K lưới đếm được theo điểm và các vấn đề liên quan

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ VIỆT A NH K – LƯỚI ĐẾM ĐƯỢC THEO ĐIỂM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyênh ngành: Giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: GS.TS. Trần Văn Ân VINH - 2005 Lời mở đầu Các phủ đếm đợc với các đặc trng khác nhau nh k-lới, cs*-lới, wcs*- lới, p-k lới, hay thoả mãn điều kiện (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ), .đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu nh Chuan Liu, Shou Lin, Y. Tanaka, Pengfei Yan. Đặc biệt là công trình của Y. Tanaka đã chỉ ra đợc các điều kiện tơng đơng để k-lới tồn tại và một số vấn đề liên quan đến k-lới. Dới sự hớng dẫn của thầy giáo, PGS. TS. Trần Văn Ân chúng tôi đã mạnh dạn tiếp cận hớng nghiên cứu trên. Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu các loại lới, mối quan hệ giữa chúng và các không gian với các loại lới đếm đợc theo điểm, xét một số bất biến qua các loại ánh xạ thông qua một số kết quả của G. Gruenhage, E. Michanel và Y. Tanaka trong [12] và [5]. Đặc biệt là chú ý đến mối quan hệ giữa các loại lới và tập trung nghiên cứu hai loại không gian Lasnev và không gian Moore. Với mục đích trên, ngoài phần phụ lục, tài liệu tham khảo luận văn đợc trình bày theo ba chơng nh sau Trong chơng 1 đầu tiên chúng tôi giới thiệu về các loại lới đếm đợc theo điểm. Sau đó trình bày mối liên hệ giữa các loại lới, chứng minh đợc các mệnh đề nêu trong [12] nhng cha đợc chứng minh hay chứng minh vắn tắt nh 1.2.10, 1.2.12, 1.2.14. Sau đó đa ra đợc một số ví dụ về các không gian có loại lới đếm đợc theo điểm. Trong chơng 2 sau khi trình bày một số kiến thức liên quan cần sử dụng trong luận văn, chúng tôi chứng minh một số tính chất và hệ quả của không gian Lasnev và không gian Moore đơc nêu trong [12] nhng cha chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt nh : 2.1.2, 2.1.8, 2.1.16, 2.1.12, 2.1.13, 2.1.17. 2 Trong chơng 3, sau khi trình bày tóm tắt một số loại ánh xạ và mối liên hệ giữa chúng, chúng tôi xét sự bảo tồn của các không gian qua ánh xạ thơng, ánh xạ hoàn chỉnh, s-ánh xạ, ánh xạ giả mở .Đặc biệt xét tính bảo tồn của không gian Lasnev qua ánh xạ đóng 3.2.8. Trong quá trình tìm tòi nghiên cứu hoàn thành luận văn, chúng tôi đã đặt ra một số vấn đề, do điều kiện thời gian và lợng kiến thức, năng lực còn hạn chế nên cha có kết quả. Vì vậy chúng tôi xin giới thiệu vào phần cuối của khoá luận để tiếp tục tìm hiểu. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS. Trần Văn Ân, ngời đã trực tiếp tận tình hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ Giải Tích, Khoa Toán, Khoa sau đại học đã nhiệt tình giảng dạy, tất cả các bạn bè đã động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi suốt quá trình học tập, nghiên cứu tại trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn tới Sở Giáo dục đào tạo Nghệ An, ban giám hiệu trờng PTTH Phan Bội Châu, cùng ban bè đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến. Vinh, tháng 12 năm 2005 Tác giả 3 Chơng 1 Mối quan hệ giữa các loại lới 1.1. Các khái niệm cơ bản Trong chơng này các không gian đợc giả thiết là T 1 , chính quy, các ánh xạ f: XY là liên tục, lên. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian và P là một phủ của X (không nhất thiết phải mở hay đóng). Đặt P < = {P'' P : p' < }, trong đó p ký hiệu lực lợng của họ p . i) P đợc gọi là một lới tại x X nếu với bất kỳ U mở trong X, x U thì tồn tại P P sao cho x P U. ii) P đợc gọi là k-lới nếu với bất kỳ U mở trong X, K U với K là tập con compact của X thì tồn tại P ' P < sao cho K P ' U, trong đó P ' = {P: P P '} = P '. iii) P đợc gọi là một p-k lới nếu với bất kỳ y X, K là tập compact trong X sao cho K X \{y} thì tồn tại P ' P < sao cho K P ' X\{y}. iv) P đợc gọi là một