Về không gian các họ số xác định bởi hàm orlicz

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các họ số không gian dãy Orlicz 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Hàm Orlicz không gian dãy Orlicz 13 Không gian họ số xác định hàm Orlicz 15 2.1 Xây dựng không gian họ số xác định hàm Orlicz 15 2.2 Một số tính chất không gian họ số xác định hàm Orlicz 23 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Trong giải tích hàm, lớp không gian tuyến tính định chuẩn có vai trò quan trọng lớp không gian dãy Không gian dãy cổ điển xét với dãy nhận giá trị trường vô hướng, tính chất không gian dãy ví dụ điển hình giải tích hàm cổ điển Trong [5] sử dụng ý tưởng Orlicz tác giả J.Lindenstrauss L.Tzafriri xây dựng không gian tuyến tính định chuẩn dãy nhận giá trị vô hướng từ lớp hàm thực đặc biệt, mà chúng gọi hàm Orlicz Các tính chất không gian dãy Orlicz nghiên cứu sâu sắc thông qua cấu trúc hàm Orlicz J.Lindenstrauss L.Tzafriri Một mở rộng tự nhiên dãy dãy suy rộng (hay gọi họ số) xuất nhiều giải tích (xem [7]) Các họ số bị chặn, họ số khả tổng, họ số hội tụ tới 0, giới thiệu nghiên cứu thấu đáo [7] Mục đích luận văn xây dựng không gian họ số (dãy số suy rộng) xác định hàm Orlicz Vì vậy, lựa chọn đề tài:" Về không gian họ số xác định hàm Orlicz" Nội dung luận văn trình bày số kết biết họ số họ số bị chặn, họ số khả tổng, họ hội tụ tới không, ; xây dựng không gian họ số xác định hàm Orlicz đưa số tính chất chúng Các nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương Các họ số không gian dãy Orlicz Chương trình bày họ số họ số bị chặn, họ số khả tổng, họ hội tụ tới không, hàm Orlicz không gian dãy Orlicz Chương Không gian họ số xác định hàm Orlicz Chương nghiên cứu cách xây dựng số tính chất không gian họ số xác định hàm Orlicz Các kết chương đề xuất dựa ý tưởng không gian dãy Orlicz cổ điển trình bày [5] Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình PGS.TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm toán học quý thầy cô tổ Giải tích Trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ thời gian học tập, rèn luyện hoàn thành luận văn Qua đây, tác giả gửi lời cảm ơn đến Ban Quản lý Khoa Khoa học bản, Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Kỹ thuật Lý Tự Trọng Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 21 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp Quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2015 Tác giả Dương Đức Kiên CHƯƠNG CÁC HỌ SỐ VÀ KHÔNG GIAN CÁC DÃY ORLICZ Chương này, trình bày kết không gian họ số họ số bị chặn, họ số khả tổng, họ hội tụ tới không, hàm Orlicz không gian dãy Orlicz Những nội dung chương viết dựa tham khảo tài liệu [3], [6] [7] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục này, nhắc lại số kết tập định hướng, không gian định chuẩn, không gian Banach cần dùng sau 1.1.1 Định nghĩa Tập I = ∅ gọi định hướng xác định quan hệ ">" thoả mãn tính chất: 