Về đa tạp con trắc địa hoàn toàn

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh NGUYN TH AN V A TP CON TRC A HON TON Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh NGUYN TH AN về A TP CON TRC A HON TON Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn duy bình Vinh - 2010 2 LỜI MỞ ĐẦU Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỷ 19 và nó đã có nhiều ứng dụng trong cơ học, vật lí học và các ngành khác nhau của kỹ thuật. Đường trắc địa trên đa tạp Riemann là một vấn đề quan trọng của hình học Riemann. Nghiên cứu một số khái niệm, tính chất của đa tạp con trắc địa hoàn toàn để từ đó thấy được mối quan hệ giữa hình học của đa tạp và hình học của đa tạp con trắc địa hoàn toàn. Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về đa tạp con trắc địa hoàn toàn. Trên cơ sở kết quả của một số nhà toán học cùng với sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là: " Về đa tạp con trắc địa hoàn toàn". Nội dung chính của luận văn chia làm hai chương. Chương 1: Kiến thức cơ sở Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản về đa tạp Riemann, khái niệm liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann, đạo hàm hiệp biến của trường vectơ dọc cung và khái niệm về tenxơ độ cong, độ cong tiết diện; giới thiệu một số khái niệm và tính chất về phép chuyển dịch song song, đường trắc địa trên đa tạp Riemann. Chương 2: Đa tạp con trắc địa hoàn toàn Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của đường trắc địa trên đa tạp con. Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất về đa tạp con trắc địa hoàn toàn, từ đó đưa ra mối liên hệ giữa các độ cong trên hình học của đa tạp và hình học của đa tạp con trăc địa hoàn toàn. 3 Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Sau Đại học Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS.Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, cảm ơn các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn các vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu. Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo làm việc tại Khoa Sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bề và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 12 năm 2010 Nguyễn Thị An 4 Chương 1: Kiến thức cơ sở 1. Đa tạp Riemann Ta kí hiệu: M là đa tạp khả vi thực với cơ sở đếm được và với hệ bản đồ { } αα ϕ α ;U I ∈ T p M: Không gian các vectơ tiếp xúc với M tại p F(M): tập các hàm khả vi trên M B(M): tập các trường vectơ khả vi trên M 1.1. Định nghĩa Một cấu trúc Riemann g trên M, đó là một ánh xạ g: p → g p , Mp ∈∀ và : p p p g T M T M R× → , trong đó g p thoả mãn: 1. g p là tích vô hướng trong T p M 2. g phụ thuộc khả vi vào p (tức là: g(X,Y)(p) = g p (X p ,Y p ) và g là hàm khả vi theo p). Đa tạp (M,g) được gọi là đa tạp Riemann. 