Một số vấn đề về định lý DAVENPPORT

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Trần xuân sum Luận văn thạc sĩ toán học 1 Vinh, 2010 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Trần xuân sum Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học: Pgs. Ts. Lê quốc hán 2 Vinh, 2010 Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Nửa nhóm các từ, nửa nhóm tự do . 3 1.2. Vị nhóm tự do, định lý khuyết . 9 Chơng 2. Một số biểu diễn nửa nhóm với số khuyết không âm 15 2.1. Biểu diễn nửa nhóm. Định lý Evans 15 2.2. Các biểu diễn nửa nhóm với số khuyết không âm 21 Kết luận . 29 Tài liệu tham khảo 30 Lời nói đầu Lý thuyết nửa nhóm ra đời vào những năm đầu thế kỷ 20 nhng nó lại thực sự phát triển có những bớc tiến nhảy vọt vào những năm giữa thế kỷ đó. Trong lý thuyết nửa nhóm một chủ đề tổ hợp rất gần với lý thuyết ngôn ngữ hình thức và ôtômát đó là chủ đề biểu diễn nửa nhóm bởi các nửa nhóm tự do và vị nhóm tự do. Nh đã biết, nếu một biểu diễn nửa nhóm A R xác định một nhóm, thế thì 0A R . Việc xét các biểu diễn nửa nhóm với số khuyết bằng 3 không đợc các tác giả H.Ayik, F.Kuyu, và B. Vatansever nghiên cứu và trình bày trong bài báo On semigroup presentations and efficiency đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 65 (2002). Dựa vào bài báo đó chúng tôi trình bày một cách chi tiết về hệ thức xác định trong một biểu diễn nửa nhóm hữu hạn với số khuyết bằng không của một số lớp nhóm. Ngoài ra chúng tôi còn xét điều kiện để một nửa nhóm ma trận Rees [ ] ; , ;G I P à là biểu diễn đợc hữu hạn. Luận văn đợc chia làm 2 chơng. Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chơng này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về nửa nhóm các từ, nửa nhóm tự do, vị nhóm tự do, định lý khuyết. Chơng 2. Một số biểu diễn nửa nhóm với khuyết không âm. Đây là nội dung chính của luận văn. Tiết 1. Hệ thống các khái niệm và tính chất liên quan đến biểu diễn nửa nhóm. Tiết 2. Trình bày biểu diễn hữu hạn của nửa nhóm với số khuyết bằng không xác định một nhóm. Trình bày biểu diễn hữu hạn của nửa nhóm và nửa nhóm đơn hoàn toàn với số khuyết không âm. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, ng- ời đã hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. 4 Tác giả cũng vô cùng biết ơn ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học cũng nh các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ và hớng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc những đóng góp quý báu của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Vinh, tháng 9 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG 1. KIếN THứC CHUẩN Bị 1.1. Nửa nhóm các từ. Nửa nhóm tự do 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử A là một tập các ký hiệu. Chúng ta sẽ gọi A là một bảng chữ cái và các phần tử của nó là các chữ cái. Một dãy hữu hạn các 5 chữ cái gọi là một từ. Tập hợp tất cả các từ trên A đợc ký hiệu là .A + Chúng ta sẽ viết u v nếu các từ u và v là nh nhau. Tập hợp A + là một nửa nhóm, đợc gọi là nửa nhóm các từ trên A , khi tích đợc xác định bằng cách ghép các từ liên tiếp vào nhau, nghĩa là tích của các từ 1 1 2 2 1 2 . , . ( , ) n m i j w a a a w b b b a b A là từ 1 1 2 1 1 . . . n m w w w a a b b Khi bổ sung A + từ rỗng 1 (mà nó không có chữ cái nào), chúng