một số vấn đề về giải tích trên đa tạp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN Đề tài: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢI TÍCH TRÊN ĐA TẠP Luận văn tốt nghiệp Ngành: Sư phạm Toán Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: ThS. Đặng Văn Thuận Trần Văn Phúc Lớp: Sp Toán 01-K31 MSSV: 1050059 Cần Thơ, Tháng 5 năm 2009 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Lời cảm ơn Được làm luận văn tốt nghiệp để hoàn thành khóa học là niềm vinh hạnh đối với một sinh viên, càng vinh hạnh hơn khi em được làm luận văn với sự hướng dẫn rất nhiệt tình của Thầy Đặng Văn Thuận. Sau một thời gian nổ lực làm việc cuối cùng em đã hoàn thành luận văn. Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc và xin gửi những lời chúc tốt lành đến: o Cha mẹ, gia đình đã yêu thương nuôi nấng em nên người. o Tất cả Thầy cô kính mến đã dạy em từ trước đến nay. Đặc biệt, em vô cùng biết ơn Thầy Đặng Văn Thuận đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành luận văn tốt nghiệp. o Tất cả các bạn bè, người quen đã nhiệt tình giúp đỡ. Đặc biệt là các bạn lớp Sư phạm Toán khóa 31. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng không thể tránh khỏi những khiếm khuyết. Mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ quý Thầy cô và các bạn. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com MỤC LỤC Ï-Ò A - PHẦN MỞ ĐẦU ……………………………………………………………… 1 B - PHẦN NỘI DUNG Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1. Hàm và tính liên tục .………………………………………………3 0.2. Phép tính vi phân ………………………………………………… 3 0.3. Phép tính tích phân .……………………………………………… 6 Chương 1: TÍCH PHÂN THEO CÁC XÍCH 1.1. Một số kiến thức cơ bản về đại số ……………………………… 9 1.2. Một số kiến thức cơ bản về hình học …………………………… 22 1.3. Trường và dạng ………………………………………………… 24 1.4. Tích phân theo các xích ………………………………………… 29 1.5. Bổ đề Poăngcare ………………………………………………….31 Bài tập chương 1 ………………………………………………………33 Chương 2: TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP 2.1. Đa tạp khả vi …………………………………………………… 40 2.2. Trường và dạng trên đa tạp ………………………………………46 2.3. Định lý Stoke trên đa tạp …………………………………………52 2.4. Phần tử thể tích ………………………………………………… 55 2.5. Các định lý cổ điển ……………………………………………….58 Bài tập chương 2 ………………………………………………………60 C - PHẦN KẾT LUẬN ………………………………………………………….69 D - TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………… 70 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 1 A - PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hiện nay Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ, với phương pháp nghiên cứu mới các khái niệm của Giải tích hàm nhiều biến như ánh xạ khả vi, phép tính vi phân, tích phân các dạng vi phân, đa tạp, công thức Stoke trên đa tạp… đã được trình bày lại một cách chính xác, rõ ràng, chặt chẽ và hiện đại. Quyển sách Giải tích trên đa tạp của M.Xpivak khá hay và khá nổi tiếng trình bày các vấn đề của Giải tích theo quan