2. Đa tạp con trắc địa hoàn toàn 1 Định nghĩa
2.11.Định lớ [xem 7]
Cho M, N là đầy đủ, liờn thụng và là đa tạp con trắc địa hoàn toàn của M
. Nếu cú một điểm p∈M ∩N mà tại đú ta cú: Tp(M) = Tp(N) thỡ M = N.
Chứng minh:
Ta chỉ cần chứng minh rằng nếu M là liờn thụng, N là đầy đủ thỡ M ⊂ N.
Cho δ là một đoạn trắc địa trong M chạy từ p đến q. Khi đú δ là một đường trắc địa trong M và do giả thiết trờn khụng gian tiếp xỳc nờn δ'(0) tiếp xỳc
với N. Do đú δ là đường trắc địa của N miễn là nú ở trong N.
Mặt khỏc do N đầy đủ nờn đoạn trắc địa trong N bao giờ cũng thỏc triển được thành một đường trắc địa trong N hay δ nằm hoàn toàn trong N.
Ta cú: M chuyển dịch song song của Tp(M) = Tp(N) dọc δ nờn Tq(M) = Tq(N) (vỡ xột δM :TpM →TqM
δN :TpN →TqN
δM :TpM →TqM
Mà M, N là đa tạp con trắc địa hoàn toàn của M nờn:
NT T M T M N M p p = = =δ δ δ hay Tq(M) = Tq(N) ).
Lập luận tương tự ta cú mỗi đoạn trắc địa của M bắt đầu tại p cũng nằm trong N
Thật vậy do M liờn thụng nờn với p,q bất kỡ trong M cú 1 đường cong nối p và q. Ta chia đường cong pq thành những đoạn đường cong đủ nhỏ pq1, q1q2, …, qnq.
Mặt khỏc trờn một lõn cận đủ nhỏ tồn tại một đường trắc địa ρ1 trong M nối p và q1 do đú ρ1 là đoạn trắc địa trong N và Tq1(M)=Tq1(N)⇒q1∈N
Lập luận tương tự ta cú q∈N⇒M ⊂N