2.2.1. Mệnh đề. Nếu X là không gian thoả mãn (1.2) ((1.2)p; (1.4); (1.4)p; tựa-(1.4); tựa-(1.4)p; (1.5); (1.6)) và Y là không gian con của X thì Y thoả mãn (1.2) (tơng ứng, (1.2)p; (1.4); (1.4)p; tựa-(1.4); tựa-(1.4)p; (1.5); (1.6)).
Chứng minh. 1. Giả sử ℘ là phủ của X thoả mãn (1.2) ta chứng minh ℘’ = {P∩ Y: P ∈ ℘} là phủ của Y thoả mãn (1.2). Thật vậy, rõ ràng ℘’ phủ Y. Giả sử x ∈ U’ mở trong Y. Khi đó tồn tại U mở trong X để U’ = U∩ Y. Do X thoả mãn (1.2) nên tồn tại họ hữu hạn f ⊂℘ để x ∈(∪f )0 ⊂∪f ⊂ U. Vì x ∈ U’ ⊂ Y, nên x ∈(∪f )0 ∩ Y ⊂ (∪{(P∩ Y): P ∈ f })0⊂ ∪{P∩ Y: P ∈ f } ⊂ U
∩ Y = U’. Đặt f ’= {P∩ Y:P ∈ f }. Rõ ràng f ’ là họ con hữu hạn của℘’ và x ∈(∪f ’)0⊂∪f ’ ⊂ U’. Vậy Y thoả mãn (1.2).
2. Trờng hợp X thoả mãn điều kiện (1.2)p đợc chứng minh tơng tự nh trong 1 nhng thay U’ bởi Y \ {p}, p ∈ Y.
3. Giả sử ℘ là k-lới điểm-đếm đợc của X. Ta chứng minh ℘’ = {P∩ Y: P ∈℘} là k-lới điểm- đếm đợc của Y. Giả sử K’ ⊂ U’ với K’ compact và U’ mở trong Y. Vì K’ compact trong Y nên K’ compact trong X, U’ mở trong Y nên tồn tại U mở trong X để U’ = U∩ Y. Do đó K’ ⊂ U. Vì X thoả mãn (1.4) nên tồn tại họ hữu hạn f ⊂℘ để K’ ⊂∪f ⊂ U, suy ra K’ ⊂ ∪f ∩ Y = ∪{P∩ Y: P ∈ f } ⊂ U∩ Y = U’. Do đó K’ ⊂∪f ’ ⊂U’ với f ’ = {P∩ Y: P ∈ f } là họ con hữu hạn của℘’. Vậy Y thoả mãn (1.4).
4. Trờng hợp X thoả mãn điều kiện (1.4)p đợc chứng minh tơng tự nh trong 3 nhng thay U’ bởi Y \ {p}, p ∈ Y\K’.
5. Trờng hợp X thoả mãn điều kiện tựa-(1.4); tựa-(1.4)p đợc chứng minh t- ơng tự với điều kiện (1.4); (1.4)p nhng thay K’ compact bằng K’ compact đếm đợc.
6. Giả sử ℘ là phủ của X thoả mãn (1.5), ta chứng minh ℘’ ={P∩ Y: P ∈℘} là phủ của Y thoả mãn (1.5). Thật vậy, giả sử x ∈K’ ⊂ U’, với K’ compact và U’ mở trong Y. Suy ra K’ compact trong X và U’ = U∩ Y, trong đó U mở trong X. Vì K’ ⊂ U và X thoả mãn (1.5) nên tồn tại họ hữu hạn f⊂ ℘ sao cho ∪f ⊂ U, x ∈ ∩ f, f phủ một lân cận của x trong K’, suy ra ∪f ∩ Y ⊂ U∩ Y hay ∪{P∩ Y: P ∈ f } ⊂ U∩ Y = U’, có nghĩa là ∪f ’ ⊂ U’ với f ’ ={P∩ Y: P ∈f }. Vì x ∈∩ f nên x ∈∩ f ∩ Y= ∩ f ’. Do K’ ⊂ Y và f phủ một lân cận của x trong K’ suy ra ∪{P∩ Y: P ∈ f } phủ một lân cận của x trong K’ hay f ’ phủ một lân cận của x trong K’. Vậy Y thoả mãn (1.5).
7. Trờng hợp X thoả mãn điều kiện (1.6) đợc chứng minh tơng tự nh trong 3.
2.2.2. Mệnh đề. Giả sử X thoả mãn (1.1), ((1.3); (1.3)p) Y ⊂ X. Khi đó nếu Y đóng hoặc mở hoặc k- không gian thì Y thoả mãn (1.1) (tơng ứng, (1.3); (1.3)p).
