với số khuyết không âm
2.2.1. Định nghĩa. a. Giả sử S là một nửa nhóm và P = A R là một biểu diễn hữu hạn của S. Khi đó hiệu R − A đợc gọi là số khuyết của biểu diễn
P và đợc ký hiệu bởi def ( ).P
b. Giả sử S là một nửa nhóm biểu diễn đợc hữu hạn. Khi đó số khuyết nửa nhóm S đợc xác định bởi
{
( ) min ( )
S
def S = def P P là một biểu diễn hữu hạn đối với S}.
2.2.2. Chú ý. a. Giả sử M là một vị nhóm và P = A R là một biểu diễn vị nhóm của M . Khi đó hiệu R − A đợc gọi là số khuyết của biểu diễn P và đợc ký hiệu bởi def ( ).P Số khuyết vị nhóm M đợc cho bởi
{
( ) min ( )
M
def M = def P P là một biểu diễn hữu hạn đối với M}.
Tuy nhiên, nếu xét M nh một nửa nhóm thì M cũng sẽ đợc biểu diễn hữu hạn. Khi đó, ta định nghĩa số khuyết nửa nhóm của M là
{
( ) min ( )
S
def M = def P P là một biểu diễn nửa nhóm hữu hạn của M}. b. Tơng tự, nếu G là một nhóm biểu diễn đợc hữu hạn thì ta có thể định nghĩa số khuyết nhóm, số khuyết vị nhóm và số khuyết nửa nhóm của G với các ký hiệu tơng ứng def GG( ),def GM( ),def GS( ).
Từ định nghĩa ta có ngay kết quả sau.
2.2.3. Bổ đề. Giả sử P = A R là một biểu diễn nửa nhóm. Nếu tồn tại một từ 1∈A+ sao cho đối với mỗi a A a a a∈ , 1 = ( 1=a) và u aa =1 (aua =1)
2.2.4. Định nghĩa. Giả sử P = A R là một biểu diễn của nửa nhóm S. Khi đó cặp ( A,R) trong đó A là tập hợp các đỉnh và R là tập hợp các cạnh đợc gọi là một đồ thị Adian liên kết với P.
Nếu quan hệ xác định ( , )u v ∈R nối các chữ đầu tiên của u và v thì đồ thị Adian đó đợc gọi là đồ thị Adian trái và đợc ký hiệu bởi LG( )P . Nếu quan hệ xác định ( , )u v ∈R nối các chữ cuối cùng của u và v thì đồ thị Adian đó đợc gọi là đồ thị Adian phải và đợcký hiệu bởi RG( ).P
2.2.5. Bổ đề. Giả sử P = A R là một biểu diễn nửa nhóm, giả sử S là nửa nhóm đợc xác định bởi P , và giả sử a a1, 2∈A với a1 ≠a2 và u v A, ∈ ∗. Thế thì các khẳng định sau đây là đúng:
(i) Nếu hệ thức ua1 =va2 đúng trong S , thế thì có một quan hệ hoặc có dạng ra1 =sa3 hoặc có dạng sa3 =ra1 trong R trong đó a3∈A với a3 ≠a1 và r s A, ∈ ∗. Ngoài ra, có một quỹ đạo giữa a1 và a2 trong đồ thị Adian phải RG( ).P
(ii) Nếu hệ thức a u a v1 = 2 đúng trong S, thế thì có một quan hệ dạng
1 3
a r a s= hoặc a s a r3 = 1 trong R trong đó a3∈A với a3 ≠a1 và r s A, ∈ ∗. Hơn nữa, tồn tại một quỹ đạo giữa a1 và a2 trong đồ thị Adian trái LG( ).P
Chứng minh. (i) Vì quan hệ ua1 =va2 đúng trong S, nên có một dãy
1 1 2 ... n 1 n 2 ua ≡α →α → →α − →α ≡va các từ sao cho αi+1 nhận đợc từ ( 1,..., 1) i i n α = − bằng cách áp dụng một quan hệ từ R. Vì từ ua1 kết thúc với 1,
