Về liên thông pháp trên đa tạp con riemann

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh đinh thị thúy nhung về liên thông pháp trên đa tạp con riemann Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 2 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh đinh thị thúy nhung về liên thông pháp trên đa tạp con riemann Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn duy bình Vinh - 2010 4 MỤC LỤC Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o .1 Trêng ®¹i häc vinh .1 1 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o .3 Trêng ®¹i häc vinh .3 Ngêi híng dÉn khoa häc: 3 TS. NguyÔn duy b×nh 3 LỜI NÓI ĐẦU Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỉ 19 và nó đã có nhiều ứng dụng trong cơ học, vật lí học và các ngành khác nhau của kĩ thuật. Lí thuyết liên thông là một trong những vấn đề cơ bản của hình học Riemann. Lí thuyết này đã được trình bày trong một số tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [7],… Trên đa tạp Riemann có các loại liên thông như liên thông tuyến tính, liên thông Riemann, liên thông Levi-Civita. Nếu cho M là đa tạp con của đa tạp Riemann M thì xuất hiện liên thông pháp trên đa tạp con M. Với mục đích nghiên cứu liên thông pháp trên đa tạp con, chúng tôi đưa ra khái niệm liên thông pháp trên đa tạp con, chứng minh các tính chất của liên thông pháp, các tính chất của độ cong pháp, chuyển dịch song song pháp. Với những lý do trên được sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Về liên thông pháp trên đa tạp con Riemann”. Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1. Giới thiệu các khái niệm và tính chất của liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann, liên thông Levi-Civita trên đa tạp con Riemann, tenxơ độ cong, phép chuyển dịch song song. Các khái niệm và tính chất đó là cơ sở cho việc xây dựng lý thuyết trong chương 2. Chương 2. Bắt đầu từ việc xây dựng khái niệm liên thông pháp trên đa tạp con Riemann từ đó nghiên cứu các tính chất của liên thông pháp trên đa tạp con Riemann, nghiên cứu một số khái niệm và tính chất liên quan đến liên thông pháp. Trong mục 1 chúng tôi đưa ra khái niệm liên thông pháp trên đa tạp con Riemann từ đó nghiên cứu các tính chất của liên thông pháp trên 6 đa tạp con Riemann, nghiên cứu trường vectơ song song pháp trên siêu mặt, nghiên cứu một số tính chất của độ cong pháp. Trong mục 2 đưa ra khái niệm, tính chất về đạo hàm pháp dạng của trường vectơ dọc cung. Từ đó tìm hiểu về phép chuyển dịch song song pháp. Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong khoa Sau Đại học, các thầy cô giáo trong khoa Toán cùng các đồng nghiệp và gia đình đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 12 năm 2010 Người thực hiện Đinh Thị Thúy Nhung 7 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann 1.1. Liên thông tuyến tính trên đa tạp 1.1.1. Định nghĩa Cho M là đa tạp khả vi. Liên thông tuyến tính trên M là ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) X :B M B M B M X,Y Y ∇ × → ∇a thỏa mãn các điều kiện sau: 1) ( ) 1 2 1 2 X X X X 1 2 Y Y Y; X ,X ,Y B M + ∇ = ∇ + ∇ ∀ ∈ 2) ( ) ( ) X X Y Y; X,Y B M , F M ϕ ∇ = ϕ∇ ∀ ∈ ∀ϕ∈ 3) ( ) ( ) X 1 2 X 1 X 2 1 2 Y Y Y Y ; X,Y ,Y B M∇ + = ∇ + ∇ ∀ ∈ 4) ( ) [ ] ( ) ( ) X X Y Y X Y; X,Y B M , F M∇ ϕ = ϕ∇ + ϕ ∀ ∈ ∀ϕ∈ . X Y∇ gọi là đạo hàm thuận biến của trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X. 1.1.2. Ví dụ Giả sử M là đa tạp khả song n – chiều với trường mục tiêu { } 1 2 n E ,E , .,E .Với ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i i 1 i 1 X,Y B M : X X E ;Y YE X ,Y F M ; i 1,n = = ∀ ∈ = = ∈ = ∑ ∑ . Ta đặt [ ] n X i i i 1 Y X Y E = ∇ = ∑ . Khi đó, ∇ là một liên thông tuyến tính trên M. Thật vậy, với ( ) ( ) X,X',Y,Y' B M ; F M∀ ∈ ∀ϕ∈ ta có: ( ) [ ] n X X ' i i i 1 1) Y X X' Y E + = ∇ = + ∑ 8 [ ] [ ] n n i i i i i 1 i 1 X Y E X' Y E = = = + ∑ ∑ X X ' Y Y= ∇ + ∇ . ( ) [ ] n X i i i i 1 2) Y Y' X Y Y ' E = ∇ + = + ∑ [ ] [ ] n n i i i i i 1 i 1 X Y E X Y ' E = = = + ∑ ∑ X X Y Y'.= ∇ + ∇ ( ) [ ] n X i i i 1 3) Y X Y E ϕ = ∇ = ϕ ∑ [ ] n i i i 1 X Y E = = ϕ ∑ ( ) [ ] X n X i i i 1 Y. 4) Y X Y E = = ϕ∇ ∇ ϕ = ϕ ∑ [ ] [ ] ( ) n i i i i 1 X Y YX E = = ϕ + ϕ ∑ [ ] [ ] n n i i i i i 1 i 1 X Y E X YE = = = ϕ + ϕ ∑ ∑ [ ] X Y X Y.= ϕ∇ + ϕ 1.2. Liên thông Levi-Civita trên đa tạp Riemann 1.2.1. Định nghĩa Cho M là đa tạp Riemann. Liên thông tuyến tính ∇ trên M được gọi là liên thông Levi-Civita trên M nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) Trường tenxơ xoắn T = 0. Có nghĩa là ( ) [ ] X Y T X,Y Y X X,Y 0= ∇ − ∇ − = với ( ) X,Y B M∀ ∈ . 9 2) g 0∇ = . Có nghĩa là ( ) X X X Y,Z Y,Z Y, Z ; X.Y,Z B M = ∇ + ∇ ∀ ∈     . 1.2.2. Ví dụ Giả sử M là đa tạp khả song n – chiều với trường mục tiêu { } 1 2 n E ,E , .,E . Với ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i i 1 i 1 X, Y B M : X X E ; Y YE X ,Y F M ; i 1,n = = ∀ ∈ = = ∈ = ∑ ∑ . Ta đặt [ ] n X i i i 1 Y X Y E = ∇ = ∑ . Khi đó, ∇ là một liên thông Levi-Civita trên M. Thật vậy, theo ví dụ 1.1.2 ta đã chứng minh ∇ là liên thông tuyến tính trên M. Bây giờ ta sẽ kiểm tra hai điều kiện của liên thông Levi-Civita. Với ( ) ( ) X,Y,Z B M ; F M∀ ∈ ∀ϕ∈ ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 1) X,Y X Y Y Xϕ = ϕ − ϕ         ( ) [ ] ( ) [ ] 1 1 n n 1 1 n n X Y E . Y E Y X E . X E= + + ϕ − + + ϕ         [ ] [ ] [ ] [ ] n n i i i i i 1 i 1 X Y E Y X E = =     = ϕ − ϕ  ÷  ÷     ∑ ∑ ( ) [ ] ( ) [ ] X Y Y X= ∇ ϕ − ∇ ϕ [ ] X Y X,Y Y X.⇒ = ∇ + ∇ 2) Do n n i i j j i 1 j 1 X X E ;Y Y E = = = = ∑ ∑ ( ) n n i j i j i i i,j 1 i 1 X,Y X Y E E X Y. = = ⇒ = = ∑ ∑ Ta có: n i i i 1 Z X,Y Z X Y =   =         ∑ 10