Về liên thông lêvi sivita trên đa tạp riemann

0 BỘGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH  TRẦN THỊLAN HƯƠNG VỀLIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Hình học- tôpô Mã số : 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SỸTOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGUYỄN HỮU QUANG VINH - 2007 MỤC LỤC Trang Lời nói đ ầu Chương I : Liên thông tuyế n tính M I Liên thông tuyế n tính M II Đạ o hàm củ a trườ ng vectơ 13 Chương II : Liên thông Lêvi-sivita đa tạ p Riemann 21 I Liên thông Lêvi-sivita đ a tạ p Riemann 21 II Dạ ng liên thông 30 Kế t luậ n 36 Tài liệ u tham khả o 37 LỜI NÓI ĐẦU Các liên thông đ a tạ p phép lấ yđ o hàm trườ ng vectơtiế p xúc củ ađ a tạ p Do liên thông nhữ ng công cụđ ểnghiên cứu tính chấ t hình họ c đ a tạ p Chẳ ng hạ n, nghiên uđ ộcong, đ ộxoắ n, phươ ng trình cấ u trúc củ ađ a tạ p, Vì vậ y, liên thông tuyế n tính liên thông Lêvisivita đ ãđ ợc trình bày nhiề u tài liệ u viế t vềhình họ c vi phân Trong luậ n vă n này, tậ p hợ p chứng minh chi tiế t tính chấ t củ a liên thông tuyế n tính, liên thông Lêvi-sivita mộ t sốtính chấ t củ a ng liên thông đ a tạ p Luậ n vă nđ ượ c chia thành chư ơng: Chương I: Liên thông tuyế n tính đ a tạp I Liên thông tuyế n tính M II Đạ o hàm củ a trư ờng vectơ Chương II: Liên thông Lêvi-sivita đ a tạ p Riemann I Liên thông Lêvi-sivita đ a tạ p Riemann II Dạ ng liên thông Trong chươ ng I, trình bày đ ị nh nghĩ a, ví dụminh họa mộ t số tính chấ t cơbả n củ a liên thông tuyế n tính, ng minh sựtồ n tạ i liên thông tuyế n tính mộ tđ a tạ p khảvi tính bấ t biế n củ a liên thông tuyế n tính qua mộ t phép vi phôi Ngoài ra, đ ã trình bày tính chấ t đ o hàm củ a trư ờng vectơtheo mộ t vectơtiế p xúc, đạ o hàm củ a trườ ng vectơ dọ c theo mộ t cung Trong chươ ng II, trình bày đ ị nh nghĩ a, ví dụvà mộ t sốtính chấ t cơbả n củ a liên thông Lêvi-sivita, ng minh liên thông Lêvi-sivita tồ n tạ i nhấ t đ a tạ p Riemann M, ng minh tính bấ t biế n liên thông Lêvi-sivita qua mộ t phép vi phôi đẳ ng cự Ngoài ra, cũ ng chứng minh sựtồ n tạ i nhấ t củ a trườ ng vectơf đ a tạ p Cũ ng chươ ng đ ã chứng minh mộ t sốtính chấ t củ a ng liên n thông R Luậ n vă nđ ượ c hoàn thành vào tháng 12 nă m 2007 tạ i khoa Đào tạ o sau đ i họ c, trư ờng Đạ i họ c Vinh dư ới sựhư ớng dẫ n củ a thầ y giáo, PGS.TS Nguyễ n Hữ u Quang Nhân dị p này, xin đ ượ c bày tỏlòng biế tơ n sâu sắ c đế n thầ y, ngườ i tậ n tình dẫ n, giả ng y suố t trình học tậ p nghiên u Chúng m ơn thầ y giáo bộmôn hình họ cđ ã giả ng y, chỉbả o nhữ ng vấ nđ ềcó liên quan đ ế nđ ềtài nghiên u cũ ng xin chân thành mơ n thầ y cô giáo Khoa Toán, khoa Sau đ i họ cTrườ ng Đạ i học Vinh, Trư ờng THPT Nghi Lộ c 3, đ ng nghiệ p, gia đ ình, bạ n bè tạ ođ iề u kiệ n thuậ n lợ i cho suố t trình hoàn thành luậ n vă n Vinh, tháng 12 nă m 2007 Tác giả CHƯƠNG I LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐA TẠP Trong luậ n vă n này, giảthiế t M mộ tđ a tạ p khảvi thự c nchiề u vớ i cơsởđ ế mđ ượ c vớ i hệbả nđ ồ U ,  Ta kí hiệ u: I  B (M) = {X\X trườ ng vectơtiế p xúc khảvi M}  F(M) = { f f : U  R , f khảvi U- mởtrong R n }  T p M = {không gian vectơtiế p xúc với M tạ i p M } I LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN M 1.1 Đị nh nghĩ a: Ánh xạ  : B (M)B (M)  X ,Y   B (M) X Y Đư ợc gọ i liên thông tuyế n tính đ a tạ p M nế u nế u  thỏa mãn đ iề u kiệ n sau:  T1 X  Y Z X Y X Z ; X , Y , Z B (M)  T2  X Y Z X Z Y Z ; X , Y , Z  B (M)  T3  X Y X Y ; X , Y , Z  B (M), F(M)  T4  Y X  Y X Y X  ; X , Y , Z B (M), F(M) Ta thườ ng gọ i X Y đ o hàm thuậ n biế n củ a trườ ng vectơY dọ c theo trườ ng vectơX 1.2.Ví dụ: GiảsửD mộ tđ o hàm tựnhiên củ a trư ờng vectơtrong R , ta xét ánh xạ  : B ( R ) B ( R ) X , Y  B (R ) X Y  n  DX Y  Khi đ ó,  mộ t liên thông tuyế n tính R Thậ t vậ y, với X , Y , Z  B ( R ); F( R ) ta có: Y Z =  T1 X  DX  Y Z    X  Y Z   n  X Y X Z   n = D X Y D X Z  1 X Y D X Z   X Z  = DXY   n n = X Y X Z  T2  X Y Z X Y Z  = D X Y Z   n X Z  Y Z   = D X Z DY Z   n 1 X Z DY Z   Y Z  = DX Z   n n = X Z Y Z  X  Y  = D X Y   n  T3   X Y X Y  = D X Y   n   X Y   = D X Y   n   = X Y  T4 X  Y = DX  Y    X  Y   n Y D X Y   X Y  = X  n   Y D X Y   X Y   = X  n    Y  X Y = X  GiảsửM đ a tạ p khảsong n - chiề u vớ i trườ ng mụ c tiêu  E1 , E2 , , E n  n n i 1 i 1 Vớ i mọ i X , Y B (M): X X i E i ; Y Yi Ei ( X i , Yi F(M); i 1, n ) n Yi Ei Khi đ Ta đặ t : X Y X  ó  liên thông tuyế n tính M i 1 Thậ t vậ y, với X, X’, Y, Y’ B (M); F(M), ta có:  T1 X X 'Y n = X i 1  X '  Yi  Ei Yi  E i X '  Yi  Ei = X  n n i 1 i 1 = X Y X ' Y n Yi Yi  Ei T2 X Y Y ' = X  i 1  Yi E i X  Yi E i = X      i i 1 n n = X Y X Y '  T3  X Y X   Yi E i =  n i 1 n Yi  Ei =  X  i 1 =  X Y n Y i  Ei  T4  X  Y =  X  i 1 n X  Yi Yi X   Ei =  i 1 n n i i 1 Yi E i X   Y i E i = X  = X Y X  Y □ 1.3 Mệ nh đề : Giảsử f : M  N mộ t vi phôi  mộ t liên thông tuyế n tính N   1 Ta đ ặ t: X Y  f  f X f Y ; X, Y B (M) Khi đ ó  liên thông tuyế n tính M Chứng minh: Vớ i X , X ' , Y , Y ' B (M);  F(M), ta kiể m tra điề u kiệ n củ a liên thông tuyế n tính  T1 X  Y Y '=     f  f X f  Y Y ' 1 1 = f f Y f X f Y '  f X    1 1 = f  f X f Y  f  f X f Y '  = X Y X Y '  T2  X X ' Y     1 = f   f X X ' f Y 1 = f 1 = f  f X f Y f X ' f Y  f X f Y   f 1  f X ' f Y  = X Y X 'Y  T3  X Y 1  f  = f  X f Y 1 = f 1 = f       f Y f Y f X f X   =  X Y Đểkiể m tra đ iề u kiệ n thứ4 củ a  ta sửdụ ng nhậ n xét sau: t p ; '  Giảsửcung tham số: J  M thỏ a mãn:  t p t   t     t0 ;  F(M) Khi đ ó ta có: p  Chứng minh: Trong hệtọa đ ộđ ị a phư ơng, ta có: ;  t  x1  t , x2  t , , x m  t   t  x1 '  t , x ' t , , x m '  t ; p '  t  x1 '  t0  , x2 '  t0  , , x m '  t0    '   '  t0  t0    x i  m i 1 x i p  □ =  p  Giảsử f : M  N mộ t ánh xạkhảvi X p T p M ; F(N), ta có: f X     