Chứng minh. 1. Giả sử X thoả mãn (1.1) với phủ ℘, Y đóng trong X ta chứng minh Y thoả mãn (1.1) với phủ ℘’={P∩ Y: P ∈℘}. Giả sử U’ mở trong Y, A ⊂ U’, A∩ P’ đóng trong P’ với mọi P’ ⊂ U’, P’ ∈℘’, ta cần chứng minh A đóng trong U’. Thật vậy, vì U’ mở trong Y nên tồn tại U mở trong X để U’ = U∩Y. Vì A∩ P’ đóng trong P’ với mọi P’ ⊂ U’, P’ ∈ ℘’ nên A∩ (P∩ Y) đóng trong P∩ Y với mọi P ⊂ U , P ∈℘. Hơn nữa, ta có P∩ Y đóng trong P với mọi P ∈ ℘. Do đó, ta suy ra (A∩ Y) ∩ P đóng trong P với mọi P ∈℘, P ⊂ U. Vì X
thoả mãn (1.1) nên suy ra A∩ Y đóng trong U. Vì A ⊂ Y nên A∩ Y = A. Vậy A đóng trong U. Do U ⊂ U’ nên A đóng trong U’. Do đó Y thoả mãn (1.1).
2. Chứng minh tơng tự cho trờng hợp Y mở trong X.
3. Giả sử Y là k-không gian, Y ⊂ X, X thoả mãn (1.1). Theo mệnh đề 1.1.26 (a) thì X thoả mãn (1.5). Kết hợp mệnh đề 2.2.1 thì Y thoả mãn (1.5). Vì Y là k-không gian nên theo mệnh đề 1.1.26 (b) thì Y thoả mãn (1.1).
4. Giả sử Y đóng trong X, X thoả mãn (1.3) với phủ ℘. Ta chứng minh Y thoả mãn (1.3) với phủ ℘’ = {P∩ Y: P ∈℘}. Giả sử U’ mở trong Y, A ⊂ U’ và A∩ (∪{P∩ Y: P ∈ f }) đóng trong (∪{P∩ Y: P ∈ f }) với mọi f là họ con hữu hạn của℘ mà ∪f ∩Y⊂ U’ ta chứng minh A đóng trong U’. Thật vậy, vì U’ mở trong Y nên tồn tại U mở trong X để U’ = U∩Y. Do A∩ (∪{P
∩ Y: P ∈f }) đóng trong (∪{P∩ Y: P ∈f }) với mọi f là họ con hữu hạn của℘ mà ∪f ∩Y⊂ U’ nên A∩ (∪f )∩ Y đóng trong ∪f ∩ Y với mọi f hữu hạn trong ℘ mà ∪f ⊂ U. Vì A∩ Y = A nên suy ra A∩ (∪f ) đóng trong ∪f ∩ Y với mọi f là họ con hữu hạn của℘ mà ∪f ⊂ U. Hơn nữa, vì Y đóng trong X nên ∪f ∩ Y đóng trong ∪f với mọi f là họ con hữu hạn của℘ mà ∪f ⊂ U. Do đó, ta suy ra A∩ (∪f ) đóng trong ∪f với mọi f là họ con hữu hạn của℘ mà ∪f ⊂ U. Vì X thoả mãn (1.3) nên suy ra A đóng trong U. Vì U’⊂ U nên kéo theo A đóng trong U’. Vậy X thoả mãn (1.3).
5. Chứng minh tơng tự cho trờng hợp Y mở trong X.
6. Giả sử Y ⊂ X, Y là k-không gian, X thoả mãn (1.3). Khi đó theo hệ quả 1.1.20 (a) thì X thoả mãn (1.4). Theo mệnh đề 2.2.1 thì Y thoả mãn (1.4). Theo hệ quả 1.1.20 (b) thì Y thoả mãn (1.3).
7. Trờng hợp X thoả mãn điều kiện (1.3)p đợc chứng minh tơng tự với U’ thay bởi Y \{p}, p ∈ Y.
2.2.3. Mệnh đề. Nếu X1, X2,..., Xn,...thoả mãn (1.2) ((1.2)p; (1.4); (1.4)p) thì tích Đề các X = ∏∞ =1 n n X cũng thoả mãn (1.2) (tơng ứng, (1.2)p; (1.4); (1.4)p).
