 0,)( = tetT tA với toán tử A nào đó thuộc L(X). Toán tử A đợc gọi là toán tử sinh của .)( 0 tt T 1.2.4 Định nghĩa ([16]). Nếu họ )()( 0 XLT tt thỏa mãn các điều kiện T t + s = T t T s , ,0, st T 0 = I, xTxT tt tt 0 0 lim = , với mọi 0 0 t và mọi ,Xx thì 0 )( tt T đợc gọi là C 0 - nửa nhóm (hay nửa nhóm liên tục mạnh). 1.2.5 Mệnh đề ([16]). Cho 0 )( tt T là nửa nhóm trên không gian Banach X. Khi đó các khẳng định sau là tơng đơng: (a) 0 )( tt T là C 0 - nửa nhóm. (b) ,lim 0 xxT t t = + .Xx (c) Tồn tại ,0 > 1 M và tập con D trù mật trong X sao cho 10