X  f  p p p Chứng minh: t tạ GiảsửX p vectơtiế p xúc với cung  i p Nhưta đ ã biế t, đ ó f  p X p vectơtiế t tạ p xúc với đ ườ ng cong f  i f  p Từđ ó ta có: f  p X p    = = d f  t t t0 dt d  f  t t t dt f  = X p □ Giảsử f : M  N mộ t vi phôi Khi đ ó : f X    X  f  f 1 , X B (M);  F(M) Chứng minh: Từ1) ta có: f X f p   X p  f    f X    X p  f  f  p p  f X    f   p X  f   p  f X    f  p X  f   p  f X    p ' X  f  f 1  p '; p'  f  p ; p 'N   f X    X  f  f 1 □ Bây , trởlạ i ng minh mệ nh đ ề Ta có:  Y = f    f X f  Y   T4 X  1  f Y   f  f X   f  f Y  f   f Y f   X   f f  f  f Y  f   f Y f  X   f  f Y  f   f Y X  Y f   f Y 1  f = f  f X  = = = = 1   1  1  1  1 1  1 1 1 f X 1  1   f X f X   1 f X  Y X Y □ = X  Nhưta đ ã biế t, (xem[ 3]) GiảsửU mộ t phủmởbấ t kì củ a A R n Khi đ ó tồ n tạ i họ hàm  khảvi, xác đ ị nh mộ t tậ p mởW chứa A cho: x 1 ; x A ,   Vớ i x A , tồ n tạ i tậ p mởV a x cho chỉcó mộ t sốhữ u hạ n hàm họ khác V x 1 ; x A   Vớ i , tồ n tạ i tậ p mởU U cho 0 mộ t tậ pđ óng bị chứa U Họ thỏ a mãn đ iề u kiệ n đư ợc gọ i phân hoạ ch đ n vị phù hợp với U Trên đ a tạ p M vớ i tậ p bả nđ ồ U  tồ n tạ i mộ t họ= g  phù I I U  hợ p vớ i I Bằ ng việ c sửdụ ng mệ nh đ ề1.3 phân hoạ ch đ n vị ta có mệ nh đ ềsau: 1.4 Mệ nh đề : Trên đ a tạ p M tồ n tạ i liên thông tuyế n tính  Chứng minh: n U  và vớ GiảsửX, Y  B  i vi phôi  :U   V ; I , V - mởtrong R 23 Khi đ ó, tồn tạ i nhấ t mộ t trư ờng vectơA B (M) cho:  Z A.Z ; Z B (M) (1) Chứng minh: Ta cầ n chứng minh sựtồ n tạ i tính nhấ t củ a A lân cậ n củ a mộ t đ iể m tùy ý p M n U , x GiảsửEi  trư ờng mụ c tiêu bả nđ ồđ ị a phươ ng  Khi đ ó với i 1 A B (M) ta có biể u diễ n:  n A i E i ; i F(M), i 1, n i 1  Đẳ ng thứ c (1) tư ơng đ ơng với:  Ei  A E i =  E j j Ei j   Ei  j g ij ; với g ij E i E j ,  i , j 1, n  (2) j Từ(2) ta có đ ợc mộ t hệgồ m n phư ơng trình ẩ n i Vì ng tích vô hư ớng g  không suy biế n nên với mọ i q U , ta có det g ij | q 0 Do đ ó, từ(2) xác đ ị nh E i và j và chúng đ nhấ tđ ượ c  ượ c biể u thị qua hàm khảvi  g ij  j cũ ng khảvi Nhưvậ y, trư ờng vectơA khảvi A đ ượ c xác đ ị nh mộ t cách nhấ t thỏ a mãn (1) Bây , ta chứng minh đ ị nh lí: + Tính nhấ t củ a : Giảsử: B (M) B (M)  B (M) X , Y   X Y Là liên thông Lêvi-sivita thỏ a mãn: (1) T  X , Y 0 24  X Y Y X  X ,Y  0 X Y  Z X Y X Z Y X , Y , Z B (M) (2) Z  Đểchứ ng minh tính nhấ t, ta ng tỏrằ ng nế u X Y thỏ a mãn điề u kiệ n (1) (2) thỏ a mãn phươ ng trình sau:  X Y Z   X  Y Z  Y  Z X  Z  X Y  Z  X ,Y  Y  Z, X X  Y, Z  (3) Thậ t vậ y, từ(1) ta có: X Y Y X  X ,Y  (4) Tươ ng tự : Y Z Z Y  Y ,Z  (5) Z X X Z  Z,X (6) Từ(2) ta có: Z X Y  Z X Y X Z Y Y Z  X Y Z Y X Z Tươ ng tự : X (7) Y Z X  Y Z X Z Y X (8) Mặ t khác, từ(8) ta có: Y X Z Y  Z X  Y Z X (9) Do đ ó: X Y Z =  Y X  X ,Y   Z (theo (4) ) X ,Y  Z = Y X Z  Z X  X,Y  Z = Y Z X Y  ( theo (9) ) Z Y  Y ,Z   X Y  Z X   X ,Y  Z =  ( theo (5) ) Y, Z