một số vấn đề về định thức dieudonné

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM ====================== Đề Tài: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỊNH THỨC DIEUDONNÉ GVHD: Th .S Phạm Thị Vui SVTH : Lê Xuân Lợi MSSV: 1050231 Lớp: Sư phạm Toán tin K31 Cần thơ, 4 - 2009 Trong suốt thời gian nghiên cứu và thực hiện đề tài này thì em đã gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên, bên cạnh những khó khăn đó em đã được sự giúp đỡ tận tình của quí thầy cô trong bộ môn Toán và các bạn lớp Toán tin k31 và đến nay thì đề tài của em đã được hoàn thành. Em xin chân thành cảm ơn quí thầy cô trong Bộ môn Toán, Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần thơ đã trang bị cho em những kiến thức bổ ích, đồng thời dành cho em nhiều ý kiến quí báu để hoàn thành đề tài này. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô Phạm Thị Vui đã hướng dẫn tận tụy, hết sức nhiệt tình và tạo mọi điều kiện giúp em hoàn thành đề tài này. Cuối cùng, em xin cảm ơn các bạn trong lớp đã giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Đây là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học, chưa có nhiều kinh nghiệm nên khó tránh khỏi thiếu sót, em rất mong có được những đóng góp quí báu của quí thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn chỉnh hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Sinh viên thực hiện Lê Xuân Lợi MỤC LỤC o Trang Bảng kí hiệu Phần mở đầu 1 1. Lí do chọn đề tài 1 2. Đối tượng nghiên cứu 1 3. Mục đích nghiên cứu 2 4. Phương pháp nghiên cứu 2 Phần nội dung 3 1. Kiến thức bổ sung 3 1.1 Nhóm 3 1.2 Vành 7 1.3 Trường 8 1.4 Vành chia 9 2. Định thức trên trường 18 2.1 Định nghĩa phép thế 18 2.2 Định nghĩa dấ u của phép thế 18 2.3 Định nghĩa nghịch thế 19 2.4 Định thức 19 2.5 Các phép biến đổi sơ cấp 20 2.6 Các tính chất cơ bản của định thức 20 2.7 Định lý Laplace 24 3. Định thức Dieudonné 28 3.1 Một số khái niệm cơ bản 28 3.2 Tính chất 29 3.3 Nhận xét 36 3.4 Định lý 37 3.5 Định lý 38 3.6 Định lý 39 3.7 Định nghĩa 39 3.8 Định nghĩa 40 3.9 Sự tồn tại của định thức Dieudonné 40 3.10 Các tính chất của Dieudonné 44 3.11 Định nghĩa 49 3.12 Bổ đề 49 3.13 Định lý 50 3.14 Mệnh đề 51 3.15 Mệnh đề 53 3.16 Định lý 53 3.17 Định lý 53 3.18 Cách tính định thức Dieudonné 54 4. Một vài nhận xét về định thức trên trường và định thức Dieudonné 57 4.1 Một số tính chất giống nhau giữa hai định thức 57 4.2 Một số tính chất không còn đúng cho định thức Dieudonné 59 Tài liệu tham khảo 63 BẢNG KÍ HIỆU o + R : trường số thực. + x -1 : phần tử nghịch đảo của phần tử x. + H ≤ X: H là nhóm con của nhóm X. + H  X: H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X. + C(A): tâm giao hoán của tập A. + Z(X): tâm giao hoán của nhóm X. + [x, y] = xyx -1 y -1 + [X, X]: nhóm con các hoán tử của nhóm X. + N X (H) = {x ∈ X| x -1 Hx = H}: chuẩn hóa tử của H trong X. + M m,n (K): tập hợp các ma trận cấp mxn trên K. + M n (K): vành các ma trận vuông cấp n trên K. + GL n (K): nhóm tuyến tính tổng quát trên K. + ij δ : kí hiệu của Kronecker. + S n : tập các phép thế σ: S → S. + sgn: hàm dấu. + n F : trường có đúng n phần tử. 