a từ va2 kết thúc với a2, và a1 ≠a2, nên đối với một k nhỏ nhất thuộc
{1,...,n−1 ,} αk+1 nhận đợc từ αk bằng cách áp dụng một quan hệ hoặc dạng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1 3
thể bằng hoặc không bằng a2) và r s A, ∈ ∗. Hơn nữa, có một cạnh giữa các điểm cuối a1 và a3 trong RG( ).P
Nếu a2 ≡a3, thế thì chúng ta có quỹ đạo. Nếu a2 ≡ a3, thế thì chúng ta có thể chọn a3 là chữ cái khác từ a1 sao cho α1,...,αk−1 kết thúc với a1 nhng
k
α kết thúc với a3. Bây giờ chúng ta xét đẳng thức u a1 3 ≡αk =αn ≡va2. Thế thì
tơng tự nh lập luận trên, chúng ta có thể tiếp tục dãy trên đến khi nhận đợc một quỹ đạo giữa a1 và a2 trong RG( ).P
(ii) Chứng minh tơng tự (i).
2.2.6. Định lý. Nếu một biểu diễn nửa nhóm P xác định một nhóm, thế thì cả hai đồ thị Adian trái và phải của P phải liên thông.
Chứng minh. Trớc hết ta nhắc lại rằng đồ thị G=(A,R) gọi là liên thông
nếu với hai đỉnh a b, tuỳ ý, tồn tại một cạnh r∈R đi từ a đến b hoặc đi từ
b đến a.
Giả sử P = A R là một biểu diễn nửa nhóm xác định một nhóm G. Giả sử a và b là hai chữ cái khác nhau thuộc A. Vì G là một nhóm, tồn tại một từ wa∈A+ biểu diễn phần tử nghịch đảo của a trong G, và các đẳng thức aw b ba = và bw a ba = đúng trong G. Do đó, theo Bổ đề 2.2.5 tồn tại các quỹ đạo giữa a và b trong cả hai đồ thị LG( )P và RG( ).P
Theo Định lý 2.3 trong [6], một biểu diễn nửa nhóm hữu hạn của một nhóm với số khuyết bằng không phải có dạng
1, ,...,2 n 1 1,..., n n
a a a w a w a
= = =
Trong tiết này, chúng ta sẽ giả thiết rằng độ dài của các từ wi lớn nhất là hai và mỗi từ wi chứa ai (trong trờng hợp trái lại chúng ta khử các phần tử sinh thừa).
2.2.7. Hệ quả. Giả sử P = a a1, ,...,2 a wn 1 =a1,...,wn =an là một biểu diễn nửa nhóm với n≥2 và I ={1,2,..., .n}
(i) Nếu tồn tại một k nhỏ nhất thuộc I sao cho wk ≡a u a ak k k ( k∈A∗)
và đối với mỗi i I∈ \{ }k , wi không bắt đầu hoặc kết thúc với ak, thế thì P
không xác định một nhóm.
(ii) Nếu wk ≡a uk k và wl ≡a ul l đối với k l I, ∈ nào đó và k l≠ thế thì P
không xác định một nhóm.
Chứng minh. Phép chứng minh suy ra trực tiếp từ Định lý 2.2.6.
Bây giờ chúng ta đa ra một số dạng biểu diễn nửa nhóm với số khuyết bằng không mà chúng xác định các nhóm. 2.2.8. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm và 2 1 2 1, 3 2 3 2,..., n n 1 n n1, 1 n 1 n ( i ) A a u a a a u a a a u a a a u a a u A+ − − = = = = = ∈ P
là một biểu diễn của S. Khi đó P xác định một nhóm.
Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 2.2.4 chứng tỏ rằng P xác định một nhóm. Trớc hết ta chứng tỏ rằng, đối với mỗi cặp ( , )a ai j ∈ ìA A, tồn tại ui j, ,vi j, ∈A∗ sao cho , i j i j a = a u và ai =v ai j, j. (1) Vì, với modulo n, ( ) 1 1 2 1 2 1 ... i i i i i i i i i a =a u a+ + = a u a+ + + u a+ = =(a u a u aj j−1 j) j−2 j−1...a u a u ai+3 i+1 i+2 i i+1. Chúng ta lấy ui j, ≡u a u aj−1 j j−2 j−1...a u a u ai+3 i+1 i+2 i i+1. Tơng tự, lấy vi j, ≡a u a u ai+1 i i+2 i+1 i+3...a u a uj−1 j−2 j j−1.
Giả sử 1≡a u a u a u a u2 1 3 2... n n−1 1 n. Chúng ta thấy rằng, đối với mỗi ai∈A bằng cách lấy j=1 trong (1), ta có ( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 ,1 2 1 3 2 1 1 1 ,1 2 1 3 2 1 ,1 2 1 2 ,1 1 ,1 1 ... ... ... ... . i n n n n i n n n i n n n i i i i a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a u a u a u a u a u a u a u a u a − − − = ≡ = = = = = Do đó 1 là đơn vị trái. Giả sử un ≡u a un k' ( n' ∈A∗) và ' 2 1 3 2... 1 1 , i n n n k i v ≡a u a u a u a u v− . Thế thì nhận xét rằng, đối với mỗi ai∈A, bằng cách đặt i k= và j i= trong (1) ta có
( ) ( ) ' 2 1 3 2 1 1 , ' 2 1 3 2 1 1 , ' 2 1 3 2 1 1 ... ... ... 1. i i n n n k i i n n n k i i n n n k v a a u a u a u a u v a a u a u a u a u v a a u a u a u a u a − − − ≡ ≡ = ≡
Do đó vi là một nghịch đảo trái của ai. Vậy P xác định một nhóm. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.2.9. Định lý. Biểu diễn nửa nhóm
2 1 1 1, 3 2 3 2,..., n n 1 n n 1, 1 n 1 n ( i ) A a u a a a u a a a u a a a u a a u A+ − − = = = = = ∈ P xác định một nhóm.
Chứng minh. Tơng tự nh chứng minh định lý 2.2.8, ta có ak =a ui i k, và
,1 1 i i a =v a trong đó 2,1 1 1 ,1 1 2 1 2 3 1 1 , 1 2 1 1 2 1 , ,1 1, ,1 1 2 1 3 1 2 1 ... ( 2) ... (1 ) (2 ) ... . i i i i i i k i i i i k k k k i k i k i i i i i i n u u a u u a u a u a u a i u u a u a u a u a k i n u u u i k v a u a u a a u a u − − − − − − + + + + + + + ≡ ≡ ≠ ≡ < < ≤ ≡ ≤ ≤ ≡
Giả sử 1≡u a u a un 1 n−1 n n−2...u a u a2 3 1 1 (1≡u1,1). Vì a u1 1,1 =a1 đúng nên ,1 1 1,1 ,1 1 1,1 ,1 1
1 ( ) ( )
i i i i i
a = v a u ≡v a u =v a =a nên 1 là đơn vị phải. Giả sử un ≡a u uk n'( n' ∈A∗) và '
, 1 1 2... 2 3 1 1
i i k n n n n
v ≡u u a u a u− − u a u a . Thế thì nhận xét rằng, đối với mỗi ai∈A, ta có
' , 1 1 2 2 3 1 1 ' , 1 1 2 2 3 1 1 ' 1 1 2 2 3 1 1 ( ... ) ( ) ... ... 1. i i i i k n n n n i i k n n n n k n n n n a v a u u a u a u u a u a a u u a u a u u a u a a u a u a u u a u a − − − − − − ≡ ≡ ≡ ≡
Do đó vi là một nghịch đảo phải của ai. Nh vậy P xác định một nhóm.