X Y  Z.X   X ,Y  Z = Z Y X  X Y   Y,Z  X Y  Z X   X ,Y  Z = Z X Y Z  ( theo (2) ) X Z  Z,X  Y Z  X Y   Y, Z X Y  Z X   X ,Y  Z =  ( theo (6) ) Z, X  Y Z  X Y   Y, Z X Y  Z X   X ,Y  Z = X Z Y  = X Y Z  X Y Z  Z, X Y Z  X Y  Y,Z X Y  Z X  X ,Y  Z  2X Y Z X  Y.Z  Z, X  Y Z X Y   Y,Z X Y Z X   X ,Y  Z ( theo (7)) 25 Chia hai vếcho ta đ ợc: X Y Z   X  Y Z  Y  Z X  Z  X Y  Z  X ,Y Y  Z, X  X  Y, Z   X Y thỏ a mãn phư ơng trình (3) Bây , ta giảsửcó mộ t liên thông tuyế n tính khác cũ ng thỏ a mãn đ iề u kiệ n (1) (2) Khi đ ó từ(3) suy ra:  X Y Z X Y Z   X Y  Z 0 ; X , Y , Z B (M) XY    X Y X Y    Vậ y tính nhấ t củ a đ ượ c chứng minh + Sựtồ n tạ i : Vớ i mọ i X, Y B (M) cốđ ị nh Xét ánh xạ : : B (M)  F(M) Z   Z ; Z B (M) Z   X Y Z  Y  Z, X Z  X Y  Z  X ,Y  Y  Z.X  X  Y, Z  Trong đ ó:  Khi đ ó,  ánh xạF(M)- tuyế n tính Thậ t vậ y, ta dễdàng kiể m tra đ ượ c tính cộ ng tính củ ađ ố i với biế n Z Mặ t khác:  Z   X Y  Z  Y  Z X  Z  X Y  Y  Z , X  X  Y , Z   Z   X   Y Z  Y   Z X  X   Y Z  Y   X Z   =  Z =  Áp dụng bổđ ềtrên, tồ n tạ i nhấ t trư ờng vectơA B (M), cho  Z A.Z ; Z B (M) Ta đ ặ t: X Y A Khi đ ó  mộ t liên thông tuyế n tính 26 Thậ t vậ y, đ ểkiể m tra  mộ t liên thông tuyế n tính ta cầ n kiể m tra quy tắ cđ o hàm củ a  Từ(3) ta có: 2 XY  Z X  Y.Z Y  Z, X ZX Y ZX , Y Y Z.X X  Y, Z X Y  Z X   Y.Z Z   X Y X   Z.Y Z  X Y  = 2  X Y  Z X   Y Z   = 2 = 2  X Y  Z  X  Y Z    X Y  X  Y  Z = 2  X Y X Y X  Y ; Z B (M) Bây , ta kiể m tra tính chấ t (1) (2) củ a  Từcông thức (3) ta có: Z X Y   Z X Y  X  Y Z  Y  Z.X  Y  Z, X X  Y , Z Z  X ,Y   (10)  Z Y X   Z Y.X  Y  X Z  X  Z Y  X  Z, Y  Y  X,Z Z  Y, X (11) Cộ ng vếtheo vếcủ a (10) (11) ta có: Z X Y Z Y X Z  X Y  Vậ y  thỏ a mãn đ iề u kiệ n (2) củ a liên thông Lêvi-sivita Mặ t khác, cũ ng từ(3) ta suy ra: Y X Z   Y X Z  X  Z Y  Z  Y X  Z  Y, X  X  Z,Y Y  X,Z   Trừvếtheo vếcủ a (3) (12) ta đ ượ c: X Y Z Y X Z Z  X ,Y   X Y Y X  X ,Y   Z 0 ; Z B (M) X ,Y  0 Do đ ó: X Y Y X  X , Y 0 Hay T    thỏa mãn điề u kiệ n (1) củ a liên thông Lêvi-sivita Vậ y, tồ n tạ i liên thông Lêvi-sivita đ a tạ p Riemann (12) 27 2.4 Đị nh nghĩ a: GiảsửM, N đ a tạ p Riemann, f : M  N ánh xạkhảvi Khi đ ó, f đ ượ c gọ i ánh xạđ ẳ ng cự nế u vớ i mọ i p M ; v, w T p M , ta v f  p  w , (tứ có: v w  f  p  c f p bả o tồ n tích vô hướ ng, p ) Ánh xạ f : M  N đ ượ c gọ i vi phôi đẳ ng cựnế u f mộ t vi phôi ánh xạđ ẳ ng cự Từđ ó ta có mệ nh đ ềsau: 2.5 Mệ nh đề : Giảsử f : M  N mộ t vi phôi đ ẳ ng cựvà  mộ t liên thông Lêvi-sivita M Ta đ ặ t f X f Y  f  X Y  , X ,Y B (M) Khi đ ó  mộ t liên thông Lêvi-sivita N Chứng minh: Thậ t vậ y, ta dễdàng kiể m tra đ ượ c  mộ t liên thông tuyế n tính Ởđ ây ta chỉchứ ng minh  thỏ a mãn hai đ iề u kiệ n củ a liên thông Lêvi-sivita T  f X , f Y =  f X f Y  f Y f X  f X , f Y  = f X Y  f Y X   f X ,Y  ( theo bổđ ề1.11) = f  X Y Y X  X ,Y   = f  = Vậ y: T  f X , f Y  = Do f đ ẳ ng cựnên : X Y  p  fX fY  f  p  ; với p M , X , Y B (M)   X Y f  f  p   f X f Y  f  p   X Y  f 1  1   fX f Y Từđ ó, ta có: f Z  fX fY  f  p = fZ  X Y f 1  f  p = Z X Y f 1  f f X Y   p = Z 1 f  p (theo nhậ n xét 3,bổđ ề1.3) 28 p X Z Y  p = Z X Y  Z X  f Y  f  p  f X f Z Y f  p  = f  f  p   f X f Z fY  f  p  = f Z f X f Y  = f Z f X f Y f X f Z f Y  f  p f X f Y = f Z f X f Y  f X f Z f Y Suy ra: f Z  Vậ y,  liên thông Lêvi-sivita N 2.6 Mệ nh đề : n n Ei  Trong R cho trường mụ c tiêu tựnhiên  i  X , Y  B ( R ) ta i Vớ n có: Đạ o hàm củ a trư ờng vectơY dọ c theo trư ờng vectơX đ ợc xác đ ị nh công n Y E Yi E i , với Y  thứ c: D X Y X  n i 1 i 1 i i n Khi đ ó, D mộ t liên thông Lêvi-sivita R Chứng minh: n Ta dễdàng kiể m tra đ ợc D mộ t liên thông tuyế n tính R Bây , ta sẽkiể m tra hai điề u kiệ n liên thông Lêvi-sivita Thậ t vậ y: n Giảsử Ei  trường mục tiêu tựnhiên R n i 1 n n i 1 i 1 Với mọ i X ,Y  B ( R ), ta có biể u diễ n: X X i E i Y Y i E i n   n  E j  E i   i, j 1, , n nên ta có: Do E i E j  , với F( R ),  X , Y    = X Y   Y  X   n  n  Yi E i   Y X i E i   = X  i 1  i 1  n = n n n Y E   Y X  E   Y  X  E   X Y  E   X  i i i i i i i i 1 i i i 1 i 29 n = Y E   Y  X  E  X  i i i i i 1 n n  Y i E i Y  Xi Ei    = X  i 1 i 1  D X Y DY X    = X ,Y   DX Y DY X  X , Y D X Y DY X  X ,Y  0 Vậ y,  , hay T  Mặ t khác: n n i 1 i 1 DZ X Y X DZ Y Z  Xi  Yi Z  Yi X i n = Z X Y  i i 1 i n X i Yi  = Z  i 1 X Y  = Z X Y  Suy ra: DZ X Y X D Z Y Z  n Vậ y: D mộ t liên thông Lêvi-sivita R 2.7 Mệ nh đề : Cho M mộ tđ a tạ p Riemann n - chiề u với liên thông Lêvi-sivita  f : M  R mộthàm khảvi, vi phân df - ng M Khi đó, tồ n tạ i nhấ t mộ t trư ờng vectơf B (M) cho: g X , f  df  X ; X B (M) Chứng minh: U, là hệtọ Vớ i X X , X , , X n  B (M),  ađ ộđ ị a phươ ng, ta có: M nên: Do df 1  df  X X  f n = X i 1 i f x i 30 f x  = X , X , , X n   f  x n        Mặ t khác, giảsửf B (M), ta có: g X , f  g ij X i f j i Suy ra: f j U j g ij j Nên f U f x j tồ n tạ i nhấ t U  là phân hoạ U  Gọ i ch đ n vị ứng vớ i Khi đ ó: Đặ t: f f   Vậ y, trư ờng vectơf hoàn toàn xác đ ị nh M 2.8 Đị nh nghĩ a: Trườ ng vectơf nêu ởtrên đ ợc gọ i Gradiă ng củ a hàm f đ a tạ p M II DẠNG LIÊN THÔNG: U , U , ,U n  GiảsửM đ a tạ p khảsong n - chiề u với trườ ng mụ c tiêu  , liên thông Lêvi-sivita đ a tạ pM Vớ i X B (M) ; X U i B (M), ta có sựbiể u thịX U i theo  U ,U , ,U n  nhưsau: n  X U i i j  X U j 1 j i 1, , n ;  Cụthể : X U 11  X U 12  X U  1n  X U n X U 12  X U 22  X U  2n  X U n X U n 1n  X U n2  X U  nn  X U n 31 2.9 Mệ nh đề : i j  i 1, , n; j 1, , n là 1- ng vi phân Chứng minh: + Ta ng minh ij ánh xạtuyế n tính Vớ i X , Y B (M) ; , F(M), ta có: X Y  U i = X U i Y U i = X U i Y U i n n j 1 j 1 X U j i j  Y Uj = i j    X U  n = j j i j i j  YUj   i j  X Y i j  X i j  Y Vậ y, i j ánh xạtuyế n tính + Chứ ng minh i j  X là ánh xạkhảvi: Từđ ị nh nghĩ a ánh xạ: B (M)B (M)  B (M) X , Y   X Y Ta có: X U i B (M) nên X U i khảvi n X U j ; X ,U j B (M) nên suy i j  Mà X U i i j  X khảvi j 1 j Vậ y, i 1- ng vi phân M 2.10 Đị nh nghĩ a: Các 1- ng vi phân ij  i 1, , n; j 1, , n đ ượ c gọ i ng liên thông củ a đối với trường mục tiêu  U , U , , U n trong đ a tạ p Riemann M  Bây giờta xét ng liên thông R n với D Khi đ ó: n D X U i i j  X U j j 1 X   F(U) ,  i 1, 2, , n ; i j  32 n j Ta thườ ng viế t tắ t công thức đ ó là: DU i i U j j 1 2.11 Ví dụ: Xét R vớ i trườ ng mụ c tiêu tựnhiên  E1, E và : R  R hàm số khảvi U cos  E1 sin .E Cho  U sin .E cos  E  X , X X E1 X E , ta có: Khi đ ó, giảsửX  D X U = DX  cos  E sin  E  cos .E  D X  sin .E  = DX  cos  E1 X  sin  E = X  cos  cos    sin  sin   E1 X E1   X1 E2 X E2     x  y  x  y    = X  cos  cos   sin  sin  X  E1  X1 X  E2    x y  x  y     = X   = X  E X 1 E2 x sin X 2y sin  x cos X y cos  sin E1 cos E X 2 sin E1 cos E  = X 1 x y = X  xU X  yU X 1 U2 = x X  y   U ; X = X   DU d U Tươ ng tự , ta cũ ng có: DU dU d 0 j  Vậ y: i   d    2.12 Mệ nh đề : GiảsửY Y1U  YnU n Khi đ ó: 33 n  j  DY dY j Yii  U j j 1 i 1  n Chứng minh: n  D Y  D Ta có: X X YiU i  i 1  n D X  Y iU i  i 1 n  X  Yi U i Yi D X U i  i 1 n  n   d Yi  X  U i Yi i j  X U j i 1  j 1  n j  , X d  Yi  X U i Yi    X  U  i j   i 1 i 1 j 1  n n  DY d  Yj U j Yi i U n n j i,j j j n  j  DY   dY  Y  U Hay  j  i i  j 1  i 1  n j 2.13 Nhậ n xét: n Nế u U i trư ờng mụ c tiêu trực chuẩ n ii 0 i j ij , với i  j i 1 Thậ t vậ y: U i U j 0 ; i  j   X U i U j 0   DXU i  U j  D XU j  U i 0 n  n   il  X  U l  U j kj  X  Uk  U i 0 l 1  k 1  j i  i  X  j  X  0  i j  ij i ii  ii 0 □ Vậ y, i j i  34 Ei   Bây giờta giảsử t trườ ng mụ c tiêu tựnhiên R n i mộ n Khi đ ó ta có sựbiể u diễ n sau: U c 11 E c 12 E  c 1n E n  n U  c E c E  c E n   U n  c 1n E c n2 E  c nn E n   j Đặ t: c  ci , c đ ợc gọi ma trậ n chuyể n từtrườ ng mụ c tiêu n Ei in1   Ui  ó ta có mệ nh đ ềsau: i 1 Từđ 2.14 Mệ nh đề : c 1 dc Chứng minh: n j D ci E j Ta có: D X U i = X   j 1     n = D = c  E X  X j 1 c ij E n j i j j c i j D X E j j 1 c  E = X  n j i j 1 n    DU i  dc ij E j j 1 Mặ t khác ta có: n DU i ik U k k 1 n  ik c kj E k , j 1 j j  35 n Nên dc j 1  dc n j i E j  i j c kj E j k , j 1 n  ik c kj j i k 1  dc c   c 1 dc 2.15 Ví dụ: Tính  ởví dụ2.11 theo mệ nh đ ề2.14 U cos .E sin  E Vớ i  U sin  E1 cos .E  cos  sin  c  Ta có:  sin  cos    cos  sin    c 1  sin  cos     sin d  cos d   dc  Và:  cos d  sin d    cos  sin  sin d  cos d     d   c 1 dc      d    sin  cos   cos  d   sin  d        2.16 Nhậ n xét: Ui Nế u ờng mụ c tiêu trực chuẩ n R n c ma trậ n trực i 1 trư n  giao Hay: c c I  c  c 1    c dc 36 KẾT LUẬN Luậ n vă nđ ãđ tđ ợc mộ t sốkế t quảsau: Bằ ng việ c sửdụ ng tính bấ t biế n củ a liên thông tuyế n tính phân hoạ ch đ n vị chứng minh đ ợc sựtồ n tạ i củ a liên thông tuyế n tính đa tạ p( mệ nh đ ề1.4) Chứng minh chi