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong phần Đại số tuyến tính, chúng em đã được tìm hiểu về định thức trên trường K mà ta gọi là định thức trên trường (normal determinant). Khi đó, với K là cấu trúc có tính giao hoán đối với phép nhân và định thức được định nghĩa ở đây phụ thuộc vào tính giao hoán. Khi xét K là cấu trúc không giao hoán thì định thức được định nghĩa ở đây không còn hiệu lực nữa. Một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là với những cấu trúc này (thể, trường bỏ đi tính giao hoán) khái niệm định thức sẽ được định nghĩa như thế nào? Vì lí do trên càng làm cho em có sự tìm tòi và cuối cùng thì em đã quyết định chọn đề tài này _ “Một số vấn đề về định thức Dieudonné” với mong muốn là nắm được rõ những tính chất, định lý liên quan đến định thức Dieudonné cũng như việc tìm hiểu sự giống và khác nhau giữa định thức trên trường và định thức trên trường mà bỏ đi tính giao hoán. 2. Đối tượng nghiên cứu Đề tài “Một số vấn đề về định thức Dieudonné” trình bày một số tính chất cơ bản của định thức Dieudonné. Nội dung đề tài được chia thành 4 phần: + Kiến thức bổ sung: trình bày các khái niệm có liên quan đến đề tài. + Định thức trên trường: trình bày những khái niệm và tính chất của định thức trên trường. + Định thức Dieudonné: trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của định thức Dieudonné. + Một số nhận xét giữa hai định thức trên. 2 3. Mục đích nghiên cứu Luận văn này tìm hiểu rõ về định thức Dieudonné cũng như những tính chất của nó. 4. Phương pháp nghiên cứu Đề tài được nghiên cứu bằng cách tổng hợp những tài liệu có được, phân tích đối chiếu các tài liệu đó, sau đó tổng hợp kiến thức lại và so sánh để tìm ra mối liên hệ giữa hai loại định thức. Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 3 PHẦN NỘI DUNG 1. KIẾN THỨC BỔ SUNG 1.1 Nhóm 1.1.1 Định nghĩa Nhóm là một tập hợp X ≠ φ cùng với phép toán hai ngôi thỏa mãn các điều kiện sau: i. Với x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz) ii. Tồn tại một phần tử đơn vị e ∈ X sao cho ex = xe = x iii. Với ∀x ∈ X, tồn tại phần tử nghịch đảo x -1 thỏa x x -1 = x -1 x = e Nếu phép toán có tính chất giao hoán tức là yx xy X y x = ∈ ∀ , , thì X được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel. 1.1.2 Định nghĩa Cho nhóm (X, .) là một nhóm và H ≠ φ là một tập con ổn định đối với phép toán trên X (tức là mọi x, y ∈ H thì xy ∈ H). Tập H được gọi là nhóm con của X nếu H cùng với phép toán cảm sinh trên H lập thành một nhóm. Kí hiệu: H ≤ X. 1.1.3 Định lý Cho H là một tập con khác rỗng của nhóm X. Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương: i. H là nhóm con của nhóm X. ii. Với mọi x, y ∈ H, ta có xy ∈ H và x -1 ∈ H. iii. Với mọi x, y ∈ H, ta có xy -1 ∈ H. Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 4 1.1.4 Lớp ghép * Cho H là nhóm con của nhóm X. Trong nhóm X ta định nghĩa một quan hệ ~ như sau: x ~ y ⇔ xy -1 ∈ H, với ∀x, y ∈ X Khi đó ta được quan hệ ~ là một quan hệ tương đương. Nên trong X có sự phân lớp. Gọi X/H là tập tất cả các lớp tương đương [x] ~ , với x ∈ X. Chúng ta xét lớp tương đương: [x] ~ = {y ∈ X| y ~ x} = {hx | h ∈ H} Kí hiệu [x] ~ = Hx. Tập Hx được gọi là lớp ghép trái của x đối với nhóm con H và khi đó tập X/H = {Hx | x ∈ X} * Với H là nhóm con của nhóm X, ta định nghĩa quan hệ ~ trong X như sau: x ~ y ⇔ x -1 y ∈ H, ∀ x, y ∈ X Khi đó tương tự như trên ta cũng xây dựng được lớp ghép phải của phần tử x ∈ X đối với nhóm con H: xH = {xh | h ∈ H} 1.1.5 Định nghĩa Cho H là nhóm con của nhóm X. Nhóm con H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của X (hoặc ước chuẩn) nếu mọi x ∈ X thì xH = Hx. Kí hiệu H  X. Chú ý i. Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc. ii. Với X là nhóm thì các nhóm con {e}, X là nhóm con chuẩn tắc của X. Các nhóm con chuẩn tắc này được gọi là nhóm con chuẩn tắc tầm thường. Luận văn tốt nghiệp Một số vấn đề về định thức Dieudonné GVHD: Th.s Phạm Thị Vui SVTH: Lê Xuân Lợi 5 1.1.6 Định lý Một nhóm con H của nhóm X là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ X, với mọi h ∈ H thì x -1 hx ∈ H (xhx -1 ∈ H). 1.1.7 Định nghĩa Cho A là một tập con khác rỗng của nhóm X. Tập hợp C(A) = {x ∈ X | ax = xa, ∀a ∈ A} Được gọi là tâm giao hoán của tập A. Đặc biệt nếu X = A thì tâm C(X) được gọi là tâm giao hoán của nhóm X, thường kí hiệu là Z(X). 1.1.8 Mệnh đề A là tập con khác rỗng của nhóm X. Khi đó: i. C(A) là nhóm con của nhóm X. ii. Z(X) là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X. 1.1.9 Nhóm thương Cho X là nhóm, H  X. Trong tập X/H = {xH | x ∈ X} ta xét phép toán nhân như sau: xH. yH = xyH, ∀x, y ∈ X Khi đó nhóm X/H được gọi là nhóm thương. Chú ý: Nếu X là nhóm Abel thì X/H cũng là nhóm Abel 1.1.10 Định nghĩa Cho X là nhóm và x, y ∈ X, phần tử xyx -1 y -1 được gọi là một hoán tử của X. Kí hiệu [x, y]. Nhóm con sinh bởi tất cả các hoán tử được gọi là nhóm con các hoán tử, kí hiệu [X, X] hoặc DX hoặc ' X . Như vậy: [X, X] = <[x, y]| x, y ∈ X> [...]... det AB = det AB  = det(−I ).(−1) 0    0  V y ta suy ra pcm GVHD: Th.s Ph m Th Vui 27 SVTH: Lê Xuân L i Lu n văn t t nghi p M ts v n Trong toàn b ph n v nh th c Dieudonné NH TH C DIEUDONNÉ này ta xét K là m t vành chia 3 NH TH C DIEUDONNÉ 3.1 M t s khái ni m cơ b n Xét vành chia K, theo nh nghĩa vành chia thì K* = K\{0} cùng v i phép nhân l p thành m t nhóm và ta g i ây là nhóm nhân c a K + Mn(K)... trên x y ra thì : a h là ơn c u nhóm khi và ch khi ker f = ker g b h là toàn c u nhóm khi và ch khi g là toàn c u nhóm GVHD: Th.s Ph m Th Vui 6 SVTH: Lê Xuân L i Lu n văn t t nghi p M ts v n v nh th c Dieudonné H qu N u f : X → Y là ng c u nhóm thì X ker f ≅ imf toàn c u nhóm thì X ker f c bi t n u f : X → Y là ≅Y 1.2 Vành 1.2.1 nh nghĩa Cho X ≠ φ, trên X ta trang b hai phép toán hai ngôi: Phép c... nhân c a vành X T p A ư c g i là vành con c a X n u A cùng v i hai phép toán c m sinh trên A l p thành m t vành GVHD: Th.s Ph m Th Vui 7 SVTH: Lê Xuân L i Lu n văn t t nghi p 1.2.3 M ts v n v nh th c Dieudonné nh lý Cho A là t p con khác r ng c a vành X Khi ó các i u ki n sau là tương ương: i A là vành con c a vành X ii V i m i x, y ∈ A ta có x + y ∈ A, xy ∈ A, -x ∈ A iii V i m i x, y ∈ A, ta có x... t ph n t v i hai phép toán c ng và nhân ư c g i là trư ng n u nó th a các i u ki n sau: i (X, +) là nhóm giao hoán