3.2.1. Định nghĩa. Không gian tô pô X đợc gọi là không gian
HD-Fréchet nếu X là không gian Fréchet và thoả mãn (1.1).
3.2.2. Mệnh đề. Mỗi không gian metric là không gian HD-Fréchet.
Chứng minh. Giả sử X là không gian metric, A ⊂ X, x ∈ A. Khi đó tồn tại dãy {xn} ⊂ A, xn→x. Vậy X là không gian Fréchet. Mặt khác, X là không gian metric nên tồn tại cơ sở điểm-đếm đợc B. Rõ ràng B phủ X. Nếu U mở trong X thì U đợc xác định bởi {B ∈ B : B ⊂ U}. Thật vậy, họ {B ∈
B :B ⊂ U} phủ U. Giả sử A1 ⊂ U, A1∩ B mở trong B với mọi B ∈ B, B ⊂ U. Vì B mở nên A1∩ B mở trong U với mọi B ∈ B, B ⊂ U. Do đó A1 = ∪{A1∩ B : B ⊂ U} mở trong U. Vậy X thoả mãn (1.1). Do đó X là không gian HD-Fréchet.
3.2.3. Mệnh đề. Không gian con của HD-Fréchet là HD-Fréchet.
Chứng minh. Giả sử Y là không gian con của không gian HD-Fréchet X.
Giả sử A ⊂ Y và x ∈AY = A∩ Y. Suy ra x ∈ A. Do X là không gian Fréchet nên tồn tại dãy {xn} ⊂ A, xn→x. Vậy Y là không gian Fréchet. Suy ra Y là không gian dãy. Vì Y là không gian dãy Hausdorff nên theo bổ đề 2.1.7 thì Y là k-không gian. Do X thoả mãn (1.1), Y ⊂ X nên theo mệnh đề 2.2.2 thì Y thoả mãn (1.1). Vậy Y là không gian HD-Fréchet.
3.2.4. Định lý. Giả sử X là không gian tô pô. Khi đó các phát biểu sau là
tơng đơng.
(a) X là không gian HD-Fréchet.
Chứng minh. (a)→(b). Vì X là không gian HD-Fréchet nên X thoả mãn (1.1). Theo hệ quả 3.1.4 (1) thì X là s-ảnh phủ-dãy của một không gian metric. Do đó tồn tại ánh xạ phủ-dãy f:M→X với M là không gian metric nào đó. Vì X là không gian Fréchet nên suy ra X là không gian dãy. Kết hợp với mệnh đề 3.1.2 (2) thì f là ánh xạ thơng. Mặt khác, do X là không gian Fréchet nên theo mệnh đề 2.1.10 (b) thì f là ánh xạ giả mở. Vậy X là s-ảnh giả mở của không gian metric.
(b)→(a). Vì X là s-ảnh giả mở của không gian metric nên tồn tại s-ánh xạ giả mở f:M→X trong đó M là không gian metric nào đó. Vì không gian metric là Fréchet, và ánh xạ f giả mở nên theo mệnh đề 2.1.11 thì X là không gian Fréchet. Mặt khác, theo mệnh đề 2.1.10 (a) thì f là ánh xạ thơng. Do đó, X là s- ảnh thơng của một không gian metric. Kết hợp định lý 3.1.3 thì X thoả mãn (1.1). Vậy X là không gian HD-Fréchet.
3.2.5. Định lý. Nếu X là không gian HD-Fréchet và f:X→Y là s-ánh xạ
mở thì Y là không gian HD-Fréchet.
Chứng minh. Vì ánh xạ mở là ánh xạ giả mở, và X là không gian Fréchet
nên theo mệnh đề 2.1.11 thì Y là không gian Fréchet. Vì X thoả mãn (1.1) nên theo mệnh đề 2.1.8 thì Y thoả mãn (1.1). Vậy Y là không gian HD-Fréchet.
3.2.6. Định lý. Nếu X là không gian HD-Fréchet và f:X→Y là ánh xạ giả
mở với các thớ đếm đợc thì Y là không gian HD-Fréchet.
Chứng minh. Vì X là không gian Fréchet và f:X→Y là ánh xạ giả mở nên theo mệnh đề 2.1.11 thì Y là không gian Fréchet. Mặt khác, theo mệnh đề 2.1.10 (a) thì f là ánh xạ thơng. Vì X thoả mãn (1.1) nên kết hợp với mệnh đề 2.1.1 thì Y thoả mãn (1.1). Vậy Y là không gian HD-Fréchet.