cs-lới nếu với bất kỳ {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và U là một lân cận của x thì tồn tại n N và P P sao cho {x} {x m : m n} P U. v) P đợc gọi là một cs*-lới nếu {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và U là một lân cận của x thì tồn tại dãy con { i n x } của {x n } và P P sao cho {x} { i n x : i Ơ } P U. 4 vi) P đợc gọi là wcs*-lới nếu {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và U là một lân cận của x thì tồn tại dãy con { } i n x của {x n }và P P sao cho { i n x : i Ơ } P U. vii) P đợc gọi là một p-wcs*-lới nếu {x n } là dãy trong X hội tụ tới xX và yx thì tồn tại dãy con { } i n x của {x n } và P P sao cho { i n x : i Ơ } P X \{y}. 1.1.2. Định nghĩa. Tập con P của không gian tô pô X đợc gọi là một lân cận dãy của x trong X nếu với mọi dãy {x n } hội tụ về x thì luôn tồn tại n 0 Ơ sao cho x n P với mọi n n 0 . 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử P x là họ các tập con chứa x của X, P x đợc gọi là một lới tại x nếu mỗi lân cận U của x đều tồn tại P P x mà P U. 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử phủ P của không gian tôpô X đợc cho bởi P = {P x : xX}, trong đó mỗi P x là một họ các tập con chứa x của X sao cho (1) Mỗi P x là một lới tại x, nghĩa là với mọi lân cận U của X đều tồn tại P P x mà PU. (2) Nếu P 1 , P 2 P x thì đều tồn tại P 3 P x mà P 3 P 1 P 2 . Phủ P đợc gọi là một sn-lới của X nếu với mỗi phần tử P P x là một lân cận dãy của x trong X. 5 1.1.5. Định nghĩa. Giả sử phủ P đợc xác định nh trong định nghĩa 1.1.4. Khi đó P đợc gọi là một cơ sở yếu của X nếu mỗi tập con mở G của X là tập mở khi và chỉ khi với mỗi x G luôn tồn tại P P x mà P G. 1.1.6. Mệnh đề [C]. Nếu P là một cơ sở yếu thì P là sn- lới. Chứng minh. Giả sử P là một cơ sở yếu của không gian tôpô X. Ta cần chứng minh rằng với mỗi phần tử P P x là một lân cận dãy của x. Thật vậy, giả sử ngợc lại tồn tại P 0 P x không là lân cận dãy của x. Khi đó sẽ tồn tại dãy {x n } X\P 0 mà {x n } hội tụ về {x}. Do x{x n }nên {x n } không là tập đóng. Suy ra X\{x n } không là tập mở. Mặt khác P là một cơ sở yếu nên với mỗi a X\({x n } {x}) luôn tồn tại PP a mà P X\({x n } {x}) X\{x n }. Tại x thì P 0 P x và P 0 X\{x n }. Do P là cơ sở yếu nên X\{x n } là một tập mở. Điều này mâu thuẫn với lập luận trên là X\ {x n } không là tập mở chứng minh ở trên. Vậy P là sn- lới. 1.1.7. Định nghĩa. (i) Một họ {A } I các tập con của không gian X đợc gọi là họ HCP (hereditarily closure presering) nếu với họ J I và với mọi họ {B } J sao cho B A với mỗi J ta có J J B B = U U . (ii) Họ P các tập con của không gian tô pô X đợc gọi là - HCP (- heredidarily closure preserving) nếu P = n N U P n trong đó P n là họ HCP. 1.1.8. Nhận xét. Từ định nghĩa ta thấy: Nếu họ {A } I là họ HCP thì { } I A cũng là họ HCP. 6 1.1.9. Mệnh đề. ảnh một họ -HCP qua ánh xạ đóng là một họ -HCP. Chứng minh. Giả sử P là một họ -HCP trong X. ánh xạ f: X Y là ánh xạ đóng, liên tục, toàn ánh. Ta cần chứng minh {f(P): PP} là họ -HCP trong Y. Thật vậy, vì P là -HCP nên P biểu diễn đợc dới dạng P = n N U P n trong đó P n là họ HCP của X với mọi n Ơ . Xét họ {C } I , trong đó C f(B ), B P n . Do C f(B ) nên tồn tại A B sao cho C = f(A ) với mọi J. Vì f là ánh xạ đóng nên f(A ) = ( ) f A với mọi J và J J f A f ( A ) = ữ U U . Mặt khác ( ) J J J J C f A f A f A = = = ữ ữ ữ U U U U , ( ) ( ) J J J J C f A f A f A = = = ữ U U U U . Vì họ P n là HCP nên J J A A = U U . Do đó suy ra J J f A f A = ữ ữ U U . Từ đó suy ra J J C C = U U hay {f(P) : P P n } là họ HCP. Suy ra họ {f(P): P P} = ( ) { } n n 1 f P : P = U p là họ -HCP.Ta có điều phải chứng minh. 7 1.1.10. Định nghĩa. Không gian tô pô X đợc gọi là một không gian Lindoloff nếu với mọi phủ mở tuỳ ý của X đều có một phủ con đếm đợc. 1.1.11. Nhận xét. Không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai là không gian Lindoloff. 