Bây giờ ta xét biểu diễn của các nửa nhóm đơn hoàn toàn.
2.2.10. Định nghĩa. Giả sử G là một nhóm I và Λ là những tập hợp khác rỗng và P=(pλi) là một Iì Λ ma trận với phần tử trong G. Giả sử trên tập hợp S:= ì ì ΛI G xác định phép toán cho bởi ( , , )( , , ) ( ,i g λ j h à = i gp hλj , )à . Khi đó S là một nửa nhóm và đợc gọi là nửa nhóm ma trận Rees với ma trận đệm là P và đợc ký hiệu bởi à[G I; , ;∧ P].
Giả sử S là một nửa nhóm và E là tập các luỹ đẳng của S. Khi đó quan hệ ≤ trên E cho bởi e≤ f khi và chỉ khi ef = fe e= là một quan hệ thứ tự bộ phận trên E. Quan hệ này đợc gọi là quan hệ thứ tự tự nhiên trên E.
2.2.11. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và E là tập hợp các luỹ đẳng của S.
a. S đợc gọi là nửa nhóm đơn nếu S không chứa iđêan thực sự hai phía.
b. Luỹ đẳng f ∈E đợc gọi là nguyên thuỷ nếu với mọi e E e∈ , ≤ f
c. Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm đơn hoàn toàn nếu S là một nửa nhóm đơn chứa một luỹ đẳng nguyên thuỷ.
Trong [1] đã chứng minh đợc rằng:
2.2.12. Mệnh đề. (i) Nửa nhóm ma trận Rees là nửa nhóm đơn hoàn toàn. (ii) Đảo lại, mỗi nửa nhóm đơn hoàn toàn đều đẳng cấu với một nửa nhóm ma trận Rees nào đó.
Bây giờ ta xét biểu diễn của nửa nhóm đơn hoàn toàn S =à[G I; , ;∧ P].
2.2.13. Định lý.Một nửa nhóm đơn hoàn toàn đợc biểu diễn hữu hạn khi và chỉ khi G biểu diễn đợc hữu hạn và cả hai I và Λ đều hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử S =à[G I; , ;∧ P] là nửa nhóm ma trận Rees đơn hoàn toàn biểu diễn hữu hạn, khi đó S hữu hạn sinh. Giả sử {( , , ),( , , ),...,( , , )i g1 1 λ1 i g2 2 λ2 i gk k λk } là một tập sinh của S. Theo phép nhân đ- ợc xác định trên S ta thấy I và Λ là các tập hợp {i i1, ,...,2 ik} và
{λ λ1, ,...,2 λk} nên chúng hữu hạn.
Giả sử pλ0 0i là một phần tử cố định của P. Khi đó (i G0, ,λ0) là một nhóm con tối đại của S và có chỉ số hữu hạn trong S nên (i G0, ,λ0) biểu diễn đợc hữu hạn. Vì G ≅(i G0, ,λ0) nên G biểu diễn đợc hữu hạn.
Đảo lại, giả sử rằng I,Λ hữu hạn và G biểu diễn hữu hạn nh một nửa nhóm. Giả sử P = A R là một biểu diễn nửa nhóm hữu hạn của G. Khi đó ta sắp xếp lại các phần tử của P sao cho p11 là đơn vị của G. Giả sử e A∈ + là một từ biểu diễn của G. Xác định tập hợp
{ } (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
{ i \ 1} { \ 1 .{ }}
Y = ∪A y i I∈ ∪ zλ λ∈ Λ Khi đó S có biểu diễn là
{ } { } 1 1 , , , , ( \ 1 , \ 1 ) . i i i i i i A y e y ey p z eλ pλ ezλ z z yλ λ pλ i I λ = = = = = = ∈ ∈ Λ P R,
Vì A,R, I và Λ hữu hạn nên S đợc biểu diễn hữu hạn.