1.2. Liên thông Lêvi - Civita trên đa tạp Riemann 1.2.1. Định nghĩa Cho M là đa tạp khả vi. Liên thông tuyến tính trên M là ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) X :B M B M B M X,Y Y ∇ × → ∇a thỏa mãn các điều kiện sau: 1) ( ) 1 2 1 2 X X X X 1 2 Y Y Y; X ,X ,Y B M + ∇ = ∇ + ∇ ∀ ∈ 2) ( ) ( ) X X Y Y; X,Y B M , F M ϕ ∇ = ϕ∇ ∀ ∈ ∀ϕ∈ 3) ( ) ( ) X 1 2 X 1 X 2 1 2 Y Y Y Y ; X,Y ,Y B M∇ + = ∇ + ∇ ∀ ∈ 4) ( ) [ ] ( ) ( ) X X Y Y X Y; X,Y B M , F M∇ ϕ = ϕ∇ + ϕ ∀ ∈ ∀ϕ∈ 5 X Y∇ gọi là đạo hàm thuận biến của trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X. 1.2.2. Định nghĩa Cho ( M , g) là đa tạp Riemann; M là đa tạp Riemann con của M . Nếu g/ M là mêtric Riemann thì (M, g/ M ) là đa tạp con Riemann. 1.2.3. Định nghĩa Cho M là đa tạp Riemann. Liên thông tuyến tính ∇ trên M được gọi là liên thông Levi-Civita trên M nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) Trường tenxơ xoắn T = 0 ( nghĩa là ( ) [ ] X Y T X,Y Y X X,Y 0= ∇ − ∇ − = với ( ) X,Y B M∀ ∈ ) 2) Với mọi trường vectơ X, Y, Z trên M thì g 0∇ = ( nghĩa là ( ) X X X Y,Z Y,Z Y, Z ; X.Y,Z B M = ∇ + ∇ ∀ ∈     ). 1.2.4. Ví dụ Giả sử M là đa tạp khả song n – chiều với trường mục tiêu { } 1 2 n E ,E , .,E . Với ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i i 1 i 1 X,Y B M : X X E ;Y YE X ,Y F M ;i 1,n = = ∀ ∈ = = ∈ = ∑ ∑ . Ta đặt [ ] n X i i i 1 Y X Y E = ∇ = ∑ . Khi đó ∇ là một liên thông tuyến tính trên M. Thật vậy với ( ) ( ) X,X',Y,Y' B M ; F M∀ ∈ ∀ϕ∈ ta có ( ) [ ] n X X ' i i i 1 1) Y X X' Y E + = ∇ = + ∑ [ ] [ ] n n i i i i i 1 i 1 X Y E X' Y E = = = + ∑ ∑ X X ' Y Y= ∇ + ∇ . ( ) [ ] n X i i i i 1 2) Y Y' X Y Y ' E = ∇ + = + ∑ 6 [ ] [ ] n n i i i i i 1 i 1 X Y E X Y ' E = = = + ∑ ∑ X X Y Y'.= ∇ + ∇ ( ) [ ] n X i i i 1 3) Y X Y E ϕ = ∇ = ϕ ∑ [ ] n i i i 1 X Y E = = ϕ ∑ ( ) [ ] X n X i i i 1 Y. 4) Y X Y E = = ϕ∇ ∇ ϕ = ϕ ∑ [ ] [ ] ( ) n i i i i 1 X Y YX E = = ϕ + ϕ ∑ [ ] [ ] n n i i i i i 1 i 1 X Y E X YE = = = ϕ + ϕ ∑ ∑ [ ] X Y X Y.= ϕ∇ + ϕ Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi -Civita. Thật vậy ta có: j j i [E [ ]]=E [E [ ]], i, j = 1, ., n i E ϕ ϕ ∀ [X,Y][ ϕ ] = X[Y[ ϕ ]] - Y[X[ ϕ ]] [ ] [ ] i 1 1 X n n i i i i i X Y E Y E ϕ ϕ = =     = −         ∑ ∑ [ ] [ ] [ ] 1 1 n n i i i i i i X Y E Y X E ϕ ϕ = =   = +   ∑ ∑ - [ ] [ ] [ ] 1 1 n n i i i i i i Y X E X Y E ϕ ϕ = =   −   ∑ ∑ [ ] [ ] 1 n i i i X Y E ϕ = = ∑ - [ ] [ ] 1 n i i i Y X E ϕ = ∑ [ ] [ ] [ ] i 1 ( X ) n i i i i X Y E Y E ϕ = = − ∑ = ( )[ ] X Y Y X ϕ ∇ −∇ 7 Vậy ( , ) [X, Y] = 0 X Y T X Y Y X= ∇ −∇ − Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được: X[g(Y,Z)] = g( X Y∇ ,Z ) + g ( Y, X Y∇ ). Vậy ∇ là một liên thông Lêvi -Civita trên M. 1.2.5. Mệnh đề Liên thông Lêvi- Civita trên đa tạp M luôn