GVHD: Th.s Ph m Th Vui 8 SVTH: Lê Xuân L i Lu n văn t t nghi p ii M ts v n v nh th c Dieudonné (X, ) là nhóm giao hoán iii Phép toán nhân phân ph i phép toán c ng 1.4 Vành chia 1.4.1 nh nghĩa Cho X là m t t p h p khác r ng, cùng v i hai phép toán c ng và nhân là m t vành chia (hay còn... (do A kh ngh ch) Suy ra GL2( R ) v i phép nhân hai ma tr n l p thành nhóm không giao hoán V y v i GL2( R ) là vành chia GVHD: Th.s Ph m Th Vui 9 SVTH: Lê Xuân L i Lu n văn t t nghi p M ts v n v nh th c Dieudonné b GL3( R ) là t p các ma tr n vuông c p 3 kh ngh ch v i h s th c l p thành vành chia Th t v y, + Hi n nhiên GL3( R ) v i phép c ng hai ma tr n l p thành nhóm giao hoán + Ta xét GL3( R ) v i phép... (do A kh ngh ch) Suy ra GLn( R ) v i phép nhân hai ma tr n l p thành nhóm không giao hoán V y v i GLn( R ) là vành chia GVHD: Th.s Ph m Th Vui 10 SVTH: Lê Xuân L i Lu n văn t t nghi p M ts v n v nh th c Dieudonné d T p h p T các song ánh i t t p X vào t p Y cùng v i hai phép toán c ng hai ánh x và phép h p thành hai ánh x l p thành vành chia Th t v y, + Xét T cùng v i phép toán c ng hai ánh x Ta có :... −1 ∈T : f f −1 = f −1 f = 1 ∀f , g ∈ T , f g ≠ g f ⇒ (T, ) l p thành nhóm không giao hoán V y T là m t vành chia GVHD: Th.s Ph m Th Vui 11 SVTH: Lê Xuân L i Lu n văn t t nghi p M ts v n v nh th c Dieudonné 1.4.3 M nh N u bình phương c a m t ph n t trong vành chia K n m trong tâm Z(K) thì K là trư ng 1.4.4 nh lý ( nh lý Wedderburn) M i vành chia h u h n 1.4.5 u là trư ng nh nghĩa A là ma tr n kh... ư c g i là m t t h p tuy n tính ph i c a các Ai i =1 (λi ∈ K)( λi ư c nhân t bên ph i) GVHD: Th.s Ph m Th Vui 12 SVTH: Lê Xuân L i Lu n văn t t nghi p M ts v n c H {A1, A2, …, An} ư c g i là v nh th c Dieudonné c l p tuy n tính trái n u t t h p ∑ λ A = 0 thì ta luôn có λi = 0 (∀ i=1 n) n tuy n tính trái i i i =1 d H {A1, A2, …, An} ư c g i là c l p tuy n tính ph i n u t t h p ∑ A λ = 0 thì ta luôn có... f + 2h    e + 2g + 3g − b + 2d + 3h    là m t t h p tuy n tính ph i c a A1 và A2 Ta có: λ1 A1 + λ2 A2 = 0 GVHD: Th.s Ph m Th Vui 13 SVTH: Lê Xuân L i Lu n văn t t nghi p M ts v n v nh th c Dieudonné   a + 2b + f b + e + 2 f   2a − b − e 3a + 2b + 2e + 3 f     0 0   0 0   ⇔           c + 2d + h d + g + 2h   2c − d − g 3c + 2d + 2g + 3h   =   0 0   0 0  ... 0 3   +   g         GVHD: Th.s Ph m Th Vui 14 f  0 1   e    h  1 1   g    f  1 2     h  2 0     SVTH: Lê Xuân L i Lu n văn t t nghi p M ts v n v nh th c Dieudonné   a 2b   a 2a + 3b     f e + f   e + 2 f 2e   =      c 2c + 3d   +   h g + h      g + 2h 2 g      c 2d             a + f 2b + e + f   a + e . tượng nghiên cứu Đề tài Một số vấn đề về định thức Dieudonné trình bày một số tính chất cơ bản của định thức Dieudonné. Nội dung đề tài được chia thành 4 phần: + Kiến thức bổ sung: trình. 3.15 Mệnh đề 53 3.16 Định lý 53 3.17 Định lý 53 3.18 Cách tính định thức Dieudonné 54 4. Một vài nhận xét về định thức trên trường và định thức Dieudonné 57 4.1 Một số tính chất. khái niệm định thức sẽ được định nghĩa như thế nào? Vì lí do trên càng làm cho em có sự tìm tòi và cuối cùng thì em đã quyết định chọn đề tài này _ Một số vấn đề về định thức Dieudonné