1) Với m, n, p ∈ I cho m > n n > p m > p; 2) Với m ∈ I m > m; 3) Với m, n ∈ I tồn p ∈ I cho p > m, p > n Khi đó, tập I gọi định hướng quan hệ ">" ký hiệu (I, >) viết tắt I Ta dễ dàng có mệnh đề sau 1.1.2 Mệnh đề Cho I tập số tuỳ ý Ký hiệu F(I) = J ⊂ I : J hữu hạn Trên F(I) định nghĩa quan hệ bao hàm ” > ” sau với J, K ∈ F(I) : J > K ⇔ K ⊂ J Khi F(I) với quan hệ bao hàm tập định hướng 1.1.3 Định nghĩa Giả sử I tập định hướng quan hệ ” > ” Khi hàm S xác định I gọi lưới hay dãy suy rộng ký hiệu (S, I, >) viết tắt S Nếu miền giá trị S không gian tôpô gọi lưới không gian tôpô 1.1.4 Định nghĩa Giả sử I tập định hướng quan hệ ” > ”; (X, τ ) không gian tôpô Khi lưới (Sn , I, >) gọi hội tụ không gian tôpô đến điểm S tôpô τ Nếu với lân cận U S tồn n0 ∈ U cho với n thuộc I mà n > no Sn ∈ U Khi ký hiệu lim Sn = S hay Sn → S 1.1.5 Định nghĩa Cho E không gian tuyến tính trường K Hàm : E → R gọi chuẩn E thoả mãn điều kiện sau: 1) x 0, với x ∈ E x = ⇔ x = 0; 2) λx = |λ| x , với λ ∈ K với x ∈ E ; 3) x + y x + y , với x, y ∈ E Khi (E, ) gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E đầy đủ với mêtric sinh chuẩn Với tôpô sinh mêtric sinh chuẩn phép toán cộng nhân vô hướng E liên tục Cho E, F không gian định chuẩn Ký hiệu L(E, F ) tập hợp ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Ta biết L(E, F ) không gian định chuẩn với chuẩn f = sup x =1 f (x) , ∀f ∈ L(E, F ) Nếu F không gian Banach L(E, F ) không gian Banach Đặc biệt, L(E, K) := E ∗ không gian liên hợp thứ E không gian Banach Các lớp không gian dãy quen thuộc 1.1.6 Ví dụ Giả sử K trường số thực số phức Ký hiệu l∞ = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) dãy bị chặn ; C = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) dãy hội tụ ; C0 = x = (xn ) ⊂ K : lim xn = ; n→∞ ∞ |xn |p < ∞ , p lp = x = (xn ) ⊂ K : n=1 Với phép toán cộng dãy nhân số với dãy thông thường ta có l∞ không gian tuyến tính C , C0 lp không gian l∞ Hơn lp ⊂ C0 ⊂ C ⊂ l∞ Ta biết l∞ không gian Banach với chuẩn xác định x = sup |xn |, ∀x ∈ l∞ (1.1) n Đặc biệt C0 , C không gian đóng l∞ , chúng không gian Banach với chuẩn Tuy nhiên lp không đóng l∞ Đối với lp , người ta xét chuẩn xác định công thức ∞ x p |xn |p = 1/p , ∀x ∈ lp n=1 Khi đó, lp không gian Banach (1.2) 1.1.7 Định nghĩa Cho (X, d), (Y, ρ) không gian mêtric ánh xạ f : X → Y 1) ánh xạ f gọi liên tục với dãy {xn } ⊂ X xn → x f (xn ) → f (x) 2) ánh xạ f gọi liên tục với ε > tồn δ = δ(ε) cho: ρ(f (x), f (y)) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ Ta chứng minh ánh xạ liên tục liên tục Mệnh đề ngược lại không 1.1.8 Định nghĩa Cho d, ρ mêtric X 1) d ρ gọi tương đương ánh xạ đồng id : (X, d) → (X, ρ) ánh xạ ngược liên tục 2) d ρ gọi tương đương ánh xạ đồng id : (X, d) → (X, ρ) ánh xạ ngược liên tục Người ta chứng minh d ρ tương đương tồn a, b > cho ad(x, y) ρ(x, y) bd(x, y) với x, y ∈ X Hai chuẩn không gian tuyến tính E gọi tương đương tồn a, b > cho a x