điểm hiện đại. Do các vấn đề ông viết khá cô đọng nên gây một số khó khăn cho người đọc. Mặt khác tài liệu tham khảo về Giải tích trên đa tạp bằng tiếng Việt khá hạn hẹp. Nhờ sự gợi ý và tận tình hướng dẫn của Thầy Đặng Văn Thuận nên em đã chọn đề tài “Một số vấn đề về Giải tích trên đa tạp” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận văn nhằm tìm hiểu lý thuyết về tích phân theo các xích; tích phân trên đa tạp và giải các bài tập cơ bản và điển hình. Ngoài ra còn giúp em có cơ hội củng cố lại những thức về Hình học, Đại số, đặc biệt là Giải tích hàm nhiều biến và giúp em làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của Toán học. III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là phân tích, tổng hợp, so sánh. Tìm kiếm, tổng hợp các tài liệu về Giải tích trên đa tạp. Sau đó, phân tích và so sánh để trình bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề. IV. NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn trình bày một số vấn đề về Giải tích trên đa tạp gồm các phần sau: Chương 0: Kiến thức chuẩn bị Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về phép tính vi phân và phép tính tích phân làm nền tảng cho các chương sau. Chương 1: Tích phân theo các xích Chương này trình bày các vấn đề cơ bản về Đại số như tích tenxơ trên không gian vectơ, luân phiên, phép nhân ngoài, định hướng, phần tử thể tích, tích vectơ trong không gian n R ; các vấn đề cơ bản về Hình học như hình lập phương kỳ dị, xích kỳ dị; trường và dạng; tích phân theo các xích, định lý Stoke và bổ đề Poăngcare; một số bài tập cơ bản và điển hình. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 2 Chương 2: Tích phân trên đa tạp Chương này trình bày khái niệm đa tạp, đa tạp có biên; trường và dạng trên đa tạp; tích phân trên đa tạp, định lý Stoke trên đa tạp; các định lý cổ điển như Định lý Green, Định lý Gauss-Ostrogradski…; một số bài tập cơ bản và điển hình. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 3 B - PHẦN NỘI DUNG Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1. HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC Định nghĩa 0.1.1 Hàm mn f RR →: còn được gọi là hàm vectơ n biến là một quy tắc biến mỗi n x R∈ thành một điểm nào đó thuộc m R , ký hiệu là ( ) xf . Cách viết mn Af RR →⊂: được hiểu là ( ) xf chỉ xác định với A x ∈ , A được gọi là miền xác định của hàm f . Nếu mn gf RR →:, thì các hàm g f fggfgf ,,, −+ được xác định giống như trường hợp một chiều. Nếu mn Af RR →⊂: , pm Bg RR →⊂: thì hàm hợp fg được xác định bởi đẳng thức ( ) ( ) ( ) xfgxfg =  có miền xác định là ( ) BfA 1− ∩ . Hàm mn Af RR →⊂: xác định m hàm tọa độ R → Aff m :, , 1 nhờ đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) xfxfxf m , , 1 = . Ngược lại, với m hàm bất kỳ R → Aff m :, , 1 luôn xác định duy nhất hàm mn Af RR →⊂: . Ta ký hiệu ( ) m fff , , 1 = . Đặc biệt nếu nn RR → : π là ánh xạ đồng nhất, tức ( ) xx = π thì các hàm tọa độ i π được gọi là phép chiếu thứ i . Định nghĩa 0.1.2 Ta gọi giới hạn của hàm f khi x dần tới a bằng L , ký hiệu là ( ) Lxf ax = → lim được định nghĩa như sau ( ) ( ) { } ε δ δ ε < − ⇒ < − ∀ > ∃ > ∀ ⇔ = → LxfaxxLxf ax ,:0,0lim . Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu ( ) ( ) afxf ax = → lim . Hàm mn Af RR →⊂: được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi A x ∈ . 0.2. PHÉP TÍNH VI PHÂN Định nghĩa 0.2.1 Hàm mn f RR →: được gọi là khả vi tại n a R∈ nếu tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính mn RR → : λ sao cho ( ) ( ) ( ) 0lim 0 = −−+ → h hafhaf h λ . PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 4 Khi đó ánh xạ λ được gọi là đạo hàm của hàm f tại a , ký hiệu là ( ) aDf . Ta có thể định nghĩa đạo hàm ( ) aDf đối với cả những hàm f chỉ xác định trên một tập mở chứa a . Ta nói rằng f khả vi trên tập A nếu f khả vi tại mọi điểm A a ∈ . Hàm mn Af RR →⊂: được gọi là khả vi nếu nó có thể mở rộng thành một hàm khả vi trên một tập mở nào đó chứa A . Định lý 0.2.1 i) Nếu mn f RR →: là hàm hằng thì ( ) n aaDf R∈∀= ,0 . ii) Nếu mn f RR →: là ánh xạ tuyến tính thì ( ) n afaDf R∈∀= , . iii) Nếu ( ) m fff , , 1 = thì f khả vi tại a khi và chỉ khi i f khả vi tại a . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) aDfaDfaDf m , , 1 = . iv) Nếu mn gf RR →:, khả vi tại a thì ( ) ( ) ( ) ( ) aDgaDfagfD ± = ± ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) aDgafaDfagafgD + = . Ngoài ra, nếu ( ) 0 ≠ ag thì () ( ) ( ) ( ) ( ) ()() 2 ag aDgafaDfag a g f D − =         . Định lý 0.2.2 Nếu mn f RR →: khả vi tại a và pm g RR →: khả vi tại ( ) af thì hàm hợp pn fg RR →: khả vi tại a và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) aDfafDgagfD . =  . Định nghĩa 0.2.2 Giả sử RR → n f : và ( ) n n aaa R∈= , , 1 . Nếu tồn tại ( ) ( ) h aafahaaf nni h , ,, ,, , lim 11 0 − + → thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f , ký hiệu là ( ) afD i . Nếu R R → : g xác định bởi công thức ( ) ( ) n axafxg , ,, , 1 = thì đạo hàm thông thường của hàm g tại điểm i a chính là đạo hàm riêng ( ) afD i , tức là ( ) ( ) ii agafD ' = . Nếu f có đạo hàm riêng thứ i tại mọi n x R∈ thì ta sẽ có hàm đạo hàm RR → n i fD : . Đạo hàm riêng thứ j của fD i tại điểm x , ký hiệu là ( ) xfD ij , tức là ( ) ( ) ( ) xfDDxfD ijij = . PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 5 Nếu fD ij và fD ji liên tục trên một tập mở chứa a thì fDfD jiij = . Hàm fD ij được gọi là đạo hàm riêng (hỗn hợp) cấp hai của hàm f . Đạo hàm riêng cấp cao được định nghĩa tương tự. Với điều kiện thích hợp ta có thể chứng minh sự bằng nhau của các đao hàm riêng (hỗn hợp) cấp cao. Nếu f có đạo hàm riêng mọi cấp thì thứ tự của k ii , , 1 trong fD k ii 1 không quan trọng, khi đó f được gọi là hàm thuộc lớp ∞ C . Định lý 0.2.3 Cho mn f RR →: , ( ) m fff , , 1 = . Nếu f khả vi tại n a R∈ thì ( ) afD ji tồn tại đối với mọi mjni ,1,,1 == . Ngược lại, nếu các đạo hàm riêng ( ) xfD i tồn tại trong một tập mở chứa