Chứng minh. Với mỗi n = 1,2,... kí hiệu℘n là phủ của Xn. Đặt ℘ = {P1ìP2ì...ìPnìXn+1ìXn+2ì..., n =1,2,... Pi ∈℘i}.
Nếu mỗi n =1,2,... ℘n là phủ điểm- đếm đợc thì ℘ là phủ điểm- đếm đợc. Thật vậy, giả sử x ∈ X với x = (xn)n ∈N. Vì với mỗi n =1,2,... thì xn nằm trong không quá đếm đợc các phần tử của ℘n nên x nằm trong không quá đếm đợc các phần tử của ℘.
1. Giả sử ℘n thoả mãn điều kiện (1.2) với mọi n =1,2,... Ta chứng minh ℘ thoả mãn (1.2). Thật vậy, giả sử x = (xn)n ∈N ∈ U mở trong X. Vì U mở nên tồn tại tập mở thuộc cơ sở tô pô tích V = U1ìU2ì...ìUmìXm+1ìXm+2ì... để x ∈ V ⊂ U. Với mỗi n =1,2,...m ta có xn ∈ Un. Do ℘n thoả mãn (1.2) nên tồn tại họ hữu hạn f n ⊂℘n để xn ∈(∪ f n)0⊂∪ f n ⊂ Un.
Đặt f = {P1ìP2ì...ìPnì...ìPmìXm+1ìXm+2ì...,Pn ∈f n, n =1,2,...,m}. Rõ ràng
f hữu hạn, f⊂℘ và x = (xn)n ∈N ∈(∪ f )0⊂∪f ⊂ U. Vậy X thoả mãn (1.2). 2. Trờng hợp X thoả mãn điều kiện (1.2)p đợc chứng minh tơng tự điều kiện (1.2) nhng thay U bởi X\{p}, p∈X.
3. Giả sử ℘n thoả mãn (1.4) với mọi n =1,2,..., với℘ đợc xác định nh trên ta chứng minh ℘ thoả mãn (1.4). Giả sử K ⊂ U, K compact, U mở trong X. Vì
U mở nên U=
I i i
V
∈ trong đó Vi là phần tử thuộc cơ sở của tô pô tích ∏∞ =1 n n X ,K ⊂ U = I i i V
∈ , nên tồn tại hữu hạn tập V1,...,Vm sao cho K ⊂ m
i i V
1
= ⊂ U. Lấy phủ đóng A1,...,Am của K sao cho Ai ⊂ Vi, i =1,2,...,m. Với mỗi i ≤ m tồn tại họ hữu
hạn Φi ⊂ ℘ sao cho Ai ⊂∪Φ i ⊂ Vi. Đặt f = m i i 1 = Φ , f hữu hạn, f ⊂℘ và K ⊂∪f⊂ U. Vậy ℘ thoả mãn (1.4).
4. Trờng hợp X thoả mãn điều kiện (1.4)p đợc chứng minh tơng tự điều kiện (1.4) nhng thay U bởi X\{p}, p∈X\K.
2.2.4. Bổ đề ([4]). Nếu Y là không gian compact địa phơng và f:E→X là ánh xạ thơng thì tích Đề các g = fìidY:EìY→XìY là ánh xạ thơng.
2.2.5. Mệnh đề. Nếu Y là không gian metric compact địa phơng, X thoả mãn (1.1), ((1.3)) thì tích Đề các XìY thoả mãn (1.1) (tơng ứng, (1.3)).
Chứng minh. 1. Giả sử X thoả mãn (1.3) với phủ ℘. Vì Y là không gian metric compact địa phơng nên Y có cơ sở điểm-đếm đợcB. Khi đó {PìB:P∈℘,B∈B } là phủ điểm-đếm đợc của XìY. Để chứng minh XìY thoả mãn (1.3) ta chỉ cần chứng minh mỗi tập mở thuộc cơ sở UìB trong XìY với U mở trong X và B∈B là đợc xác định bởi {PìB: P∈℘, P ⊂ U}*= {PìB: P∈℘*, P ⊂ U}. Vì B mở trong Y, Y compact địa phơng nên B compact địa ph- ơng. Và U đợc xác định bởi {P ∈℘*: P ⊂ U}. Do đó theo mệnh đề 1.1.13 thì UìB đợc xác định bởi {PìB: P ∈℘*, P ⊂ U}. Vậy XìY thoả mãn (1.3).
Chơng 3 S-ảnh thơng của một không gian metric và không gian HD-Fréchet