Về không gian được xác định bởi phủ

1 mở đầu hái niệm Không gian đợc xác định bởi phủ đã có nhiều nhà toán học quan tâm nh E. Michael, Chuan liu, Y. Tanaka Năm 1973, trong bài báo Compact-covering images of metric spaces [12], E. Michael và K. Nagami đã nêu ra một vấn đề mở Nếu không gian X là s-ảnh thơng của một không gian metric thì có phải X cũng là s-ảnh thơng phủ-compact của một không gian metric?. k Từ đó đến nay, đó là vấn đề đợc nhiều ngời nghiên cứu tô pô đại cơng quan tâm, và họ cũng đã đa ra đợc một loạt tính chất hay, nhiều khái niệm mới đợc xây dựng, nảy sinh khi giải quyết nó [3, 5, 6, 11, 14]. Mục đích của luận văn là tác giả muốn đề cập và tập trung nghiên cứu một số nội dung sau: Trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản về không gian đợc xác định bởi phủ (đặc biệt là phủ điểm-đếm đợc). Chứng minh chi tiết và mở rộng (làm yếu giả thiết) một số kết quả của các bài báo trớc đó (đặc biệt trong [2]). Khai thác một số bất biến qua các ánh xạ: ánh xạ thơng, ánh xạ hoàn chỉnh, s-ánh xạ, ánh xạ giả mởvà một số bất biến khác. Qua điều kiện tơng đơng trong hệ quả 6.2[5] tác giả đã xây dựng một khái niệm không gian mới là HD-Fréchet và nghiên cứu một số tính chất của không gian này. Đặc biệt là tác giả đã giải quyết đợc vấn đề Michael-Nagami trong điều kiện không gian X là Fréchet khả li chính quy thì các phát biểu (a),(b),(c),(d), (e) trong định lý 6.1[5] là tơng đơng. 2 Cuối luận văn, tác giả nêu lên một số vấn đề mở cho sự nghiên cứu tiếp và những ai quan tâm. Luận văn gồm có nội dung chính nh sau: Chơng 1 không gian đợc xác định bởi phủ Chơng này tác giả trình bày khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất về không gian đợc xác định bởi phủ. Đa vào các khái niệm: song k-không gian đếm đợc, không gian compact đếm đợc, và không gian khả li để mở rộng (làm yếu giả thiết) một số kết quả của các bài báo trớc đó (đặc biệt trong [2]). Chơng 2 các bất biến Chơng này tác giả trình bày một số bất biến qua các ánh xạ: ánh xạ thơng, ánh xạ hoàn chỉnh, s-ánh xạ, ánh xạ giả mởvà khai thác một số bất biến biến qua các toán tử: tập con, tích Đề các Chơng 3 S-ảnh thơng của một không gian metric và không gian HD-Fréchet Chơng này tác giả chứng minh chi tiết mệnh đề 3.1.2 và định lý 3.1.3 để phát biểu điều kiện tơng đơng trong hệ quả 3.1.5. Qua các phát biểu tơng đơng trong hệ quả 6.2[5], tác giả đã xây dựng một không gian mới là HD-Fréchet. Sau đó nghiên cứu một số tính chất của không gian này. Do khuôn khổ của luận văn, một số kết quả đã biết cần cho các lập luận về sau đợc viết dới dạng bổ đề, không chứng minh nhng có chú thích xem ở tài liệu tham khảo. Trong luận văn chúng tôi quy ớc rằng tất cả các ánh xạ đều liên tục và toàn ánh, tất cả các không gian đều là Hausdorff (T 2 -không gian). Một số khái niệm, thuật ngữ khác nếu không nói gì thêm thì đợc hiểu thông thờng. Một số kí hiệu viết tắt 3 (a)(b) là (a) kéo theo (b). (a)(b) là (a) tơng đơng (b). Giả sử và f là họ các tập hợp. Khi đó: = {P:P} = {P:P } * ={ f : f , f hữu hạn}. Giả sử Y là không gian con của không gian tô pô X, A Y . Khi đó: Y A là bao đóng của A trong không gian con Y A 0 là phần trong của A trong X. Giả sử {x n } là dãy trong không gian tô X, x X. Khi đó: x n x là x n hội tụ tới x. Những kết quả của luận văn là sự tổng kết và phát triển của các bài báo (xem tài liệu tham khảo). Một số kết quả mới của tác giả nh: mệnh đề 2.1.11; hệ quả 3.1.6; mệnh đề 3.2.2; mệnh đề 3.2.3; định lý 3.2.5, định lý 3.2.6. Cuối cùng, tác giả gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. trần văn ân- ngời thầy đã tận tình hớng dẫn trong suốt quá trình học tập cũng nh nghiên cứu viết luận văn này. Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa Sau đại học đã nhiệt tình giảng dạy, tất cả các bạn bè đã động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tại trờng Đại học Vinh. Vinh, tháng 2 năm 2004 Tác giả. 4 Mục lục Trang Mở đầu 1 Mục lục 4 Chơng 1 Không gian đợc xác định bởi phủ 5 1.1. Không gian đợc xác định bởi phủ .5 1.2. Song k-không gian đếm đợc .16 1.3. Không gian compact đếm đợc và không gian khả ly .25 Chơng 2 Các bất biến 33 2.1. Bất biến qua ánh xạ 33 2.2. Một số bất biến khác 39 Chơng 3 S-ảnh thơng của một không gian metric và không gian HD- Fréchet 44 3.1. S-ảnh thơng của một không gian metric 44 3.2. Không gian HD-Fréchet .50 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 54 5 Chơng 1 không gian đợc xác định bởi phủ 1.1. không gian đợc xác định bởi phủ 1.1.1. Định nghĩa. Họ- các tập con của X đợc gọi là điểm-đếm đợc (point-countable) nếu với mỗi x X thì x thuộc không quá đếm đợc các phần tử P . 1.1.2. Định nghĩa. Không gian tôpô X gọi là đợc xác định bởi phủ (hoặc xác định X ) nếu U X là mở (đóng) trong X khi và chỉ khi U P là mở (tơng ứng, đóng) trong P với mọi P . 1.1.3. Định nghĩa. Phủ của X gọi là k- lới của X nếu với mỗi K U, với K compact và U mở trong X thì K f U với họ con hữu hạn f nào đó của. 1.1.4. Một số kí hiệu bằng số (1.1) X có phủ điểm- đếm đợc sao cho mỗi tập mở U X đợc xác định bởi {P:P U}. (1.2) X có phủ điểm- đếm đợc sao cho nếu x U với U mở trong X thì x (f ) 0 U với họ con hữu hạn f nào đó của. (1.2) p Nh (1.2), nhng thay U bởi X\{p} với p X. (1.3) X có phủ điểm- đếm đợc sao cho mỗi tập mở U X đợc xác định bởi {P:P U} * . (1.3) p Nh (1.3), nhng thay U bởi X\{p} với p X. (1.4) X có k-lới điểm- đếm đợc . 6 (1.4) p X có phủ điểm- đếm đợc sao cho nếu x K với K compact và p X\K thì K f X\{p} với họ con hữu hạn f nào đó của. (1.5) X có phủ điểm-đếm đợc sao cho nếu x K U với K compact, U mở trong X thì có họ con f hữu hạn của sao cho f U, x f và f phủ một lân cận của x trong K. (1.6) X có k- lới đóng điểm- đếm đợc . Tựa-(1.4) Nh (1.4), nhng thay K compact bởi K compact đếm đợc. Tựa-(1.4) p Nh (1.4) p ,nhng thay K compact bởi K compact đếm đợc. 1.1.5. Mệnh đề. Nếu X đợc xác định bởi phủ (X ) và mỗi X đợc xác định bởi phủ thì X đợc xác định bởi . Chứng minh. Giả sử X đợc xác định bởi ={X }, U X mở trong X với mọi X . . Vì X đợc xác định bởi nên U X mở trong X với mọi . Mặt khác, X đợc xác định bởi X nên U mở trong X. Vậy X đợc xác định bởi . 1.1.6. Mệnh đề. Nếu X đợc xác định bởi phủ m và m là cái mịn của n thì X đợc xác định bởi phủ n . Chứng minh. Giả sử U N mở trong N với mọi N n . Khi đó U N mở trong M với mọi M m . Thật vậy, với mỗi M m , tồn tại N n để M N. Vì U N mở trong N, do đó U M mở trong M. Mặt khác, m xác định X nên suy ra U mở trong X. Vậy X đợc xác định bởi phủ n . 