a và liên tục tại a thì f khả vi tại a . Định lý 0.2.4 Nếu RR →⊂ n Af : đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) tại điểm trong a của A và ( ) afD i tồn tại thì ( ) niafD i ,1,0 == . Định nghĩa 0.2.3 Cho hàm mn f RR →: khả vi tại n a R∈ . Ma trận của ánh xạ tuyến tính ( ) aDf đối với các cơ sở chính tắc của n R và m R được gọi là ma trận Jacôbi của hàm f tại a , ký hiệu là ( ) af ' . Do vậy ta có ()() ( ) ( ) ( ) ()()() ()()()               == afDafDafD afDafDafD afDafDafD aDfaf nnnn n n ' 21 22221 11211 . Định lý 0.2.5 Giả sử pn f RR →: ( ) np ≤ là một hàm khả vi liên tục trên một tập mở chứa điểm ( ) n n xxx R∈, , 1 . Nếu ( ) 0 = xf và n p × ma trận ( ) ( ) xfD ji có hạng p . Khi đó tồn tại tập mở n U R⊂ và hàm khả vi n U h R→ : có hàm ngược khả vi và ( ) ( ) npnn xxxxhf , ,, , 11 +− =  . Định nghĩa 0.2.4 Giả sử V U , là các tập mở trong n R . Hàm khả vi V U h → : có hàm ngược khả vi U V h → − : 1 sẽ được gọi là một vi phôi. 0.3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 6 Định nghĩa 0.3.1 Ta có phép chia P một khoảng đóng [ ] ba, theo định nghĩa là một dãy điểm k tt , , 0 , trong đó btta k = ≤ ≤ = 0 . Phép chia P sẽ chia [ ] ba, thành k khoảng [ ] ( ) kitt ii ,1, 1 = − . Phép chia hình hộp [ ] [ ] nn baba , , 11 × × được định nghĩa như là tập ( ) n PPP , , 1 = , trong đó i P là phép chia [ ] ii ba , . Nếu i P là phép chia [ ] ii ba , thành i N khoảng thì P chia hình hộp [ ] [ ] nn baba , , 11 × × thành i n i NN 1= Π= . Ta gọi các hình hộp đó là các hình hộp của phép chia P . Định nghĩa 0.3.2 Giả sử RAf → : là hàm bị chặn với A là hình hộp và P là phép chia của hình hộp. Đối với mỗi hình hộp S của phép chia P , ta đặt ( ) ( ) { } ;:inf Sxxffm S ∈ = ( ) ( ) { } .:sup SxxffM S ∈ = Giả sử ( ) Sv là thể tích của hình hộp S . Tổng trên và tổng dưới của f đối với hình hộp được định nghĩa lần lượt bởi các công thức sau ( ) ( ) ( ) ∑ = S S SvfmPfL , ; ( ) ( ) ( ) ∑ = S S SvfMPfU , . Từ định nghĩa ta có ( ) ( ) PfUPfL ,, ≤ . Giả sử ' P là cái thác triển của P (tức là mỗi hình hộp bất kỳ của phép chia ' P đều chứa trong một hình hộp nào đó của phép chia P ). Khi đó ( ) ( ) ',, PfLPfL ≤ và ( ) ( ) ',, PfUPfU ≤ . Hơn nữa ta có ( ) ( ) PfUPfL ,', ≤ đối với các phép chia bất kỳ P và ' P . Suy ra cận trên đúng của tất cả các tổng dưới không vượt quá cận dưới đúng của tất cả các tổng trên của f . Định nghĩa 0.3.3 Hàm RR →⊂ n Af : được gọi là khả tích trên hình hộp A nếu nó bị chặn và ( ) { } ( ) { } PfUPfLSup ,inf, = . Giá trị chung này được gọi là tích phân của f theo A , ký hiệu là ∫ A f hoặc ( ) n A n dxdxxxf , , 11 ∫ . Định nghĩa 0.3.4 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 7 Tập n A R ⊂ được gọi là có độ đo 0 nếu với 0 > ε bất kỳ, tồn tại cái phủ { } , 21 UU sao cho () ε< ∑ ∞ =1i i Uv . Từ định nghĩa ta có i) Tập con của tập có độ đo 0 cũng có độ đo 0; ii) Tập không quá đếm được có độ đo 0; iii) Hợp tùy ý các tập có độ đo 0 cũng có độ đo 0; Định