Kết luận
I. Nội dung chính của luận văn đã đạt đợc đợc nh sau
1) Chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của không gian đợc xác định bởi phủ và một số mở rộng (làm yếu giả thiết) các định lý 3.1; 4.2; 5.2; 6.2 trong [2] và định lý 2.1 trong [1].
2) Làm quen đợc 9 loại ánh xạ: ánh xạ thơng, ánh xạ song thơng, ánh
xạ hoàn chỉnh, ánh xạ tựa-hoàn chỉnh, ánh xạ σ-hữu hạn địa phơng, ánh xạ
phủ-compact, ánh xạ phủ-dãy, ánh xạ giả mở, s-ánh xạ và nghiên cứu một số
bất biến giữa chúng.
3) Tiếp xúc với 13 loại không gian: k-không gian, M-không gian, M-không gian paracompact, không gian Fréchet, không gian dãy, không gian
có tính chặt đếm đợc, song k-không gian đếm đợc, σ-không gian, ∑-không
gian, ∑-không gian mạnh, không gian compact đếm đợc, không gian khả ly,
ℵ0-không gian. Đa ra một lớp không gian mới là HD-Fréchet, xét một số tính chất của nó và nghiên cứu một số bất biến của chúng qua các ánh xạ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4) Phát triển đợc một số kết quả mới nh: mệnh đề 2.1.11; hệ quả 3.1.6; mệnh đề 3.2.2; mệnh đề 3.2.3; định lý 3.2.5; định lý 3.2.6.
II. Một số vấn đề mở
1) Vấn đề Michael-Nagami trong trờng hợp X bất kỳ: Giả sử X là s-ảnh thơng của một không gian metric(tơng đơng, X là k-không gian thoả mãn (1.1)) thì X có phải là s-ảnh thơng phủ-compact của một không gian metric? hoặc X có thoả mãn (1.6) không?.
2) Không gian HD-Fréchet có bất biến qua s-ánh xạ giả mở không? (qua ánh xạ hoàn chỉnh không?).
3) Không gian X bất kỳ thoả mãn (1.1) có bất biến qua s-ánh xạ mở
không? (đối với không gian Fréchet là thoả mãn (mệnh đề 2.1.8)).
4) Không gian X bất kỳ thoả mãn (1.3) có bất biến qua ánh xạ hoàn
chỉnh không? (đối với k-không gian là thoả mãn (mệnh đề 2.1.4 vì trong trờng
Tài liệu tham khảo
[1]. Z. Balogh, On relative countable compactness, Uspekhi Mat. Nauk, 34: 6 (1979), 139-143.
[2]. D. Burke and E. Michael, On cetain point-countable cover, Pacific J. Math., 64 (1976), 79-92.
[3]. M. H. Cho & W. Just, Countable-compact-covering maps and compact-
covering-maps, Topology Appl., 58 (1994), 127-143.
[4]. R. Engelking, General Topology, PWN, Warszawa (1977).
[5]. G. Gruenhage, E. Michael & Y. Tanaka, Spaces determined by point-
countable cover, Pacific J. Math., 113 (1984), 330-332.
[6]. Lin Shou, The sequence-covering s-images of metric space, Northeastern Math. J. 9 (1993), 81-85.
[7]. Lin Shou, A note on the Michael-Nagami problem, Chinese Journal of Contem porary Mathematics, 1 (1996), 11-15.
[8]. E. Michael, On Nagami s ’ ∑ -spaces and some related matters, Proc. Washington state Univ. Conference on General Topology (1970), 13-19. [9]. E. Michael, A quintuple quotient quest, General Topology and Appl., 2
(1972), 91-138.
[10]. E. Michael, ℵo-space and a function space theorem of R.Pol, Indiana Univ. Math. J., 26 (1977), 299-306.
[11]. E. Michael, “Some problem”, In: Open problem in Topology, J. Van Mill and G. M. Reed Eds, Amsterdam North-Holland, (1990), 271-278.
[12]. E. Michael and K. Nagami, Compact-covering images of metric spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 37 (1973), 260-266.
[13]. A. S. Miščenko, Space with a point wise denumerable basis, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 145 (1962), 985-988.
[14]. Y. Tanaka, Point-countable covers and k-networks, Topology Proc., 12 (1987), 327-349.