1.1.7. Mệnh đề. Giả sử là phủ điểm- đếm đợc của X sao cho X đợc xác định bởi * . Khi đó mỗi tập compact đếm đợc K X đợc phủ bởi họ hữu hạn f . 7 Chứng minh. Giả sử ngợc lại, tồn tại tập compact đếm đợc K X mà không bị phủ bởi bất kỳ họ con hữu hạn f nào của. Ta ký hiệu {P : x P}={P n (x): n=1,2, .}. Ta chọn x 1 bất kỳ thuộc K, họ {P 1 (x 1 )} không phủ K, lấy x 2 K sao cho x 2 P 1 (x 1 ), họ { P 1 (x 1 ), P 2 (x 1 ), P 1 (x 2 ), P 2 (x 2 )} không phủ K, lấy x 3 K sao cho x 3 P J (x i ), i,j < 3, . tiếp tục quá trình trên ta chọn x n P J (x i ), i,j < n. Bởi vì K compact đếm đợc nên tập hợp A={x n : n=1,2, .} có điểm giới hạn x 0 . Vì vậy B = A\{x 0 } không đóng. Do X đợc xác định bởi * nên từ lập luận này ta suy ra tồn tại họ hữu hạn f sao cho B ( f ) không đóng, kéo theo tồn tại F f mà F chứa vô hạn các điểm x n của B. Khi đó F = P J (x i ) với i,j nào đó và tồn tại n > i, j sao cho x n P J (x i ), mâu thuẫn cách chọn x n . Vậy mệnh đề đã đợc chứng minh. 1.1.8. Định nghĩa. ánh xạ f: XY đợc gọi là ánh xạ thơng nếu tập f -1 (U) mở (đóng) trong X khi và chỉ khi U mở (tơng ứng, đóng) trong Y. 1.1.9. Mệnh đề. ánh xạ đóng hoặc mở từ không gian tô pô X lên không gian tô pô Y là ánh xạ thơng. Chứng minh. Đợc suy từ định nghĩa 1.1.8 và vì f: XY là ánh xạ lên nên B = f(f -1 (B)) với mọi B Y. 1.1.10. Mệnh đề. Nếu f: X Y là ánh xạ thơng và X đợc xác định bởi phủ thì Y đợc xác định bởi phủ f( ) = {f(P): P }. Chứng minh. Do f toàn ánh nên f() = {f(P): P } phủ Y. Giả sử U là tập mở bất kỳ trong Y, U f(P) mở trong f(P) với mọi P . Vì f liên tục nên f - 1 (U f(P)) mở trong f -1 (f(P)) với mọi P , suy ra f -1 (U) f -1 (f(P)) mở trong f - 1 (f(P)) với mọi P , mà P f -1 (f(P)) kéo theo f -1 (U) P mở trong P với mọi P 8 . Do X đợc xác định bởi nên từ lập luận này ta suy ra f -1 (U) mở trong X. Mặt khác, vì f là ánh xạ thơng nên U mở trong Y. 1.1.11. Mệnh đề. Giả sử (X ) là phủ của X. Khi đó X là đợc xác định bởi (X ) nếu và chỉ nếu ánh xạ nhúng f: X X là ánh xạ thơng. Chứng minh. Giả sử X đợc xác định bởi (X ) ta chứng minh f là ánh xạ thơng. Thật vậy, vì f liên tục nên ta chỉ cần chứng minh nếu f -1 (U) mở trong X thì U mở trong X. Do f -1 (U) mở trong X suy ra f -1 (U) X mở trong X với mọi (định nghĩa tô pô tổng), vì vậy f -1 (U) mở trong X. Mà U = f -1 (U) mở trong X. Vậy f là ánh xạ thơng. Ngợc lại, giả sử U X mở trong X với mọi , vì f liên tục nên f -1 (U X ) mở trong f -1 (X ) với mọi , hay f -1 (U) X mở trong X với mọi . Vậy f -1 (U) mở trong X , và do f là ánh xạ thơng nên kéo theo U mở trong X. Vậy X đợc xác định bởi phủ (X ) . 1.1.12. Bổ đề ([4]). Giả csử Y là không gian compact địa phơng, f:E X là ánh xạ thơng thì tích Đề các g=f ì id y :E ì Y X ì Y là ánh xạ thơng. 1.1.13. Mệnh đề. Nếu X đợc xác định bởi phủ và Y là không gian compact địa phơng thì X ì Y đợc xác định bởi {P ì Y: P }. Chứng minh. Đặt E = với tô pô tổng các phần tử P ; f:EX là phép nhúng. Theo mệnh đề 1.1.11 thì f là ánh xạ thơng. Kết hợp bổ đề 1.1.12 thì g=fìid y :EìYXìY là ánh xạ thơng. Vì EìY={PìY: P } nên g là phép nhúng, kết hợp mệnh đề 1.1.11 thì XìY đợc xác định bởi {PìY: P }. 