nghĩa 0.3.5 Tập bị chặn C mà biên có độ đo 0 được gọi là tập đo được Joocđăng. Tích phân ∫ C 1 được gọi là thể tích ( n chiều) của tập C . Ta biết thể tích một chiều được gọi là độ dài, thể tích hai chiều được gọi là diện tích. Định nghĩa 0.3.6 Giả sử O là một cái phủ của tập n A R ⊂ . Khi đó tồn tại một họ Φ các hàm ϕ thuộc lớp ∞ C xác định trên một tập mở chứa A sao cho i) ( ) Axx ∈ ∀ ≤ ≤ ,10 ϕ ; ii) ( ) ∑ Φ∈ ∈ ∀ = ϕ ϕ Axx ,1 ; iii) Đối với mỗi Φ ∈ ϕ tồn tại một tập mở O U ∈ sao cho 0 = ϕ ngoài một tập đóng chứa trong U . Họ Φ thỏa điều kiện i và ii được gọi là ∞ C -phân hoạch đơn vị đối với tập A . Nếu họ Φ thỏa thêm điều kiện iii thì ta nói phù hợp với cái phủ O . Định nghĩa 0.3.7 Ta biết ∫ A f có thể không tồn tại ngay cả trong trường hợp A là một tập mở và tập các điểm gián đoạn của f có độ đo 0. Nhưng tập mở A bất kỳ luôn tồn tại một cái phủ mở O sao cho mọi O U ∈ đều chứa trong A và mỗi O U ∈ đều đo được Joocđăng. Nếu O là cái phủ như vậy thì Φ là phân hoạch đơn vị của A phù hợp với cái phủ đó thì f ϕ là khả tích với mỗi Φ ∈ ϕ . Khi đó ta xác định ∫ A f như là ∑ ∫ Φ∈ϕ ϕ A f với giả thiết tổng đó hội tụ. Định lý 0.3.1 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com [...]... đối với T Do đó tồn tại một đẳng cấu f : R n → V sao cho T ( f ( x ), f ( y )) = x, y , ∀x, y ∈ R n Trong đó , là tích vô hướng trên R n Chứng minh * Ta chứng minh mệnh đề: Nếu T là một tích trong trên V thì V có cơ sở {v } i i =1, n ( ) sao cho T v i , v j = δ ij bằng quy nạp Nếu V là một không gian vectơ một chiều thì tồn tại w ≠ 0, w ∈ V Ta đặt w v= ( ) {} Khi đó v là một cơ sở trực giao đối... được gọi là phần tử thể tích của V xác định bởi tích vô hướng T và định hướng µ Ngược lại mỗi phần tử khác không ω ∈ Λk (V ) đều là phần tử thể tích được xác định bởi tích vô hướng T và định hướng µ nào đó Chú ý det(.) là phần tử thể tích của không gian R n xác định bởi vô hướng chuẩn tắc ( ) T và định hướng chuẩn tắc µ Khi đó det v1 , , v n = 1 là thể tích hình hộp căng trên các đoạn thẳng nối O...Giả sử A ⊂ R n là một tập mở và g : A → R n là ánh xạ 1-1 liên tục khả vi sao cho det g ' ≠ 0 đối với mọi x ∈ A Khi đó đối với mọi hàm f : g ( A ) → R n ta có ∫f g (A) = ∫(f  g ) det g ' A 8 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Chương 1: TÍCH PHÂN THEO CÁC XÍCH 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ Định nghĩa 1.1.1 Giả sử V là một không gian vectơ thực,... không gian T k (V ) Do đó dim T k (V ) = n k £ Định nghĩa 1.1.3 2-tenxơ T trên V được gọi là một tích trong nếu nó thỏa các điều kiện sau ( ) ( ) ii) T (v, v ) > 0, ∀v ≠ 0 i) T v, w = T w, v , ∀v, w ∈ V ; 11 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Định lý 1.1.3 {} Nếu T là một tích trong trên V thì V có cơ sở v i {} Khi đó cơ sở v i i =1, n i =1, n ( ) sao cho... trường vectơ, f là một hàm vô hướng Khi đó ta định nghĩa các phép toán sau ( F + G )( P ) = F ( P ) + G ( P ) ; 〈 F , G 〉 (P ) = 〈 F (P ) , G (P )〉 ; ( f