x b x với x ∈ E Rõ ràng hai chuẩn tương đương sinh tương ứng hai mêtric tương đương 1.1.9 Định lý Nếu E, F không gian định chuẩn f : E → F song ánh Khi đó, m x f (x) M x với x ∈ E f đẳng cấu Như vậy, hai chuẩn không gian tuyến tính E tương đương (E, ) (E, ) đẳng cấu Sau đây, ta nhắc lại khái niệm hàm lồi Các kết sau tìm thấy [1] 1.1.10 Định nghĩa Cho hàm thực f : (a, b) → R Hàm f gọi lồi f λx + (1 − λ)y với x, y ∈ (a, b) λ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.3) 1.1.11 Nhận xét Điều kiện (1.3) tương đương với điều kiện sau: f (t) − f (s) t−s f (u) − f (t) u−t (1.4) với a < s < t < u < b 1.1.12 Mệnh đề Cho f : (a, b) → R hàm lồi c ∈ (a, b) Khi đó, f (x) − f (c) hàm p : (a, b) \ {c} → R xác định p(x) = không x−c giảm Ngược lại, với c ∈ (a, b) hàm p không giảm f hàm lồi 1.1.13 Hệ Giả sử f hàm khả vi (a, b) Khi đó, f lồi f hàm đơn điệu tăng (a, b) 1.1.14 Hệ Nếu f : (a, b) → R có đạo hàm cấp (a, b) f (x) > với x ∈ (a, b) f hàm lồi 1.1.15 Ví dụ Từ hệ ta thấy hàm f (x) = ex lồi R y = xp hàm lồi (0, ∞) với p Sau đây, ta trình bày số kết họ số khả tổng 1.1.16 Định nghĩa ([1]) Cho {xi }i∈I họ số (thực phức) Họ {xi }i∈I gọi khả tổng lưới hay dãy suy rộng {SJ }J∈F(I) hội tụ đến số S , SJ = xi Khi ta viết i∈J xi = S i∈I Nói cách khác xi = S với ε > 0, tồn J0 cho với i∈I J ∈ F(I) mà J > J0 xi − S| < ε | i∈J 1.1.17 Nhận xét Khi I = N tập số tự nhiên dãy số {xn }n∈N ∞ xn hội tụ không điều kiện, tức khả tổng chuỗi số n=1 hội tụ với phép đổi vị trí số hạng chuỗi Như ta biết ∞ xn định lý điều tương đương với hội tụ tuyệt đối chuỗi n=1 Riemann Ta cần bổ đề đơn giản sau 1.1.18 Bổ đề ([7]) Nếu với họ số {xi }i∈I tuỳ ý, tồn số C > cho | xi | < C, ∀J ∈ F(I) i∈J |xi | < 4C i∈J Chứng minh Đầu tiên ta giả sử họ {xi }i∈I họ số thực Với J ∈ F(I) đặt J + = {i ∈ J : xi 0} J − = {i ∈ J : xi < 0} Ta có |xi | = i∈J xi − i∈J + xi = i∈J − xi + i∈J + xi < 2C i∈J − 10 với J ∈ F(I) Tiếp theo, {xi }i∈I họ số phức hai họ {Rexi }i∈I {Imxi }i∈I họ số thực thỏa mãn giả thiết bổ đề Do |xi | |Rexi | + i∈J i∈J |Imxi | < 4C, ∀J ∈ F(I) i∈J 1.1.19 Mệnh đề ([7]) Họ số {xi }i∈I khả tổng tồn C > cho với J ∈ F(I) |xi | < C i∈J Chứng minh Điều kiện cần Nếu {xi }i∈I họ khả tổng có tổng S tồn J0 ∈ F(I) cho |SJ − S| < 1, ∀J > J0 , xi Khi đó, với J ∈ F(I) ta có SJ = i∈J xi − S + S − xi = i∈J i∈J∪J0 xi i∈J\J0 xi − S + |S| + i∈J∪J0 |xi | i∈J0 + |S| + |xi | i∈J0 C = + |S| + |xi | theo Bổ đề 1.7 ta có i∈J0 J ∈ F(I) |xi | < C với Nếu đặt i∈J |xi | < C với J ∈ F(I) Điều kiện đủ Giả sử tồn C > cho i∈J Đặt |xi | : J ∈ F(I) < +∞ C0 = sup i∈J Theo tính chất cận tồn J1 , , Jn , thuộc F(I) cho |xi | > C0 − n i∈Jn 17 2.1.3 Định lý lM (I) không gian định chuẩn với chuẩn xác định công thức x = inf{ρ > : M( α∈I |xα | ) ρ 1}, (2.1) với x ∈ lM (I) Chứng minh Với x ∈ lM (E, I), rõ ràng x = inf ρ > : |xi | Ta cần x = x = Thật M ρ i∈I |xi | vậy, x = 0, tức xi = với i ∈ I Khi đó, M ( ) = M ( ) = ρ ρ với ρ x = inf{ρ > 