tiế t mộ t sốtính chấ t vềđ o hàm củ a trư ờng vectơtheo mộ t vectơtiế p xúc, đ o hàm củ a trườ ng vectơdọc mộ t ánh xạvà mộ t cung (nhậ n xét 1.8, mệ nh đ ề1.10, mệ nh đ ề1.12, hệquả1.14) Chứng minh chi tiế t mệ nh đ ề2.5 vềtính bấ t biế n củ a liên thông Lêvi-sivita qua mộ t phép vi phôi đ ẳ ng cự Chứng minh mệ nh đ ề2.7 vềsựtồ n tạ i nhấ t củ a trư ờng vectơf đ a tạ p j Trình bày sựbiể u diễ n D X Y qua i (mệ nh đ ề2.12) Trình bày ng minh tính chấ t củ a ng liên thông R n ( mệ nh đ ề 2.14) Trong thờ i gian tới, tiế p tụ c nghiên cứu đ o hàm Lie đ a tạ p Riemann ứ ng dụ ng củ a 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khu Quố c Anh, Nguyễ n Doãn Tuấ n(2005) Lí thuyế t liên thông hình họ c Riemann, NXB ĐHSP Hà Nộ i [2] Trầ n Việ t Dũ ng (1995) Bài giả ng đ a tạ p Riemann, ĐHSP Vinh [3] Nguyễ n Hữu Quang (2005) Đa tạ p khảvi Bài giả ng chuyên đ ềsau đ i họ c Đạ i họ c Vinh [4] Nguyễ n Hữu Quang (2005) Mởđ ầ u hình họ c Riemann Bài giả ng chuyên đ ềsau đ i họ c Đạ i họ c Vinh [5] Đoàn Quỳ nh (2001) Hình họ c vi phân NXB Đạ i họ c Quố c gia Hà Nộ i [6] D.Gromoll, W.Klingenberg, W.Meyer (1971) Hình họ c Riemann toàn cụ c.(Bả n dị ch tiế ng Việ t - Thưviệ n Đạ i học Vinh) [7] Spivak (1985) Giải tích toán học đ a tạ p.(Bả n dị ch tiế ng Việ t) NXB ĐH THCN Hà Nộ i [...]... i i 1 i 1  ~  X  t t  =  ~  ~  X =  X  t Vậ y:   t t  i 21 CHƯƠNG II LIÊN THÔNG LÊVI -SIVITA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN I LIÊN THÔNG LÊVI -SIVITA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 2.1 Đị nh nghĩ a: Giảsử là mộ t liên thông tuyế n tính trên đ a tạ p M Khi đ ó,  đ ư ợc gọ i là liên thông Lêvi- sivita nế u  thỏa mãn hai điều kiện sau: 1 Trườ ng tenxơxoắ n T = 0 X , Y X Y Y X  X ,Y  0... đề : Giảsử f : M  N là mộ t vi phôi đ ẳ ng cựvà  là mộ t liên thông Lêvi- sivita trên M Ta đ ặ t f X f Y  f  X Y  , X ,Y B (M) Khi đ ó  là mộ t liên thông Lêvi- sivita trên N Chứng minh: Thậ t vậ y, ta dễdàng kiể m tra đ ượ c  là mộ t liên thông tuyế n tính Ởđ ây ta chỉchứ ng minh  thỏ a mãn hai đ iề u kiệ n củ a liên thông Lêvi- sivita 1 T  f X , f Y =  f X f Y  f Y f X  f... liên thông Lêvi- sivita Mặ t khác, cũ ng từ(3) ta suy ra: 1 Y X Z   Y X Z  X  Z Y  Z  Y X  Z  Y, X  X  Z,Y Y  X,Z   2 Trừvếtheo vếcủ a (3) và (12) ta đ ượ c: X Y Z Y X Z Z  X ,Y   X Y Y X  X ,Y   Z 0 ; Z B (M) X ,Y  0 Do đ ó: X Y Y X  X , Y 0 Hay T    thỏa mãn điề u kiệ n (1) củ a liên thông Lêvi- sivita Vậ y, luôn tồ n tạ i liên thông Lêvi- sivita trên. .. một liên thông Lêvi- sivita trên N 2.6 Mệ nh đề : n n Ei  Trong R cho trường mụ c tiêu tựnhiên  i  X , Y  B ( R ) ta i 1 Vớ n có: Đạ o hàm củ a trư ờng vectơY dọ c theo trư ờng vectơX đ ư ợc xác đ ị nh bởi công n Y E Yi E i , với Y  thứ c: D X Y X  n i 1 i 1 i i n Khi đ ó, D là mộ t liên thông Lêvi- sivita trên R Chứng minh: n Ta dễdàng kiể m tra đ ư ợc D là mộ t liên thông tuyế n tính