ta nhận đợc vị nhóm các từ .A Rõ ràng { } 1A A + = với 1 A + và 1. .1w w w= = , với mọi .w A + 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Một tập con X của S đợc gọi là sinh ra S một cách tự do nếu X là một tập sinh của S (ký hiệu là [ ] S S X= ) và mỗi ánh xạ 0 : X P (trong đó P là nửa nhóm bất kỳ) có thể mở rộng thành một đồng cấu : S P sao cho 0 . X = Khi đó chúng ta sẽ nói rằng là một mở rộng đồng cấu của ánh xạ 0 . Nếu S đợc sinh tự do bởi một tập nào đó thì S đợc gọi là nửa nhóm tự do. 1.1.3. Ví dụ. 1. ( , ) +N là nửa nhóm tự do với { } 1X = là tập sinh tự do của nó. Nếu 0 : X P là một ánh xạ thì ta định nghĩa : P N bởi 0 ( ) (1) . n n = Khi đó 0X = và là đồng cấu vì 0 0 0 ( ) (1) (1) (1) ( ) ( ). m n m n m n m n + + = = = 2. ( ,.) N không phải là nửa nhóm tự do. Giả sử ,X N chọn ( , )P = +N và giả sử 0 ( ) , .n n n X = Nếu ( ) * : ,.N P là một đồng cấu thì ( ) (1. ) (1) ( )n n n = = + và do đó (1) 0 .P = Nh vậy không phải là mở rộng của 0 . 6 1.1.4. Định lý. Đối với bảng chữ cái A tuỳ ý, A + là một nửa nhóm tự do đợc sinh tự do bởi A. Chứng minh. Rõ ràng A sinh ra A + vì tất cả các từ đều là một xâu (chuỗi) của các chữ cái thuộc A . Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý và 0 : A S là một ánh xạ bất kỳ. Chúng ta định nghĩa : A S + bởi 1 2 0 1 0 2 0 ( . ) ( ) ( ) . ( ), ( 1, ). n n i a a a a a a n a A = Khi đó, 0 ( ) ( )a a = (chọn 1n = ) nên 0 . A = Mặt khác là đồng cấu theo cách xác định và định nghĩa nửa nhóm .A + 1.1.5. Định lý. Nếu S đợc sinh tự do bởi X và 0 : X P là một ánh xạ, thì 0 có một mở rộng đồng cấu duy nhất : .S P Chứng minh. Theo định nghĩa, mỗi 0 có một mở rộng. Giả sử : S P và : S P là các mở rộng đồng cấu của 0 . Khi đó với mọi 1 2 , . n x S x x x x = với các phần tử i x X nào đó, vì X sinh ra .S Thế thì 1 2 0 1 0 2 0 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( . ) ( ) n n n n x x x x x x x x x x x x x x = = = = = và do đó . = Kết quả tiếp theo phát biểu rằng mỗi nửa nhóm S là một ảnh đồng cấu của một nửa nhóm các từ, và do đó các nửa nhóm các từ là cơ sở của các nửa nhóm. Mọi nửa nhóm tuỳ ý có thể đợc xây dựng trên nửa nhóm các từ. 1.1.6. Định lý. Đối với mỗi nửa nhóm S, tồn tại một bảng chữ cái A và một toàn cấu : .A S + Chứng minh. Giả sử X là một tập sinh tuỳ ý của S (có thể lấy X S= ), và giả sử A là một bảng chữ cái với ,A X= khi đó tồn tại song ánh 0 : .A X Theo định nghĩa của tính tự do 0 có một mở rộng đồng cấu 7 : .A S + Mở rộng này là toàn ánh, vì [ ] [ ] ( ) ( ) A A A A A A + + + + = = [ ] [ ] [ ] 0 ( ) ( ) S S S A A X S = = = = do S sinh bởi .X 1.1.7. Hệ quả. Mỗi nửa nhóm là một thơng của nửa nhóm tự do. Chứng minh. Thật vậy, ( ) A S ker + ; đối với toàn cấu đã nêu trong Định lý 1.1.6. 1.1.8. Định lý. Một nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với nửa nhóm các từ A + với một bảng chữ cái A nào đó. Chứng minh. Giả sử S đợc sinh tự do bởi tập con X S và A là một bảng chữ cái với .A X= Khi đó tồn tại song ánh 0 : .A X Vì A sinh ra A + một cách tự do nên tồn tại một mở rộng toàn cấu : A S + theo Định lý 1.1.6. Vì 1 0 : X A cũng là song ánh và S đợc sinh tự do bởi X nên 1 0 có một mở rộng toàn cấu : .S A + Cái hợp thành : A A + + là một toàn cấu thoả mãn điều kiện ( ) 1 0 0 0 0A X A i = = = = . Vì : A i A A đợc mở