0} = Nếu x = ta x = Giả sử ngược lại x = x = Khi đó, x = (xi ) = nên tồn i0 cho xi0 = 0, suy |xi0 | > Vì M hàm Orlicz nên lim M (t) = ∞ Do đó, tồn t0 > cho t→∞ M (t0 ) > Từ giả thiết x = inf ρ > : M |xi | ρ =0 M |xi | ρ 1} i∈I suy tồn ρ0 ∈ {ρ > : i∈I cho |xi0 | > t0 Do ρ0 M( |xi0 | ) ρ0 M |xi | ρ0 M (t0 ) > Ta thu i∈I M( |xi0 | ) > ρ0 18 Điều mâu thuẫn với ρ0 ∈ {ρ > : xi ρ M i∈I 1} Vì x = x = Do đó, x = x = Để kiểm tra điều kiện chuẩn ta cần nhận xét sau: Nếu x = M i∈I |xi | x Thật vậy, với ε > tồn ρ > cho ρ M i∈I (2.2) |xi | ρ x + ε Do tính không giảm hàm M ta suy M i∈I |xi | x +ε |xi | ρ M i∈I Cho ε → ta nhận M i∈I |xi | x Tiếp theo, ta λx = |λ| x với x ∈ lM (I) với λ ∈ K Trường hợp λ = x = hiển nhiên Nếu λ = x = λx = inf ρ >0: M |λxi | ρ M |λ| |xi | ρ i∈I = inf ρ >0: i∈I 1 19 Đặt ρ = ρ Khi ta có |λ| λx = inf ρ|λ| : M |xi | ρ M xi ρ M |xi | ρ M |yi | ρ i∈I = |λ| inf ρ: i∈I 1 = |λ| x Cuối cùng, với x, y ∈ lM (I) ta đặt u = x = inf ρ: i∈I v = y = inf ρ: i∈I Khi M i∈I |xi | x |yi | y M i∈I Giả sử t, s ∈ R cho s > u t > v Khi đó, ta có M i∈I M i∈I |xi | s |yi | t M |xi | x M |yi | y i∈I i∈I Mặt khác, ta có |xi | + |yi | s |xi | t |yi | = + t+s s+t s s+t t Suy 20 M |xi + yi | s+t |xi | + |y n | s+t |xi | s t M M + s+t s s+t t s + = s+t s+t M |yi | t Do s+t∈ ρ: M |xi + yi | ρ M |xi + yi | ρ i∈I Vì x + y = inf ρ: i∈I s + t (2.3) Vì (2.3) với s > |x t > |y| nên ta thu x+y x + y Do lM (I) không gian định chuẩn Để chứng minh tính Banach lM (I) ta cần bổ đề sau 2.1.4 Bổ đề Nếu dãy (xk ) ⊂ lM (I), xk = (xki ), i ∈ I hội tụ tới lM (E, I) lim xki = E với i ∈ I k→∞ Chứng minh Giả sử khẳng định không Khi đó, tồn i0 cho dãy (xki0 ) không hội tụ tới E Vì vậy, tồn dãy (kj ) r > k cho |xi0j | r Ta có k kj x = inf ρ>0: M i∈I |xi j | ρ Suy k k M i∈I |xi j | xkj M |xi0j xkj M r xkj (2.4) 21 với kj Cho kj → ∞ với để ý rằng, từ xkj r M → ∞ Mâu thuẫn với (2.4) |xkj | Ta nhận điều cần chứng minh → ta nhận 2.1.5 Định lý lM (I) không gian Banach Chứng minh Giả sử (xk ) dãy Cauchy lM (I) Ta cần (xk ) hội tụ tới x ∈ lM (I) Thật vậy, (xk ) dãy Cauchy nên xk − xl = inf M ρ: i∈I |xki − xli | ρ →0 (2.5) k, l → ∞ Theo Bổ đề 2.1.4 với i ∈ I ta có |xki − xli | → k, l → ∞ Do đó, (xki ) dãy Cauchy K với i ∈ I Vì K đầy đủ nên lim xki := xi ∈ K Đặt x = (xi ) Với ε > 0, từ (2.5) tồn k→∞ k0 cho k l x −x = inf ρ: M i∈I với k, l |xki − xli | ρ k0 Tức xk hội tụ tới x Tiếp theo ta x ∈ lM (I) Từ (2.7) ta có M i∈I |xki − xi | ρ < ∞, tức xk0 − x ∈ lM (I) Do lM (I) không gian tuyến tính nên x = xk0 − (xk0 − x) ∈ lM (I) Ta nhận lM (I) không gian Banach 22 Nếu I tập đếm ta nhận kết sau nhắc tới mục 1.2 2.1.6 Hệ ([5]) Nếu E không gian Banach ∞ lM = x = (xn ) ⊂ E : xn ρ M n=1 < ∞, với ρ > không gian Banach với chuẩn xác định ∞ x = inf ρ > : M n=1 |xn | ρ , với x ∈ lM Định lý sau ví dụ đẹp không gian lM (I) 2.1.7 Định lý Nếu M (t) = (p 1) lM (I) = lp (I) Chứng minh Đầu tiên, ta hai tập hợp lM (I) lp (I) nhau.Lấy |xi | x thuộc lM (I) Khi M < ∞ với ρ Vì M (t) = ρ i∈I p |xi | |xn |p < Kρp < < K < ∞ với ρ Do nên ta ρ i∈I i∈I ∞ Vậy x ∈ lp (I) Tức lM (I) ⊂ lp (I) Chiều ngược lại suy trực tiếp từ định nghĩa Bây giờ, ta x = x p với x ∈ lM (I) Thật vậy, với x ∈ lM (I) ta có x = inf ρ > : M i∈I |xi | ρ |xi |p = inf ρ > : ρp i∈I p |xi | = inf ρ > : 1/p ρ i∈I = inf ρ > : |x|p ρ} = x p 23 Ta nhận hệ sau 2.1.8 Hệ Nếu M (t) = I = N lM (I) = lp Đặc biệt, I hữu hạn |I| = n lM (I) không gian định chuẩn hữu hạn chiều Kn 2.2 Một số tính chất không gian họ số xác định hàm Orlicz Mục này, dành cho nghiên cứu số tính chất lớp không gian quan trọng lM (I) Với hàm Orlicz M tập số I , ta đặt xi hM (I) = x = (xi ) ⊂ K : M < ∞ với ρ > ρ i∈I 2.2.1 Định lý hM (I) không gian đóng lM (I) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh hM (I) không gian lM (I) Giả sử x, y ∈ hM (I) α ∈ K Khi đó, α = αx = ∈ hM (I) ρ |xi | < ∞ với ρ > ta lấy ρ = ta có Nếu α = từ M ρ |α| i∈I M i∈I |xi | = ρ M i∈I |αxi | < ∞ ρ Khi αx ∈ hM (E, I) Từ chứng minh ta suy 2x, 2y ∈ hM (I) Do M i∈I ∞ M i∈I |2yi | ρ < < ∞ với ρ > Với i ∈ I , từ tính lồi hàm M ta có M 2xi ρ |xi + yi | ρ |xi | + |yi | ρ |2xi | |2yi | =M + ρ ρ |2xi | |2yi | M + M ρ ρ M 24 Do M i∈I |xi + yi | ρ M i∈I |2xi | + ρ M i∈I |2yi | < ∞ ρ Vì x + y ∈ hM (E) Tiếp theo, ta chứng minh hM (I) đóng lM (I) Giả sử (xk ) dãy hM (I) xk hội tụ tới x lM (I) Ta xk − x ∈ hM (I) với k đủ lớn Giả sử với k xk − x ∈ / hM (E, I) Khi đó, với ρ > ta có i∈I |xki − xi | M = ∞ ρ Đặc biệt với ρ = i∈I |xki − xi | M =∞ inf ρ > : i∈I |xki − xi | M ρ 1 Hay |xk −x| > với k Mâu thuẫn với (xk ) hội tụ tới x Vì vậy, tồn k đủ lớn cho xk −x ∈ hM (E, I) Do x = xk −(xk −x) ∈ hM (I) Ta nhận hệ sau 2.2.2 Hệ Nếu E không gian Banach hM (I) không gian Banach Định lý sau mô tả cấu trúc không gian hM (I) lM (I) trường hợp M suy biến 2.2.3 Định lý Nếu M suy biến 1) lM (I) đẳng cấu với l∞ (I); 2) hM (I) đẳng cấu với C0 (I) 25 Chứng minh 1) Từ Mệnh đề 2.1.1 ta có lM (I) ⊂ l∞ (I) Giả sử M suy biến Khi đó, tồn t0 > cho M (t0 ) = Từ tính liên tục M lim M (t) = ∞ suy tồn T0 giá trị lớn cho M (T0 ) = t→∞ Với x = (xi ) ∈ l∞ (I) ta đặt k = sup |xi | < ∞ i∈I Lấy ρ = 2k ta thu T0 |xi | T0 |xi | = ρ 2k T0 Từ tính chất không giảm M (t) ta có M với n Ta nhận |xi | ρ M i∈I M |xi | ρ T0 =0 = Hay x = (xi ) ∈ lM (I) Vì l∞ (I) = lM (I) Để chứng minh lM (I) đẳng cấu với l∞ (I) ta phải chuẩn chúng tương đương Để ý l∞ (I) xét với chuẩn x = sup |xi | ∞ i∈I Từ chứng minh ta có, với ρ = M i∈I 2k T0 |xi | =0 : M i∈I |xi | ρ 1} 2k x ∞ = T0 T0 Như vậy, x ∞ T0 x (2.8) 26 với x ∈ lM (E) Bây giờ, từ x = inf{ρ > : |xi | ρ M i∈I suy M i∈I |xi | x 1} với x ∈ lM (I) x = Gọi T1 số lớn cho M (T1 ) = (T1 tồn tính liên tục M , lim M (t) = ∞ t→∞ M (0) = 0) Ta có M |xi | x với i Do tính không giảm M nên |xi | x T1 với i Ta thu x ∞ = sup |xi | (2.9) T1 x i∈I với x = Bất đẳng thức rõ ràng với x = Từ (2.8) (2.9) suy chuẩn l∞ (I) lM (I) tương