trên. .. p 1  p Y X Y X  Y □ Nhưvậ y X  1.5 Mệ nh đề : Giảsử1 , 2 là hai liên thông tuyế n tính trên M Khi đ ó 11 22 là liên thông tuyế n tính trên M  1 2 1 , vớ i 1 , 2 F(M) Chứng minh: Điề u kiệ n cầ n: 11 Giảsử1 , 2 là hai liên thông tuyế n tính trên M và 11 2 2 là liên thông tuyế n tính trên M Vớ i X,Y B (M); , 1 , 2 F(M), ta có: X  Y =  1 1 2 2  Y... u với trườ ng mụ c tiêu  n n i 1 j 1 X X i E i ; Y Y j E j n Yi E i Ta đ ặ t : X Y X  i 1  là mộtliên thông Lêvi- sivita trên M Thậ t vậ y, theo ví dụ2 (1.2) ta đ ã chứng minh  là liên thông tuyế n tính Bây Khi đ ó, giờta sẽkiể m tra hai đ iề u kiệ n củ a liên thông Lêvi- sivita Vớ i X , Y , Z B (M), F(M), ta có: X ,Y    = X Y   Y  X   1   Y1 E1  Y n E n  ... X i n = Z X Y  i i 1 i n X i Yi  = Z  i 1 X Y  = Z X Y  Suy ra: DZ X Y X D Z Y Z  n Vậ y: D là mộ t liên thông Lêvi- sivita trên R 2.7 Mệ nh đề : Cho M là mộ tđ a tạ p Riemann n - chiề u với liên thông Lêvi- sivita  và f : M  R là mộthàm khảvi, vi phân df là 1 - dạ ng trên M Khi đó, tồ n tạ i duy nhấ t mộ t trư ờng vectơf B (M) sao cho: g X , f  df  X ; X B (M) Chứng minh:... tạ i và duy nhấ t trên U  là phân hoạ U  Gọ i ch đ ơ n vị ứng vớ i Khi đ ó: Đặ t: f f   Vậ y, trư ờng vectơf hoàn toàn xác đ ị nh trên M 2.8 Đị nh nghĩ a: Trườ ng vectơf nêu trên đ ư ợc gọ i là Gradiă ng củ a hàm f trên đ a tạ p M II DẠNG LIÊN THÔNG: U 1 , U 2 , ,U n  GiảsửM là đ a tạ p khảsong n - chiề u với trườ ng mụ c tiêu  , là liên thông Lêvi- sivita trên đ a tạ pM Vớ i... đ ó: ~ 1 Y   Y 1 Từmệ nh đ ề1.3 vớ i f  ; M V; N U , ta có  là liên thông tuyế n tính trên  U   U  Ta đ ặ t  g  ; với g  ch đ ơn vịphù hợp với  I là phân hoạ I I Khi đ ó, là liên thông tuyế n tính trên đ a tạ p M Thậ t vậ y, dễthấ y thỏ a mãn các đ iề u kiệ n 1, 2, 3 củ a liên thông tuyế n tính Ởđ ây ta chỉ kiể m tra đ iề u kiệ n thứ4 củ a  Vớ i mọ i p M... E  X  i i i 1 i i i 1 = Z X Y Z Y X X Y Z X Y Z Y X □ Vậ y: Z 2.3 Mệ nh đề : Xem [4] Liên thông Lêvi- sivita trên đ a tạ p M luôn tồ n tạ i và duy nhấ t Chứng minh: Đểchứ ng minh mệ nh đ trên ta phả i sửdụ ng bổđ ềsau: Bổđ ề : GiảsửM là đ a tạ p khảvi và : B (M)  F(M) là 1- dạ ng trên M Tức là : p  p : T p M  R ; với p là dạ ng tuyế n tính, p M 23 Khi đ ó, tồn tạ i duy nhấ ... II LIÊN THÔNG LÊVI -SIVITA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN I LIÊN THÔNG LÊVI -SIVITA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 2.1 Đị nh nghĩ a: Giảsử mộ t liên thông tuyế n tính đ a tạ p M Khi đ ó,  đ ợc gọ i liên thông Lêvi- sivita. .. Chương I : Liên thông tuyế n tính M I Liên thông tuyế n tính M II Đạ o hàm củ a trườ ng vectơ 13 Chương II : Liên thông Lêvi- sivita đa tạ p Riemann 21 I Liên thông Lêvi- sivita. .. mộ t sốtính chấ t cơbả n củ a liên thông Lêvi- sivita, ng minh liên thông Lêvi- sivita tồ n tạ i nhấ t đ a tạ p Riemann M, ng minh tính bấ t biế n liên thông Lêvi- sivita qua mộ t phép vi phôi đẳ