rộng một cách duy nhất tới đồng cấu đồng nhất : A i A A + + + nên A i + = . Vì A i + = là song ánh nên đơn ánh và do đó là song ánh. Từ đó là một đẳng cấu. Mặt khác, giả sử rằng tồn tại một đẳng cấu : .A S + Khi đó ( ) S S A = và có một ánh xạ ngợc 1 : S A + cũng là đẳng cấu. Xác định ánh xạ 0 A = và ( ).X A = Giả sử P là một nửa nhóm tuỳ ý và 0 : X P là một ánh xạ bất kỳ. Thế thì ánh xạ 0 0 : A P mở rộng một cách duy nhất thành một đồng cấu : .A P + Xét ánh xạ 1 : .S P = Đó là một đồng cấu vì 1 và là những đồng cấu. Hơn nữa, với mỗi 1 1 0 0 0 0 , ( ) ( ( )) ( ) ( ),x X x x x x = = = và do đó 0 , X = nghĩa là 8 là một mở rộng đồng cấu của 0 . Theo định nghĩa S đợc sinh tự do bởi .X Từ chứng minh Định lý 1.1.8. trực tiếp suy ra. 1.1.9. Hệ quả. (i) Nếu S đợc sinh tự do bởi một tập con X thì S A + ; với .A X= (ii) Nếu S và R là các nửa nhóm đợc sinh tự do tơng ứng bởi X và Y sao cho X Y= thì .S R; 1.1.10. Hệ quả. Mỗi nửa nhóm tự do có luật giản ớc. Chứng minh. Suy ra từ luật giản ớc có trong .A + Bây giờ ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi - Dubreil - Jacotin về nửa nhóm tự do trên sự nhân tử hoá các phần tử của nó. Giả sử X S . Chúng ta nói rằng 1 2 . n x x x x= là một phân tích thành nhân tử phần tử x trên X nếu mỗi , 1, 2, ., . i x X i n = Nếu X sinh ra S thì mỗi phần tử x S có một sự nhân tử hoá trên .X Nói chung sự phân tích đó không duy nhất, nghĩa là có thể xảy ra 1 2 1 2 . . k m x x x y y y= với 0 : M P và k k x y nào đó. 1.1.11. Định lý. Một nửa nhóm S đợc sinh ra tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi phần tử x thuộc S có một sự nhân tử hoá duy nhất trên X . Chứng minh. Trớc hết ta nhận xét rằng khẳng định của Định lý 1.1.11 đợc thoả mãn với nửa nhóm A + . Giả sử A là một bảng chữ cái sao cho A X= và 0 : X A là một song ánh. 9 Giả thiết rằng X sinh ra S một cách tự do, thế thì với mỗi x S có một sự nhân tử hoá trên X vì X sinh ra .S Giả sử 1 2 1 2 . . n m x x x x y y y = = là hai sự nhân tử hoá của x trên X và là mở rộng đồng cấu của 0 thì 0 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) . ( ) n x y y y = là hai sự nhân tử hoá của ( )x trên A. Vì A + thoả mãn khẳng định của Định lý, nên ta phải có 0 0 ( ) ( ) i i x y = với mọi 1,2, .,i n= (và m = n). Vì 0 là song ánh nên i i x y= , với mọi 1,2, .,i n= và nh vậy S thoả mãn khẳng định của Định lý 1.1.11. Giả thiết rằng S thoả mãn điều kiện duy nhất. Ký hiệu 1 0 0 = và giả sử : A S + là mở rộng đồng cấu của 0 . Khi đó là toàn ánh (vì X sinh ra S ) và là đơn ánh (vì nếu ( ) ( )u v = với , ,u v A u v + nào đó thì ( )u có hai cách nhân tử hoá khác nhau trên X : trái giả thiết). Vậy là một song ánh và do đó là một đẳng cấu. Định lý 1.1.11 đợc chứng minh. 1.1.12. Định nghĩa. Đối với mỗi nửa nhóm S , tập con { } 2 ( ) \ , :B S S S x S y z S x yz = = đợc gọi là cơ sở của .S Từ định nghĩa suy ra rằng một phần tử x S nằm trong ( )B S nếu và chỉ nếu x không biểu diễn đợc thành tích của hai phần tử tuỳ ý thuộc .S Kết quả sau đây của Lévi - Dubreil - Jacotin. 1.1.13. Định lý. Một nửa nhóm S tự do nếu và chỉ nếu ( )B S sinh ra S một cách tự do. Chứng minh. Đặt ( ).X B S= Nếu X sinh ra S một cách tự do thì S là nửa nhóm tự do theo Định nghĩa 1.1.2. Giả sử S là nửa nhóm tự do. Ta chứng minh X sinh ra S một cách tự do. 10