đương lM (I) đẳng cấu với l∞ (I) 2) Vì C0 (I) không gian đóng l∞ (I) hM (E, I) không gian đóng lM (I), M suy biến lM (I) đẳng cấu với l∞ (I) nên để chứng minh hM (I) đẳng cấu với C0 (I) ta cần hM (I) = C0 (I) M suy biến Giả sử x = (xi ) ∈ hM (I) Khi M i∈I xi ρ < ∞ với ρ > Nếu x ∈ / C0 (I) họ (|xi |)i∈I không hội tụ tới Khi đó, tồn tập vô hạn J I r > cho xj > r với j ∈ J Lấy ρ > cho với j ∈ J Từ |xj | ρ |xj∈J | ρ M r ρ 2T0 2T0 với j ∈ J nên suy |xj | ρ r ρ M (2T0 ) > 27 với j ∈ J Do J tập vô hạn nên M i∈I |xi | ρ = ∞ Mâu thuẫn i∈I |xj | ρ M j∈J |x | M ρi = ∞ Từ J ⊂ I suy < +∞ với ρ Vì hM (I) ⊂ C0 (I) Ngược lại, giả sử x = (xi ) ∈ C0 (I) Ta x ∈ hM (I) Thậy vậy, với ρ > tùy ý Khi đó, từ họ (|xi |) hội tụ tới suy tồn J0 ∈ F(I) |xi | cho |xi | < ρT0 với i ∈ I \ J0 Hay < T0 với i ∈ I \ J0 Vì ρ |xi | M ( ) = với i ∈ I \ J0 Ta thu ρ M i∈I |xi | = ρ M i∈J0 |xi | < ∞ ρ Vì x = (xi ) ∈ hM (I) Do C0 (I) ⊂ hM (I) Từ ta có C0 (I) = hM (I) 2.2.4 Định nghĩa ([5]) Hàm Orlicz M gọi thỏa mãn điều kiện M (qt) ∆q lim < ∞ với q > t→0 M (t) 2.2.5 Bổ đề ([5]) Hàm Orlicz M thỏa mãn điều kiện ∆q với q > thỏa mãn điều kiện ∆2 Chứng minh Giả sử M thỏa mãn điều kiện ∆2 Khi đó, với q q > tồn n0 cho n < Khi  n0 +1 qt qt qt qt M 2n0 M 2n0 +1 M (qt) M 2 M 22 M (2t)  = < sup qt qt qt qt M (t) M (t) M M 22 M 2n0 M 2n0 +1 t với để ý M qt 2n0 M (2t) Ta thu M (qt) lim sup t→0 M (t) lim sup t→0 M (2t) M (t) n0 +1 < ∞ Vậy M thỏa mãn điều kiện ∆q Chiều ngược lại hiển nhiên 28 Định lý sau đưa điều kiện để hM (I) = lM (I) thông qua điều kiện ∆2 2.2.6 Định lý Giả sử M hàm Orlicz không suy biến E không gian định chuẩn Khi đó, M thỏa mãn điều kiện ∆2 lM (I) = hM (I) Chứng minh Giả sử M thỏa mãn điều kiện ∆2 Khi đó, theo Bổ đề 2.2.5 ta có M thỏa mãn điều kiện ∆q với q > Lấy x ∈ lM (I) Khi đó, tồn ρ0 > cho M i∈I |xi | ρ0 < ∞ Suy họ M ( |xρ0i | )i∈I hội tụ tới Do M không suy biến liên tục |x | nên kéo theo họ ( ρ0i )i∈I hội tụ tới Do đó, tồn J0 ∈ F(I) cho |xi | < với i ∈ I \ J0 Khi đó, với ρ > áp dụng điều kiện ∆q ρ0 ρ0 với q = ta có tồn K > cho ρ M với < t ρ0 t < KM (t) ρ Như M( ρ0 |xi | |xi | ) = M( ) ρ ρ ρ0 KM ( |xi | ) ρ0 với i ∈ I \ J0 Ta thu M i∈I |xi | ρ = M i∈J0 M i∈J0 ∞ |xi | ρ + |xi | ρ +K |xi | ρ M i∈I\J0 M i∈I\J0 |xi | ρ0 < ∞ 29 |xi | ) < ∞ với ρ > 0, tức x ∈ hM (I) Do ρ i∈I lM (I) ⊂ hM (I) Vì lM (I) = hM (I) Như M( Ta nhắc lại với tập số I , ei : I → K xác định ei (i) = ei (j) = với j = i Ta nhận kết quan trọng sau: 2.2.7 Định lý span{ei : i ∈ I} = hM (I) Chứng minh Rõ ràng ei ∈ hM (C, I) với i Vì vậy, từ hM (I) không gian đóng lM (I) suy span{ei : i ∈ I} ⊂ hM (I) Giả sử x = (xi ) ∈ hM (I) Khi đó, với ε > ta có M( i∈I |xi | ) < ∞ ε (2.10) Vì vậy, tồn J ∈ F(I) cho M( i∈I\J |xi | ) ε xi ei Ta có SJ ∈ span{ei : i ∈ I} Hơn nữa, từ (2.10) suy Xét SJ = i∈J SJ − x = inf ρ > : M( i∈I\J vậy, x ∈ span{ei : i ∈ I} Với I = N, ta nhận hệ sau 2.2.8 Hệ hM không gian khả ly |xi | ) ρ 1} ε, 30 Kết luận Luận