1.1.12. Định nghĩa. Tập A X gọi là G - tập nếu A là giao đếm đợc các tập mở chứa A. 1.1.13. Định nghĩa. (i) Không gian tôpô X là không gian dãy nếu A X là đóng khi và chỉ khi không dãy nào trong A hội tụ đến một điểm nằm ngoài A. (ii) Không gian tôpô X đợc làm trội bởi P nếu hợp của họ tuỳ ý các P'' P là đóng trong X và đợc xác định bởi P''. 1.1.14. Định nghĩa. Không gian X đợc gọi là -không gian nếu có một k-lới -hữu hạn địa phơng. 1.2. Mối quan hệ giữa các loại lới 1.2.1. Mệnh đề. Mỗi k-lới là một wcs*-lới. Chứng minh. Giả sử P là một k-lới, {x n } là một dãy trong X, x n x X và U là một lân cận của x. Ta cần chỉ ra tồn tại P P và dãy { i n x : i Ơ } {x n } sao cho { i n x : i Ơ } P U. Vì U là lân cận của x và x n x nên tồn tại số n 0 Ơ sao cho x n U với mọi n n 0 . Đặt K = {x} { x n : n n 0 } thì K là tập con compact của X và K U. Vì P là một k- lới nên tồn tại họ hữu hạn P ' P < của P sao cho K P ' U hay {x} { n x :n n 0 } P ' U. Do P ' hữu hạn nên tồn tại P P ' và một dãy con 8 { i n x :i Ơ } {x n : n n 0 } {x n }, sao cho { i n x : i Ơ } P U. Vậy P là cs*- lới. 1.2.2. Mệnh đề. Nếu P là một wcs*-lới thì P là một p-wcs*- lới. Chứng minh. Giả sử {x n } là một dãy trong X hội tụ tới x X và y x. Do {y} đóng trong X nên U = X \{y} là một lân cận của x. Vì P là một wcs*-lới nên tồn tại dãy con { i n x } của {x n } và P P sao cho { i n x :i Ơ } P X \{y}. Vậy P là một p-wcs*-lới. 1.2.3. Hệ quả. Nếu P là một k-lới thì P là p-wcs*- lới. 1.2.4. Mệnh đề [A]. Nếu P là một k-lới thì P là p-k-lới. Chứng minh. Giả sử P là một k-lới, y là phần tử bất kỳ của X, K là tập con compact trong X, K X \{y}. Đặt U = X \{y} thì U là tập mở trong X và K U. Do đó tồn tại P ' P < sao cho K P ' U hay K P ' X \{y}. Suy ra P là một p-k-lới. 1.2.5. Mệnh đề. Nếu P là một p-k-lới thì P là một p-wcs*-lới. Chứng minh. Giả sử P là một p-k-lới {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và y x. Ta cần chỉ ra tồn tại dãy con { i n x } của {x n } và P P sao cho { i n x : i Ơ } P X \{y}. Vì X\{y} là lân cận của x và x n x nên tồn tại số n 0 Ơ sao cho x n X\{y} với mọi n n 0 . Đặt K = {x} { i n x : n n 0 } thì K là tập con compact của X và K X\{y}. Vì P là một p-k-lới nên tồn tại 9 P' hữu hạn sao cho K P ' X \{y}. Do P ' là tập hữu hạn nên ắt tồn tại P P ' P và một dãy con { i n x : i Ơ } { i n x : n n 0 } {x n } sao cho: { i n x : i Ơ } P X \{y}. Vậy P là một p-wcs*-lới. 1.2.6. Mệnh đề. 1. Nếu P là một cs- lới thì P là một cs*-lới. 2. Nếu P là một cs*-lới thì P là một wcs*-lới. 3. Nếu P là một wcs*- lới thì P là một p-wcs*- lới . Chứng minh. 1. Giả sử {x n } là một dãy trong X, x n x X và U là một lân cận của x. Vì P là một cs- lới nên tồn tại số tự nhiên n và P P sao cho {x} {x m : m n} P U. Do {x m : m n} là một dãy con của {x n } nên theo định nghĩa cs*-lới suy ra P là một cs*-lới. 2. Giả sử P là một cs*-lới. Khi đó với {x n } là một dãy trong X, x n x X và U là một lân cận của x thì tồn tại dãy con { i n x : i Ơ } của {x n } và P P sao cho {x} { i n x : i Ơ } P U. Từ đó suy ra { i n x : i Ơ } P U. Do đó P là một wcs*- lới. 3. Giả sử P là một wcs*- lới và giả sử {x n } là một dãy trong X, x n x X. Do {y} đóng trong X nên U = X \{y} là một lân cận của X. Vì P là một wcs*-lới nên tồn tại dãy con { i n x : i Ơ } của {x n } và P P sao cho { i n x : i Ơ } P U = X \{y}. Vậy P là một p-wcs*-lới. 1.2.7. Mệnh đề [C]. Nếu P là một wcs*-lới đóng thì P là một cs*-lới. 10 . 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ VIỆT A NH K – LƯỚI ĐẾM ĐƯỢC THEO ĐIỂM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyênh ngành: Giải tích. cứu các loại lới, mối quan hệ giữa chúng và các không gian với các loại lới đếm đợc theo điểm, xét một số bất biến qua các loại ánh xạ thông qua một số k t