F )(P ) = f (P ) F (P ) Nếu F1 , , Fn −1 là các hàm vectơ trên R n bằng cách tương tự ta định nghĩa (F1 × × Fn−1 )(P ) = F1 (P )× × Fn−1 (P ) Một dạng bậc k trên R n (hay dạng vi phân) là một hàm ω đặt tương ứng mỗi điểm P ∈ R n một tenxơ phản đối... (c(0 )) Ta c k định nghĩa tích phân của ω theo xích kỳ dị k -chiều c = ∑ ai ci bởi công thức i =1 n ∫ω = ∑ a ∫ω c i =1 i ci 29 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com ü Tích phân của dạng bậc nhất ω = Pdx + Qdy theo xích kỳ dị một chiều được gọi là tích phân đường ü Tích phân của dạng bậc hai theo xích kỳ dị hai chiều được gọi là tích phân mặt Định lý 1.4.1... = ∑ a a T (v , v ) = ∑ a a   Giả sử trên V cho một tích vô hướng T , nếu v i 1, n và w i i 1, n ij n i ij 1, n n j k =1 ik k l =1 i 1, n n jl l k ,l =1 n ik jl k l k ,l =1 ik jk Nói cách khác AA* = I (với I là ma trận đơn vị), tức là det A = ±1 Từ định lý ( ) ( ) 1.1.8 ta suy ra nếu ω ∈  k (V ) và ω v1 , , v k = ±1 thì ω w1 , , w k = ±1 Nếu trên V còn cho một định hướng µ thì tồn tại duy nhất... được gọi là hàm đa tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với ( ) từng biến, có nghĩa là với bất kì i i = 1, k , mọi số thực a ta có ( ) ( ) ( T (v , , a v , , v ) = aT (v , , v , , v ) ) T v1 , , v i + v'i , , v k = T v1 , , v i , , v k + T v1 , , v'i , , v k ; 1 i k 1 i k Hàm đa tuyến tính T : V k → R được gọi là k -tenxơ trên V Tập hợp tất cả các k -tenxơ được ký hiệu là T k (V ) là một không gian vectơ... × z = w, z × v = z , v × w ; v × (w × z ) = v , z w − v , w z ; (v × w) × z = v, z w − w, z v Chứng minh Các tính chất trên dễ dàng suy ra từ định nghĩa 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC Định nghĩa 1.2.1 Ánh xạ liên tục c : [0,1] → A , trong đó [0,1] = [0,1]×× [ ] và A là một  0,1   n n n tập mở trong R m (m ≥ n ) , được gọi là lập phương kỳ dị n -chiều trong A Khi n = 0 ta có lập phương... hiệu là R n P Trên R n ta định nghĩa hai phép toán sau P ( P , v ) + ( P, w ) = ( P , v + w ) ; a(P, v ) = (P, av ) Khi đó với hai phép toán vừa định nghĩa ta có R n là một không gian vectơ P n -chiều, (P, v ) cùng hướng với vectơ v và có điểm gốc là P , ký hiệu là (P, v ) = vP Tích vô hướng chuẩn tắc 〈.,.〉 trên R n được định nghĩa như sau P 〈vP , wP 〉 = 〈 v, w〉 Định hướng chuẩn tắc trên R n là [(e1 . liệu về Giải tích trên đa tạp. Sau đó, phân tích và so sánh để trình bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề. IV. NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn trình bày một số vấn đề về Giải tích trên đa tạp gồm. chọn đề tài Một số vấn đề về Giải tích trên đa tạp để hoàn thành luận văn tốt nghiệp. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận văn nhằm tìm hiểu lý thuyết về tích phân theo các xích; tích phân trên đa. trình bày các vấn đề của Giải tích theo quan điểm hiện đại. Do các vấn đề ông viết khá cô đọng nên gây một số khó khăn cho người đọc. Mặt khác tài liệu tham khảo về Giải tích trên đa tạp bằng tiếng