văn thu kết sau: Trình bày số tính chất họ số bị chặn, họ số hội tụ, họ số khả tổng Xây dựng cấu trúc tuyến tính (Định lý 2.1.2), cấu trúc định chuẩn (Định lý 2.1.3) cho không gian họ số xác định hàm Orlicz đưa số tính chất chúng thể Định lý 2.1.5, Định lý 2.1.7 Đưa số tính chất lớp không gian không gian họ số xác định hàm Orlicz thể Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.6 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân Kiều Phương Chi (2014), Độ đo tích phân, Dự án phát triển giáo viên THPT [2] Hà Huy Bảng (2003),Lý thuyết không gian dãy Orlicz, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I Tập II, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Thị Phương Loan (2001), Không gian dãy Kothe, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [5] J Lindenstrauss and L Tzafriri (1977), Classical Banach spaces I Sequence spaces, Springer-Verlag, Berlin-New York [6] R Meise and D Vogt(1997) Introduction to Functional Analysis, Claderon Press, Oxford [7] A Pietsch (1972) Nuclear Locally Convex Spaces, Springer- Verlag [...]... lp 15 CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN CÁC HỌ SỐ XÁC ĐỊNH BỞI HÀM ORLICZ Chương này, nghiên cứu cách xây dựng và một số tính chất của không gian các họ số xác định bởi hàm Orlicz 2.1 Xây dựng không gian các họ số xác định bởi hàm Orlicz Mục này, nghiên cứu phương pháp xây dựng không gian các họ số xác định bởi hàm Orlicz Giả sử M là hàm Orlicz, K là trường các số thực hoặc số phức và I là tập chỉ số tùy ý Ta ký... quả hM là không gian khả ly |xi | ) ρ 1} ε, 30 Kết luận Luận văn đã thu được các kết quả chính sau: 1 Trình bày một số tính chất cơ bản của các họ số bị chặn, các họ số hội tụ, các họ số khả tổng 2 Xây dựng cấu trúc tuyến tính (Định lý 2.1.2), cấu trúc định chuẩn (Định lý 2.1.3) cho không gian các họ số xác định bởi các hàm Orlicz và đưa ra một số tính chất của chúng thể hiện ở Định lý 2.1.5, Định lý... là không gian Banach với chuẩn x |xi |p = p 1 p i∈I Đặc biệt khi p = 2 thì ta gọi l2 (I) là không gian các họ số bình phương khả tổng Nó là không gian Hilbert với tích vô hướng xi yi , ∀x, y ∈ l2 (I) < x|y >= i∈I 1.2 Hàm Orlicz và không gian các dãy Orlicz Mục này, trình bày cách xây dựng lớp không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz 1.2.1 Định nghĩa ([5]) Hàm. .. 2.2 Một số tính chất của các không gian các họ số xác định bởi hàm Orlicz Mục này, dành cho nghiên cứu một số tính chất của một lớp không gian con quan trọng của lM (I) Với mỗi hàm Orlicz M và tập chỉ số I , ta đặt xi hM (I) = x = (xi ) ⊂ K : M < ∞ với mọi ρ > 0 ρ i∈I 2.2.1 Định lý hM (I) là không gian con đóng của lM (I) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh hM (I) là không gian con của lM (I) Giả sử... 2.1.5, Định lý 2.1.7 3 Đưa ra một số tính chất của một lớp không gian con của không gian các họ số xác định bởi các hàm Orlicz thể hiện ở các Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.6 