tồn tại và duy nhất. Chứng minh: + Sự tồn tại của liên thông Levi-sivita trên M Giả sử X,Y ∈ B(M) ta xác định X Y∇ bởi phương trình sau ( ) X 1 Y,Z X Y, Z Y Z,X Z X,Y 2 ∇ = + − +             [ ] [ ] [ ] ( ) 1 Z, X,Y Y, Z,X X, Y, Z 2 + + − (1) trong đó Z là trường vectơ tùy ý của B(M). Khi đó, ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) X : B M B M B M X,Y Y ∇ × → ∇a là liên thông tuyến tính. Ta chứng minh ∇ là liên thông Levi-sivita trên M. Đặt ( ) [ ] X Y T X,Y Y X X,Y= ∇ − ∇ − Do công thức (1) ta dễ dàng kiểm tra được ( ) ( ) T X,Y ,Z 0, Z B M= ∀ ∈ . Suy ra, T(X,Y) =0. Bây giờ, ta chứng minh g 0∇ = . Thật vậy, với ( ) X,Y,Z B M∀ ∈ ta có X X Y,Z Y, Z X Y,Z ∇ + ∇ =     ( suy ra từ (1)) (2) 8 hay g 0∇ = . Vậy ∇ là liên thông Levi-sivita trên M. + Chứng minh tính duy nhất của ∇ . Để chứng minh tính duy nhất của ∇ ta chứng tỏ rằng nếu X Y∇ thỏa mãn điều kiện T(X,Y)=0 và g 0∇ = thì ∇ thỏa mãn phương trình (1). Thật vậy với ( ) X,Y,Z B M∀ ∈ ta có X X X Y,Z Y, Z Y, Z= ∇ + ∇     (3) Y Y Y X,Z Z,X Z, X= ∇ + ∇     (4) Z Z Z X,Y X,Y X, Y= ∇ + ∇     (5) Ta có [ ] [ ] X Z Z X Z X X,Z 0 X Z X,Z∇ −∇ − = ⇒ ∇ = ∇ − [ ] [ ] Y Z Z Y Z Y Y,Z 0 Y Z Y,Z∇ −∇ − = ⇒ ∇ = ∇ − Khi đó (5) [ ] [ ] X Y Z X,Y Z,Y X,Z ,Y X, Z X, Y,Z⇔ = ∇ − + ∇ −     (6) Ta có [ ] [ ] X Y Y X Y X X,Y 0 X Y X,Y∇ − ∇ − = ⇒ ∇ = ∇ − (4) [ ] Y X Y Z,X Z,X Z, Y Z, X,Y⇔ = ∇ + ∇ −     (7) Cộng vế theo vế của (3) và (7) rồi trừ vế theo vế cho (6) ta có X Y,Z Y Z,X Z X,Y+ −             [ ] [ ] [ ] X 2 Y,Z X, Y,Z Y, Z,X Z, X,Y= ∇ + − − ( ) X 1 Y,Z X Y,Z Y Z,X Z X,Y 2 ⇒ ∇ = + − +             [ ] [ ] [ ] ( ) 1 Z, X,Y Y, Z,X X, Y,Z 2 + + − Đây chính là đẳng thức (1). 9 Vậy tính duy nhất được chứng minh Giả sử (M, g) là đa tạp con n-chiều của đa tạp Riemann m-chiều ( ) gM , . Kí hiệu : ∇∇ , tương ứng là liên thông Lêvi – Civita của M và M . Ta thường kí hiệu tích vô hướng < , > thay cho mêtric g và g . Giả sử X, Y là các trường vectơ trên M. Với mỗi p ∈ M M ⊂ thì T p M, ( ) MTMT pp ⊂ ⊥ , trong đó ( ) ⊥ MT p là phần bù vuông góc của T p M. Ta kí hiệu : TM = MT Mp p  ∈ ; NM = ⊥ ∈ )( MT Mp p  Khi đó với , ( )X Y B M ∀ ∈ thì ( ) ( ) N X T XX YYY ∇+∇=∇ (1) Trong đó ( ) T X Y ∇ là thành phần tiếp xúc và ( ) N X Y ∇ là thành phần pháp dạng 1.3. Dạng cơ bản thứ 2 Định nghĩa Cho M là đa tạp khả vi. Ánh xạ : ( ) ( ) ( )II B M B M B M ⊥ × → được xác định bởi : II(X,Y) = ( ) N X Y ∇ được gọi là dạng cơ bản thứ 2 của M. Nhận xét : II là dạng song tuyến tính đối xứng 1.4. Đạo hàm của trường vectơ dọc một đường cong 1.4.1. Định nghĩa Cho ∇ là liên thông tuyến tính trên đa tạp M và ρ : t  ρ (t) là đường cong trên M. Đạo hàm (hiệp biến) dọc ρ , kí hiệu: dt D là phép đặt tương ứng với một trường vectơ X khả vi dọc ρ với một trường vectơ X' = dt DX sao cho: 10