2.2.14. Định lý. Giả sử G là một nhóm biểu diễn đợc hữu hạn với số khuyết không âm. Khi đó G có thể biểu diễn đợc bởi một biểu diễn nửa nhóm
A
=
P R với def( )P =def GG( ) và với a A u A∈ , ∈ * thì (aua a= ∈) R.
Chứng minh. Trong phép chứng minh Mệnh đề 2.4 [5] đã chứng tỏ rằng, đối với một biểu diễn nhóm G hữu hạn với số khuyết không âm, tồn tại một biểu diễn nửa nhóm dạng 1, ,...,2 n 2 1 2 1 1, 3 2 3 2, 4 3 4 3,..., n n 1 n n 1, 1 n 1 n, a a a a u a a a a u a a a u a a a u a− a − a u a a = = = = = = P R 1
( ,...,u un∈A∗) với def( )P =def GG( ).
Giả sử u u a u a u≡ n 1 n−1 n n−2an−1...u a u a2 3 1 2. Thế thì rõ ràng hệ thức a ua1 1 =a1
là một hệ quả của các hệ thức thuộc P . Ngoài ra, rõ ràng là hệ thức
2 1 2 1 1
a u a a =a là hệ quả của các hệ thức còn lại của P và hệ thức a ua1 1=a1.
Do đó hệ thức a u a a2 1 2 1 =a1 có thể đợc thay thế với hệ thức a ua1 1 =a1 nh mong
muốn.
2.2.15. Chú ý. Các hệ thức dạng aua= a (a A, u A )∈ ∈ * là hữu ích đối với các cấu trúc nửa nhóm liên quan đến các nhóm chẳng hạn các nửa nhóm đơn mà nửa nhóm ma trận Rees hữu hạn à( ; , ; )G I ∧ P là một ví dụ điển hình.
Luận văn đã thực hiện đợc các nội dung sau:
1. Trình bày các khái niệm và tính chất liên quan đến nửa nhóm và vị nhóm tự do.
2. Hệ thống hoá các khái niệm và tính chất liên quan đến biểu diễn nửa nhóm và biểu diễn vị nhóm.
3. Trình bày khái niệm về số khuyết và xét một số lớp nhóm có biểu diễn nửa nhóm với số khuyết bằng không (Định lý 2.2.8, Định lý 2.2.9).
4. Chứng minh chi tiết định lý về điều kiện cần và đủ để một nửa nhóm ma trận Rees có biểu diễn hữu hạn (Định lý 2.2.13).
5. Xét tính chất một lớp nhóm có biểu diễn hữu hạn với số khuyết không âm (Định lý 2.2.14).
TàI LIệU THAM KHảO A. Tiếng Việt
[1] A. H. Cliphớt, G. B. Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm (Tập 1). Bản dịch của Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà nội.
[3] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số (Giáo trình sau Đại học), NXB Giáo dục, Hà nội.
B. Tiếng Anh
[4] C.M.Campbell, E.F.Robertson, N.Rukuc and R.M.Thomas (1995),
Semigroup and group presentations, Bull. London Math.Soc 27, 46-50. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[5] C.M.Campbell, J.D.Mitchell, and Ruskuc, On defining groups efficiently by semigoup presentations, Math. Proc. Camb. Phil. Soc, to appear.
[6] H.Ayik, C. M. Campbell, J. J. O’Connor, and N. Ruskuc (2000), The semigroup efficiency of groups and monoids, Math. Proc. Roi. Irish Acad.
100A, 171-176.
[7] H.Ayik, F.Kuyucu, and B. Vatansever (2002), On semigroup presentations and Efficiency, Semigroup Forum 65, 329-335.
[8] Y.G.Baik and S. J. Pride (1997), On the efficiency of Conxeter groups,