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Ân và Kiều Phương Chi (2014), Độ đo và tích phân, Dự án phát triển giáo viên THPT [2] Hà Huy Bảng (2003),Lý thuyết không gian dãy Orlicz, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn... gọi là hàm Orlicz nếu 1) M là hàm không giảm, liên tục; 2) M (0) = 0 và lim M (t) = ∞; t→∞ 3) M là hàm lồi Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho M (t) = 0 1.2.2 Ví dụ Các hàm M (t) = tp ; M (t) = tet là hàm Orlicz Giả sử M là hàm Orlicz và K là trường số thực hoặc số phức Ta ký hiệu ∞ lM = x = (xn ) ⊂ K : M n=1 |xn | ρ < ∞, với ρ > 0 nào đó 14 1.2.3 Định lý ([5]) lM là không gian Banach... 1.1.23 Định nghĩa ([7]) Họ số {xi }i∈I được gọi là hội tụ tới 0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại J0 ∈ F(I) sao cho |xi | < ε, ∀i ∈ I \ J0 Ký hiệu C0 (I) = {xi }i∈I : {xi }i∈I hội tụ tới 0 là không gian các họ hội tụ tới 0 1.1.24 Mệnh đề C0 (I) là không gian con đóng của m(I) 13 Với p 1 đặt |xi |p < ∞ lp (I) = {xi }i∈I : i∈I là không gian các họ số p−khả tổng Dễ dàng kiểm tra được lp (I) là không gian con... chặn là không gian các họ số bị chặn Trên m(I) trang bị các phép toán như sau: Phép cộng: Với mọi x = {xi }i∈I , y = {yi }i∈I ∈ m(I) ta định nghĩa x + y = {xi + yi }i∈I Phép nhân với vô hướng: Với mọi x = {xi }i∈I ∈ m(I) và λ ∈ K ta định nghĩa λx = {λxi }i∈I Dễ dàng kiểm tra hai phép toán cho trên là xác định và với hai phép toán này l∞ (I) là một không gian tuyến tính Hơn nữa, l∞ (I) là không gian. .. các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường và chuẩn xác định bởi ∞ x = inf ρ > 0 : M n=1 |xn | ρ 1 , với mọi x ∈ lM Với mỗi hàm Orlicz M , ta đặt ∞ hM = x = (xn ) ⊂ K : M n=1 |xn | < ∞ với mọi ρ > 0 ρ Khi đó, người ta thu được các kết quả sau 1.2.4 Định lý ([5]) hM là không gian con đóng của lM Đặc biệt, nếu M suy biến thì hM đẳng cấu với C0 và lM đẳng cấu với l∞ 1.2.5 Định. .. thì ta nhận được kết quả sau đã nhắc tới trong mục 1.2 2.1.6 Hệ quả ([5]) Nếu E là không gian Banach thì ∞ lM = x = (xn ) ⊂ E : xn ρ M n=1 < ∞, với ρ > 0 nào đó là không gian Banach với chuẩn xác định bởi ∞ x = inf ρ > 0 : M n=1 |xn | ρ 1 , với mọi x ∈ lM Định lý sau như là một ví dụ đẹp về không gian lM (I) 2.1.7 Định lý Nếu M (t) = tp (p 1) thì lM (I) = lp (I) Chứng minh Đầu tiên, ta chỉ ra hai ... tài:" Về không gian họ số xác định hàm Orlicz" Nội dung luận văn trình bày số kết biết họ số họ số bị chặn, họ số khả tổng, họ hội tụ tới không, ; xây dựng không gian họ số xác định hàm Orlicz. .. chuẩn (Định lý 2.1.3) cho không gian họ số xác định hàm Orlicz đưa số tính chất chúng thể Định lý 2.1.5, Định lý 2.1.7 Đưa số tính chất lớp không gian không gian họ số xác định hàm Orlicz thể Định. .. không gian dãy Orlicz 3 Chương Không gian họ số xác định hàm Orlicz Chương nghiên cứu cách xây dựng số tính chất không gian họ số xác định hàm Orlicz Các kết chương đề xuất dựa ý tưởng không gian