9 1.1.14. Định nghĩa ([9]). Không gian tô pô X đợc gọi là k- không gian nếu với mỗi tập A X mà A K đóng trong K với mọi tập K compact trong X thì A đóng trong X. 1.1.15. Định nghĩa. ánh xạ liên tục f: XY đợc gọi là ánh xạ hoàn chỉnh (tựa hoàn chỉnh) nếu X là Hausdorff, f đóng và f -1 (y) là tập compact (t- ơng ứng, compact đếm đợc) trong X với mọi y Y. 1.1.16. Mệnh đề. Giả sử f:X Y là ánh xạ hoàn chỉnh. Khi đó ={f -1 (R):R } là phủ xác định X khi và chỉ khi là phủ xác định Y. Chứng minh. Giả sử f:XY là ánh xạ hoàn chỉnh, ={f -1 (R):R } xác định X. Vì f:XY toàn ánh nên =f() ={R: R }. Vì ánh xạ f:XY đóng nên theo mệnh đề 1.1.9 thì f là ánh xạ thơng. Kết hợp mệnh đề 1.1.10 thì =f() xác định Y. Ngợc lại, giả sử f:XY là ánh xạ hoàn chỉnh, xác định Y. Rõ ràng phủ X. Giả sử U X, U f -1 (R) đóng trong f -1 (R) với mọi R , ta chứng minh U đóng trong X. Giả sử ngợc lại, U không đóng trong X, khi đó tồn tại x 0 X, x 0 U \U và R 0 để f(x o ) R 0 . Do U f -1 (R o ) và f -1 (f(x 0 )) là tập đóng trong f -1 (R o ) nên U f -1 (f(x 0 )) = U f -1 (R 0 ) f -1 (f(x 0 )) đóng trong f -1 (f(x 0 )). Vì f -1 (f(x 0 )) đóng trong X nên U f -1 (f(x 0 )) đóng trong X. Từ x 0 f -1 (f(x 0 )) U, x 0 f -1 (f(x 0 )) nên ta có với mỗi x f -1 (f(x 0 )) U thì x x 0 . Do X là không gian Hausdorff nên tồn tại các lân cận mở W x của x và x x V 0 của x 0 sao cho W x x x V 0 = . Khi đó họ {W x : x f -1 (f(x 0 )) U} là phủ mở của f -1 (f(x 0 )) U. Vì f - 1 (f(x 0 )) U đóng trong không gian compact f -1 (f(x 0 )) nên f -1 (f(x 0 )) U là compact. Do đó tồn tại phủ mở hữu hạn { i x W : 0 i n } phủ f -1 (f(x 0 )) U. Đặt V= n i x x i V 1 0 = . Ta có V là một lân cận của x 0 và V ( n i x i W 1 = ) = suy ra V 10 ( n i x i W 1 = ) = . Do đó ( V U) f -1 (f(x 0 )) = . Đặt E = V U ta có E f -1 (f(x 0 )) = suy ra f(x 0 )f(E). Mặt khác, với mọi lân cận W của x 0 thì W V là lân cận của x 0 và do x 0 U nên (W V ) U = W ( V U) = W E , suy ra x 0 E . Do đó f(x 0 ) f( E ) )(Ef , suy ra f(x 0 ) )(Ef \f(E). Do vậy f(E) không đóng trong Y. (1) Hơn nữa, ta lại có f(E f -1 (R)) = f(E) R với mọi R. Từ giả thiết U f -1 (R) đóng trong f -1 (R) với mọi R nên V (U f -1 (R)) đóng trong f - 1 (R) với mọi R hay E f -1 (R) đóng trong f -1 (R) với mọi R. Vì f là ánh xạ đóng nên f(E f -1 (R)) đóng trong R với mọi R . Suy ra f(E) R đóng trong R với mọi R. Vì xác định Y nên từ lập luận này ta suy ra f(E) đóng trong Y (2). Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn. Vậy U đóng trong X. 1.1.17. Định nghĩa. Không gian tô pô X đợc gọi là M- không gian (M- không gian paracompact) nếu tồn tại ánh xạ tựa hoàn chỉnh (tơng ứng, hoàn chỉnh) từ X lên một không gian khả metric. 1.1.18. Bổ đề ([9]). Nếu X là không gian tô pô Hausdorff thì các khẳng định sau là tơng đơng. (a) X là k- không gian. (b) X là ảnh của một không gian compact địa phơng qua ánh xạ thơng. (c) X là ảnh của M- không gian paracompact qua ánh xạ thơng. 1.1.19. Mệnh đề. Nếu là một phủ của k- không gian X sao cho mọi tập compact K X là đợc phủ bởi họ hữu hạn f nào đó thì X đợc xác định bởi * . Chứng minh. Giả sử f:Y X là ánh xạ thơng. Y là không gian compact địa phơng. Mỗi y Y, tồn tại lân cận mở V y của y mà y V compact, suy ra {V y : y Y, y V compact }phủ Y, do đó {f( y V ): y Y, y V compact }là cái mịn của * .